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概率与统计中的古典概型与组合计数古典概型与组合计数是概率与统计领域中重要的概念和方法之一。
古典概型是指随机试验中每个结果发生的概率相等的情况，组合计数则是用于计算古典概型中的可能结果数量。
本文将介绍古典概型和组合计数的概念以及它们在实际问题中的应用。
1. 古典概型古典概型是指随机试验中每个结果发生的概率是相等的情况。
常见的古典概型有抛硬币、掷骰子、抓扑克牌等。
在这些情况下，每个结果的概率都是1/n，其中n是总的可能结果的数量。
古典概型的特点是简单而直观，计算概率也相对容易。
例如，抛一枚硬币的结果只有两种可能：正面或者反面。
因此，每种结果发生的概率都是1/2。
2. 组合计数组合计数是一种用于计算可能结果数量的方法。
在古典概型中，组合计数可以帮助我们确定总的可能结果的数量。
组合计数的基本原理是通过选择和排列的方式来确定结果的数量。
在计算组合计数时，有两种常见的方式：排列和组合。
排列是指从给定的元素集合中选择一部分元素并按照一定的顺序排列，而组合则是指从给定的元素集合中选择一部分元素但不考虑顺序。
组合计数的公式为C(n, k)，表示从n个元素中选择k个元素的可能情况数。
在计算组合计数时，可以使用以下公式进行计算：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。
3. 古典概型与组合计数的应用古典概型和组合计数在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些例子：- 抽奖活动：假设有10个人参加抽奖活动，其中只有一个中奖。
使用古典概型可以计算出每个人中奖的概率为1/10。
而使用组合计数可以计算出一共有多少种结果（即每个人中奖的可能数量）。
- 生日悖论：生日悖论是指在一个房间里，只需要多少人就能够有至少两个人生日相同的概率超过50%。
使用古典概型可以计算出其中一个人的生日与其他人生日都不相同的概率，然后用该概率的补集来计算至少两个人生日相同的概率。
概率知识与实际应用举例[摘要]随机现象存在于我们日常生活的方方面面和科学技术的各个领域，概率论是指导人们从事物表象看到其本质的一门科学。
日常生活我们在从事一些事项中，可以事先对所要做的事情用概率进行数量上的计算，从而作出科学的决策。
本文由现实生活中的部分现象探讨了概率知识的广泛应用。
[关键词]随机现象；概率；古典概型；应用实例分析一、随机现象自然界和社会上发生的现象是多种多样的．有些现象在一定条件下必然会发生或必然不会发生．例如，向上抛一石子必然下落；在标准大气压下，纯水加热到100。
c必然会沸腾；又如，在现有的生产条件下，水稻的亩产量超过5000kg 必然不会发生，等等，这类现象成为确定性现象．然而，在自然界和社会上还存在着另一类现象，例如，在相同条件下抛掷同一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，并且在每次抛掷之前无法预知抛掷的结果是什么；袋中有红、黄、绿色球各一个，现从中随意抽取一球，其结果可能是红球，也可能是黄球或绿球，在抽取之前无法确定取到什么颜色的球．这类在一定条件下时而出现这种结果，时而出现那种结果，并且事先无法预知确切的结果的现象称为随机现象。
对于随机现象，在个别几次观察或试验中其结果呈现出不确定性；然而，在大量重复观察或试验中其结果又呈现出明显的某种规律性．例如，大量重复抛掷同一枚硬币，出现正面朝上的次数与出现反面朝上的次数大致都是抛掷总次数的一半。
这种在大量重复观察或试验中出现的规律性称为统计规律性。
二、概率的统计定义及古典概型概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。
1、概率的统计定义在相同的条件下进行重复随机实验。
当实验次数充分大时，事件发生的可能性总在某一确定值附近摆动，而且随着实验次数的增多，这种摆动的幅度越来越小，则称为事件的概率。
2、概率的古典定义对于古典概型，若样本空间的样本点总数为，事件所含样本点数为，则事件的概率为。
比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。
一.随机事件和概率1、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件1A ，2A ，…有∑∞=∞==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)(i i i i A P A P Υ常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件A 的概率。
（2）古典概型（等可能概型）1° {}n ωωωΛ21,=Ω，2° nP P P n 1)()()(21===ωωωΛ。
设任一事件A ，它是由m ωωωΛ21,组成的，则有P(A)={})()()(21m ωωωΥΛΥΥ=)()()(21m P P P ωωω+++Λn m =基本事件总数所包含的基本事件数A =2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）(1)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)(2)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当B ⊂ A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P(B )=1- P(B)（3）条件概率和乘法公式定义 设A、B 是两个事件，且P(A)>0，则称)()(A P AB P 为事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率，记为=)/(A B P )()(A P AB P 。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
（4）全概公式设事件B 1, B 2,Λ , B n 满足1°B 1, B 2,Λ , B n两两互不相容，P (B i ) > 0(i = 1,2,Λ , n ) ，2°Υni iB A 1=⊂，则有)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++=Λ。
§3.频率与概率
1. 概率的统计定义
若条件实现了n 次，事件A 出现了A n 次，则称n
n A 为事件A 出现的频率。
例：掷硬币试验：
（1）设甲掷15次，正面5次，正面出现的频率为3
1155=， 乙掷20次，正面12次，正面出现的频率为5
32012=. （2）1000人，每人掷5次， 正面出现的频率可能有1,5
4,53,52,51,0； （3）1000人，每人掷20次， 正面出现的频率可能有,202,201,0…，1,20
19,2018， 频率会比较集中在20
12~208。
历史上的掷硬币试验（P6）：
频率具有稳定性。
事件A 的频率如果稳定在数值p 上，则称p 为事件A 的概率，记作)(A P 。
（或然率、几率）
2．概率的性质：
（1）1)(0≤≤A P ；
（事件A 出现的频率 10≤≤n
n A ） （2）1)(=S P ，0)(=φP ；
（必然事件出现的频率 1=n
n S ； 不可能事件出现的频率 0=
n φ ） （3 （B A B A n n n +=+，所以 n
n n n n n B A B A +=+ ） （4）若事件n A A A ,,,21 两两互不相容．．．．．．
（任意i ≠j ，有φ=j i A A ）
，则 )()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++ ；
（n
n A A A A A A n n n n +++=+++ 2121，所以 n n n
n n n n n n n
A A A A A A +++=+++ 2121 ）
（5）若A ⊂B ，则)()(B P A P ≤。
（B A n n ≤，所以 n
n n n B A ≤ ）
§4.古典概型
引例1：口袋中装着红、白、蓝三个球，从中任取一个球
}{1s ：“取到红球”
}{2s ：“取到白球” 基本事件
}{3s ：“取到蓝球”
“没取到红球”： }{}{32s s +，
“没取到白球”： }{}{31s s +，
“没取到蓝球”： }{}{21s s +，
“取到一个球”： }{}{}{321s s s ++。
引例2.掷一个骰子
}{i ω：“掷出的点数是i ”， 6,5,4,3,2,1=i 是基本事件。
“掷出奇数点”：}{}{}{531ωωω++，
“点数为小于5的偶数”：}{}{42ωω+.
一个随机现象，如果
（1）其基本事件的个数有限，
（2）这些基本事件出现的可能性大小相同，
则称这个随机现象属于古典概型。
设基本事件是}{,},{},{21n s s s ，条件实现时，这n 个事件必．出现一个且仅．
出现一个。
因此， S s s s n =+++}{}{}{21 ，
且这n 个事件两两互不相容，所以，
}){}{}({121n s s s P +++=
=})({})({})({21n s P s P s P +++ .
n 个事件出现的可能性大小相同，故
n
s P s P s P n 1})({})({})({21==== . 设事件}{}{}{21m k k k s s s A +++= ，
其中},,2,1{},,,{21n k k k m ⊂，
则)(A P = })({})({})({21m k k k s P s P s P +++ n
m = =A 包含的基本事件数/等可能的基本事件总数 例1.掷一枚硬币三次，求三次均为正面的概率。
:}{1ω正正正，:}{2ω正正反，:}{3ω正反正，:}{4ω正反反，:}{5ω反正正，:}{6ω反正反，:}{7ω反反正，:}{8ω反反反， 是等可能的基本事件。
事件A ：三次均为正面，即}{1ω=A ，8
1)(=A P . 例2.掷一个骰子，
事件A ：“点数为奇数”，
事件B ：“点数为小于5的偶数”，
求)(A P 和)(B P 。
解：}{i ω：“点数为i ”， 6,5,4,3,2,1=i 是等可能的基本事件，
A =}{}{}{531ωωω++， 2
163)(==∴A P , B =}{}{42ωω+， )(B P =3
162=. 例3：袋中装有5个白球，3个红球，从中任取．．4个，求“取到2个白球2个红球”（事件A ）的概率。
解：等可能的基本事件： 等可能的基本事件数：70!
4567848=⨯⨯⨯==C n ， 事件A 包含的基本事件数：303!
2452325=⨯⨯==C C m ， ∴ 7
37030)(===n m A P . 例4：袋中装有5个白球，3个红球，将这8个球一个一个地取出，求“第k 次取到红球”（事件k A ）的概率 （8,,1 =k ）。
解法一：①8
3)(1=A P ； ②
③
…
解法二：每个取球结果对应一个8个数字的全排列，例如：
3，6，2，1，7，5，4，8；
5，3，8，6，1，4，2，7；
… …
等可能的基本事件数： !8=n ，
事件1A 包含的基本事件数：!731⨯=m ，
8
3!8!73)(11=⨯==∴n m A P 一般的
事件k A 包含的基本事件数 !73⨯=m ，
8
3!8!73)(=⨯==∴n m A P k （8,,1 =k ）。
一般的，m 个白球，n 个红球，将球一一取出，则每次取到白球的概率为n m m +，每次取到红球的概率为n
m n +。
练习：袋中装有3个红球，5个蓝球，2个绿球。
将这10个球一个一个地取出，问“第四次取到红球”的概率是多少？
例5. 5只球随机放入10个盒子，求“每个盒子至多只有1只球”（事件A ）的概率。
解：等可能的基本事件数：5101010101010=⨯⨯⨯⨯=n ，
事件A 包含的基本事件数：510678910A m =⨯⨯⨯⨯=，
3024.010
)(5510===∴A n m A P . 某幢楼高11层。
有5个人自第一层进入电梯，且每人在2~11任意一层下电梯是等可能的。
则这5人在不同楼层下电梯的概率为：
551010
A =0.3024。
一般的（教材P11例3），n 只球随机放入)(n N N ≥个盒子，求“每个盒子至多只有1只球”（事件A ）的概率。
等可能的基本事件数：n N ，
事件A 包含的基本事件数：n N A ， n n N N
A A P =)( 练习：假设一个人的生日在一年的365天中每一天是等可能的。
30位同学的生日各不相同的可能性有多大？
例6：180只产品中有8只次品，现从中任意．．
抽验4只， （1）事件k A ：“4只中恰有k 只次品”（4,3,2,1,0=k ）
（2）事件B ：“4只中次品超过1只”
求;4,3,2,1,0),(=k A P k )(B P .
解：等可能的基本事件数： 4180C n =，
（1）事件k A 包含的基本事件数： k k k C C m -=41728
，
4180
41728)(C C C n m A P k k k k -==∴，
（2）B =432A A A ++，
其中432,,A A A 两两互不相容．．．．．．
，所以， ≈++=)()()()(432A P A P A P B P 0.01 教材P14实际推断原理：
小概率事件在一次试验中几乎不会出现。
“整批产品次品≤8只”
“抽验得次品超过1只”是小概率事件。
