系统正平衡解的存在性与全局稳定性

微分方程模型中的稳定性与解的存在性证明微分方程是数学中的重要分支之一，它描述了自然界中众多现象的变化规律。

在微分方程的研究中，稳定性与解的存在性证明是两个基本问题。

本文将从这两个方面展开讨论微分方程模型的特性。

稳定性是指系统在一定条件下的长期行为是否趋于稳定。

在微分方程模型中，稳定性分为局部稳定性和全局稳定性。

局部稳定性指的是系统在某一点附近的行为是否稳定，而全局稳定性则是指系统在整个定义域内的行为是否稳定。

稳定性的判断可以通过线性化的方法来进行。

线性化是将非线性微分方程在某一点附近进行线性逼近，从而获得系统的线性化方程。

通过对线性化方程的特征值进行分析，可以判断原方程在该点附近的稳定性。

解的存在性证明是指是否存在满足微分方程的解。

在微分方程模型中，解的存在性通常需要借助一些数学工具和定理来证明。

其中最常用的方法是皮卡-林德洛夫定理和柯西-利普希茨定理。

皮卡-林德洛夫定理是解的存在性证明中的重要定理之一。

它指出，如果微分方程的右端函数在某个矩形区域内满足利普希茨条件，那么在该区域内存在唯一的解。

利普希茨条件是指右端函数的偏导数存在且有界。

柯西-利普希茨定理则是解的存在性证明中的另一个重要定理。

它指出，如果微分方程的右端函数在某个区域内满足利普希茨条件，那么在该区域内存在唯一的解，并且解的存在范围可以延伸到整个定义域。

除了皮卡-林德洛夫定理和柯西-利普希茨定理，还有一些其他的定理和方法可以用于解的存在性证明。

比如，格朗沃尔不等式、逐步逼近法和拟凸函数法等。

总之，微分方程模型中的稳定性与解的存在性证明是微分方程研究中的重要问题。

通过线性化和定理的运用，可以对微分方程的稳定性进行判断和证明。

而解的存在性证明则需要借助一些数学工具和定理来进行推导。

这些方法和定理为我们研究微分方程提供了有力的工具和理论支持。

微分方程的稳定性与全局解的存在性微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

对于微分方程的研究，稳定性与全局解的存在性是两个重要的问题。

本文将针对微分方程的稳定性与全局解的存在性展开讨论，并探讨它们在应用中的意义。

一、稳定性分析稳定性是指微分方程解的行为在微小扰动下是否保持不变。

对于一阶线性微分方程，稳定性可通过特征值的符号来判断。

具体而言，若特征值的实部均小于零，则系统稳定；若存在大于零的实部特征值，则系统不稳定。

对于高阶非线性微分方程，稳定性的分析相对复杂。

一种常用方法是通过线性化系统来研究非线性系统的稳定性。

线性化系统是在非线性系统的稳定点附近对非线性系统进行线性逼近得到的系统。

通过分析线性化系统的特征值，可以判断非线性系统的局部稳定性。

二、全局解的存在性全局解是指微分方程在整个定义域上存在且唯一的解。

对于一阶线性微分方程，全局解的存在性一般能得到保证。

而对于非线性微分方程，全局解的存在性则需要满足一定的条件。

全局解的存在性与定理有关。

例如，一个常用的定理是皮卡-里普丝定理（Picard-Lindelöf Theorem），该定理保证了一阶常微分方程在给定条件下存在唯一的全局解。

另外，拉格朗日平均值定理（MeanValue Theorem）也是分析全局解存在性的有用工具。

除了定理，数值方法也可以用来求解微分方程的全局解。

例如，常用的欧拉方法、龙格-库塔方法等数值方法能够逼近微分方程的全局解。

这些数值方法在实际应用中具有重要意义，特别是对于复杂的非线性微分方程。

三、稳定性与全局解的应用意义微分方程的稳定性和全局解的存在性在科学与工程中具有广泛的应用价值。

以下列举几个具体的应用领域：1. 物理学：微分方程广泛应用于物理学中的运动学、电磁学、热力学等领域。

通过稳定性分析和全局解的存在性可以确定物理系统的稳定性和行为。

2. 工程学：微分方程被应用于工程学中的控制系统、信号处理、电路等领域。

三维Lotka-Volterra系统的全局扇形稳定性周武;陆征一【摘要】将Volterra-Lyapunov矩阵稳定性蕴含全局扇形稳定的结论推广到三维情形,得到了Volterra-Lyapunov矩阵半稳定性蕴含全局扇形稳定.%The global stability for a positive equilibrium of a three-species Lotka-Volterra system is generalized to the global stability for a nonnegative equilibrium under the Volterra-Lyapunov stability for the interaction matrix of the system.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(040)005【总页数】3页(P606-608)【关键词】Volterra-Volterra半稳定;边界平衡点;全局稳定性【作者】周武;陆征一【作者单位】西南民族大学计算机科学与技术学院,四川成都610041;四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都610066【正文语种】中文【中图分类】O193考虑如下Lotka-Volterra系统关于此系统正平衡点的存在性及其全局稳定性,特别是在相互作用矩阵A=(aij)n×n 的Volterra-Lyapunov稳定性和平衡点的局部稳定下,对于链型系统[1-4]、环形系统[4-5]和一般系统[1,6-7]的全局稳定性研究已经有很多结果,这些问题的解决最终都化为LaSalle不变集的确定,一旦其LaSalle不变集得到确定[1,7],就可得到系统的全局动力学行为.本文利用Volterra-Lyapunov函数,将边界平衡点的稳定性问题化为系统对应的LaSalle不变集的确定问题,通过分析其LaSalle不变集的结构,得到系统的全局扇形稳定性.考虑三维系统及边界面上的非负平衡点和区域}.定义 1[1] 如果局部渐近稳定且在全局吸引,则称全局扇形稳定.为了讨论扇形稳定性,本文给出几个相互作用矩阵的稳定性概念.定义 2[7] 矩阵A称为是Volterra-Lyapunov稳定的,如果存在正对角矩阵C,使得CA+ATC负定.定义 3[1] 矩阵A称为是Volterra-Lyapunov半稳定的,如果存在正对角矩阵C,使得CA+ATC半负定.对于Lotka-Volterra系统正平衡点的全局稳定性来说,相互作用矩阵A为Volterra-Lyapunov稳定是充分的[1,6-7].而A为Volterra-Lyapunov半稳定是不够的,还需要矩阵的结构或平衡点的局部渐进稳定性作为附加条件[3,7].另一方面,相互作用矩阵A为Volterra-Lyapunov稳定时,由文献[1,8]可知必为全局扇形稳定.一个自然的问题是:当A仅为Volterra-Lyapunov半稳定时是否为全局扇形稳定?下面的例子说明,A的Volterra-Lyapunov半稳定性不能保证的全局扇形稳定性. 例1此系统存在非负平衡点而为Volterra-Lyapunov半稳定,但在x1=0平面上(1,1)为中心.所以必不为全局扇形稳定.本文在局部渐近稳定的条件下,得到相互作用矩阵A的Volterra-Lyapunov半稳定性蕴含了系统的全局扇形渐进稳定性.定理 1 假设系统(2)的边界平衡点局部渐近稳定,且A为Volterra-Lyapunov半稳定,则系统(2)全局扇形稳定.证明由于局部渐近稳定,所以必然饱和[7].将系统(2)写成其中为平衡点的横截特征值[7],由饱和性可得又因为A为Volterra-Lyapunov半稳定的,故存在正对角矩阵C=diag(c1,c2,c3),使得Volterra-Lyapunov函数满足其中当时,根据LaSalle不变性原理,由(5)式有x1=0,代入方程(4)可得由于二维Lotka-Volterra系统不存在极限环,故由Poincare-Bendixson定理,系统(6)的解或者趋于或者是围绕的一族闭轨.由局部渐近稳定假设得到不为中心.故此时,LaSalle不变集}.当时,记B=(bij)3×3.下面证可推出即LaSalle不变集}.分情况讨论:情况 1 当秩(B)=3时,显然,由可得}.情况 2 当秩(B)=2时,假设系统(4)有非常数解x(t)∈M且不妨设其中,B23=(b12,b13,b22,b23)≠0.如果则代入方程(4)有因为x1有界,故必有x1→0.此时}.如果则代入方程(4)有同理}.情况 3 当秩(B)=1时,不妨设当b12=b13=0时,x1=0,故有此时,在任意邻域中,(9)式有非常数解,即M={(0,x2(t),x3(t))}.故非局部稳定.所以,至少有一个b12或b13不为零.不妨设b13≠0,则由(5)式有代入(4)式有由于x2上下有界局部稳定且系统(10)无极限环,故系统(10)的解满足).再由(4)式得故}.综上,定理得证.2010 MSC:34D05【相关文献】[1] 陈兰荪,宋新宇,陆征一. 数学生态学模型与研究方法[M]. 成都：四川科学技术出版社，2003.[2] GÜRLEBECK K, JI X. Lotka-Voterra system with Volterra multiplier[C]//ARABNIA R H, TRAN Q N. Software Tools and Algorithms for Biological Systems. New York:Springer-Verlag,2011:647-655.[3] LIU L, LU Z Y, WANG D M. The structure of LaSalle’s invariant set for Lotka-Volterra systems[J]. Science in China:Math,1991,A34(7):783-790.[4] LU G, LU Z. Geometric approach for global asymptotic stability of three-dimensional Lotka-Volterra systems[J]. J Math Anal Appl,2012,389(1):591-596.[5] 彭芬国,周之铭. 环状三维捕食-被捕食Volterra系统的全局渐近稳定性[J]. 生物数学学报,1988,3(2):159-170.[6] GOH B S. Global stability in many-species systems[J]. The AmericanNaturalist,1977,111(977):135-143.[7] HOFBAUER J, SIGMUND K. Evolutionary Games and Population Dynamics[M]. Cambridge:Cambridge University Press,1998.[8] TAKEUCHI Y. Global Dynamical Properties of Lotka-Volterra Systems[M]. Singapore:World Scientific,1996.[9] REDHEFFER R. A new class of Volterra differential equations for which the solutions are globally asymptotically stable[J]. J Diff Eqns,1989,82(2):251-268.[10] SOLIMAN A A, AL-JARALLAH E S. Asymptotic stability of solutions of Lotka-Volterra predator-prey model for four species[J]. Appl Math,2015,6(4):684-693.。

南京航空航天大学硕士学位论文两类具有Holling功能反应的食饵—捕食者模型的定性分析姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***20070301南京航空航天大学硕士学位论文摘要近年来，捕食关系成为数学与生态学界研究的一个重要课题。

食饵—捕食者相互作用的研究具有非常重要的理论意义和应用价值，其中生物种群持续生存是捕食理论中的一个重要而又广泛的问题，它受到越来越多的学者的关注。

本文在已有的Lotka-Volterra模型的基础上，对两类具有Holling型功能反应函数的食饵—捕食者模型进行了讨论。

本文首先讨论了一类两种群具有密度制约的Holling III类功能反应模型。

利用定性分析的方法，讨论了模型在收获率条件下平衡点的稳定性，解的有界性，极限环的存在性问题。

然后本文讨论了一类具有两捕食者和一食饵三种群并有Holling型功能反应的周期系数的三维模型，利用Brouwer不动点定理，得到系统存在唯一、全局渐近稳定周期解的充分条件。

最后本文进一步考虑概周期情形，讨论了对应的概周期系统的一致持续生存性，得到了存在唯一、全局渐近稳定正概周期解的充分条件。

这些结果推广了已知的一些结论。

关键词：食饵—捕食者系统，Holling III功能反应，正周期解，正概周期解，全局渐近稳定性I两类具有Holling功能反应的食饵—捕食者模型的定性分析IIAbstractIn recent years, the predator-prey relation has become a very important part inmathematics and ecology. The predator-prey theory has a great importance in both theory and applications. One of the most important questions in population ecology is to find the permanence conditions for the species, which has received a great deal of attention of many mathematicians and biologists. Based on the Lotka-V olterra population models, this thesis studies two classes of predator-prey systems with Holling functional responses. Firstly, this thesis studies the predator-prey system with Holling’s type III functional response under density restriction and linear harvesting rate. Using qualitative analysis methods, the paper studies the boundedness of solutions and the existence of limit cycles. Secondly, two-predator and one-prey systems of three species with Holling’s type III functional response and periodic coefficients are studied. With the help of differential inequality and Liapunov functions, some sufficient conditions are obtained for the existence and global stability of positive periodic solutions and positive almost periodic solutions. These results generalize some existing results.KEY WORDS: prey-predator system, Holling’s type III functional response, positive periodic solution, positive almost periodic solution, global asymptotic stability承诺书本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

一类带 Holling-IV 型反应函数的捕食-食饵模型的全局分歧薛盼;贾云锋【摘要】The existence of steady-state solutions of a predator-prey model with Holling-IV functional response is studied under homogeneous Neumann boundary condition. Firstly,by the spectral analysis method,the stability of the solution is obtained. Secondly,by means of local bifurcation theory,it is proved that the model bifurcations at the trivial solution in the one dimensional case. Finally,making use of global bifurcation theory,it is showed that the lo-cal bifurcation can be extend to global bifurcation,and the continuum joins up with infinity.%研究了一类带 Holling-IV 型反应函数的捕食-食饵模型在齐次 Neumann 边界条件下的平衡态解的存在性。

首先，通过谱分析法得到常数平衡解的稳定性结论；其次，在1维的情况下，利用局部分歧理论得出在常数解处可以产生局部分歧；最后，利用全局分歧理论证明该局部分歧可以延拓为全局分歧，其连通分支伸向无穷。

【期刊名称】《江西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)004【总页数】4页(P409-412)【关键词】捕食-食饵模型;平衡解;Holling-IV 型;全局分歧【作者】薛盼;贾云锋【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安 710062;陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安 710062【正文语种】中文【中图分类】O175.20 引言近年来，在生态学研究中广泛采用反应扩散方程，通过建立生物数学模型分析和解决一些实际问题，这已成为生态学研究领域中热门的课题.本文将考虑如下带Holling-IV反应函数的捕食-食饵系统:其中Δ为Lapalce算子，Ω为Rn中具有光滑边界的有界开区域，u，v分别表示食饵和捕食者的种群密度.d1≥0，d2≥0 为扩散系数，r，k，a，b，c均为正常数，r，k分别表示在没有捕食者的情况下食饵的固有生长率和生存能力，b表示在缺少食饵的情况下捕食者的最大死亡率.文献［1］提出功能反应函数p(u)=mu/(a+bu+u2)，被称作Monod-Haldane函数，在低浓度时，它与Holling-II类型功能反应函数类似，但在高浓度时，它表现出一种“抑制”效果.文献［2］也使用上述的反应函数，并且把它称作Holling-IV反应函数;随后W.Sokol等［3］建议取p(u)=mu/(a+u2)，得到简化的Monod-Haldane或者Holling-IV反应函数.他们发现该函数不仅更容易研究，而且更符合实验数据.文献［4］利用度理论和分歧理论讨论了系统(1)正解的存在性及在常数平衡解处的分歧，文献［5］研究了系统(1)具有强耦合项时非常数正解的存在性和稳定性，文献［6］在齐次Dirichlet边界条件下，利用谱分析法和分歧理论研究了分歧解的存在性及稳定性，并且利用度理论讨论了正平衡态解的存在性和不存在性.本文利用与文献［4］不同的方法讨论系统(1)平衡解的性质，即考虑椭圆:显然，系统(2)有平凡解(0，0)，半平凡解(k，0).当满足下列条件时，系统(2)存在正常数平衡解:(i)若c2=4ab2且k＞c/(2b)，则系统(2)存在唯一的常数平衡解(u0，v0)，其中u0=c/(2b)，v0=r(1-u0/k)(a+u20);(ii)若c2＞4ab2，则当u1＜k≤u2时，系统(2)有唯一常数平衡解(u1，v1)，当k ＞u2时，系统(2)存在 2 个正常数平衡解(u1，v1)，(u2，v2)，其中1 主要结论首先利用谱分析方法得到常数平衡解(u1，v1)的稳定性结论;其次，在1维的情况下，利用分歧理论得出在(，(u1，v1))点可以产生局部分歧，最后，证明该局部分歧可以延拓为全局分歧，其连通分支Γj伸向无穷.利用极大值原理和Harnack不等式易证定理1成立.定理1［4］设d是给定的正常数，若(u，v)是系统(2)的非负解，则存在正常数C=C(a，b，c，k，r，d)，使得当d2＞d时下面在1维条件下考虑系统(2)非常数正解(u1，v1)的稳定性.设Ω=(0，l).-Δ在齐次Neumann边界条件下的特征值λi=(πi/l)2(i≥0)，且所有的特征值均为单重特征值.相应的特征函数记作，则所有的特征函数构成L2(0，l)空间中的1组正规正交基.令通过计算可得由于r(1-u1/k)-v1(a+u21)=0，且 -b+cu1(a+u21)=0，因此，定理2 当k∈(u1，k*)，系统(2)的常数平衡解(u1，v1)是局部渐进稳定的;当k∈(k*，u2)时，常数平衡解(u1，v1)是不稳定的，其中证设μ是线性化算子L的特征值，其中L=，相应的特征函数为，则有(d1Δφ +(α -μ)φ +αψ，d2Δψ +γφ -μψ)=(0，0).将φ，ψ在L2的1组基底下展开有则易知，若μ是L的特征值，当且仅当对某些i≥0，系数矩阵 Bi退化，即其中Pi=(d1+d2)λi- α，Qi=-d2λi(α -d1λi)-αγ.当k∈(u1，k*)时，有α＜ 0，由β＜ 0，γ ＞ 0可得 Pi＞ 0，Qi＞ 0，因而有Re μ＜ 0，所以，常数平衡解(u1，v1)是局部渐进稳定的.当k∈(k*，u2］时，α ＞0，P0=- α＜ 0，则存在Reμ ＞0，因此，常数平衡解(u1，v1)是不稳定的.注1 若要u1＜k*＜u2，则需满足令 Y=L2(0，l)× L2(0，l)，E={(u，v):u，v∈C2(0，l)，u，v=0，x=0，l}，则在C2范数意义下E是Banach空间，定义F:(0，∞)×E→Y为F(d2，U)=(d1u″+f(u，v)，d2v″+g(u，v))T，其中U=(u，v)，∀d2都有F(d2，(u1，v1))=0.下面，在条件(3)成立的前提下，利用局部分歧理论［7-10］研究系统(2)非常数平衡解的存在性.将d2作为分歧参数，其他参数固定.定理3 假设条件(3)成立，且k∈(k*，u2］并设j是满足d1λj＜α的正整数，且对任意的正整数k，当j≠ k时，则是分歧点，∃δ＞0和1个C1函数类(d2，(φ(s)，ψ(s))):(- δ，δ)→R × Z，使得，当时，F(d2，(u(s)，v(s)))=0成立，其中u(s)=u1+s(φj+ φ(s))，v(s)=v1+s(bjφj+ψ(s))，bj=(d1λj- α)/β ＞ 0.证记 F关于U的Fréchet导数为 L0=DUF(，(u1，v1))，L0关于d2的Fréchet 导数为L1=Dd2DUF(，(u1，v1))，则直接计算可得1)记 L0的核空间为 N(L0)，值域空间为R(L0).类似于定理2 的证明，将L0U=0展开有经过计算可知，当i≠j时，detBi≠0，所以只有detBj=0，故(d1λj- α)/β ＞ 0. 2)记L0的伴随算子为，则类似于1)的方法，可得N()=span{}，因为R(L0)=N()⊥，所以3)因为，所以L1U0∉R(L0).由1)～3)及局部分歧定理知定理3得证.定理4 在定理3的条件下，由(，(u1，v1))点产生的分歧，可以延拓为整体分歧，并且Γj在R×E中伸向无穷.证令，则系统(2)可改写为其中为含有的高次项部分.令G1=(-d1Δ + α)-1，G2=(-d2Δ +M)-1，其中M为待定正常数，则系统(4)变为其中由定理3的证明过程可知，1是K()的特征值且代数重数为1.如果在的1个足够小的领域内，I-K(d2):E→E是双射，且对固定的d2，(0，0)是I-K(d2)-H的孤立零点，则index(I-K(d2)-H，(d2，(0，0)))=deg(I-K(d2)，B，0)=(-1)σ，其中B是以(0，0)为球心半径足够小的球，σ是算子K(d2)所有大于1的特征值的代数重数之和.假设μ是K(d2)的1个特征值，其对应的特征函数为，则有令，则有因而，K(d2)的所有特征值满足方程:当d2=时，如果μ=1是(5)式的1个根，则一定有=，由已知条件可知j=i.当i≠j 时，μ≠1，即K(d2)的特征值大于1或者小于1，则通过较小的扰动后仍然有相同的性质.因此，对于所有附近的d2，K(d2)的特征值大于1的个数与K()相同，且代数重数一致.在(5)式中，令 i=j，μ1()，μ2()是相应的2个根.取M= αd2λj/(αd1λj)，把M代入(5)式可得对于附近的d2有μ2()＜1.对足够小的ε＞0，K(+ε)比K(-ε)多1个大于1的特征值，类似于定理3，可得其代数重数为1，所以由全局分歧理论知，在d2-(u，v)平面内存在1个连通分支Γj，使得下面两者之一成立:(i)Γj连接点(，(u1，v1))和(，(u1，v1))，其中k≠j;(ii)Γj在R×E中伸向无穷.下证(ii)成立.假设Γj是(i)的情形.设Γj连接到点(，(u1，v1)).将系统(2)限制在(0，l/k)上，则系统(2)变为若是(6)式的解，则进行如下的延拓可以构造出(2)式的解.令 xn=nl/k，n=0，1，…，k，则在区间(0，l/k)内，-Δ在Neumann边界条件下的特征值为=(kπi/l)2(i≥0)，均为单重特征值，对应的特征函数为cos(πix/(l/k))(i＞ 0).易知对于(6)式从而，(，(u1，v1))是(6)式的分歧点，其中=由点产生的分歧也能延拓为整体分歧，同样会有2种情形.假设延伸到无穷，则按(6)式的延拓就成为系统(2)在点(，(u1，v1))延拓的分歧，这与假设Γj有界矛盾.若有界，假设连接到点1).由于，将按(6)式延拓，类似于系统(2)，由分歧点(，(u1，v1))到(，(u1，v1))，因为mk＞k，这与k的选取矛盾.定理4得证.2 参考文献【相关文献】［1］Andrews J F.Amathematicalmodel for the continuous culture ofmocrooganisms utilizing inhabitory substrates［J］.Biotechnol Bioeng，1968，10(4):707-723.［2］Collings J B.The effects of the functional response on the bifurcation behavior of amite predator-prey interactionmodel［J］.J Math Biol，1997，36(1):149-168.［3］ Sokol W，Howell JA.Kinetics of phenol oxidation by washed cells［J］.Biotechnol Bioeng，1981，23(9):2039-2049.［4］Pang P Y H，Wang Mingxin.Non-constant positive steady states of a predator-prey system with non-monotonic functional response and diffusion［J］.Proc London Math Soc，2004，88(3):135-157.［5］Chen Xinfu，Qi Yuanwei，Wang Mingxin.A strongly coupled predator-prey systemwith non-monotonic functional response［J］.NonlinearAnal，2007，67(6):1966-1979. ［6］Jia Yunfeng，Wu Jianhua，Nie Hua.The coexistence states of a predator-preymodel with nonmonotonic functional response and diffusion［J］.ActaAppl Math，2009，108(2):413-428.［7］ Smoller J.Shockwaves and reaction-diffusion equations［M］.New York:Springer-Verlag，1983.［8］叶其孝，李正元.反应扩散方程引论［M］.北京:科学技术出版社，1994.［9］Jang J，Ni Weiming，Tang Moxun.Global bifurcation and structure of Turing patterns in the 1-D Lengyel-Epsteinmodel［J］.J Dynam Differential Equations，2004，16(2):297-320.［10］Ni Weiming，Tang Moxun.Turing patterns in the Lengyel-Epstein system for the CIMA reaction ［J］.TransAmer Math Soc，2005，357(10):3953-3969.。