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浅谈高等代数在中学数学中的活跃性探究高等代数是学习数学与研究数学的基础必备科目之一，它是初等代数的延伸。
其中，高等代数的一些思想、方法和理论观点都可以运用到中学数学中来解题；从知识方面和思想方面来讲，高等数学与中学数学的联系是紧密的，可以将高等代数中浅显的知识点直接运用到中学数学中，起到简化运算的目的，例如多项式的理论应用与矩阵等，本文笔者将从几道典例来浅析高等代数与中学数学的實质联系。
运用高等代数的视角去剖析高等数学与中学数学之间的联系是很有必要的策略，进而能使学生以中学式思维方式向高等数学思维方式转变。
作为教师，应该熟知中学教学的所有内容，能利用高等数学的一些观点灌输给学生一些思想和方法，进而能促进知识的深化。
1 高等代数与中学数学在知识方面的联系1.1 行列式的应用虽然矩阵与变换为人教版新课标高中数学课本选修模块系列中，但是，对于一些典型的问题，在许多考试中有着命题基础，例如求函数的解析式，因式分解等等，笔者就给出一道例题，已知函数，满足，，，，求.分析由已知条件得把上式看成关于，，，的方程组，它的系数行列式为范德蒙行列式，由行列式与线性方程组的理论，可得，，，，即.1.2 柯西不等式的应用在欧氏空间里，取，时，就有柯西不等式：对任意实数组和，有.当且仅当时，上式的等号成立，特别的，时，有.例已知为内一点，，，，点到的三边，，的距离分别为，，.求证：.证明由题意知，要证明结论成立，只需证，由柯西不等式得，上式显然成立，所以.1.3 二次型的应用定理设元二次型，则在条件下的大（小）值恰为矩阵的最大（小）特征值.例设，且满足，求的最大值与最小值.分析：二次型的矩阵，则，解得，，于是由以上定理可得，在下的最大值为，最小值.2 教学启示现阶段中学教师很少在课堂教学上涉及到高等数学的知识和观点，这些教师在认知上存在一些误区，比如认为高等数学的知识用不到中学数学课堂教学中，而中学数学的程度抽象化是无法与高等代数相比拟的。
浅析高等代数与中学数学的关联作者：方次军来源：《新校园·上旬刊》2013年第04期摘要：本文分析了高等代数与中学数学在知识方面的联系，找出其在知识上的众多关联。
高等代数在思想内容上是中学数学的因袭和扩展，在观念上是中学数学的深化和发展，更具抽象化和归一化。
关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；数学观念信计专业从大学一年级就开设了高等代数课程。
它是大学数学专业的重要的基础课程，也是学生感到比较抽象难学的课程，需要学生初步地掌握基本、系统的代数知识和抽象、严格的代数方法。
在近几年的教学中，笔者发现高等代数教学一直存在着如下的问题：一方面，由于高等代数的抽象性且与中学知识难以直接衔接，不少大一学生一接触到高等代数课程，就会产生畏难情绪；另一方面，由于高等数学理论与中学教学脱节，许多学生会感到有点不知所措。
不少学生普遍感到这门课程“难学”，上课能听懂，但习题“难做”，似乎无规律可循。
为了解决上述问题，笔者从知识内容和思想方法上将高等代数课程与中学数学进行比较。
通过比较后发现：高等代数课程在知识上是中学数学的继续和提高，在思想内容上是中学数学的因袭和扩展，在观念上是中学数学的深化和发展。
在教学中，教师要尽量注意到新旧知识的衔接和中学知识的延伸，通过具体的、深入浅出的讲解，提高学生的学习兴趣。
这样，高等数学类课程的学习难度就会大大降低。
一、高等数学类课程与中学数学在知识方面的联系中学代数中讲过多项式的加、减、乘、除运算法则和因式分解的一些常用方法，如求根法和十字相乘法等。
高等代数在第一章多项式中就拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数，在加法、乘法运算的基础上给出了多项式环的概念。
接着讲了多项式的整除理论及最大公因式理论，用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式与唯一因式分解的存在和唯一性定理，分别给出了复数系、实数系和有理数系的因式分解中学代数讲过一元一次、二元一次、三元一次方程组的解法，特别是二元一次方程。
毕业论文文献综述数学与应用数学高等代数对中学代数的指导作用一、前言部分人们常有一种片面的观点, 认为高校里所学的专业知识在中学数学教学中几乎无用. 甚至有些中学数学教师和师范院校数学系的学生认为学习高等数学对于中学数学教学作用不大。
其实高等数学知识在开阔中学教师的视野、指导中学数学解题等方面有很大的作用.我们还认为要把初等数学教好, 不仅要学习高等数学, 而且还一定要学“好”。
学“好”高等数学是指不仅要学习它的定理和方法, 更重要的是要学习它的“观点” ,也即必须掌握高等数学处理问题的特点, 并且将这些观点应用在处理初等数学的问题与教学中去。
众所周知, 我们可以用求导数的方法来求函数的极值, 用微分学中值定理来证明一些不等式、用行列式来求线性方程组的解、用空间解析几何来解立体几何的一些问题。
可能有些同志会说即使熟练地掌握了这些内容, 也不能对中学生讲, 因而在初等数学教学工作中还是用不上。
但是, 我们应该注意到, 学好高等数学不仅要学会这些方法, 而且要了解这些方法的精神实质以及为什么要这样处理问题。
这一切都将成为从事初等数学教学工作的指导思想。
我们可以用高等数学中的一些观点引伸出解初等数学问题的某些技巧, 这些方法是完全初等的, 可以为中学生所接受的, 而应用这些方法都可以将相当数量的、表面上看来完全无关的初等数学问题用儿乎相同的方法解出。
高等数学类课程在知识上是中学数学的继续和提高，在思想方法上是中学数学的因素和扩张，在观念上是中学数学的深化和发展。
高等代数与中学数学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想、公理化方法等方法。
注意与中学数学的联系对比，不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学的指导作用。
通过研究高等代数与中学数学的联系、区别，探讨高等代数对中学数学的指导,可以更好的学习高等代数和中学数学。
二、主题部分高等代数与中学代数是一脉相承的，是相辅相成的，高等代数是中学代数的深化与进一步研究，中学代数是中学生学习的比较简单基础的高等代数，已有许多教学第一线的教学工作者和数学家及相关研究人员，从不同的角度对高等代数与中学代数的关系。
高师院校高等代数与中学数学知识教学的衔接问题作者：白秀琴来源：《神州·上旬刊》2020年第06期摘要：高等代数是师范院校数学与应用数学专业的一门重要的基础课程，也是中学数学的继续和提高。
在教学过程中利用中学数学知识启发引导学生探讨高等代数的相关内容，既有利于学生巩固中学数学知识，又有利于学生认识学习高等代数的重要性，同时为学生学习后继课程及今后从事中学数学教育教学工作奠定一定的基础。
关键词：高等代数;中学数学;教学高等代数在高师院校数学专业课程中占有重要地位，是现代数学的基础，在高等代数学习过程中，很多学生都反映很难，主要是因为高等代数非常的抽象，另一个重要的原因就是，高等代数和高中数学教学出现了脱节的问题。
如何处理好目前高等代数与高中数学两级教学脱节的问题，已经成为高师院校数学教育工作者必须解决的问题。
1.高等代数课程与高中数学脱节的主要体现1.1 课程在内容上的脱节在实行了新课标以后，高中数学教学在课程方面有了很大的变化，作为后续教学中的高等代数教材还是在使用以前的教材，这样在内容方面就会出现很大的变化，对高中教学中出现的变化没有及时进行更新，导致了教学中出现了严重脱节的问题。
在高中数学课程中，教师对于一些知识讲解的不详细，而大学教师在教学过程中认为学生在高中对这些知识点已经进行了学习，因此，在教学过程中只是进行简单的回顾，这样就导致了学生在学习过程中出现了知识结构断带的情况。
如中学新课标把复数的运算及性质这些知识点放在选修模块中，大部分中学老师仅仅讲解复数的概念，对于其运算和性质几乎不讲，这势必导致新课标下的大一新生在学习高等代数的多项式理论和欧氏空间理论时遇到困惑;1.2 课程在思想方法上的脱节高中数学教学中对静态的思想比较重视，对于动态的观念很少涉及。
在高中数学教学中，通常都是先进行定义的讲解，然后对例题进行分析，其思想是就事论事，在内容方面都是静态的理解。
高等代数这门课程在整体上却是动态的，但是，在具体内容方面却是静态的。
从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系
首先，高等代数和中学数学都是数学的一部分，它们都基于数学的基
本概念和性质展开研究。
无论是高等代数还是中学数学，都涉及因式分解、运算规则、代数方程、几何图形等基本概念。
学习中学数学的时候，学生
们已经接触过代数方程的解法、数列的求和、几何图形的性质等知识，这
些知识都包含了高等代数的基础概念和性质。
其次，高等代数提供了更为抽象和一般化的数学方法，而中学数学则
更加注重具体问题的解决。
在高等代数中，通过引入向量空间、线性映射
等概念，可以将不同学科领域的问题抽象为一个个矩阵或向量的运算问题，从而用更通用的方法来解决。
而在中学数学中，更多地是通过具体的例子
和问题来引导学生学习，注重运用知识解决实际问题。
此外，高等代数的一些概念和方法在中学数学中也有所应用。
例如，
矩阵的乘法在高等代数中是一个重要的概念和运算方法，而在中学数学中，矩阵的乘法被应用于几何变换的研究中，如平移、旋转、缩放等。
同样，
高等代数中的行列式和特征值也有在中学数学中的应用，如解二元一次方
程组、矩阵的对角化等。
最后，学习高等代数可以加深对中学数学的理解和应用。
高等代数涉
及的概念和方法更加抽象和一般化，学习高等代数可以帮助学生更好地理
解和应用中学数学中的一些基本概念和性质。
通过学习高等代数，学生可
以更深入地了解中学数学中的代数、几何和概率等知识，从而提高数学素
养和解决实际问题的能力。
高等代数与高中数学的联系与区别高等代数与高中数学（尤其是其中的代数部分）之间存在着紧密的联系和显著的区别。
以下是对二者关系的一个简要概括：联系：1. 基础概念的延续：高等代数是建立在高中数学基础上的，许多基本概念如线性方程组、矩阵、行列式、向量、群论等，在高中数学中都有初步的介绍。
例如，中学阶段会学习到一元和二元一次方程组的解法，这是高等代数中线性方程组理论的基础。
2. 函数和数列的深化：高中数学涉及函数的基本性质、运算及其图像表示，以及数列的概念、极限和递推公式等内容。
在高等代数中，这些内容将进一步拓展，包括但不限于多项式函数的更深层次分析、线性空间中的函数和序列，以及迭代方法等。
3. 几何直观到抽象结构：解析几何在高中数学中有详细阐述，这为高等代数中的坐标变换、向量空间和线性映射提供了直观背景。
在高等代数中，这些几何概念被抽象化为更一般的代数结构。
4. 问题解决策略：中学代数训练了逻辑推理能力和问题解决技巧，这些技能对于理解高等代数中的复杂概念和证明过程至关重要。
区别：1. 抽象程度加深：高等代数相较于高中数学更为抽象，它不再局限于具体的数值计算或几何图形的研究，而是研究更一般化的代数结构和系统，比如群、环、域、模等。
2. 理论体系完备：高等代数构建了一套完整的理论框架，包括集合论基础、线性代数、群论、环论和域论等，而高中数学主要关注具体操作和应用。
3. 深度和广度提升：高等代数不仅对已有的概念进行深入探讨，还引入了许多新的概念和定理，并且运用公理化方法构建整个数学分支。
比如，矩阵论在高中仅限于初等操作和简单性质，而在高等代数中则涉及到特征值、特征向量、相似变换等丰富内容。
4. 证明与推理强化：高等代数更加注重数学证明和严密的逻辑推理，要求学生具备较强的逻辑思维能力及形式化表达能力，而高中数学虽然也会涉及一些简单的证明，但通常不会像高等代数那样强调严谨性和抽象性。
综上所述，高等代数是在高中数学的基础上进一步发展的，它更加强调抽象思考、理论体系的构建以及严格的逻辑推理，旨在培养学生的高级数学思维和解决问题的能力。
高等代数在中学数学中的一些应用高等代数是高中和大学数学教材中的一个重要部分，尤其是研究高等教育的学生，更应该了解高等代数的基础理论和一些常用的计算方法。
近年来，随着中学数学教育的不断更新，高等代数在中学数学中的应用越来越广泛，它已经成为中学数学教学的重要内容。
首先，高等代数在中学数学中的应用非常重要。
高等代数的主要课程内容包括多项式的计算、方程的求解以及曲线的研究。
由于这些课程内容都是有关数学的基础知识，所以学习者需要努力学习，并以正确的态度面对它们，以便更好地发挥其作用。
其次，高等代数在中学数学中的应用也包括抽象代数。
抽象代数是一门计算数学的分支，它涉及数论、群论、环论以及各种其他理论，对中学学生来说，学习这门课程可以让他们了解数学的抽象性，并开拓他们的思维方式。
此外，高等代数的一些基本概念也被应用到中学数学中。
首先是函数的概念，函数是一种关系，它可以把一个变量的取值和另一个变量的取值结合起来，它可以用来描述实际应用中遇到的一些数学模型，有助于学生更好地理解数学中的问题及其复杂性。
其次是极限概念，极限是指一个变量接近某个值时，该变量值的变化率趋近于零。
它可以帮助学生研究函数的行为趋势，因此可以研究函数的有效取值范围，从而推理出函数的解析解。
最后，高等代数在中学数学中的应用还包括高等数学的研究方法。
高等数学的研究方法包括专业的统计分析技术、立体几何的研究和多元函数分析等，可以帮助学生更好地理解和解决实际问题。
同时，这些研究方法也可以把学生带到数学的前沿，让他们接触最新的数学理论和发展动态，这对促进学生数学思维能力的发展也是非常重要的。
综上所述，高等代数在中学数学教学中有着广泛而重要的应用，它可以不仅帮助学生更好地理解基础知识，还可以更深入地研究函数、极限和高等数学的研究方法，从而更好的运用数学概念，推动中学数学教学的发展。
高等代数在中学数学中的一些应用
高等代数是一门研究变量、函数和关系的数学，用于探索和解决复杂的问题，主要涉及分析、几何和代数的基本原理，是应用数学的有效工具之一。
高等代数在中学数学中有着广泛的应用。
高等代数在中学数学中最广泛的应用是分析函数。
函数是一种多变量表示内容，这种表示可以帮助学生更好地理解结构和语义，从而用来求解问题。
使用高等代数可以更好地应用函数。
例如，中学学生可以使用高等代数的技术来求函数的导数和定义域，以及了解函数的性质和行为。
此外，高等代数在中学数学中还有广泛的应用。
当学生学习几何时，可以使用高等代数的技术求解凸包和若干几何问题，进而推导几何变换。
在解非线性方程组问题时，学生也可以运用高等代数的技巧，有助于理解抽象性和复杂性道理。
另外，高等代数还可以让学生更好地理解统计和概率。
其中，概率理论是有多变量分布等复杂模型的数学建模，可以用线性代数和高等代数解决复杂问题。
此外，学生还可以学习多元分析中的多项式，从而帮助他们了解数据的方差和相关性等。
总之，高等代数是中学数学的重要组成部分，它的应用场景非常广泛，能够为学生解决许多问题。
当学生要求解复杂的函数、凸包或分析多变量分布时，都能使用高等代数的基本原理，有效的解决问题，辅助理解抽象性和复杂性的道理。
高等代数对中学数学的指导意义
高等代数对中学数学的指导意义主要体现在以下几个方面：
1. 培养抽象思维能力：高等代数是数学中的一个重要分支，它通过抽象的符号和概念，研究代数结构及其性质。
学习高等代数可以培养学生的抽象思维能力，帮助他们建立起抽象概念和符号的联系，从而更好地理解和应用数学知识。
2. 深化对数学概念的理解：高等代数中的概念和理论往往是中学数学的深化和延伸，通过学习高等代数可以更深入地理解中学数学中的一些概念，如向量、矩阵等，并且为后续学习提供更加坚实的基础。
3. 培养逻辑思维和证明能力：高等代数中的定理和证明是数学思维的重要组成部分，学习高等代数可以培养学生的逻辑思维和证明能力。
通过解决高等代数中的问题和证明定理，学生可以锻炼自己的推理和证明能力，提高解决问题的能力。
4. 拓宽数学应用领域：高等代数是应用数学的重要工具，在物理、工程、计算机科学等领域有广泛的应用。
学习高等代数可以帮助学生了解和掌握一些数学工具和方法，为将来的学习和职业发展打下基础。
总之，高等代数对中学数学的指导意义主要体现在培养学生的抽象思维能力、深化数学概念的理解、培养逻辑思维和证明能力以及拓宽数学应用领域等方面。
通过学习高等代数，学生可以更好地理解和应用数学知识，为将来的学习和职业发展奠定坚实的基础。
高等代数与中学数学的联系-精品2020-12-12【关键字】情况、思路、方法、条件、空间、领域、传统、地方、认识、问题、系统、有效、深入、充分、整体、现代、发展、加深、建立、发现、研究、措施、特点、关键、格局、内涵、思想、成果、基础、需要、体系、能力、方式、作用、标准、结构、水平、任务、反映、关系、分析、简化、激发、形成、拓展、丰富、满足、严格、引导、指导、帮助、支持、教育、解决、完善、促进、扩大、改革、实现、提高、转变、推动、深化、改进、规范、多方面、结摘要 (I)Abstract (I)1 引言 (1)2 知识方面的联系 (1)2．1多项式理论的应用 (1)2．2行列式的应用 (2)2．3柯西不等式的应用 (3)2．4二次型的应用 (4)3 思想方面的联系 (4)3．1符号化思想 (4)3．2分类思想 (5)3．3化归与转化思想 (5)3．4结构思想 (6)3．5公理化方法 (6)3．6坐标方法 (6)3．7构造性方法 (7)4 观念方面的联系 (7)结束语 (8)参考文献 (8)致谢 (10)摘要：运用高等代数的理论、方法、思想与观点剖析和阐述中学数学相关内容的若干问题，通过若干典型试题的解析，从知识方面、思想方面以及观念方面研究了高等代数与中学数学的联系，探索高等数学观点对中学数学一些教学内容的理论依据，深化与发展高等代数在中学数学的相关内容，促进高等代数在中学数学领域的应用，探求二者的内在的联系，以便高等代数能与中学数学完美的结合．关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；应用Abstract: The problems related to elementary mathematics are analyzed and explained by using the theory，method，thoughts and views of higher algebra．Through analyzing some typical test questions，the relation between higher algebras and elementary mathematics are investigated from the aspects of knowledge、thought and idea. Exploring the higher mathematics view to middle school mathematics some teaching content theory and model，deepening and development in higher algebra in middle school mathematics related content，and promote higher algebra in the middle school mathematics field of application，and to explore the inner link，so that higher algebra can be combined with the middle school closely．Keywords: higher Algebra；middle school mathematics；mathematical thinking；application1 引言高等代数作为数学专业的主干专业基础课之一，是初等代数的延伸与提高．运用高等代数的望远镜和显微镜剖析各类高等数学课程与中学数学之间的关联是一项长期有效的措施]1[．以实现中学式思维方式向大学式思维方式的过度与转变为目标，引导学生在二者之间建立一座桥梁．教师方面，有利于帮助中学教师融会贯通中学教学的相关内容，让中学教师利用高等数学的相关理论、方法与观点解决中学数学的相关问题，以上位者的姿态理解中学教学内容的本源，知其所以然，促进知识的深化；学生方面，也能激发学生的学习兴趣，扩大高等数学知识在中学教学中的应用面，加深高等代数知识与中学数学的关联．在理解中学数学与高等代数之间的联系后，中学教师能更好地展开相关教学工作，学生能更好地完成相关教学任务．本文将从数学知识、数学思想、数学观点三个层面研究高等代数与中学数学的联系]2[．2 知识方面的联系2．1 多项式理论的应用作为高等数学主要内容之一的多项式理论，它与中学代数有着密不可分的关联．利用多项式理论解决了中学数学中的诸多遗留难题，如多项式的根与因式分解理论，由此可见，高等代数知识对解决中学的中学代数问题有着“居高临下”的作用．例1 多项式17345)(234+-+-=x x x x x f ，当142==x x 时，求此多项式的值．解 将条件等式变形为142=-x x ，由)(1x f ，所以)(42x f x x -．由多项式除法，得173)4)(()(22+---=x x x x x x f ，再将142=-x x 代入上式，可得18174)(2=+-=x x x f ．例2 已知c b a 、、 为整数，且满足a c cb b a ++与c b b c c a ++均为整数，求证c b a ==． 证明 设))()(()(ac x c b x b a x x f ---=． 于是1)()()(23-+++++-=x ab bc c a x a c c b b a x x f ． 由已知条件知)(x f 是首项系数为1的整系数多项式，且b a ，c b ，ac 均为它的三个有理整数根，又因为它们的乘积为1，所以1===ac c b b a ，故c b a ==． 2．2 行列式的应用 “矩阵与变换”作为普通高中新课改的选修模块之一]3[，在历年高考中有着广泛的命题基础，包含了中学数学中一些典型问题，如求函数的解析式，多项式的因式分解等问题，若能在解题中适当利用行列式知识，这些问题往往可以迎刃而解．例3 已知函数d cx bx ax x f +++=23)(，满足0)1(=-f ，6)1(-=f ，9)2(-=f ，4)3(-=f ，求)(x f ．解 由已知条件，得把上式看成关于a ，b ，c ，d 的方程组，它的系数行列式为范德蒙行列式1333122211111)1()1()1(23232323---， 由行列式与线性方程组的理论，可得1=a ，2-=b ，4-=c ，1-=d ，即142)(23---=x x x x f ．例4 试分解多项式xyz z y x 3333-++．解 构造一个行列式D ，使它等于此多项式，即xyz z y x xz yy x zz y xD 3333-++==． 而 222=()()x y z x y z xy yz zx ++++---．所以，xyz z y x 3333-++可分解为：))((222zx yz xy z y x z y x ---++++．此外，当系数行列式不等于零时，可以利用行列式给出线性方程组的解；已知顶点坐标或三边方程，就可以利用行列式表示三角形面积]4[；利用行列式也可求直线﹑平面的方程等等．2．3 柯西不等式的应用定理]5[1（柯西-施瓦茨不等式）在欧氏空间里，对于任意向量ξ，η有不等式〉〈〉〈≤〉〈ηηξξηξ， ，，2，当且仅当ξ与η线性相关时，等号成立．在欧氏空间n R 里，取)…(21n a a a ，， ，=ξ，)...(21n b b b ，， ，＝η时，就有 柯西不等式 对任意实数组n a a a ，， ，…21和n b b b ，， ，...21，有 ≤+++22211)…(n n b a b a b a )...)(…(222212n 2221n b b b a a a ++++++． 当且仅当)21(， ==i kb a i i 时，上式的等号成立． 特别的，)…21(1n i b i ，， ， ==时，有 )…()…(2n 2221221a a a n a a a n +++≤+++．所以，柯西不等式作为高等代数的重要内容之一，是初等数学与高等代数的重要结合点之一，也是柯西-施瓦茨不等式在欧氏空间n R 中的具体体现，运用柯西不等式解决中学中的相关问题，有时会显得直接明了．例5 已知P 为ABC ∆内一点，a BC =，b CA =，c AB =，点P 到ABC ∆的三边BC ，CA ，AB 的距离分别为1d ，2d ，3d ．求证：ABCS c b a d c d b d a ∆++≥++2)(2321． 证明 由题意知3212cd bd ad S ABC ++=∆，要证明结论成立，只需证2321321)())((c b a cd bd ad d c d b d a ++≥++++， 由柯西不等式得，上式显然成立，所以ABCS c b a d c d b d a ∆++≥++2)(2321． 2．4 二次型的应用作为高等代数的重要内容之一的二次型，在数学与物理领域都有着广泛运用，在一些相关数学问题中，巧用二次型知识解决中学数学中的一些难题，往往可以起到事半功倍的效果．定理]6[ 设n 元二次型'()f x x Ax =，则f 在条件112=∑=ni i X 下的大（小）值恰为矩阵A的最大（小）特征值．例6 设2232)(y xy x x f ++=，且满足122=+y x ，求)(x f 的最大值与最小值．解 二次型),(y x f 的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3111A ，则 2431112+-=----=-λλλλλA I ， 解得221+=λ，222-=λ，于是由以上定理可得，)(x f 在122=+y x 下的最大值为22+，最小值22-．3 思想方面的联系3．1 符号化思想原始的符号作为记录的工具，为人类发展做出了巨大的贡献，而数学的发展是离不开符号的发展的．最初的人类从具体数量中抽象出数字，并以此制订了运算法则，在此基础上不断发展，使用字母符号表示数，延伸出多项式，使用各种符号创建出抽象的代数系统，如：向量空间、欧氏空间…相应的，随着抽象程度的提高，也大大丰富了数学的研究对象．例7 设集合}){(R y x y x ∈=Ω，，，规定：（1）），（000=；（2）当且仅当21x x =，21y y =时，)()(2211y x y x ，，=．在Ω上定义运算“⊗”：21212211)()(y y x x y x y x +=⊗，，，设Ω∈c b a ，，，有以下四种命题：a b b a ⊗=⊗① ；)()(②c b a c b a ⊗⊗=⊗⊗；③若0=⊗b a ，则b a ，中至少有一个为0；④若c a b a a ⊗=⊗≠，0，则c b =；其中真命题的个数为（A ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（08广东梅州市检）3．2 分类思想数学是一门严谨的、系统的学科，因此在数学中往往需要研究对象的不同属性进行分类．分类思想作为基础的思想方法，数学中几乎处处可见．如中学数学中，对数和式的分类，高等代数中，如矩阵分类，向量空间、欧氏空间按维数的分类，二次型分为正定、负定、不定三类等等，分类讨论方法作为分类思想的一个分支，在解题中有着广泛运用．例8 已知函数1)2()1(2--+-=x m x m y （m 是实数）．如果函数的图像和X 轴只有一个交点，求m 的值．解 当1=m 时函数就是一个一次函数1--=x y ，它与X 轴只有一个交点)01(，-． 当01≠-m 时，函数就是一个二次函数1)2()1(2--+-=x m x m y0)1(4)2(2=-+-=∆m m ，得0=m ．抛物线122---=x x y 的顶点)01(，-在X 轴上．评注：本题利用简单的分类思想讨论了两种不同情况，思路清路，考虑全面，解题便捷．运用分类思想往往能将复杂的情况，梳理清楚，分类思想在解题中有着广泛应用．3．3 化归思想化归与转化思想作为数学的几个重要思想之一，其精髓就是化未知为已知，化难为易，化繁为简．例如，在中学数学中，无理式化为有理式，四边形问题化为三角形问题，几何问题与代数问题的互相转化等；高等数学中，超越式方程化为代数式方程，高阶行列式化为低阶行列式，二次型问题化为实对称矩阵问题，向量关系化为向量坐标之间的关系等．例9 设对所有实数x ，不等式恒成立，求a 的取值范围．分析：这是一个含有参数的不等式的恒成立的问题，但是，这个题目的表面比较复杂，我们可以通过换元法，，化为简单的参数的一元二次不等式． 解：设22log 1a t a =+， 则 224(1)8(1)log log 32a a t a a++==-，222(1)log 24a t a +=-． 于是，已知的不等式化为()23220t x tx t -+->．该不等式对所有实数t 恒成立的充要条件是解得0t <．即22log 01a a <+， 进一步解得01a <<．3．4 结构思想现代数学通过顺序结构、条件结构、循环结构将数学各分支联结成一个整体．从本质上讲，中学代数与高等代数使用的都是相同的数学结构．因此，不仅从结构层面极其相似，而且在知识层面上也有很多相似的地方．例如，由倒数到逆矩阵再到逆元，从数的运算律到矩阵的运算律，再到代数系统的运算律，从负数到负矩阵，再到负元素，由多项式的整除关系再到几何的偏序关系，这些内容都是反映了结构思想．3．5 公理化方法中学平面几何的大量命题与理论都是以在欧几里德的《几何原本》中的“23条定义”、“五大公理”、“五大公设”的的理论基础上．并在此基础上发散与推证出大量新结论，从本质上讲，这种方法是实质公理化方法．高等代数中，线性变换、向量空间、欧氏空间大量命题建立在一些假设上，并以这些假设为公理，再推导出相应的理论系统，这种方是形式公理化方法．实质公理方法到形式公理方法这一演化过程，不仅体现了其自身的发展，也体现了初等代数到高等代数的发展．3．6 坐标方法坐标方法作为中学数学常用的方法之一，主要通过建立直角坐标系，标出相应的坐标，利用一些结论计算出相应的答案．在高等代数中，坐标方法在向量空间中应用极广．特别地，欧氏空间中，在规范正交基条件下向量的夹角、距离、内积、坐标计算公式都是中学数学平面几何中相应公式的拓展．例10 如图所示，直三棱柱111C B A ABC -中，21===CA CB C C |，CB AC ⊥ ，E D ﹑分别是棱11﹑C B AB 的中点，F 是AC 的中点，求EF DE ﹑的长度．解 以点C 为坐标原点，1﹑﹑CC CB CA 所在直线为X 轴、Y 轴、Z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．21===CA CB C C ，)000(，，C ∴，)002(，，A ，)020(，，B ，)200(1，，C ，)220(1，，B ． 由中点坐标公式可得)011(，，D ，)210(，，E ，)001(，，F5)20()11()01(222=-+-+-=∴DE ，图１3．7 构造性方法中学数学中的出现的所有方程都是采用构造性方法解决的，高等代数中构造性的方法不仅可以运用到解题上，而且还能用来证明定理．例如，正交基存在性定理的证明，带余除法定理的证明，最大公因式存在性的证明等等．所以，构造方法使二者既有联系，又有区别．例11 若()()()042=----z y y x x z ，求证：x 、y 、z 成等差数列． 证明 当y x =时，可得z x =，所以x 、y 、z 成等差数列；当y x ≠时，设方程()()()02=-+-+-z y t x z t y x ，由0=∆得21t t =，并易知1=t 是方程的根，所以=21t t 1=--yx z y ，即z x y +=2，所以x 、y 、z 成等差数列． 评注：拿到题目感到无从下手，思路受阻，但我们细看，问题条件酷似判别式∆=ac b 42-的形式，因此联想到构造一个一元二次方程进行求解．综上所述，从知识的深度与广度看，中学数学远不如高等代数，但是，从思想方法层面看，二者相承一脉，本源相同．简而言之，高等代数源于中学数学，却高于中学数学．中学数学受自身知识深度浅，层面窄的局限，因而对数学思想的指导性不强．通过高等代数的学习不断完善这种学习上的缺陷，进而达到揭示数学知识内在联系，深刻认识数学思想方法内涵的目的．4 观念方面的联系中学数学与高等代数在数学研究对象、数学研究的特点等数学观念极其相似，可以这样说，高等代数的这些观念都延伸与中学数学．接下来将从研究对象、研究特点分析二者之间在观念方法的区别和联系．研究对象方面，中学数学的研究对象主要是以一些简单的现实世界中的空间关系和数量关系为主．例如，点、线、面与常见几何图形的研究，数、代数式、方程、函数的研究．高等代数在研究对象的选择不再拘泥于直观简单的研究对象，因此研究对象得到了极大的丰富和扩展，很多传统意义上的关系不再对高等代数的研究对象适用．例如，数的一些运算法则不再适用矩阵的运算，中学的空间知识不再适用向量空间、欧氏空间等．充分理解这些观念的转换对指导二者的教学工作有很大帮助．数学研究的特点方面，抽象性、逻辑性和应用的广泛性作为数学研究的特点，这些特点深化在数学研究的各个领域中．下面将从三个特点分别探讨中学数学与高等代数的区别与联系．首先，中学数学通过抽象化，把数、式抽象为字母，大大简化计算量，这是我们尝到抽象化带给我们的第一个“甜头”．显然，中学数学的这种程度抽象化是无法帮助我们理解抽象化真正的含义和作用的．由于高等代数处于一个更高的研究水平，所以它更能帮助我们更加直观的理解抽象化的本质．例如，通过向量的加法与数乘的共性，将平面向量抽象为空间向量，通过将内积的共性与实数域上的向量空间结合，就抽象出了欧氏空间．可以看出，抽象化推动着数学的发展，不断提高抽象化，更易使我们接触到问题的本质．其次，在中学数学中，中学生理解能力较差，因此很少给出严格的定义．所以容易造成知其然，不知其所以然的格局．特别在推导几何问题方面，还需依靠直观图形．显然在数学上，这是不够严谨的．高等代数中就不会出现这种情况，所有的证明都是需要严格定义的，通过定义严密推理，得到相关结论，最终形成理论系统．最后，中学数学主要应用于教育，能解决少数的一些简单问题，比如，面积、体积、行程计算，无法适用于更加复杂的问题．相对的，高等代数除去教育功能，在应用的广度和难度上更胜于中学数学．随着更深入的学习，就会发现高等代数应用范围会逐渐增大．结束语在我国高等师范学院所开设的专业课程，应是中学内容的沿袭发展、螺旋上升，而高等代数却略有不同，因为高等代数与中学数学的研究对象、方法出现了巨大差异，中学教师大都毕业于师范院校本﹑专科，具有高等代数知识是无疑的，但能用高等代数的思想﹑观点去指导中学数学教学的却不多见]7[．数学师范专业的学生有种误区，认为“教学中用不上高等代数知识”，因而在学习高等代数知识的过程中懈怠，学习积极性不高，甚至于“厌学”．本文通过从数学方法、数学思想、数学观念三方面，并辅以例题综合阐述中学数学与高等代数的种种联系．在课程教学改革中，不仅要挖掘知识体系的联系，更要挖掘数学方法，数学观念方面的联系]8[．促进中学数学与高等代数的完美结合，进而扩大高等代数在中学数学的应用．参考文献[1] 马忠林，郑毓信．数学方法论[M]．南宁：广西教育出版社，1996．[2] 杨世明，周春荔，等．ＭＭ教育方式：理论与实践[M]．香港：香港新闻出版社，2002．54－87．[3] 中华人民共和国教育部．普通高中教学课程教育标准：实验[M]．北京：人民教育出版社，2003．[4] 庄瓦金．高等代数教程[M]．北京：高等教育出版社，2004．92－95[5] 张禾瑞，郝炳新．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，1999．[6] 扬家骥．高等代数在初等数学中的应用[M]．济南：山东教育出版社，1992．[7] 杨远廷．用高等数学的观点看中学数学教学[J]．德阳教育学院学报，2000，14(1):44－45．[8] 王玉行．高等代数对学生形成和发展数学品质的意义及教学策略[J]．数学教育学报，2007，16(3)：92－94．致谢历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了．尤其要强烈感谢我的论文指导老师—钟纯真老师、刘熠老师，他对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进．另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助．在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！感谢这篇论文所涉及到的各位学者．本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作．感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我了很多你问素材，还在论文的撰写和排版的过程中提供热情的帮助．由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！。
