【世纪金榜】2015高考数学专题辅导与训练配套练习：专题三 三角函数及解三角形

sin A a______ 1
_2__ac_s_in__B___.
【解析】(1)在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6，
由余弦定理得 cosADC AD2 DC2－AC2
2AD DC
=100 36－196 －1 .
2 10 6
2
所以∠ADC=120°,∠ADB=60°.
在△ABD中，AD=10,B=45°,∠ADB=60°,
2.余弦定理： 定理
a2=_b_2+_c_2_-_2_b_c_c_o_s_A_ b2=_a_2+_c_2_-_2_a_c_c_o_s_B_ c2=_a_2+_b_2_-_2_a_b_c_o_s_C_
推论
cosA= b2 c2 a2
2bc
cosB= a2 c2 b2
2ac
cosC= a2 b2 c2
思绪一：把(*)式化边为角可得 _s_i_n_2__A_s_i_n__A_s_i_n_B__=_s_i_n__2_B_s_i_n__A_s_i_n__B_，然后找出角之间旳关 系求解. 思a2绪(b二2+：c2把-a(2*))=式b化2(角a2为+c边2-可得 _b_2_)____________________,
第三讲 解三角形旳综合问题
一、主干知识 实际问题中旳常用角 (1)仰角和俯角： 在视线和水平线所成旳角中，视线在水平线上方旳角叫仰角， 在水平线下方旳角叫俯角(如图1)．
(2)方位角： 指从正北方向_顺__时__针__转到目旳方向线旳水平角，如B点旳 方位角为α(如图2)． (3)方向角： 相对于某正方向旳水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (4)坡度： 坡面与水平面所成旳二面角旳度数旳正切值．

课时冲关练(六)函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.函数f(x)=2sin2x-1是( )A.最小正周期为2π的奇函数B.最小正周期为2π的偶函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数【解析】选D.f(x)=2sin2x-1=-cos2x,所以最小正周期为T==π.f(-x)=-cos[2(-x)]=-cos2x为偶函数.2.(2013·浙江高考)函数f(x)=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是( ) A.π,1 B.π,2 C.2π,1 D.2π,2【解析】选A.f(x)=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin,所以A=1,T=π.3.(2014·济宁模拟)要得到y=sin的图象,只需将函数y=sin的图象向右平移个单位即可( )A. B.π C. D.【解析】选D.因为y=sin=sin,所以选D.4.关于函数y=sin|2x|+|sin2x|,下列说法正确的是( )A.是周期函数,周期为πB.关于直线x=对称C.在上最大值为D.在上是单调递增的【解析】选D.由题意得函数的图象如图所示:由图象可知,此函数不是周期函数,关于x=0对称,在上最大值为2,在上是单调递增的.5.为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象,只需把函数y=sin2x-cos2x的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【解析】选A.y=sin2x+cos2x=sin,y=sin2x-cos2x=sin,只需把函数y=sin2x-cos2x的图象向左平移个单位长度,即可得到y=sin2x+cos2x的图象.6.为了使变换后的函数的图象关于点成中心对称,只需将原函数y=sin2x+的图象( )A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度【解析】选C.函数y=sin的图象的对称中心为(k∈Z),其中离点最近的对称中心为,故只需将原函数的图象向右平移个单位长度即可.7.(2014·宁波模拟)f(x)=Acos(ωx+φ)(A,ω>0,-<φ<)的图象如图所示,为了得到g(x)=-Asin的图象,可以将f(x)的图象( )A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位【解析】选D.由图象可得A=1,T=-=.所以T=π,ω==2,所以f(x)=cos(2x+φ).又cos=0,所以φ+=2kπ+(k∈Z),所以φ=2kπ-(k∈Z),当k=0时,φ=-,所以f(x)=cos.又因为g(x)=-sin.故f(x)向左平移个单位即可得g(x).8.(2014·临沂模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=b(0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则函数f(x)的单调递增区间是( )A.[6kπ,6kπ+3],k∈ZB.[6k-3,6k],k∈ZC.[6k,6k+3],k∈ZD.无法确定【解题提示】数形结合,先确定周期T,再确定φ,求出解析式即可. 【解析】选C.由已知得T=8-2=6,得ω===,又由已知得图象关于x=3或x=6对称,得×3+φ=,得φ=-,所以f(x)=Asin,又A>0,由2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,解得6k≤x≤6k+3,k∈Z.二、填空题(每小题4分,共16分)9.(2014·淮南模拟)如图,函数f(x)=Asin(ωx+φ)与坐标轴的三个交点P,Q,R满足P(2,0),∠PQR=,M为QR的中点,PM=2,则A的值为.【解析】因为函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,|φ|≤与坐标轴的三个交点P,Q,R满足P(2,0),∠PQR=,M为QR的中点,所以设Q(2a,0),a>0,则R(0,-2a),所以M(a,-a).因为PM=2,所以=2,解得a=4,T=12,ω=.函数经过P,R,所以因为|φ|≤,所以φ=-,所以A=.答案:10.(2014·重庆高考)将函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象,则f= .【解题提示】先根据三角函数图象变换求出ω,φ的值,然后求出实数f的值.【解析】函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,则函数变为y=sin(2ωx+φ),再向右平移个单位长度得到的函数为y=sin=sin=sinx,所以又因为ω>0,-≤φ<,可求得ω=,φ=,所以f(x)=sin,所以f=sin=sin=.答案:11.(2014·丽水模拟)已知f(x)=cos(2x+φ),其中φ∈[0,2π),若f=f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则φ= .【解析】由题意知,当x=时,f(x)取最小值,所以2×+φ=π+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z,又0≤φ<2π,所以φ=.答案:12.(2014·池州模拟)已知函数f(x)=cosx·sinx,给出下列五个说法:①f=;②若f(x1)=-f(x2),则x1=-x2;③f(x)在区间上单调递增;④将函数f(x)的图象向右平移个单位可得到y=cos2x的图象;⑤f(x)的图象关于点成中心对称.其中正确说法的序号是.【解析】f(x)=cosx·sinx=sin2x.①正确,f=f=sin=;②错误,由f(x1)=-f(x2)=f(-x2)知x1=-x2+2kπ或x1=π+x2+2kπ(k∈Z);③错误,令-+2kπ≤2x≤+2kπ,得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),由复合函数性质知f(x)在每一个闭区间(k∈Z)上单调递增,但不是集合(k∈Z)的子集,故函数f(x)在上不是单调函数;④正确,将函数f(x)的图象向右平移个单位可得到y=sin2=sin=cos2x;⑤错误,函数的对称中心的横坐标满足2x0=kπ(k∈Z),解得x0=(k∈Z),即对称中心坐标为(k∈Z),则点不是其对称中心.答案:①④三、解答题(13～14题每题10分,15～16题每题12分,共44分)13.(2014·湖北高考)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-cos t-sin t,t∈[0,24).(1)求实验室这一天上午8时的温度.(2)求实验室这一天的最大温差.【解析】(1)f(8)=10-cos-sin=10-cos-sin=10-×-=10.故实验室这一天上午8时的温度为10℃.(2)因为f(t)=10-2=10-2sin,又0≤t<24,所以≤t+<,-1≤sin≤1.当t=2时,sin=1;当t=14时,sin=-1.于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.14.已知函数f(x)=2acos2x+bsinxcosx-,且f(0)=,f=.(1)求f(x)的单调递减区间.(2)函数f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象关于原点对称?【解析】(1)由f(0)=,得2a-=,故a=.由f=,得+-=,所以b=1.可得f(x)=cos2x+sinxcosx-=cos2x+sin2x=sin.由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递减区间是(k∈Z).(2)因为f(x)=sin2,所以由奇函数y=sin2x的图象向左平移个单位即得到y=f(x)的图象,故函数f(x)的图象向右平移+π(k∈Z)个单位或向左平移+π(k∈Z)个单位后,对应的函数即成为奇函数,图象关于原点对称.【方法总结】三角函数的图象和性质综合问题的解题策略(1)三角函数的性质问题,往往都要先化成f(x)=Asin(ωx+φ)的形式再求解.(2)要正确理解三角函数的性质,关键是记住三角函数的图象,根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期.15.(2014·温州模拟)如图,点P是函数y=Asin(其中A>0,φ∈[0,2π))的图象与y轴的交点,点Q是它与x轴的一个交点,点R是它的一个最低点.(1)求φ的值.(2)若PQ⊥PR,求A的值.【解析】(1)因为函数经过点P,所以sinφ=.又因为φ∈[0,2π),且点P在递减区间上,所以φ=.(2)由(1)可知y=Asin.令y=0,得sin=0.所以x+=0,所以x=-,所以Q.令y=-A,得sin=-1,所以x+=,所以x=3,所以R(3,-A).又因为P,所以=,=.因为PQ⊥PR,所以·=-+A2=0,解得:A=.16.(2014·青岛模拟)已知函数f(x)=2sinωxcosωx+2sin2ωx-(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调增区间.(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点,求b的最小值.【解析】(1)由题意得f(x)=2sinωxcosωx+2sin2ωx-=sin2ωx-cos2ωx=2sin.由最小正周期为π,得ω=1,得f(x)=2sin.由正弦函数的单调增区间得2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以函数f(x)的单调增区间是,k∈Z.(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位得到函数y=2sin2x+1的图象,所以g(x)=2sin2x+1,令g(x)=0,得:x=kπ+或x=kπ+(k∈Z),所以在从0开始向右的每个长度等于周期的区间上恰好有两个零点. 若y=g(x)在[0,b]上有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标即可,即b的最小值为4π+=.- 11 -。

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选择题、填空题78分练(十四)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014·温州模拟)已知集合A={x|y=2x},B={y|y=2x},则A∩B= ( )A.[0,+∞)B.(0,+∞)C.RD.【解析】选 B.因为A={x|y=2x}=R,B={y|y=2x}={y|y>0},所以A∩B={y|y>0},故选B.2.函数f(x)=ln+x0.5的定义域为( )A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(0,1)D.(0,1)∪(1,+∞)【解析】选B.要使函数有意义,则有即所以解得x>1,即定义域为(1,+∞).3.(2014·宁波模拟)在△ABC中,“A<B”是“sin2A<sin2B”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.因为A<B,得a<b,由正弦定理得2RsinA<2RsinB,因为0<sinA<sinB,所以sin2A<sin2B,在△ABC中,当sin2A<sin2B时,因为A,B∈(0,π),sinA>0,sinB>0,所以sinA<sinB,所以<,所以a<b,所以A<B,因此A<B是sin2A<sin2B的充要条件.4.(2014·杭州模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S7-S4=4π,则tana6=( ) A.1 B. C. D.2【解析】选C.因为S7-S4=4π,所以a5+a6+a7=4π,所以a6=,所以tana6=tan=tan=.5.直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线都与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线都与a相交D.直线a与平面α有公共点【解析】选D.因为直线a不平行于平面α,则直线a与平面α相交或直线a在平面α内,所以选项A,B,C均不正确.6.函数y=的大致图象是( )【解析】选C.由于=-,所以函数y=是奇函数,其图象关于原点对称.当x>0时,对函数求导可知函数图象先增后减,结合选项可知选C.7.某公司租地建仓库,已知仓库每月占地用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10km处建仓库,这两项费用y1,y2分别是2万元,8万元,那么要使这两项费用之和最小,则仓库应建在离车站( )A.5km处B.4km处C.3km处D.2km处【解析】选A.设仓库建在离车站xkm处,则设y1=,y2=k2x,根据已知数据可得k1=20,k2=0.8,两项费用之和y=+0.8x≥2=8,当且仅当x=5时,等号成立,故仓库应建在离车站5km处.8.在△ABC中,∠A=60°,且角A的平分线AD将BC分成两段BD,DC,且BD∶DC=2∶1,若AD=4,则∠C= ( )A. B. C. D.【解析】选C.因为AD是角A的平分线,所以AC∶AB=CD∶DB=1∶2.设AC=x,则AB=2x.易知3S△ACD=S△ABC,即3××4x×sin30°=×2x2sin60°,解得x=6,所以AB=12.由余弦定理得BC=6.又因为AC2+BC2=AB2,所以∠C=.9.设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|= ( ) A. B.1 C. D.【解析】选C.由椭圆E:x2+=1(0<b<1)知,a=1,因为|AF1|+|AF2|=2a=2,|BF1|+|BF2|=2a=2,两式相加得|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4,所以|AF2|+|BF2|=4-(|AF1|+|BF1|)=4-|AB|,因为|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,所以2|AB|=|AF2|+|BF2|,于是2|AB|=4-|AB|,所以|AB|=.10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,对于任意x∈(0,+∞)都有f(x+2)=-f(x)且任意x∈(0,1]时,f(x)=2x+1,则f(-2012)+f(2013)的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=- f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),即函数f(x)的周期是4.因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(-2012)=-f(2012)=-f(503×4+0)=-f(0)=0,f(2013)=f(503×4+1)=f(1)=21+1=3,所以f(-2012)+f(2013)=0+3=3.二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分.把答案填在题中横线上)11.若tanα=,则cos= .【解析】cos=-sin2α=-=-=-=-.答案:-12.已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),若a∥b,则4x+8y的最小值为.【解析】因为a∥b,所以3×(y-1)-(-2)×x=0,所以2x+3y=3.故4x+8y=22x+23y≥2=2=4,当且仅当2x=3y,即x=,y=时等号成立.答案:413.已知函数f(x)=则f= .【解析】由题意得,f=f=f(-1)=e-1=.答案:14.(2014·温州模拟)若对任意的t∈R,关于x,y的方程组都有两组不同的解,则实数k的值是.【解析】因为方程组都有两组不同的解, 所以直线2x+y-4=0和圆(x-t)2+(y-kt)2=16有两个交点,因为(x-t)2+(y-kt)2=16是一个以(t,kt)为圆心,4为半径的圆,圆心(t,kt)到直线的距离小于4,所以d=<4,所以|(2+k)t-4|<4,因为对任意t∈R,该不等式恒成立,所以t的系数为0,即k+2=0,所以k=-2.答案:-215.(2014·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.【解析】几何体上部是圆锥,下部是圆柱,几何体的体积为π·12·4+π·22·2=(m3).答案:π16.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆+=1的两个焦点,若椭圆上一点P 满足|PF1|+|PF2|=4,则椭圆的离心率e= .【解析】|PF1|+|PF2|=4,所以2a=4,解得a=2,又c=1,所以e==.答案:17.(2014·湖南高考)若f=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a= . 【解题提示】利用偶函数的定义求解.【解析】由偶函数的定义得f=f,即ln-ax=ln+ax,-3x=2ax,a=-.答案:-关闭Word文档返回原板块。

)=( ) 2 2 6 6 D. 6 3 tan (2)(2014²安庆模拟)已知 =-1,求下列各式的值： tan 1 ① sin 3cos ; sin cos ②cos2( +α )-sin(π -α )cos(π +α )+2. 2
4
x2＋y2＝1运动，经过17个时间单位后，点P的坐标是_____. 【解析】经过17个单位时间，质点运动的弧度是 质点P在角π＋
17 ，此时 4
17 21 的终边上，即在 5 的终边上，根 ＝ 4 4 4 据三角函数的定义，此时该点的坐标是 (cos 5 ,sin 5 )， 4 4 2 2 即( , ). 2 2 答案： ( 2 , 2 ) 2 2
向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时, OP 的坐标为
.
【解析】设A（2，0），B（2，1），
由题意知劣弧 PA长为2，∠ABP= =2. 1 设P（x,y），则x=2-1〓cos(22 )= 2 2
2-sin 2,y=1+1〓sin(2- )=1-cos 2, 所以 OP 的坐标为（2-sin 2,1-cos 2）.
A.
）
2 2 3 3 B. C. D. 2 2 2 2
【解析】选C.cos 38°sin 98°-cos 52°sin 188°= sin 98°cos 38°-cos 98°sin 38°=sin(98°-38°)=
3 . 2
2.(2014²温州模拟)已知α ，β 为锐角，cos α =
3 . 5 5 2a 方法二：由方法一知tan θ= =2, a 2 2 2 cos sin 1 tan 3 2 2 cos 2θ=cos θ-sin θ= . 2 2 2 cos sin 1 tan 5