圆(二)弧、弦与圆心角和圆周角讲义

圆（二）---弦、弧、圆心角与圆周角知识点一弦、弧、圆心角要点：（1）在同圆或等圆中：等弧−−→←−−对应的弦相等−−→←−−对应的圆心角相等；（2）圆中，一条弧占整圆的比例与其所对的圆心角与整个圆周（即360︒）的比例一致；（3）应用中注意理解弦、弧、圆心角的对应关系，注意两条半径与一条弦构成的“等腰三角形”的应用，可以得到相等的角。

注：弧的长度与其对应的圆心角有一定的比例对应关系，即在⊙O中，22AB CD AOB COD=⇔∠=∠；但是弧的长度与其对应的弦没有这种对应关系，即在⊙O中，22AB CD AB CD=⇔=是不成立的。

典例分析急速入门1、下列说法正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等2、如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=350，求∠AOE的度数。

3、如图，在⊙O中，AC=BD，∠COD=400，求∠AOB的度数。

BA夯实基础4、如图，在⊙O 中，5ACB AB =，则AOC ∠的度数是（ ）A 、30︒B 、50︒C 、60︒D 、90︒4题图 5题图5、 如图，在⊙O 中，AB BC =，60B ∠=︒，则AOC ∠的度数是（ ）A 、90︒B 、120︒C 、130︒D 、150︒6、如图，在⊙O 中，C AB 是的中点，20BAC ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A 、30︒B 、40︒C 、50︒D 、60︒6题图 7题图7、如图，在⊙O 中，B 、D 是劣弧AC 三等分点，下列结论：①AB AC =;②OD BC ⊥;③AB DC =；④2BC AB =；⑤ 2AD CD =中，正确的个数是（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D5个能力训练8、如图，在⊙O 中，AB BC =，D 是AB 的中点，下列结论错误的是（ ） A 、AOD BOD ∠=∠ B 、AD BD = C 、2BC AD = D 、2BOC BOD ∠=∠8题图9题图 9、如图，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C D 、，已知4,2,AB CD ==点O 到AB 的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）A 、3:2B 2CD 、5:410、如图，在半径为2cm 的⊙O 中，弦AB 的长为，则此弦所对的圆心角AOB ∠的度数为（ ）A 、60︒B 、90︒C 、120︒D 、150︒10题图 11题图11、如图，以ABCD 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 过点C ，若70,AOC ∠=︒则BAC ∠的度数为 。

12、如图，分别以A 、B 为圆心，线段AB 的长为半径的两个圆相交于C 、D 两点，则CAD ∠的度数为 。

13、在⊙O 中，点A B 、、C 是圆上三个点，且弦AB BC AC ===6,则⊙O 的半径是 。

B14、如图，CD 是⊙O 的直径，13AN CD =，点B 是AD 的中点，P CD 点是直径上动点，⊙O的半径为1，则PA PB +的最小值是 。

拓展提升15、如图，已知在⊙O 中，AD 是⊙O 的直径，BC 是弦，,AD BC E ⊥为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？（要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论）16、如图所示，AB 是⊙O 的弦，C 、D 为弦AB 上的两点，且OC=OD ，延长OC ，OD ，分别交⊙O 于点E ，F.试证：.AE BF =17、如图，⊙1O 和⊙2O 是等圆，P 是12O O 的中点，过P 作直线AD 交⊙1O 于,A B 、交⊙2O 于,.C D AB CD =、求证：18、如图，AB 是⊙O 的直径，,60.AC CD COD =∠=︒C（1）AOC ∆是等边三角形吗？请说明理由； （2）求证：//.OC BD知识点二 圆周角 要点：（1）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一一半.(3)圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径。

（4）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的内接圆. (5)圆内接四边形的对角互补。

快速入门1、如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC 的度数是（ ） A ．35︒ B ．140︒ C ．70︒ D ．70140︒︒或1题图 2题图 3题图2如图，已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，∠ABC=28°，那么∠BAD=（ ） A ．28°B ．42°C ．56°D ．84°3、如图，四边形ABCD 内接于O 中，80C ∠=︒，则D ∠的度数是（ ） A ．80︒ B ．100︒ C ．110︒ D ．120︒ 夯实基础4、如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠DCF=20°，则∠EOD 等于（ ）OD BAO B CAA．10°B．20°C．40°D．80°4题图 5题图 6题图5、如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．60°6、如图，已知AB为⊙O的直径，∠CAB=30°，则∠D的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．80°7、如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．75°7题图 8题图 9题图8、将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（）A．15°B．28°C．29°D．34°9、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD=100°，则∠DCE的度数为（）A．40°B．60°C．50°D．80°能力训练10、如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（）A．2对B．4对C．6对D．8对10题图 11题图 12题图11、如图，在⊙O中，∠A=35°，∠E=40°，则∠BOD的度数（）A．75°B．80°C．135°D．150°12、如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC=80°，则∠ABC的度数为（）A．100°B．120°C．140°D．160°13、如图，已知AB是半圆O的直径，∠BAC=32°，D是AC的中点，那么∠DAC 的度数是（）A．25°B．29°C．30°D．32°13题图 14题图14、如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A．215 B．8 C．210 D．21315、如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC= 度．15题图 16题图 17题图16、如图，⊙O直径AB=8，∠CBD=30°，则CD= ．17、如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是度．18、如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径．若AC=3，则DE= ．18题图 19题图19、如图，过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A=63°，那么∠B= ．20、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．20、如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．（1）求∠B的大小；（2）已知圆心0到BD的距离为3，求AD的长．拓展训练21、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA 与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长．22、如图，在△ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点．（1）求证：△ABC为等边三角形；（2）求DE的长；（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．终极挑战23、正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．（1）如图①，若点E在AB上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：-= .请你说明理由；2DE BE AE（3）如图②，若点E在AD上．写出线段DE、BE、AE之间的等量关系．（不必证明）。