关于利用达朗贝尔原理求解运动学问题的方法讨论

存在平衡与不平衡两种， 因此关于刚体的运动学问题，也包括了静力学问题和动 力学问题： 静力学问题：F = 0 动力学问题：F ≠ 0 F = ma 动力学问题的方程可变为： 、 则 F + Fl = 0 则动力学问题和动力学方程就变成了形式上的静力学问题，即平衡问题，我 们把Fl 看作虚加在质点上的力，大小为 Fl = ma，方向与刚体的加速度相反，我 们称其为惯性力。即，对非平衡的质点，若虚加上惯性力，则转化为形式上的平 衡问题，即质点所受主动力，约束力和惯性力组成形式上的平衡力系，可像静力 学一样列写平衡方程，并求解。 （2）刚体的惯性力：由于刚体是由无穷多质点所组成的，如果对每一个质 点都列写该质点的平衡方程进而求解刚体的运动特性，显然不符合实际，因此， 对于刚体，我们需要对其进行简化。 ①平动刚体 惯性力系 对其向质心点简化： 惯性力：Fl = Fli = （ − mi ac ） = −Mac 即Fl = − Mac Fli = − mi ac 图一 F − ma = 0 设 Fl = − ma
性力矩。 而支座的约束力与两惯性力构成平衡力系， 进而可以求出支座的约束力， 其方向与惯性力系方向相反，且大小与其相等。
参考文献：[1]水小平， 《理论力学》 ，北京，兵器工业出版社，2009 [2]周照宣， 《理论力学》 ，北京，北京大学出版社，1992 [3]郭玉翠， 《数学物理方法》 ，北京，清华大学出版社，2006
关于利用达朗贝尔原理求解运动学问题的方法讨论
于易生 1120103346 03111003 摘要：本文首先通过对如何求解复杂运动学问题提出疑问，通过相关查阅，论述 了通过利用达朗贝尔原理求解一般运动学问题中的速度，加速度，能量和力的一 般方法。 达朗贝尔原理的定义为：作用于一个物理的外力于动力的反作用力之和 等于零。 通过对刚体运动加速度的分析， 在其上施加达朗贝尔反向惯性力矩和力， 使刚体达到平衡态， 再通过求解关于刚体的平衡方程，进而求解一般动力学问题 的方法。
惯性力矩 Mic = −Ic ε 所以，对于平面运动刚体的惯性力是：作用在质心上的惯性力和作用在刚体 上的惯性力矩。 三：利用达朗贝尔原理解决运动问题的一般方法 利用达朗贝尔原理，我们可以很方便的解决一般的运动学问题。 解题思路： （一） 首先，取所要分析的物体进行受力分析与运动分析，求出对应的 线加速度与角加速度，约束力与约束力矩。 （二） （三） 画受力分析图， 包括刚体所受的主动力， 约束力， 和惯性力 （矩） 列解刚体的静力学平衡方程
则可推出惯性力系为 Fiτ = mri ε
2 Fan i = mri w
通过分别向轴 O 的简化与向质心简化的分析，可得出以 下结果 对向轴 O 简化：惯性力为 Fiτ = −Maτ c 惯性力矩为 Mio = −Io ε (如图二) 对向质心简化：惯性力 （与向轴 O 简化相同） 惯性力矩 Mic = −Ic ε (如图三) ③平面运动刚体 对于在平面内既做平面平动又绕某一轴做转动的刚体， 我们称之为平面运动刚体。 向质心点简化后：可得惯性力 Fl = − Mac 图三 图二 Fin = −Man c
关键词：达朗贝尔原理，动静法，惯性力
正文： 一：达朗贝尔原理的诞生和延续： 达朗贝尔在其物理学著作《动力学》一书中，提出了达朗贝尔原理，它与牛 顿第二定律相似， 但它的发展在于可以把动力学问题转化为静力学问题处理，还 可以用平面静力的方法分析刚体的平面运动， 这一原理使一些力学问题的分析简 单化，而且为分析力学的创立打下了基础。 书中， 达朗贝尔还对当时运动量度的争论提出了自己的看法，他认为两种量 度是等价的， 并模糊的提出了物体动量的变化与力的作用时间有关。牛顿是最早 开始系统研究流体力学的科学家， 但达朗贝尔则为流体力学成为一门学科打下了 基础。1752 年，达朗贝尔第一次用微分方程表示场，同时提出了著名的达朗贝 尔原理——流体力学的一个原理，虽然这一原理存在一些问题，但是达朗贝尔第 一次提出了流体速度和加速度分量的概念。 十八世纪， 牛顿运动理论已经不能完善的解释月球的运动原理了。达朗贝尔 开始涉足这一领域， 用他的力学的知识为天文学领域做出了重要贡献。同时达朗 贝尔发现了流体自转时平衡形式的一般结果，关于地球形状和自传的理论。发表 了关于春分点、 岁差和章动的论文， 为天体力学的形成和发展做出了奠定了基础。 二：达朗贝尔原理描述 （1）质点的惯性力：根据牛顿第二定律，我们可以得出，刚体的运动状态
惯性力矩：M − Mrc ∗ ac = 0;
所以，平动刚体的惯性力只有作用在质心上的惯性力，大小等于Mac ，方 向与ac 方向相反(如图一) ②转动刚体 只讨论平面情况，即垂直于质量对称面之轴 O 的刚体。
n 2 对任意质点：aτ i = ri ε a i = ri w
注意：在画图时，对惯性力（矩） ，总应按照质心加速度和刚体角加速度的 相反方向画出惯性力（矩） 。 例：质量为 m,半径为 R 的均质圆盘 C，绕其边缘一点 O 转动，设在图示瞬时 的角速度为 w，角加速度为 a，求此时圆板惯性力系向 C 点简化的结果，并求支 座约束力。 如图所示：
n n 2 2 其中Fiτ = maτ c R与Fi = mw R为刚体的惯性力，Mi = (mR a)/2为刚体的惯