2020版高考文科数学第一轮复习练习：第一章 集合、常用逻辑用语 课后跟踪训练3

2019-2020年高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语分层限时跟踪练(I)一、选择题1．对于命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是()A．逆命题为“周期函数不是单调函数”B．否命题为“单调函数是周期函数”C．逆否命题为“周期函数是单调函数”D．以上三者都不正确【解析】原命题可以改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”．其逆命题为“若函数不是周期函数，则函数是单调函数”，故选项A不正确；其否命题为“若函数不是单调函数，则函数是周期函数”，故选项B不正确；其逆否命题为“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，故选项C不正确．【答案】D2．(xx·浙江高考)设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】特殊值法：当a＝10，b＝－1时，a＋b>0，ab<0，故a＋b>0⇒/ab>0；当a ＝－2，b＝－1时，ab>0，但a＋b<0，所以ab>0⇒/a＋b>0.故“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．【答案】D3．(xx·文登二模)设x，y是两个实数，命题“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是()A．x＋y＝2 B．x＋y＞2C．x2＋y2＞2 D．xy＞1【解析】法一对于A，当x＝1，y＝1时，不能得到x，y中至少有一个数大于1；对于C，x＝－1，y＝－2，不能得到x，y中至少有一个数大于1；对于D，当x＝－1，y＝－2，不能得到x，y中至少有一个数大于1；对于B，若x，y都小于等于1，即x≤1，y≤1，则x＋y≤2，与x＋y＞2矛盾，故答案为B.法二若x≤1且y≤1时，可得x＋y≤2，反之不成立(用特殊值即可判定)；故x≤1且y≤1是x＋y≤2的充分不必要条件，那么根据逆否命题的等价性可得x＋y>2是“当x，y中至少有一个数大于1”的充分不必要条件．【答案】B4．(xx·江西高考)下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a ＞c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β【解析】 由于“若b 2－4ac ≤0，则ax 2＋bx ＋c ≥0”是假命题，所以“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件不是“b 2－4ac ≤0”，A 错；因为ab 2＞cb 2，且b 2＞0，所以a ＞c .而a ＞c 时，若b 2＝0，则ab 2＞cb 2不成立，由此知“ab 2＞cb 2”是“a ＞c ”的充分不必要条件，B 错；“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2＜0”，C 错；由l ⊥α，l ⊥β，可得α∥β，理由是：垂直于同一条直线的两个平面平行，D 正确．【答案】 D5．(xx·江门模拟)函数f (x )的定义域为实数集R ，“f (x )是奇函数”是“|f (x )|是偶函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【解析】 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以||f －x ＝||－f x ＝||f x ，因此||f x 是偶函数，但当f (x )为偶函数时，||f x 也为偶函数，故由||f x 为偶函数⇒/f (x )为奇函数，故选A.【答案】 A二、填空题6．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．【解析】 原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.【答案】 37．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.【解析】 已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n ≥0，解得n ≤4，又n ∈N *，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数根；而当n ＝3时，方程有整数根1,3；当n ＝4时，方程有整数根2.【答案】 3或48．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．【解析】 由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1，m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. 【答案】 [0,2]三、解答题9．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．【解】 (1)否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b ＜0，则f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )．该命题是真命题，证明如下：∵a ＋b ＜0，∴a ＜－b ，b ＜－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．∴f (a )＜f (－b )，f (b )＜f (－a )，因此f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，∴否命题为真命题．(2)逆否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ＜0.真命题，可证明原命题为真来证明它．因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，b ≥－a ，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎦⎤y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．【解】 y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，∴A⊆B，∴1－m2≤7 16，解得m ≥34或m ≤－34， 故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. [能 力 练]扫盲区 提素能1．(xx·石景山模拟)已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 函数y ＝2x ＋m －1有零点，等价于 m －1<0，即m <1，不满足0<m <1，所以“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”不成立；反之，如果“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”，则有0<m <1，即m －1<0, “函数y ＝2x ＋m －1有零点”成立，故选B.【答案】 B2．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且﹁q 的一个充分不必要条件是﹁p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]【解析】 由x 2＋2x －3＞0，得x ＜－3或x ＞1，由﹁q 的一个充分不必要条件是﹁p ，可知﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．故a ≥1.【答案】 A3. 有下列几个命题：①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．【解析】 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，错误．②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，正确．【答案】 ②③4．“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋a x≥1”的________条件． 【解析】 当a ＝14时，对任意的正数x ，x ＋a x ＝x ＋14x ≥2x ·14x＝1，而对任意的正数x ，要使x ＋a x ≥1，只需f (x )＝x ＋a x的最小值大于或等于1即可，而在a 为正数的情况下，f (x )＝x＋a x 的最小值为f (a )＝2a ≥1，得a ≥14，故填充分不必要． 【答案】 充分不必要5．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.【证明】 必要性：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，则x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0，∴a ＋b ＋c ＝0.充分性：若a ＋b ＋c ＝0，则b ＝－a －c ，∴ax 2＋bx ＋c ＝0可化为ax 2－(a ＋c )x ＋c ＝0，∴(ax －c )(x －1)＝0，∴当x ＝1时，ax 2＋bx ＋c ＝0，∴x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．综上，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.6．(xx·济南模拟)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的取值范围．(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的取值范围．【解】 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}．(1)因为x ∈P 是x ∈S 的充要条件，所以P ＝S ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在． (2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10， 所以m ≤3. 综上，可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．.。

第1章集合与常用逻辑用语第1讲A组基础关1．设集合P＝{|0≤≤2}，m＝3，则下列关系中正确的是( )A．m⊆P B．m P C．m∈P D．m∉P答案 D解析∵3>2，∴m∉P.2．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{1,4}，N＝{2,3}，则集合{5,6}等于( )A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)答案 D解析∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,4}，N＝{2,3}，∴∁U M＝{2,3,5,6}，∁U N＝{1,4,5,6}，∴(∁U M)∩(∁U N)＝{5,6}．3．(2018·河南洛阳三模)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{1，m}．若B⊆A，则实数m的值是( )A．0 B．2C．0或2 D．0或1或2答案 C解析∵{1，m}⊆{0,1,2}，∴m＝0或2.4．(2018·甘肃张掖三模)已知集合A＝{－1，－2,0,1}，B＝{|e<1}，则集合A∩B的元素的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析∵B＝{|e<1}＝{|<0}，∴A∩B＝{－1，－2}，有2个元素．5．(2018·天津高考)设全集为R，集合A＝{|0<<2}，B＝{|≥1}，则A∩(∁R B)＝( ) A．{|0<≤1} B．{|0<<1}C．{|1≤<2} D．{|0<<2}答案 B解析因为集合B＝{|≥1}，所以∁R B＝{|<1}，所以A∩(∁R B)＝{|0<<1}．6．设集合A＝{(，y)|＋y＝1}，B＝{(，y)|－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 由⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，∴A ∩B ＝{(2，－1)}．由M ⊆(A ∩B )，知M ＝∅或M ＝{(2，－1)}．7．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{|2－4＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5} 答案 C解析 ∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B .∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{|2－4＋3＝0}＝{1,3}．故选C.8．已知集合A ＝{a ，b,2}，B ＝{2，b 2,2a }，且A ∩B ＝A ∪B ，则a ＝________. 答案 0或14解析 因为A ∩B ＝A ∪B ，所以A ＝B ，则⎩⎨⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎨⎧a ＝b 2，b ＝2a ，解得a ＝0或a ＝14，所以a 的值为0或14.9．设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{|∈(A ∪B )且∉(A ∩B )}．已知集合A ＝{|0<<2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________.答案 {0}∪[2，＋∞)解析 由已知A ＝{|0<<2}，B ＝{y |y ≥0}，又由新定义A ⊗B ＝{|∈(A ∪B )且∉(A ∩B )}，结合数轴得A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞)．10．已知集合A ＝{|2－－2<0}，B ＝{y |y ＝e ，<ln 3}，则A ∪B ＝________. 答案 (－1,3)解析 由2－－2<0得－1<<2， ∴A ＝{|－1<<2}，∵y ＝e 在(－∞，ln 3)上为增函数， ∴当<ln 3时，y ＝e<e ln 3＝3，∴B ＝{y |0<y <3}， ∴A ∪B ＝(－1,3)．B 组 能力关1．(2018·河北邯郸一模)设全集U ＝(－3，＋∞)，集合A ＝{|1<4－2≤2}，则∁U A ＝( )A ．(－3，2)∪[3，＋∞)B ．(－2，2)∪[3，＋∞)C ．(－3，2]∪(3，＋∞)D ．[－2，2]∪(3，＋∞) 答案 B解析 由⎩⎨⎧4－x 2>1，4－x 2≤2，得⎩⎪⎨⎪⎧－3<x <3，x ≤－2或x ≥ 2，A ＝{|－3<≤－2或2≤<3}．又∵U ＝(－3，＋∞)，∴∁U A ＝(－2，2)∪[3，＋∞)．2．设全集U ＝R ，A ＝{|2－2≤0}，B ＝{y |y ＝cos ，∈R }，则图中阴影部分表示的区间是( )A ．[0,1]B ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C ．[－1,2]D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 答案 D解析 A ＝{|2－2≤0}＝[0,2]，B ＝{y |y ＝cos ，∈R }＝[－1,1]．图中阴影部分表示∁U (A ∪B )＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．3．(2018·合肥质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 A解析因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎨⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1.4．若∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )A ．15B ．16C ．28D ．25 答案 A解析 由题意得，满足题意的伙伴关系的集合由以下元素构成：－1，1，12，2，13，3，其中12和2，13和3必须同时出现．所以具有伙伴关系的集合的个数为24－1＝15.5．设集合A ＝{0，－4}，B ＝{|2＋2(a ＋1)＋a 2－1＝0，∈R }．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≤－1或a ＝1 解析 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A . 又∵A ＝{0，－4}，∴B 的可能情况有∅，{－4}，{0}，{－4,0}． (1)若B ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.(2)若B ＝{－4}，则a ∈∅. (3)若B ＝{0}，则a ＝－1. (4)若B ＝{－4,0}，则a ＝1. 综上知，a ≤－1或a ＝1.6．(2019·重庆八中月考)定义集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A 且a －b ∈A ，则称集合A为闭集合．给出如下三个结构：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合B＝{n|n＝3，∈}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是________．答案②解析①中，－4＋(－2)＝－6不属于A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈B，n1＝31，n2＝32，1，2∈，则n1＋n2∈B，n1－n2∈B，所以②正确；对于③，令A1＝{n|n＝5，∈}，A2＝{n|n＝2，∈}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．。

课时跟踪训练(一) 集合[基础巩固]一、选择题1．(2017·北京卷)若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2<x <－1} B ．{x |－2<x <3} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <3}[解析] 由集合交集的定义可得A ∩B ＝{x |－2<x <－1}，故选A. [答案] A2．(2017·天津卷)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2} B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}[解析] A ∪B ＝{1,2,4,6}，(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}，故选项B 符合． [答案] B3．(2017·西安八校联考)已知集合M ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2x≥1，N ＝{y |y ＝1－x 2}，则M ∩N ＝( )A ．(－∞，2]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．(0,2][解析] 由2x ≥1得x －2x≤0，解得0<x ≤2，则M ＝{x |0<x ≤2}；函数y ＝1－x 2的值域是(－∞，1]，则N ＝{y |y ≤1}，因此M ∩N ＝{x |0<x ≤1}＝(0,1]，选B.[答案] B4．(2018·广东省惠州高三调研)已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R |x ≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{0,1,2}B ．{0,1}C ．{1,2}D ．{1}[解析] 因为A ∩B ＝{2,3,4,5}，而题图中阴影部分为A ∩(∁U B )，所以阴影部分所表示的集合为{1}．故选D. [答案] D5．(2017·广州市高三综合测试)若集合M ＝{x ||x | ≤1}，N ＝{y |y ＝x 2，|x |≤1}，则( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅[解析] M ＝{x ||x |≤1}＝[－1,1]，N ＝{y |y ＝x 2，|x |≤1}＝[0,1]，所以N ⊆M ，故选C. [答案] C6．(2017·山西大学附中模拟)给出下列四个结论：①{0}是空集；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}中有两个元素；④集合B ＝{x ∈Q ⎪⎪⎪⎭⎬⎫6x∈N 是有限集．其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 对于①，{0}中含有元素0，不是空集，故①错误；对于②，比如0∈N ，－0∈N ，故②错误；对于③，集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}中有一个元素，故③错误；对于④，当x ∈Q 且6x ∈N 时，6x可以取无数个值，所以集合B ＝{x ∈Q ⎪⎪⎪⎭⎬⎫6x∈N 是无限集，故④错误．综上可知，正确结论的个数是0.故选A.[答案] A 二、填空题7．(2017·江苏卷)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________． [解析] 因为a 2＋3≥3，所以由A ∩B ＝{1}得a ＝1，即实数a 的值为1. [答案] 18．(2017·山西大学附中模拟)已知全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，则实数a ＝________. [解析] 由题意知，a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2.当a ＝－4时，|2a －1|＝9，而9∉U ，所以a ＝－4不满足题意，舍去；当a ＝2时，|2a －1|＝3,3∈U ，满足题意．故实数a 的值为2.[答案] 29．(2018·江苏扬州质检)已知集合M ＝{x |－1<x <1}，N ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x x －1≤0，则M ∩N ＝________.[解析] 由N 中不等式变形得x (x －1)≤0，且x －1≠0，解得0≤x <1，即N ＝{x |0≤x <1}，又因为M ＝{x |－1<x <1}，所以M ∩N ＝{x |0≤x <1}．[答案] {x |0≤x <1}10．(2017·湖北百所重点校联考)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，y ＝4x 2－1}，则A ∩B 的元素个数是________．[解析] 集合A 是以原点为圆心，半径等于1的圆周上的点的集合，集合B 是抛物线y ＝4x 2－1上的点的集合，观察图象可知，抛物线与圆有3个交点，因此A ∩B 中含有3个元素．[答案] 3[能力提升]11．(2017·江西九江三模)已知集合A ＝{x |x 2≤1}，B ＝{x |x <a }，若A ∪B ＝B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析] 因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B .又因为A ＝{x |x 2≤1}＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x <a }，所以a >1.故选C. [答案] C12．(2017·江西鹰潭二模)已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，集合B ＝{x |y ＝4－x 2}，则A ∩B 等于( ) A ．[－2,2]B ．{－1,0,1}C ．{－2，－1,0,1,2}D ．{0,1,2,3}[解析] 由B 中y ＝4－x 2，得4－x 2≥0，解得－2≤x ≤2，即B ＝[－2,2]．因为A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{－2，－1,0,1,2}，故选C.[答案] C13．已知集合M ＝{x |ax －1＝0，x ∈Z }是集合N ＝{y ∈Z ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y －2y ≤0的真子集，则实数a 的取值有( )A ．0个B ．1个C ．3个D ．无数个[解析] 先求集合N ，由y －2y≤0，解得0<y ≤2，又y ∈Z ，故N ＝{1,2}． 方程ax －1＝0，当a ＝0时，方程无解，此时M ＝∅，满足题意； 当a ≠0时，x ＝1a ，因为M N ，故1a ＝1或1a ＝2，解得a ＝1或a ＝12.故实数a 的取值有3个．应选C. [答案] C14．设集合A ＝[－1,2)，B ＝{x |x 2－ax －1≤0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,1) B ．[－1,2)C ．[0,3)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32[解析] 设f (x )＝x 2－ax －1，由题意得f (x )≤0的解集为A 的子集． 若B ＝∅，则Δ＝(－a )2－4×(－1)＝a 2＋4<0，显然无解； 若B ≠∅，则根据二次函数的图象可得⎩⎪⎨⎪⎧f －，f，－1<a 2<2，Δ＝a 2＋4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2－a －－1≥0，22－2a －1>0，－2<a <4，解得0≤a <32.综上可知，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32.故选D. [答案] D15．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围． [解] 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，∵A ⊆∁R B ， ∴m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3.[延伸拓展]1．(2017·江西临川一中期中)已知集合A ＝{2,0,1,4}，B ＝{k |k ∈R ，k 2－2∈A ，k －2∉A }，则集合B 中所有的元素之和为( )A ．2B ．－2C ．0D. 2[解析] 若k 2－2＝2，则k ＝2或k ＝－2，当k ＝2时，k －2＝0，不满足条件，当k ＝－2时，k －2＝－4，满足条件；若k 2－2＝0，则k ＝±2，显然满足条件；若k 2－2＝1，则k ＝±3，显然满足条件；若k 2－2＝4，得k ＝±6，显然满足条件．所以集合B 中的元素为－2，±2，±3，±6，所以集合B 中的元素之和为－2，故选B.[答案] B2．设A 、B 是两个非空数集，定义运算A ×B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x，x >0}，则A ×B ＝( )A ．[0,1]∪(2，＋∞)B ．[0,1)∪[2，＋∞)C ．[0,1]D ．[0,2][解析] 由题意得A ＝{x |2x －x 2≥0}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1,2]，所以A ×B ＝[0,1]∪(2，＋∞)．故选A.[答案] A。

第1讲 集合的概念与运算1．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝(D)A ．(－3，－32)B ．(－3，32)C ．(1，32)D ．(32，3)(1)先化简集合A ，B ，再利用交集定义求解．因为x 2－4x ＋3<0，所以1<x <3，所以A ＝{x |1<x <3}．因为2x －3>0，所以x >32，所以B＝{x |x >32}．所以A ∩B ＝{x |32<x <3}．故选D.2．(2016·山东卷)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1＜0}，则A ∪B ＝(C) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)由已知得A ＝{y |y ＞0}，B ＝{x |－1＜x ＜1}，则A ∪B ＝{x |x ＞－1}．故选C. 3．(2018·武汉调研测试)已知集合M ＝{x |x 2＝1}，N ＝{x |ax ＝1}，若N ⊆M ，则实数a 的取值集合为(D)A ．{1}B ．{－1，1}C ．{1，0}D ．{1，－1，0}M ＝{x |x 2＝1}＝{－1，1}，又N ⊆M ，则N ＝{－1}，{1}，∅满足条件，所以a ＝1，－1，0，即实数a 的取值集合为{1，－1，0}． 4．(2018·佛山一模)已知全集U ＝R ，集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－2x ＞0}，则图中阴影部分表示的集合为(A)A ．{0，1，2}B ．{1，2}C ．{3，4}D ．{0，3，4}因为B ＝{x |x 2－2x ＞0}＝{x |x ＞2或x ＜0}， 所以∁U B ＝{x |0≤x ≤2}，所以图中阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{0，1，2}．5．(2018·合肥高三质量检测)设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则集合M 中元素个数为(B)A ．3B ．4C ．5D ．6因为M ＝{5，6，7，8}，所以M 中元素的个数为4. 6．(2016·天津卷)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝ {1,4} .因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1； 当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4； 当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7； 当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10. 即B ＝{1,4,7,10}．又因为A ＝{1,2,3,4}，所以A ∩B ＝{1,4}．7．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x |x 2＋mx ＝0，x ∈U }，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝ －3 .因为∁U A ＝{1,2}，所以A ＝{0,3}，所以m ＝－3. 8．已知M ＝{x |－2≤x ≤5}，N ＝{x |a ＋1≤x ≤2a －1}． (1)若a ＝3时，则M ∪(∁R N )＝ R ；(2)若N ⊆M ，则实数a 的取值范围为 (－∞，3] .(1)当a ＝3时，N ＝{x |4≤x ≤5}，所以∁R N ＝{x |x <4或x >5}．所以M ∪(∁R N )＝R .(2)①当2a －1<a ＋1，即a <2时，N ＝∅，此时满足N ⊆M . ②当2a －1≥a ＋1，即a ≥2时，B ≠∅，由N ⊆M ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a －1≤5，所以2≤a ≤3.综上，实数a 的取值范围为(－∞，3]．9．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是(B)A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)由x －x 2>0，得0<x <1，所以A ＝(0,1)，由x 2－cx <0，且c >0，得0<x <c ，所以B ＝(0，c )， 因为A ⊆B ，所以c ≥1.10．(2018·福州期末)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝{x ∈R |12a ≤x ≤2a －1}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是(A)A ．[1，＋∞)B ．[12，1]C ．[23，＋∞) D ．(1，＋∞)因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1.即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．11．(2018·北京卷)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y ＞4，x －ay ≤2}，则(D)A ．对任意实数a ，(2，1)∈AB ．对任意实数a ，(2，1)∉AC ．当且仅当a ＜0时，(2，1)∉AD ．当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A若点(2，1)∈A ，则不等式x －y ≥1显然成立，且同时要满足⎩⎨⎧≤->+,22,412a a 即⎪⎩⎪⎨⎧≥>,0,23a a 解得a >32.即点(2，1)∈A ⇒a >32，其等价命题为a ≤32⇒点(2，1)∉A 成立．12．(2019·海南二校联考)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为__7__人．设全集U 为某班30人，集合A 为喜爱篮球运动的15人，集合B 为喜爱乒乓球运动的10人，如图．设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15－x )人，只喜爱乒乓球的有(10－x )人，由此可得(15－x )＋(10－x )＋x ＋8＝30，解得x ＝3.所以10－x ＝7，即所求人数为7人．第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件1．(2018·肇庆模拟)命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的逆命题是(C) A ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c >b ＋c ，则a >b D ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c2．(2017·天津卷)设θ∈R ，则“|θ－π12|＜π12”是“sin θ＜12”的(A)A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件因为|θ－π12|＜π12，所以－π12＜θ－π12＜π12，即0＜θ＜π6.显然0＜θ＜π6时，sin θ＜12成立．但sin θ＜12时，由周期函数的性质知0＜θ＜π6不一定成立．故0＜θ＜π6是sin θ＜12的充分而不必要条件．3．(2018·衢州期末)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是(D) A ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 C ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数其逆否命题为：若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数．4．“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的(B)A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件因为x ＞1⇒log 12(x ＋2)＜0，log 12(x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，所以x ＞1是log 12(x＋2)＜0的充分而不必要条件．5．(2018·广西柳州联考)已知p ：0<a <4，q ：函数y ＝ax 2－ax ＋1的值恒为正，则p 是q 的(A)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件对于q ，当a ＝0时，函数y ＝ax 2－ax ＋1＝1>0； 当a ≠0时，函数y ＝ax 2－ax ＋1的值恒正需满足： ⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，得0<a <4， 综上，a ∈[0,4)． 由，得p 是q 的充分不必要条件．6．命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为 若a ≤b ，则2a ≤2b －1 .7．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ⊆B ”的 充分不必要条件 条件．8．f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围为 (3，＋∞) .依题意P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}＝{x |f (x ＋t )<2}＝{x |f (x ＋t )<f (2)}，Q ＝{x |f (x )<－4}＝{x |f (x )<f (－1)}，因为f (x )是R 上的增函数，所以P ＝{x |x <2－t }，Q ＝{x |x <－1}，要使“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，需2－t <－1，解得t >3，所以实数t 的取值范围是(3，＋∞)．9．(2018·武汉调研测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，条件p ：a ≤b ＋c2，条件q ：A ≤B ＋C2，那么条件p 是条件q 成立的(A)A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件条件q ：A ≤B ＋C 2⇔A ≤π－A 2⇔A ≤π3.条件p ：a ≤b ＋c 2⇒cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥b 2＋c 2－（b ＋c 2）22bc ＝3b 2＋3c 2－2bc 8bc ≥12⇒0<A ≤π3.所以p ⇒q ，但q ≠> p .如A ＝60°，a ＝3，b ＝1，c ＝2，不能得到a ≤b ＋c2.所以p 是q 的充分不必要条件．10．(2018·聊城期末)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是(B)A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1)因为3x ＋1<1，所以3x ＋1－1＝2－x x ＋1<0，即(x －2)(x ＋1)>0，所以x >2或x <－1.记A ＝{x |x ≥k }，B ＝{x |x >2或x<－1}，因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，所以k >2. 11. (2018·抚州七校联考)下列选项中，说法正确的是(D) A ．若a >b >0，则ln a <ln bB ．向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2m －1)(m ∈R )垂直的充要条件是m ＝1C ．命题“∀n ∈N *,3n >(n ＋2)·2n －1”的否定是“∀n ∈N *,3n ≥(n ＋2)·2n －1” D ．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的，则命题“若f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题对于A ，因为y ＝ln x (x >0)是增函数，所以若a >b >0，则ln a >ln b ，故A 错误； 对于B ，若a ⊥b ，即(1，m )·(m,2m －1)＝0， 则m ＋m (2m －1)＝0，解得m ＝0，故B 错误；对于C ，命题“∀n ∈N *,3n >(n ＋2)·2n －1”的否定是“∃n ∈N *,3n ≤(n ＋2)·2n －1”，故C 错误；对于D ，“若f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题为“若f (x )在区间(a ，b )至少有一个零点，则f (a )·f (b )<0”是假命题．如函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2,4]上的图象连续不断，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f (－2)f (4)>0.故D 正确．12．(2016·浙江卷)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f [f (x )]的最小值与f (x )的最小值相等”的(A)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件因为f (x )＝x 2＋bx ＝(x ＋b 2)2－b 24，当x ＝－b 2时，f (x )min ＝－b24，又f [f (x )]＝[f (x )]2＋bf (x )＝[f (x )＋b 2]2－b 24，当f (x )＝－b 2时，f [f (x )]min ＝－b24，当－b 2≥－b 24时，f [f (x )]可以取到最小值－b 24，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b ＜0”是“f [f (x )]的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件．第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．(2018·蚌埠三模)命题“∃x 0∈R ，使得ex 0>2x 30”的否定是(C)A ．∃x 0∉R ，e x 0>2x 30B ．∃x 0∈R ，e x 0≤2x 30 C ．∀x ∈R ，e x ≤2x 3 D ．∀x ∉R ，e x >2x 3 2．(2016·浙江卷)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是(D) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2”．3．(2017·兰州市高考诊断考试)下列命题中，真命题为(D)A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．已知a ，b 为实数，则a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1D ．已知a ，b 为实数，则a >1，b >1是ab >1的充分不必要条件选项A 为假命题，理由是对∀x ∈R ，e x >0. 选项B 为假命题，不妨取x ＝2，则2x ＝x 2.选项C 为假命题，当b ＝0时，由a ＋b ＝0推不出ab＝－1.选项D 为真命题，若a >1，b >1，则ab >1，反之不成立，如a ＝3，b ＝12，故a >1，b >1是ab >1的充分不必要条件．故选D. 4.(2018·深圳一模)设有下面四个命题： p 1：∃n ∈N ，n 2>2n ；p 2：x ∈R ，x >1是x >2的充分不必要条件；p 3：命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题是“若sin x ≠sin y ，则x ≠y ”； p 4：p ∨q 是真命题，则p 一定是真命题． 其中真命题是(D) A. p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 2，p 4 D ．p 1，p 3因为32>23，所以p 1为真命题；因为x >1≠> x >2，所以p 2为假命题；p 3为真命题；因为当q 为真命题，p 为假命题时，p ∨q 也是真命题．所以p 4为假命题．由此可知p 1，p 3为真命题．5．(2017·豫西五校4月联考)若定义在R 上的函数f (x )不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是(C)A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)＝－f (x 0)由题意知，∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )是假命题，则其否定为真命题，即∃x 0∈R ， f (－x 0)≠f (x 0)为真命题． 6．(2018·广州市一模)已知下列四个命题：p 1：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α；p 2：若f (x )＝2x －2－x ，则∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )；p 3：若f (x )＝x ＋1x ＋1，则∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)＝1；p 4：在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B . 其中真命题的个数是(B) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4平面的斜线l 和平面内无数条平行直线垂直，p 1为假命题．因为f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，所以p 2为真命题． 因为当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1≥2(x ＋1)·1x ＋1－1＝1，取等号的条件为x ＋1＝1x ＋1，得到x ＝0∉(0，＋∞)，所以当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>1，不存在x 0，满足f (x 0)＝1，p 3为假命题． 在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，所以p 4为真命题． 故p 2和p 4为真命题，真命题个数为2.7．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是 对任意的x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0 .8．(2018·烟台期末)若“∀x ∈[0，π3]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为 3 .由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间[0，π3]上恒成立，即y ＝tan x 在[0，π3]上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在[0，π3]上的最大值为3，所以m ≥3，即m 的最小值为 3.9．(2017·张掖一诊)下列说法正确的是(A)A ．若a ∈R ，则“1a<1”是“a >1”的必要不充分条件B ．“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件C ．若命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”， ﹁p 是真命题D ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”由1a <1，得a <0或a >1，反之，由a >1得1a <1. 所以“1a<1”是“a >1”的必要不充分条件，A 正确．由p ∧q 为真命题，知p ，q 均为真命题，所以p ∨q 为真命题．反之，由p ∨q 为真，得p 、q 至少有一个为真，但p ∧q 不一定为真．所以“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件．故B 不正确．因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2，所以p 是真命题，所以﹁p 是假命题．故C 不正确．命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3≥0”，故D 不正确．10．(2018·江西赣州第一次月考)已知命题p ：∀x ∈N *，(12)x ≥(13)x ，命题q ：∃x ∈N *,2x＋21－x＝22，则下列命题中为真命题的是(C)A. p ∧qB. （﹁p ）∧qC. p ∧（﹁q ）D. （﹁p ）∧﹁q ）对于命题p ：当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝x n (n ∈N *)是增函数， 因为12>13，所以(12)n ≥(13)n ，所以(12)x ≥(13)x ，故命题p 是真命题；对于命题q ：由 2x ＋21－x ＝22，得(2x )2－22·2x ＋2＝0，所以2x ＝2，则x ＝12，因为12∉N *，所以命题q 是假命题．所以p ∧（﹁q ）为真．11．若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”的否定为真命题，则实数a 的取值范围为 [－2,2] .(方法1)由题意，命题“对任意实数x ，使x 2＋ax ＋1≥0”是真命题， 故Δ＝a 2－4×1×1≤0，解得－2≤a ≤2.(方法2)若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”是真命题，则Δ＝a 2－4×1×1>0，解得a >2或a <－2.故原命题实数a 的取值范围是取其补集，即[－2,2]． 12．(2018·华南师大附中模拟)设有两个命题：p ：关于x 的不等式a x >1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}； q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数a 的取值范围是__(0，12]∪(1，＋∞)__．p ：“关于x 的不等式a x >1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}”为真命题⇔0<a <1.q ：“函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ”为真命题⇔ax 2－x ＋a >0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0⇔a >12.因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，所以p ，q 一真一假． 当p 为真，q 为假时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12⇔0<a ≤12.当p 为假，q 为真时，⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >12⇔a >1.所以实数a 的取值范围是(0，12]∪(1，＋∞)．。

第1节集合【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B等于( A )(A){0,2} (B){1,2}(C){0} (D){-2,-1,0,1,2}解析:A∩B={0,2}∩{-2,-1,0,1,2}={0,2}.故选A.2.已知集合A={x|lg x>0},B={x|x≤1},则( B )(A)A∩B≠ (B)A∪B=R(C)B⊆A (D)A⊆B解析:由B={x|x≤1},且A={x|lg x>0}=(1,+∞),所以A∪B=R.3.(2018·西安一模改编)已知集合M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},则集合M与集合N的关系是( B )(A)M=N (B)N M(C)M⊆N (D)M∩N=解析:因为M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},所以N={-1,0},于是N M.4.若x∈A,则∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M=｛-1,0,,2,3｝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( B )(A)1 (B)3 (C)7 (D)31解析:具有伙伴关系的元素组是-1,,2,所以具有伙伴关系的集合有3个:{-1},｛,2｝,｛-1,,2｝.5.(2018·石家庄模拟)设全集U={x|x∈N*,x<6},集合A={1,3},B= {3,5},则∁U(A∪B)等于( D )(A){1,4} (B){1,5}(C){2,5} (D){2,4}解析:由题意得A∪B={1,3}∪{3,5}={1,3,5}.又U={1,2,3,4,5},所以∁U(A∪B)={2,4}.6.试分别用描述法、列举法两种方法表示“所有不小于3,且不大于200的奇数”所构成的集合.(1)描述法 ;(2)列举法 .答案:(1){x|x=2n+1,n∈N,1≤n<100}(2){3,5,7,9, (199)7.(2017·江苏卷)已知集合A={1,2},B={a,a2+3},若A∩B={1},则实数a的值为.解析:因为A∩B={1},A={1,2},所以1∈B且2∉B.若a=1,则a2+3=4,符合题意.又a2+3≥3≠1,故a=1.答案:18.(2018·成都检测)已知集合A={x|x2-2 018x-2 019≤0},B={x|x< m+1},若A⊆B,则实数m的取值范围是.解析:由x2-2 018x-2 019≤0,得A=[-1,2 019],又B={x|x<m+1},且A⊆B.所以m+1>2 019,则m>2 018.答案:(2 018,+∞)9.集合A={x|x<0},B={x|y=lg[x(x+1)]},若A-B={x|x∈A,且x∉B},则A-B= .解析:由x(x+1)>0,得x<-1或x>0.所以B=(-∞,-1)∪(0,+∞),所以A-B=[-1,0).答案:[-1,0)能力提升(时间:15分钟)10.(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则(∁R S)∩T等于( C )(A)[2,3](B)(-∞,-2)∪[3,+∞)(C)(2,3)(D)(0,+∞)解析:易知S=(-∞,2]∪[3,+∞),所以∁R S=(2,3),因此(∁R S)∩T= (2,3).11.设集合A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|x-y=3},则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:由得所以A∩B={(2,-1)}.由M⊆(A∩B),知M= 或M={(2,-1)}.12.(2018·江西省红色七校联考)如图,设全集U=R,集合A,B分别用椭圆内图形表示,若集合A={x|x2<2x},B={x|y=ln(1-x)},则阴影部分图形表示的集合为( D )(A){x|x≤1} (B){x|x≥1}(C){x|0<x≤1} (D){x|1≤x<2}解析:因为A={x|x2<2x}={x|0<x<2},B={x|y=ln(1-x)}={x|1-x>0}={x|x<1},所以∁U B={x|x≥1},则阴影部分为A∩(∁U B)={x|0<x<2}∩{x|x≥1}={x|1≤x<2}.故选D.13.若集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为( D )(A)1 (B)-1(C)1或-1 (D)1或-1或0解析:由A∪B=A,可知B A,故B={1}或{-1}或 ,此时m=1或-1或0.故选D.14.(2017·山东卷改编)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,全集U=R,则∁U(A∩B)= .解析:因为4-x2≥0,所以-2≤x≤2,所以A=[-2,2].因为1-x>0,所以x<1,所以B=(-∞,1),因此A∩B=[-2,1),于是∁U(A∩B)=(-∞,-2)∪[1,+∞).答案:(-∞,-2)∪[1,+∞)。

教学资料范本2020高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语章末总结分层演练文-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx最新高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语章末总结分层演练文章末总结知识点考纲展示集合❶集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．❷集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．❸集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.命题及其关系、充分条件与必要条件❶理解命题的概念．❷了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．❸理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词❶了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．❷理解全称量词和存在量词的意义．❸能正确地对含有一个量词的命题进行否定.一、点在纲上，源在本里考点考题考源集合的概念与运算(20xx·高考全国卷Ⅱ，T1，5分)设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝( )A．{1，2，3，4}B．{1，2，3} C．{2，3，4}D．{1，3，4}必修1 P8例4(20xx·高考全国卷Ⅲ，T1，5分)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4必修1 P11练习T1(20xx·高考全国卷Ⅰ，T1，5分)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( )A．A∩B＝{x|x<0}B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1}D．A∩B＝∅必修1 P83B组T1(20xx·高考全国卷Ⅱ，T2，5分)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )A．{1，－3}B．{1，0} C．{1，3}D．{1，5}必修1 P11练习T2(20xx·高考全国卷Ⅰ，T1，5分)设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝( )A．{1，3}B．{3，5} C．{5，7}D．{1，7} 必修1 P12A组T6(20xx·高考全国卷Ⅱ，T2，5分)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝( )A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3}D．{－1，0，1，2，3} 必修1 P8例5含有一个量词命题的否定(20xx·高考全国卷Ⅰ，T3，5分)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则p为( )A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n选修1­1 P27A组T3(1)二、根置教材，考在变中一、选择题1．(必修1 P11练习T4改编)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则(∁UA)∩B＝( ) A．{1，3，5，6，7} B．{1，3，7}C．{5} D．{3，5，7}解析：选B.(∁UA)∩B＝{1，3，6，7}∩{1，3，5，7}＝{1，3，7}．2．(必修1 P12A组T3(3)改编)设A＝{x∈Z|－3<2x－1≤3}，B ＝{x|3x≥4－2x}，则A∩B＝( )A．{1，2} B．{2}C．D．{0，1}解析：选A.A＝{x∈Z|－1<x≤2}＝{0，1，2}，B＝，所以A∩B ＝{1，2}．3．(必修1 P8例5改编)设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，则( )A．A∩B＝{x|－1<x<3}B．A∪B＝{x|1<x<2}C．(∁RA)∩B＝{x|2≤x<3}D．A⊆B解析：选C.因为A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∩B＝{x|1<x<2}，A∪B＝{x|－1<x<3}．(∁RA)∩B＝{x|x≤－1或x≥2}∩{x|1<x<3}＝{x|2≤x＜3}．A 与B无包含关系．故选C.4．(必修1 P11练习T2改编)设A＝{x|x2－4x－5<0}，B＝{x|x2<4}，则A∪B＝( )A．(－1，2) B．(－2，5)C．(2，5) D．(－2，－1)解析：选B.A＝{x|－1<x<5}，B ＝{x|－2<x<2}，所以A∪B＝{x|－2<x<5}．5．(必修1 P83B 组T1改编)设集合A ＝{y|y ＝log2(|sin x|＋1)，x ∈R}，B ＝{y|y ＝2cos x ，x ∈R}，则A ∩B ＝( )A ．[0，2]B ．[1，2]C ．[0，1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：选D.因为|sin x|＋1∈[1，2]，所以A ＝{y|y ＝log2(|sin x|＋1)，x∈R}＝{y|0≤y≤1}， 又cos x∈[－1，1]，所以B ＝{y|y ＝2cos x ，x∈R}＝， 所以A∩B＝[0，1]∩＝.6．(选修1­1 P12练习T2(2)改编)已知条件p ：x －3>0，条件q ：(x －3)(x －4)≥0，则( )A ．p 是q 的充分条件B ．p 是﹁q 的必要条件C ．p 是﹁q 的充分条件D ．p 是q 的必要条件解析：选B.将条件p 、q 转化为用集合表示：p ：A ＝{x|x －3>0}＝{x|x>3}．﹁p ：B ＝{x|x －3≤0}＝{x|x≤3}．q ：C ＝{x|(x －3)(x －4)≥0}＝{x|x ≤3或x ≥4}．﹁q ：D ＝{x|(x －3)(x －4)＜0}＝{x|3<x<4}．显然，A 不是C 的子集，故A 错；D ⊆A ，即p 是﹁q 的必要条件，故B 正确，C 错；C 不是A 的子集，故D 错，所以选B.二、填空题7．(必修1 P7练习T2(6)改编)已知集合A ＝{x|x2－2x －3<0}，B ＝{x|－m<x<m}．若B ⊆A ，则m 的范围为________．解析：当m≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A. 当m>0时，因为A ＝{x|x2－2x －3<0} ＝{x|－1<x<3}．当B ⊆A 时，用数轴表示有 所以所以0<m≤1.综上所述，m 的范围为m≤1. 答案：m≤18．(选修1­1 P25探究(3)改编)命题p ：∀x ∈R ，x2＋1>0的否定是________．解析：根据全称命题的否定形式．p：∀x∈R，x2＋1>0的否定是﹁p：∃x0∈R，x＋1≤0.答案：∃x0∈R，x＋1≤0。

课后跟踪训练(三)基础巩固练一、选择题1．(2019·陕西师大附中模拟)若命题p ：对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1<0，则綈p 为( )A ．不存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1<0B ．存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1<0C ．对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1≥0D ．存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1≥0[解析]　命题p ：对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1<0的否定綈p ：存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1≥0.故选D.[答案]　D2．(2019·河南教学质量监测)已知命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16>8x ，则命题p 的否定为( )A ．綈p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16≤8xB ．綈p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16<8xC ．綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x ＋16≤8x 020D ．綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x ＋16<8x 020[解析]　全称命题的否定为特称命题，故命题p 的否定綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x ＋16≤8x 0.故选C.20[答案]　C3．(2019·安徽百校论坛联考)已知命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，log 3(x ＋2)－>0，则下列叙述正确的是( )22xA ．綈p ：∀x ∈(1，＋∞)，log 3(x ＋2)－≤022xB ．綈p ：∃x ∈(1，＋∞)，log 3(x ＋2)－<022xC ．綈p ：∃x ∈(－∞，1]，log 3(x ＋2)－≤022xD ．綈p 是假命题[解析]　綈p ：∃x ∈(1，＋∞)，log 3(x ＋2)－≤0，因为函数f (x )＝22x log 3(x ＋2)－在(1，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (1)＝0(x >1)，故p 22x是真命题，綈p 是假命题．故选D.[答案]　D4．(2019·江西南昌模拟)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋>3，1x 0命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧(綈q )B ．(綈p )∧qC ．p ∧qD ．(綈p )∨q[解析]　命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋>3，当x 0＝3时，3＋>3，1x 013命题为真．命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，当x ＝4时，两式相等，命题为假，则p ∧(綈q )为真，故选A.[答案]　A5．若命题“∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则实数k 的取值范围是( )A ．(－4,0)B ．(－4,0]C ．(－∞，－4]∪(0，＋∞)D ．(－∞，－4)∪[0，＋∞)[解析]　命题：“∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题．当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0，且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0.综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．故选B.[答案]　B二、填空题6．(2019·安徽合肥一模)命题：∃x 0∈R ，x －ax 0＋1<0的否定为20____________________．[解析]　写命题的否定时，除结论要否定外，存在量词与全称量词要互换，因此命题：∃x 0∈R ，x －ax 0＋1<0的否定为∀x ∈R ，x 2－ax 20＋1≥0.[答案]　∀x ∈R ，x 2－ax ＋1≥07．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax ＋x 0＋≤0.若命题p 是假命题，则2012实数a 的取值范围是________．[解析]　因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋>0恒成立．当a ＝0时，x >－，不满足题意；当a ≠0时，要1212使不等式恒成立，则有Error!即Error!解得Error!所以a >，即实数a 12的取值范围是.(12，＋∞)[答案]　(12，＋∞)8．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 和函数g (x )＝2x ＋，对任意x 1x ＋1∈[－1，＋∞)，总存在x 2∈R 使g (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________．[解析]　因为f (x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1，所以f (x )∈[a －1，＋∞)．因为g (x )＝2x ＋在[－1，＋∞)上单调递增，x ＋1所以g (x )∈[－2，＋∞)．由题意得a －1≤－2，所以a ≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．[答案]　(－∞，－1]三、解答题9．(2019·甘肃平凉月考)设p ：关于x 的不等式a x >1的解集是{x |x <0}；q ：函数y ＝的定义域为R .若p ∨q 是真命题，p ∧ax 2－x ＋a q 是假命题，求实数a 的取值范围．[解]　∵关于x 的不等式a x >1的解集是{x |x <0}，∴0<a <1.∵函数y ＝的定义域为R ，ax 2－x ＋a ∴Error!解得a ≥.由题意，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，12则命题p ，q 一真一假．当p 真q 假时，Error!解得0<a <；当q 真p 12假时，Error!解得a ≥1.综上，实数a 的取值范围是∪[1，＋∞)．(0，12)10．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求m 的取值范围．[解]　(1)∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴(2x －2)min ≥m 2－3m ，即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2]．(2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立，∴m ≤1.因此，命题q 为真时，m ≤1.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，由Error!得1<m ≤2；当p 假q 真时，由Error!得m <1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．能力提升练11．(2018·山西太原联考)给出下列三个命题：p 1：函数y ＝a x ＋x (a >0，且a ≠1)在R 上为增函数；p 2：∃a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2<0；p 3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2k π＋β(k ∈Z )．则下列命题中的真命题为( )A ．p 1∨p 2B ．p 2∧p 3C ．p 1∨(綈p 3)D ．(綈p 2)∧p 3[解析]　对于p 1，令f (x )＝a x ＋x (a >0，且a ≠1)，当a ＝时，f (0)＝120＋0＝1，f (－1)＝－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2，因为a 2－(12)(12)ab ＋b 2＝2＋b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3，因为cos α＝(a －12b )34cos β⇔α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3是真命题．所以(綈p 2)∧p 3为真命题，故选D.[答案]　D12．(2019·广东汕头期末)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x 0∈R ，x ＋4x 0＋a ＝0”．若命题p ∧q 是真命题，则实数a 20的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[1,4]C ．[e,4]D ．(－∞，－1)[解析]　∵∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，∴a ≥(e x )max ，可得a ≥e.∵∃x 0∈R ，x ＋4x 0＋a ＝0，∴Δ＝16－4a ≥0，解得a ≤4.∵命题p ∧q 是真命题，∴p 20与q 都是真命题，∴实数a 的取值范围是[e,4]．故选C.[答案]　C13．(2019·甘肃高台一中第三次检测)设p ：∃x ∈，使函数(1，52)g (x )＝log 2(tx 2＋2x －2)有意义．若綈p 为假命题，则实数t 的取值范围为________．[解析]　因为命题綈p 为假命题，所以命题p 为真命题．∃x ∈，使函数g (x )＝log 2(tx 2＋2x －2)有意义等价于∃x ∈，使tx 2＋(1，52)(1，52)2x －2>0成立，即∃x ∈，使t >－成立．令h (x )＝－，x ∈，(1，52)2x 22x 2x 22x (1，52)则∃x ∈，使t >－成立等价于t >h (x )min .因为h (x )＝－＝2(1，52)2x 22x 2x 22x 2－，x ∈，所以当＝，即x ＝2时，h (x )min ＝－，所(1x －12)12(1，52)1x 1212以t >－.12[答案]　(－12，＋∞)14．已知命题p ：∃x ∈R ，e x －mx ＝0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，求实数m 的取值范围．[解]　若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．由e x －mx ＝0得m ＝，设f (x )＝，e x x e x x则f ′(x )＝＝.e x ·x －e x x 2(x －1)e x x 2当x >1时，f ′(x )>0，此时函数单调递增；当0<x <1时，f ′(x )<0，此时函数单调递减；当x <0时，f ′(x )<0，此时函数单调递减．由f (x )的图象及单调性知当x ＝1时，f (x )＝取得极小值f (1)＝e ，e x x所以函数f (x )＝的值域为(－∞，0)∪[e ，＋∞)，所以若p 是假命题，e x x则0≤m <e ；命题q 为真命题时，有Δ＝4m 2－4≤0，则－1≤m ≤1.所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是[0,1]．拓展延伸练15．(2019·东北三省四市联考)下列四个命题中，真命题的个数是( )①“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件；②命题“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0>1”；③“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真命题；④命题p：∀x∈[1，＋∞)，lg x≥0，命题q：∃x0∈R，x＋x0＋1<0，则p∨q为真命题20A．0 B．1 C．2 D．3[解析]　当x＝1时，x2－3x＋2＝0，当x2－3x＋2＝0时，x＝1或x＝2，所以“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件，故①正确；命题“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0>1”，故②正确；“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为“若a<b，则am2<bm2”，当m＝0时，该逆命题为假命题，故③错；当x≥1时，lg x≥0，命题p 是真命题，故p∨q是真命题，故④正确．故真命题的个数是3.故选D.[答案]　D16．(2019·皖南名校联考)设命题p：函数f(x)＝x3－ax－1在区间[－1,1]上单调递减；命题q：函数y＝ln(x2＋ax＋1)的值域是R，如果命题p或q是真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，3] B．(－∞，－2]∪[2,3)C．(2,3] D．[3，＋∞)[解析]　若p为真命题，则f′(x)＝3x2－a≤0在区间[－1,1]上恒成立，即a≥3x2在区间[－1,1]上恒成立，所以a≥3；若q为真命题，则方程x2＋ax＋1＝0的判别式Δ＝a2－4≥0，即a≥2或a≤－2.由题意知，p与q一真一假．当p真q假时，Error!则a∈∅；当p假q真时，Error!则a≤－2或2≤a<3.综上所述，a∈(－∞，－2]∪[2,3)．故选B.[答案]　B。

§1.1集合1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系A B(或B A) 3.集合的基本运算概念方法微思考1．若一个集合A 有n 个元素，则集合A 有几个子集，几个真子集． 提示 2n ,2n－1.2．从A ∩B ＝A ，A ∪B ＝A 可以得到集合A ，B 有什么关系？ 提示 A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )(2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( × ) (3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( × ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( √ )(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立．( √ ) (6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( × ) 题组二 教材改编2．[P11例9]已知U ＝{α|0°＜α＜180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________. 答案 {x |x 是直角}3．[P44A 组T5]已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________． 答案 2解析 集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素． 题组三 易错自纠4．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3或0答案 B解析 A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3，故选B.5．若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 C解析 当x ＝－1，y ＝0时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝2时，z ＝1；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝1，y ＝2时，z ＝3，故集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素个数为3，故选C. 6．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (3，＋∞)解析 A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}， ∵A ⊆B ，B ＝{x |x <a }，∴a >3.7．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 0或98解析 若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98.综上，a 的值为0或98.题型一 集合的含义1．若A ＝{2,3,4}，B ＝{x |x ＝n ·m ，m ，n ∈A ，m ≠n }，则集合B 中的元素个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B解析 B ＝{x |x ＝n ·m ，m ，n ∈A ，m ≠n }＝{6,8,12}．2．若集合A ＝{a －3,2a －1，a 2－4}，且－3∈A ，则实数a ＝________. 答案 0或1解析 若a －3＝－3，则a ＝0，此时集合A 中含有元素－3，－1，－4，满足题意； 若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时集合A 中的三个元素为－4，－3，－3，不满足集合中元素的互异性；若a 2－4＝－3，则a ＝±1，当a ＝1时，集合A 中的三个元素为－2,1，－3，满足题意； 当a ＝－1时，不符合题意． 综上可知，a ＝0或a ＝1.思维升华(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．题型二 集合的基本关系例1 (1)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为( ) A.13或－12 B ．－13或12C.13或－12或0 D ．－13或12或0答案 D解析 由题意知，A ＝{2，－3}． 当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ； 当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1a，由B ⊆A ，可得1a ＝－3或1a ＝2，∴a ＝－13或a ＝12.综上可知，a 的值为－13或12或0.(2)已知集合A ＝{x |x 2－2019x ＋2018<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是_______________________________________． 答案 [2018，＋∞)解析 由x 2－2019x ＋2018<0，解得1<x <2018， 故A ＝{x |1<x <2018}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示， 可得a ≥2018. 引申探究本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，1]解析 A ＝{x |1<x <2018}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．跟踪训练1 (1)(2018·浙江教育绿色评价联盟高考适应性考试)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0，a ∈R }，若A ＝B ，则a 等于( ) A ．1B ．2C ．－1D ．－2 答案 B解析 由B ＝{1，a }＝{1,2}，得a ＝2，故选B.(2)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________________________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞解析 因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2， 所以y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2.又因为A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34.题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算例2(1)(2017·浙江)已知集合P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜2}，则P ∪Q 等于( ) A ．(－1,2) B ．(0,1) C ．(－1,0) D ．(1,2)答案 A解析 ∵P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜2}， ∴P ∪Q ＝{x |－1＜x ＜2}． 故选A.(2)(2018·浙江)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}，则∁U A 等于( ) A ．∅ B ．{1,3} C ．{2,4,5} D ．{1,2,3,4,5} 答案 C解析 ∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}， ∴∁U A ＝{2,4,5}． 故选C.命题点2 利用集合的运算求参数例3 (1)设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( ) A ．－1<a ≤2 B ．a >2 C ．a ≥－1 D ．a >－1 答案 D解析 因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a >－1.(2)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是______． 答案 (－∞，－1]∪{1}解析 因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}． 思维升华(1)集合基本运算的求解策略①当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算．②当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验． ③根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解． (2)集合的交、并、补运算口诀交集元素仔细找，属于A 且属于B ；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U 是大范围，去掉U 中A 元素，剩余元素成补集．跟踪训练2 (1)(2018·浙江“七彩阳光”联盟联考)已知全集为R ，集合A ＝{y |y ＝3x，x ≤1}，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∪B ＝________，A ∩(∁R B )＝________.答案 (0,4] (0,2)解析 因为A ＝{y |y ＝3x，x ≤1}＝{y |0＜y ≤3}，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}＝{x |2≤x ≤4}，所以A ∪B ＝(0,4]．又因为∁R B ＝{x |x ＜2或x ＞4}， 所以A ∩(∁R B )＝(0,2)．(2)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 A解析 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.题型四 集合的新定义问题例 4 (1)定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B.已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2－1，k ∈A，则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 B解析 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，则BA ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素，故选B.(2)如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x ,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________.答案 {0,6}解析 由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}． 思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．跟踪训练3 (1)定义一种新的集合运算△：A △B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，则按运算△，B △A 等于( ) A ．{x |3<x ≤4} B ．{x |3≤x ≤4} C ．{x |3<x <4} D ．{x |2≤x ≤4}答案 B解析 A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2≤x ≤4}，由题意知，B △A ＝{x |x ∈B ，且x ∉A }＝{x |3≤x ≤4}． (2)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析 依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．1．(2018·浙江嘉兴一中适应性考试)若集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －4＞0，x ，y ∈A }，则集合B 中的元素个数为( ) A ．9B ．6C ．4D ．3 答案 D解析 由于x ，y ∈A 的数对共C 13C 13＝9对，其中(2,3)，(3,2)，(3,3)满足x ＋y －4＞0，所以集合B 中的元素个数为3，故选D.2．(2018·绍兴质检)已知集合A ＝{x ∈R ||x |＜2}，B ＝{x ∈R |x ＋1≥0}，则A ∩B 等于( ) A ．(－2,1] B ．[－1,2) C ．[－1，＋∞) D ．(－2，＋∞)答案 B解析 由题意得集合A ＝{x |－2＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥－1}，所以A ∩B ＝{x |－1≤x ＜2}，故选B.3．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －1x ＝0，则满足A ∪B ＝{－1,0,1}的集合B 的个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．9 答案 C解析 解方程x －1x＝0，得x ＝1或x ＝－1，所以A ＝{1，－1}，又A ∪B ＝{－1,0,1}，所以B ＝{0}或{0,1}或{0，－1}或{0,1，－1}，集合B 共有4个．4．设集合A ＝{x |－x 2－x ＋2＜0}，B ＝{x |2x －5＞0}，则集合A 与集合B 的关系是( ) A ．B ⊆A B ．B ⊇A C ．B ∈A D ．A ∈B答案 A解析 因为A ＝{x |－x 2－x ＋2＜0}＝{x |x ＞1或x ＜－2}，B ＝{x |2x －5＞0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞52，所以B ⊆A ，故选A.5．(2018·浙江杭州第二中学月考)若集合A ＝{x |x ＝x 2－2，x ∈R }，B ＝{1，m }，若A ⊆B ，则m 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．－1或2D ．2或 2解析 由集合A 易得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－2≥0，x ＝x 2－2，所以A ＝{2}，而A ⊆B ，则m ＝2，故选A.6．(2019·宁波调研)已知集合M ＝{x ||x |≤2}，N ＝{x |x 2＋2x －3≤0}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |－2≤x ≤1} B ．{x |1≤x ＜2} C ．{x |－1≤x ≤2} D ．{x |－3≤x ≤2}答案 A解析 由题意得集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |－3≤x ≤1}，则M ∩N ＝{x |－2≤x ≤1}，故选A. 7．(2018·温州十校联考)已知集合P ＝{x |y ＝2－x }，Q ＝{x |y ＝ln(x ＋1)}，则P ∩Q 等于( )A ．{x |－1≤x ≤2}B ．{x |－1≤x ＜2}C ．{x |－1＜x ≤2}D ．{x |－1＜x ＜2}答案 C解析 由题意得集合P ＝{x |x ≤2}，Q ＝{x |x ＞－1}，所以P ∩Q ＝{x |－1＜x ≤2}，故选C.8．(2018·浙江金华一中月考)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ≥－1，B ＝{y |y ＝e x ＋1，x ≤0}，则下列结论正确的是( ) A ．A ＝B B ．A ∪B ＝R C ．A ∩(∁R B )＝∅ D ．B ∩(∁R A )＝∅答案 D解析 由题意得集合A ＝{y |0＜y ≤2}，B ＝{y |1＜y ≤2}，所以∁R A ＝{y |y ≤0或y ＞2}，所以B ∩(∁R A )＝∅，故选D.9．(2018·金华十校模拟)已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，S ＝{1,3,5}，T ＝{2,3,6}，则S ∩(∁UT )＝________，集合S 共有________个子集．答案 {1,5} 8解析 由题意可得∁U T ＝{1,4,5}，则S ∩(∁U T )＝{1,5}．集合S 的子集有∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，共8个．10．(2018·浙江名校协作体联考)已知集合U ＝{－1,1,2,3,4,5}，且集合A ＝{－1,1,3}与集合B ＝{a ＋2，a 2＋4}满足A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________，A ∩(∁U B )＝________. 答案 1 {－1,1}解析 因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ，当a ＋2＝3时，a ＝1，此时a 2＋4＝5，集合B ＝{3,5}，符合题意；当a 2＋4＝3时，a 无实数解，综上所述，a ＝1，此时∁U B ＝{－1,1,2,4}，则A ∩(∁U B )＝{－1,1}．11．(2019·宁波模拟)已知全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}，A ∩(∁U B )＝{1,3,5}，则B ＝________. 答案 {0,2,4,6}解析 由A ∩(∁U B )＝{1,3,5}得，元素1,3,5不在集合B 内．若元素0不在集合B 内，则由A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}，得元素0在集合A 内，则0∈A ∩(∁U B )，与题意不符，所以元素0在集合B 内，同理可得元素2,4,6也在集合B 内，所以B ＝{0,2,4,6}．12．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.13．已知集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2m <x <1－m }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)答案 D解析 ∵A ∩B ＝∅，①若当2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若当2m <1－m ，即m <13时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，解得0≤m <13或∅，即0≤m <13.综上，实数m 的取值范围是[0，＋∞)． 14．若集合A 具有以下性质：(1)0∈A,1∈A ；(2)x ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1x∈A ，则称集合A 是“完美集”，给出以下结论：①集合B ＝{－1,0,1}是“完美集”； ②有理数集Q 是“完美集”；③设集合A 是“完美集”，若x ，y ∈A ，则x ＋y ∈A ；④设集合A 是“完美集”，若x ，y ∈A ，则xy ∈A ；⑤对任意的一个“完美集”A ，若x ，y ∈A ，且x ≠0，则y x ∈A .其中正确结论的序号是____________．答案 ②③④⑤解析 ①－1∈B ,1∈B ，但是－1－1＝－2∉B ，B 不是“完美集”；②有理数集满足“完美集”的定义；③0∈A ，x ，y ∈A,0－y ＝－y ∈A ，那么x －(－y )＝x ＋y ∈A ；④对任意一个“完美集”A ，任取x ，y ∈A ，若x ，y 中有0或1时，显然xy ∈A ，若x ，y 均不为0,1，而1xy ＝12xy ＋12xy ＝1(x ＋y )2－x 2－y 2＋1(x ＋y )2－x 2－y 2，x ，x －1∈A ，那么1x －1－1x＝1x (x －1)∈A ，所以x (x －1)∈A ，进而x (x －1)＋x ＝x 2∈A .结合前面的算式，知xy ∈A ； ⑤x ，y ∈A ，若x ≠0，那么1x ∈A ，那么由④得y x∈A . 故填②③④⑤.15．在n 元数集S ＝{a 1，a 2，…，a n }中，设x (S )＝a 1＋a 2＋…＋a n n，若S 的非空子集A 满足x (A )＝x (S )，则称A 是集合S 的一个“平均子集”，并记数集S 的k 元“平均子集”的个数为f S (k )．已知集合S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，T ＝{－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4}，则下列说法错误的是( )A ．f S (4)＝f S (5)B ．f S (4)＝f T (5)C ．f S (1)＋f S (3)＝f T (5)D ．f S (2)＋f S (3)＝f T (4)答案 C解析 由题意知，f T (k )＝f S (k )，k ＝1,2，…，9.再由对称性知f T (k )＝f T (9－k )，k ＝1,2，…，9，故A ，B 正确．现在仅考虑集合T ，利用列举法，当n ＝1时，“平均子集”A ：{0}，故f T (1)＝1；当n ＝2时，“平均子集”A 可取{－k ，k }，其中k ＝1,2,3,4，故f T (2)＝4；当n ＝3时，“平均子集”A 可取{－4,0,4}，{－4,1,3}，{－3，－1,4}，{－3,0,3}，{－3,1,2}，{－2，－1,3}，{－2,0,2}，{－1,0,1}，故f T (3)＝8；当n ＝4时，“平均子集”A 可取{－4，－3,3,4}，{－4，－2,2,4}，{－4，－1,1,4}，{－4，－1,2,3}，{－4，0,1,3}，{－3，－2,1,4}，{－3，－2,2,3}，{－3，－1,1,3}，{－3，－1,0,4}，{－3,0,1,2}，{－2，－1,0,3}，{－2，－1,1,2}，故f T (4)＝12.利用对称性知，f T (5)＝12.所以D 正确、C 错误，故选C.16．(2019·温州十校模拟)设有序集合对(A ，B )满足：A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ∩B ＝∅，记Card A ，Card B 分别表示集合A ，B 的元素个数，则符合条件Card A ∉A ，Card B ∉B 的集合的对数是________．答案44解析由条件可得Card A∈B，Card B∈A.当Card A＝0，Card B＝8时，显然不成立；当Card A ＝1，Card B＝7时，则7∈A,1∈B，所以A＝{7}，B＝{1,2,3,4,5,6,8}，符合条件的集合对有1对；当Card A＝2，Card B＝6时，则6∈A,2∈B，所以A中的另一个元素从剩下的6个数中选一个，故符合条件的集合对有C16＝6(对)；当Card A＝3，Card B＝5时，则5∈A,3∈B，所以A中的另两个元素从剩下的6个数中选两个，故符合条件的集合对有C26＝15(对)；当Card A＝4，Card B＝4时，则4∈A,4∈B，矛盾；由对称性，剩下的几种情况类似，故符合条件的集合的对数是2×(1＋6＋15)＋0＝44(对)．。

1-1 集合课时规范练(授课提示：对应学生用书第211页)A组　基础对点练1．(2017·高考浙江卷)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，那么P∪Q＝(　A　) A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)2．(2018·高考浙江卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁U A＝(　C　)A．∅B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}3．(2018·丰台区二模)已知A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2－2x－3＜0}，则A∪B＝(　D　)A．{x|x＜－1或x≥1}B．{x|1＜x＜3}C．{x|x＞3} D．{x|x＞－1}解析：A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2－2x－3＜0}＝{x|－1＜x＜3}，则A∪B＝{x|x＞－1}．故选D.4．已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝(　B　)A．∅B．{2}C．{0} D．{－2}5．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝(　A　)A．{1,4} B．{2,3}C．{9,16} D．{1,2}6．已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝(　A　)A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}7．(2018·河南一模)已知集合A＝{x|x2－2x－3＞0}，B＝N，则集合(∁R A)∩B中元素的个数为(　C　)A．2 B．3C．4 D．5解析：A＝{x|x＜－1或x＞3}，∴∁R A＝{x|－1≤x≤3}，∴(∁R A)∩B＝{0,1,2,3}．故选C. 8．(2016·高考天津卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝(　A　) A．{1,3} B．{1,2}C．{2,3} D．{1,2,3}9．(2018·河北模拟)已知集合A＝{x∈N|x<3}，B＝{x|x＝a－b，a∈A，b∈A}，则A∩B＝(　D　)A．{1,2} B．{－2，－1,1,2}C．{1} D．{0,1,2}10．(2018·邕宁区校级模拟)已知集合M，N⊂I，若M∩N＝N，则(　C　)A．∁I M⊇∁I N B．M⊆∁I NC．∁I M⊆∁I N D．M⊇∁I N解析：∵集合M，N⊂I，M∩N＝N，∴N⊆M，作Venn图，∴由Venn图得∁I M⊆∁I N.故选C.11．(2017·郑州质量预测)设全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1,4}，B＝{2,4}，则∁U(A∩B)＝(　A　)A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{1,3,4} D．{2,3,4}12．(2018·云南模拟)集合A＝{x|x2－a≤0}，B＝{x|x<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(　B　)A．(－∞，4] B．(－∞，4)C．[0,4] D．(0,4)13．若A＝{(x，y)|y＝－4x＋6}，B＝{(x，y)|y＝5x－3}，则A∩B＝ {(1,2)} ．解析：由A＝{(x，y)|y＝－4x＋6}，B＝{(x，y)|y＝5x－3}，得A∩B＝Error!＝{(1,2)}．{x|x2≤32}14．(2018·江苏模拟)已知集合A＝，集合B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝{－1,0,1} ．{x|x2≤32}{x|－62≤x≤62}解析：∵集合A＝＝，集合B＝{－2，－1,0,1,2}，∴A∩B＝{－1,0,1}．15．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A)∩B＝{7,9} ．解析：依题意得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，∁U A＝{4,6,7,9,10}，(∁U A)∩B＝{7,9}．16．集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为－3 .解析：由|x－2|≤5，得－5≤x－2≤5，即－3≤x≤7，所以集合A中的最小整数为－3.B组　能力提升练1．已知全集U＝{0,1,2,3}，∁U M＝{2}，则集合M＝(　B　)A．{1,3} B．{0,1,3}C．{0,3} D．{2}4－2x2．(2018·岳麓区校级期末)已知P＝{x|x2－5x＋4＜0}，Q＝{x|y＝}，则P∩Q等于(　C　)A．(1,4) B．[2,4)C．(1,2] D．(－∞，2]解析：化不等式x2－5x＋4＜0为(x－1)(x－4)＜0，解得1＜x＜4，则集合P＝(1,4)．4－2x集合Q表示函数y＝的定义域，令4－2x≥0，解得x≤2，即Q＝(－∞，2]．则P∩Q＝(1,2]．故选C.3．设全集U＝R，集合A＝Error!，B＝{x∈R|0＜x＜2}，则(∁U A)∩B＝(　B　)A．(1,2] B．[1,2)C．(1,2) D．[1,2]4．(2018·西城区二模)若集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x2－2x＜0}，则下列结论中正确的是(　C　)A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．A⊆B D．B⊆A解析：∵集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x2－2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，∴A⊆B.故选C. 5．(2017·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(　C　)A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}6．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　A　)A．9 B．8C．5 D．4解析：当x＝－1时，y2≤2，得y＝－1,0,1；当x＝0时，y2≤3，得y＝－1,0,1；当x＝1时，y2≤2，得y＝－1,0,1，即集合A中元素有9个，故选A.7．(2017·广雅中学测试)若全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是(　B　)8．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{y |y ＝sin x ，x ∈M }，则M ∩N ＝(　A )π2A ．{0,1} B ．{0,1,2}C ．{－1,0,1}D ．{－1,0}9．已知集合A 满足条件{1,2}⊆A {1,2,3,4,5}，则集合A 的个数为(　B )A ．8 B ．7C ．4D ．310．(2018·兴庆区校级期末)已知集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |1≤x ＜2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是(　C )A ．a ≤1 B ．a ＜1C ．a ≥2D ．a ＞2解析：∵B ＝{x |1≤x ＜2}，∴∁R B ＝{x |x ＜1或x ≥2}，∵A ＝{x |x ＜a }，A ∪(∁R B )＝R ，∴a 的范围为a ≥2，故选C.11．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，B ＝{－1,1}，则下列结论中正确的是(　D )A ．A ∩B ＝{－1} B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，0)C ．A ∪B ＝(0，＋∞)D ．(∁R A )∩B ＝{－1}12．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的(　C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．(2018·浙江模拟)已知集合A ＝{x |－x 2＋4x ≥0}，B ＝Error!，C ＝{x |x ＝2n ，n ∈N }，则(A ∪B )∩C ＝(　C )A ．{2,4} B ．{0,2}C ．{0,2,4}D ．{x |x ＝2n ，n ∈N }解析：集合A ＝{x |－x 2＋4x ≥0}＝{x |0≤x ≤4}，B ＝Error!＝{x |3－4＜3x ＜33}＝{x |－4＜x ＜3}，则A ∪B ＝{x |－4＜x ≤4}，C ＝{x |x ＝2n ，n ∈N }，可得(A ∪B )∩C ＝{0,2,4}，故选C.14．(2017·山西大学附中模拟)给出下列四个结论：①{0}是空集；②若a∈N，则－a∉N；③集合A＝{x|x2－2x＋1＝0}中有两个元素；④集合B＝Error!是有限集．其中正确结论的个数是(　A　)A．0 B．1C．2 D．315．已知集合A＝{x|－2＜x＜5}，B＝{x|p＋1＜x＜2p－1}，若A∪B＝A，则实数p的取值范围是 (－∞，3] ．解析：∵A＝{x|－2＜x＜5}，B＝{x|p＋1＜x＜2p－1}，由A∪B＝A，得B⊆A.当B＝∅时，有p＋1≥2p－1，即p≤2；当B≠∅时，要使B⊆A，则Error!解得2＜p≤3.综上，实数p的取值范围是(－∞，3]．。