数列的概念及简单应用-课件

《数列概念》PPT课件
数列是一系列按一定规律排列的数值。本课件将介绍数列的基本概念，不同 类型的数列，以及数列的应用。
什么是数列
数列是一系列按照特定规律排列的数值，可以通过公式或递推关系来表示。 数列的概念在数学和实际生活中都有广泛的应用。
数列的基本形式
1 等差数列
数列中的每个数与它前一个数之差相等。
等差数列的求和公式
求和公式：Sn = n/2[2A1 + (n-1)d]，其中Sn表示前n项和，A1表示第一项，d 表示公差。
等比数列
等比数列是一种数列，其中每个数与它前一个数之比相等。可使用通项公式和求和公式来计算等比数列 的任意项和总和。
等比数列的通项公式
通项公式：An = A1 * r^(n-1)，其中An表示第n项，A1表示第一项，r表示公比。
单调有界数列的极限
根据单调有界数列的性质，可以推导出单调有界数列必定存在极限。极限可以是数列的最大值或最小值。
数列的应用
数列不仅在数学中有广泛应用，还在其他学科和实际生活中有很多应用，如 物理学、经济学、生态学等。
数列在物理学中的应用
物理学中的许多自然现象可以用数列来描述和解释，如运动轨迹、震动频率、 量子力学等。数列为解决实际问题提供了重要数学工具。
斐波那契数列的递推公式
递推公式：F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n > 2)。
斐波那契数列的通项公式
通项公式：F(n) = (phi^n - (-phi)^(-n)) / sqrt(5)，其中phi = (1 + sqrt(5)) / 2。
序列的极限
极限是数列中数值随着项数无限增加时的趋势或稳定值。极限理论既是数学学科中的重要内容，也有广 泛的应用。

判断一个数列是否为混合数列；
详细描述 利用混合数列的性质进行计算； 求混合数列的前n项和。
05
数列的发展历史与未来展望
数列的发展历史
中世纪数列
随着欧洲中世纪的数学发展，数 列研究逐渐丰富，如斐机技术的发展，数列的 应用领域不断扩大，如组合数学 、概率论和统计学等。
递推公式的求解方法
可以通过迭代法、特征根法、归纳法等方法求解递推公式。
03
数列的应用
数列在数学分析中的应用
数学分析基础
数列是数学分析中的基本概念， 是研究连续函数的基础。通过数 列，可以理解函数的极限、连续 性和可微性等基本性质。
级数理论
数列在级数理论中有着重要的应 用。通过数列的收敛性，可以研 究无穷级数的和，以及其在数学 分析中的各种应用。
在此添加您的文本16字
判断一个数列是否为等差数列。
等比数列习题与解析
总结词：等比数列是数列中的重要类 型，其习题主要考察等比数列的定义
、通项公式和性质等知识点。
详细描述
求等比数列的通项公式；
求等比数列的前n项和； 利用等比数列的性质进行计算；
判断一个数列是否为等比数列。
混合数列习题与解析
总结词：混合数列是由等差数列和等比数列混合而成的 数列，其习题主要考察混合数列的定义、通项公式和性 质等知识点。 求混合数列的通项公式；
数列的习题与解析
等差数列习题与解析
在此添加您的文本17字
总结词：等差数列是数列中的基础类型，其习题主要考察 等差数列的定义、通项公式和性质等知识点。
在此添加您的文本16字
详细描述
在此添加您的文本16字
求等差数列的通项公式；
在此添加您的文本16字
求等差数列的项数；

等差数列的求和公式
总结词
等差数列的求和公式是用来计算数列 中所有项的和的数学公式。
详细描述
等差数列的求和公式是 S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)，其中 S_n 表示前 n 项的和，a_1 表示首项，d 表示公差， n 表示项数。这个公式可以帮助我们快 速计算出等差数列中所有项的和。
03 等比数列
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意项与它的前一项的比值都相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字排列，其中任意一项与它的前一项的比值都等于同一个常数。这个常数被称为公比， 通常用字母q表示。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示数列中每一项的数学表达式。
04 数列的极限与收敛
数列的极限定义
极限的定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$ 趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个
常数$a$，则称$a$为数列${ a_{n}}$的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性 等性质。
极限的运算性质
极限具有可加性、可乘性、可分离 性等运算性质。
收敛数列的性质
在经济学中的应用
在经济学中，很多问题也可以转化为求和问题，例如计算总收益、总成本等。而求和问题 同样可以转化为数列的极限问题。因此，数列的极限和收敛的概念在经济学中也有着广泛 的应用。
05 数列的级数
级数的定义与分类
要点一
定义
级数是无穷数列的和，可分为数项级数和函数项级数。
要点二
分类
根据项的正负和收敛性，级数可分为正项级数、负项级数 、交错级数等。
正项级数的审敛法

数列的通项公式与递推公式
数列的递推公式
如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项) 开始的任一项an与它的前一项_a_n_-1_(或前几项)(n≥2，n∈N*) 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个
数列的递推公式.
数列的递推公式 已知一个数列的首项为a1=a，从第二项起每一项都等于它的前 一项的b倍再加c，即an=ban-1+c，该式子体现了相邻两项之间 的关系，称之为数列的递推公式，结合该定义探究下面的问题：
2.(1)由an为负数，得n2-5n+4<0，解得1<n<4.
因为n∈N*，所以n=2，3.故数列有两项为负数.
(2)因为an=n2-5n+4(=n
5 2
)2
9 ，4 所以对称轴为n=
=2.5.
又因n∈N*，故n=2或3时，an有最小值.
5 2
其最小值为22-5×2+4=-2.
类型二 由递推公式求数列的项
an1 an2
a2 a1
an
an a n 1
a n 1 an2
a3 a2
a2 a1
a1
an-1=a1+2a2+…+(n-2)an-2(n≥3).
两式相减得：an-an-1=(n-1)an-1(n≥3)，
所以an=n·an-1，即 =n(n≥3)，
an a n1
所以 a3 a4 a5 an1 an =3×4a×2 5a×3 …a4 ×(na-n12)×ann1，
所以 an (nn！≥3). 又因为a2a1=21，a2=a1=1，所以an=
1.根据框图，建立所打印数列的递推公式，数列的前5项

所以f1>f2，
a<2， 即12－1>2a－2.
解得 a<74，故选 C. [答案] C
[误区] 本题易受函数单调性的影响形成思维定式，只考虑两段与分界点，得
a<2， 122－1≥2a－2，
即 a≤183，错选 B. [防范措施] 因为数列可以看作是定义域为正整数集或其子集的一类特殊的 函数，所以数列具备一般函数应具备的性质．用函数的观点研究数列时不要 忽视数列的特殊性，特别注意数列中的项数应为正整数的条件．
[解析] (1)是常数列且是有穷数列； (2)是无穷摆动数列； (3)是无穷递增数列因为n－n 1＝1－n1； (4)是无穷递减数列； (5)是无穷摆动数列． [答案] (1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1) (2)(5)
探究二 根据数列的前几项写出通项公式 [典例 2] 根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式． (1)－3,0,3,6,9，…； (2)3,5,9,17,33，…； (3)2,0,2,0,2,0，…； (4)12，14，－58，1136，－2392，6614，….
探究三 数列通项公式的应用 [典例 3] 已知数列 2， 5，2 2， 11，…. (1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第 20 项； (2)问 4 2是否是该数列的项？10 呢？
[解析] (1)原数列可写为 2， 5， 8， 11，…，不难发现，“ ” 下 面 的 数 值 后 一 项 比 前 一 项 大 3 ， 故 通 项 公 式 可 写 为 an ＝
2＋n－1×3＝ 3n－1， 即 an＝ 3n－1. 所以 a20＝ 3×20－1＝ 59. (2)令 4 2＝ 3n－1，即 32＝3n－1，解得 n＝11， ∴4 2是数列的第 11 项． 再令 10＝ 3n－1，即 3n－1＝100，解得 n＝1031∉N*， ∴10 不是该数列的项．

由数列的前几项求通项公式
[典例]
(1)数列
3 5
，
1 2
，
5 11
，
3 7
，…的一个通项公式是
________．
(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．
①2×1 4，3×1 5，4×1 6，5×1 7，…；
②－3,7，－15,31，…；
③2,6,2,6，….
[解析] (1)数列可写为：35，48，151，164，…，分子满足：3 ＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…，
已知数列{an}的通项公式，判断某一个数是否是数列{an}的 项，即令通项公式等于该数，解关于n的方程，若解得n为正整 数k，则该数为数列{an}的第k项，若关于n的方程无解或有解且 为非正整数解则该数不是数列{an}中的项．
[点睛] (1)数列中的数是按一定顺序排列的．因此，如 果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是 不同的数列．例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4 是不同的数列．
(2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不 同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．例如：1，－ 1,1，－1,1，…；2,2,2，….
2．数列的分类
分类标准 名称
含义
按项的 个数
按项的变 化趋势
有穷数列 无穷数列 递增数列
递减数列 常数列 摆动数列
项数_有__限__的数列 项数_无__限__的数列
从第_2_项起，每一项都_大__于__它的前 一项的数列
从第_2_项起，每一项都_小__于__它的前 一项的数列
_各__项__相__等__的数列 从第_2_项起，有些项_大__于__它的前一 项，有些项小__于__它的前一项的数列

Leabharlann 3.2等差数列及其通项公式
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；

（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −

数列的分类
有穷数列和无穷数列
• 有穷数列的项数是有限的，无穷数列的项数是无限的 。
等差数列和等比数列
• 等差数列的相邻两项之差是一个常数，等比数列的相 邻两项之比是一个常数。
有序数列和无序数列
• 有序数列是指各项按照一定的顺序排列的数列，无序 数列是指各项没有固定的顺序排列的数列。
数列的应用
在数学领域的应用
数列极限的性质
唯一性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ，则其极限是唯一的。
有界性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ，则存在正数$M$，使得当$n$
充分大时，有$|a_n| < M$。
保号性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ，且当$n$充分大时，有$a_n > 0$（或$a_n < 0$），则有$A >
数学分析
收敛数列在数学分析中有 着广泛的应用，如泰勒级 数、洛朗兹级数等。
THANKS
感谢观看
公式
03
an=a1+(n-1)d
等差数列的通项公式
通项公式的推导
由等差数列的定义可知，an=a1+(n-1)d，当n=1时，a1=a1+(1-1)d，即 a1=a1+0d=a1，当n=2时，a2=a1+d=(a1+d)，当n=3时， a3=a1+2d=(a1+d)+d=a2+d,依次类推，得出通项公式an=a1+(n-1)d。
减法
如果$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = A$且$\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = B$， 则有$\lim_{n \rightarrow \infty}(a_n - b_n) = A - B$。

公式
等差数列的通项公式是 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_n$ 是第 $n$ 项，$a_1$ 是第一项，$d$ 是公差 。
等比数列的定义与特性
01
02
03
定义
等比数列是一组数，其中 任意两个相邻的数之间的 比是一个常数。
特性
等比数列的任意一项都可 以表示为前一项乘以一个 常数，这个常数被称为公 比。
金融
在金融领域，数列常用于研究投资回报、风险评估和资产定价等 。
贸易
在贸易中，数列用于分析商品销售的周期性和趋势，以及预测市场 需求。
经济学
在经济学中，数列用于研究经济增长、通货膨胀和就业等经济指标 的规律和趋势。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
唯一性
一个数列只能有一个极 限。
稳定性
如果数列${ a_n }$的极 限为$a$，则对于任意 小的正数$epsilon$， 存在正整数$N$，当 $n>N$时，有$|a_n a| < epsilon$。
数列的收敛性定义与性质
收敛性定义
如果数列${ a_n }$的极限 存在，则称数列${ a_n }$ 收敛。
REPORTING
文字叙述法
文字叙述法是用文字描述数列的方法，通常包括起始值、递增值和项数等要素。
例如，数列“1, 4, 7, 10, 13”可以用文字叙述法表示为“从1开始，每次递增3，共 有5项”。
文字叙述法虽然直观易懂，但不够精确和简洁，容易产生歧义。
公式表示法
公式表示法是用数学公式来表 示数列的方法，通常包括通项 公式和求和公式等。
详细描述
数列是一种有序的数集，这些数按照 一定的次序排列，每个数称为数列的 一个项，每个项都有一个与之对应的 正整数，称为项的序号。

递增性
总结词
数列的各项按照从小到大的顺序排列。
详细描述
递增性指的是数列中的每一项都比前一项大，即数列按照从小到大的顺序排列。 例如，一个递增的整数数列可以是1，2，3，4，5，…。
递减性
总结词
数列的各项按照从大到小的顺序排列。
详细描述
递减性指的是数列中的每一项都比后一项小，即数列按照从大到小的顺序排 列。例如，一个递减的整数数列可以是5，4，3，2，1，…。
2023
数列的概念和简单表示法
目录
• 数列的定义和分类 • 数列的表示法 • 数列的特性 • 数列的简单运算 • 数列的扩展知识 • 数列的应用案例
01
数列的定义和分类
数列的定义
数列是一种特殊的函数，它按照顺序排列一组实数。 数列的第一个数叫做首项，最后一个数叫做末项。
数列中的每一个数叫做项，而每个项与它前面的那个 数的差叫做公差。
数列的极限和收敛性
数列的极限
如果当n趋向无穷大时，数列的项无限接近某个常数a，则称a为该数列的极限。
数列的收敛性
如果一个数列存在极限，则称该数列为收敛数列。
06
数列的应用案例
数列在金融领域的应用
复利计算
01
数列常用于计算投资收益的复利，如等比数列的求和公式被广
泛应用于计算累计利息。
风险评估
02
等差数列的性质
等差数列的任意一项都等于其首项加上一个常数，即第n 项a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。
等比数列的概念和性质
等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，这个数列 就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。
等比数列的性质

等差数列
基本概念
等差数列是指一个数列中任意两 项之间的差值都相等。
通项公式
等差数列的通项公式可以用来表 示数列中任意一项的公式。
前n项和公式
等差数列的前n项和公式可以用 来计算数列的前n项和。
等比数列
1
基本概念
等比数列是指一个数列中任意两项之间
通项公式
2
的比值都相等。
等比数列的通项公式可以用来表示数列
中任意一项的公式。
3
前n项和公式
等比数列的前n项和公式可以用来计算数 列的前n项和。
数列的应用
等差数列的实际应用
等比数列的实际应用
斐波那契数列的应用
等差数列可以用来表示各种实际 问题，例如等差数列的应用问题。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
等比数列可以用来表示各种实际 问题，例如等比数列的应用问题。
斐波那契数列在自然界中有许多 有趣的应用，例如植物叶子的排 列方式。
《数列的概念与简单表示 法》课件
欢迎来到《数列的概念与简单表示法》课件！通过本课件，我们将一起探索 数列的基本概念、常见表示方法以及它们在实际问题中的应用。让我们开始 吧！
数列的基本概念
定义
数列是按照一定的规律排列 的一组数。
分类
数列可以根据增减规律分类 为等差数列、等比数列等。
通项公式
通项公式可以用来表示数列 中任意一项的公式。
总结
1 基本概念与表示方法
我们学习了数列的基本概念以及等差数列和等比数列的表示方法。
2 在实际问题中的应用
数列在实际问题中有着广泛的应用，可以帮助我们解决各种数学和科学难题。
3 拓展学习和进一步发展
数列是数学中的基础概念，继续学习数列的高级应用和推广可以进一步发展自己的数学 能力。

[答案] (1) (2)(3)(4)(5)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(1)(2) (3) (4)(5) (5)
[点评] 若数列{an}满足an<an＋1，则是递增数列；若数 列{an}满足an>an＋1，则是递减数列；若存在正整数T(T为常 数)使an＋T＝an，则数列的周期为T.解答本题应体现出“概念 优先”原则．
类型二 观察法求数列的通项公式 [例2] 根据下面数列的前几项，写出各数列的一个通 项公式． (1)9,99,999,9999，…； (2)112，245，3190，41167，…； (3)－1,0，－1,0，…； (4)1，23，12，25，….
[点评] 此类问题虽无固定模式，但也有规律可循， 主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化 (转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方 法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特 征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征； ⑤化异为同．
类型三 数列的通项公式及数列中的项 [例3] 数列{an}中，已知an＝n2＋3n－1(n∈N*)． (1)写出a10，an＋1，an2； (2)7923是不是该数列中的项？若是，是第几项． [分析] (1)将项数n换为10，n＋1，n2即可； (2)由项7923求对应的项数，判断项数是否为正整数．
从第2项起，有些项_大__于__它的前一项， 摆动数列
有些项小于它的前一项的数列
4.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与_序__号__n_之间的关系可以用一 个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的_通__项__公__式__．
典例导悟
类型一 数列的概念与分类 [例1] 已知下列数列： (1)2000,2004,2008,2012； (2)0，12，23，…，n－n 1，…；

23
易错点：
对于数列{an}，
若第 n 项最大，则aann≥≥aann－＋11，，
而不是an>an－1， an>an＋1.
24
例题讲解
题型四 单调性分析 例 4. 已知 an＝9n·1n0＋n 1(n∈N*)，则数列{an}中有没有最 大项？如果有，求出最大项；如果没有，请说明理由． [错解] 设 an 最大(n≥2)，
1. 已 知 函 数 f (x) log 2 x log x 4, (0 x 1) ， 数 列 {an} 满 足
f (2an ) 2n
(1)求 an； (2)判断数列{an}的单调性。
28
2. 数列{an}满足 an n2 kn 1是增数列，求 k 的取值范围。
3.
数列{an}满足 an
题型三 数列递归公式的应用 例 3. 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由公式 an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前 5 项； (2)通过公式 bn＝aan＋n 1构造一个新数列{bn}，写出数列{bn} 的前 4 项．
17
解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)且 a1＝1，a2＝2. ∴a3＝a2＋a1＝2＋1＝3， a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. ∴数列{an}的前 5 项依次为 1,2,3,5,8.
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)； (2)a1＝1，an＋1＝a2n＋an2.
20
解：(1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)， ∴a2＝a1＋(2×1－1)＝1， a3＝a2＋(2×2－1)＝4， a4＝a3＋(2×3－1)＝9， a5＝a4＋(2×4－1)＝16， ∴它的前五项为 0,1,4,9,16，此数列又可写成 (1－1)2，(2－1)2，(3－1)2，(4－1)2，(5－1)2，… 故该数列的一个通项公式为 an＝(n－1)2.

2.若仅由数列{an}的递推关系 an=ban-1+c(n≥2,n∈N*),能否求出数
列{an}的每一项?
提示:不能,要想求出数列{an}的每一项,还需知道数列的第一项或
前几项.
第2课时
问题导学
数列的通项公式与递推公式
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
故选 A.
第2课时
问题导学
数列的通项公式与递推公式
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
2.已知数列{an}的通项公式为 an=(10-n)·
2n,求数列{an}中的最大项.
解:(方法一)∵an=(10-n)·
2n,
∴an+1-an=(10-n-1)·
故 a2 014=a6×335+4=a4=1.
1
2

5
= ,a7= 6 =1,…,
第2课时
问题导学
数列的通项公式与递推公式
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
数列的递推公式给出了相邻两项(或多项)之间的关系,只要知道第
一项就可以用递推公式求出后面的各项,如果各项间的规律明显,可以
第2课时
目标导航
数列的通项公式与递推公式
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
预习引导
预习交流
通项公式与递推公式的区别与联系是怎样的?

奇偶性是指数列中奇数项和偶数项分别具有不同的性质或规律。例如，奇数项都是正数， 而偶数项都是负数；或者奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列等。
数学表达
如果对于任意的正整数n，都有an=(-1)^n*b(n)，其中b(n)是另一个数列，则称数列{an} 具有奇偶性。
03
数列的应用
在数学中的应用
性质
递推数列的每一项都可以通过前一项或前几项计 算得出，具有很强的规律性。
THANK YOU
公式
通项公式为 $a_n = a_1 times r^{(n-1)}$，其 中 $a_1$ 是首项，$r$ 是公比。
3
性质
等比数列的任意一项都可以通过首项和公比计算 出来，且任意两项之间的比值都是固定的。
递推数列
定义
递推数列是一种通过递推关系式来定义数列的数 列。
公式
递推数列的通项公式通常不能直接求解，需要通 过递推关系式逐步计算得出。
《数列的概念》ppt课件
• 数列的定义 • 数列的性质 • 数列的应用 • 数列的运算 • 数列的拓展
01
数列的定义
数列的描述
总结词
数列是一种特殊的函数，它按照一定的次序排列。
详细描述
数列是一种有序的数字排列，每个数字都有其对应的位置，并且每个位置上的 数字都是唯一的。数列可以看作是函数的特例，其中自变量是自然数或整数， 因变量是实数或复数。
02 03
详细描述
有界性是数列的一个重要性质，它保证了数列不会发散到无穷大或无穷 小。具体来说，如果存在正数M，使得对于所有n，数列的第n项an都 满足|an|≤M，则称数列有界。
数学表达
如果存在正数M，使得对于所有n，都有|an|≤M，则称数列{an}有界。

2．数列的分类
“数”有关，而且还与
分类 原则 按项 数分 类
类型 满足条件 有穷数列 项数 有限 无穷数列 项数 无限
这些“数”的排列顺序 有关． (2)数列的项与项数：数 列的项与项数是两个不 同的概念，数列的项是 指数列中某一确定的 数，而项数是指数列的 项对应的位置的序号．
基础知识·自主学习 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
探究提高
已知数列的递推关系，求数列的 通项时，通常用累加、累乘、构 造法求解．
当出现 an＝an－1＋m 时，构造等差 数列；当出现 an＝xan－1＋y 时， 构造等比数列；当出现 an＝an－1 ＋f(n)时，用累加法求解；当出现 aan－n 1＝f(n)时，用累乘法求解．
题型分类·深度剖析 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
思维启迪
解析
探究提高
偶数项为 2＋1，所以 an＝ (－1)n·2＋n－1n.也可写为 an＝
－1n，n为正奇数， (4)将3n，数n列为各正项偶改数写. 为93，939，9939，
9 9399，…，分母都是 3，而分子 分别是 10－1,102－1,103－1,104 －1，…，
所以 an＝13(10n－1)．
4．数列的通项公式
如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的函
数关系可以用一个表示式子表示成 an＝f(n),
数，数列的通项公式也就 是相应的函数解析式，即 f(n)＝an (n∈N*)．
那么这个公式叫作这个数列的通项公式．
基础知识·自主学习 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程

(2)已知数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4·3n－1，则 通项公式 an＝________. an＝4·3n－1－5·2n－1
(3)已知数列{an}中，a1＝－1，a2＝2，当 n∈N*， an＋2＝5an＋1－6an，求 an.
27
解析:(1)递推公式 an＋1＝2an＋3 可以转化为 an＋1－t ＝2(an－t)，即 an＋1＝2an－t⇒t＝－3.故递推公式为 an＋1 ＋3＝2(an＋3)，令 bn＝an＋3，则 b1＝a1＋3＝4，且bbn＋n 1 ＝aan＋n＋1＋33＝2.所以{bn}是以 b1＝4 为首项，2 为公比的 等比数列，则 bn＝4×2n－1＝2n＋1，所以 an＝2n＋1－3.
an ＝
1，n是奇数，等． 0，n是偶数
10
写出下列数列的一个通项公式： (1)－1，12，－13，14，－15，…； (2)3，5，9，17，33，…； (3)0.8，0.88，0.888，…； (4)23，－1，170，－197，2116，…. (5)1，0，13，0，15，0，17，0，… (6)32，1，170，197，….
(5) 奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因式(－1)n；各 项绝对值的分母组成数列 1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组 成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 2－1，偶数项 为 2＋1，所以 an＝(－1)n·2＋（n－1）n.
－n1，n为正奇数， 也可写为 an＝ 3n，n为正偶数.
7
解：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用 (－1)n 调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一 项的绝对值大 6，故数列的一个通项公式为 an＝(－1)n(6n－5)．
(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分 解为 1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个 相 邻 奇 数 的 乘 积 ． 故 数 列 的 一 个 通 项 公 式 为 an ＝

通过通项公式可以快速求出等差数列 中任意一项的值。
等差数列的求和公式
公式
Sn=n/2*[2a1+(n-1)d]，其中Sn为前n项和，a1为首项，d为 公差，n为项数。
应用
通过求和公式可以快速求出等差数列前n项的和，解决与等差 数列和相关的问题。
03
等比数列
等比数列的定义与性质
定义
等比数列是指从第二项起，每一项与它 的前一项的比值等于同一个常数的一种 数列。
数列的极限与收敛性
数列极限的定义与性质
数列极限的定义
对于数列{an}，如果存在 常数A，对于任意给定的 正数ε（不论它多么小） ，总存在正整数N，使得 当n>N时，不等式|anA|<ε都成立，那么称常数 A是数列{an}的极限。
唯一性
如果数列{an}收敛，那么 它的极限唯一。
有界性
如果数列{an}收敛，那么 数列{an}一定有界。
等比数列的求和公式
求和公式
Sₙ=a₁(1-q^n)/(1-q)（q≠1），其中Sₙ是前n项和，a₁是首项，q是公比，n是项数。
推导过程
根据等比数列的通项公式，可以得到Sₙ=a₁+a₁×q+a₁×q²+...+a₁×q^(n-1)，通过错位相减法可以得到求和公式 。当q=1时，Sₙ=n×a₁。
04
极限的加法运算法则
lim(an+bn)=lim an+lim bn。
极限的减法运算法则
lim(an-bn)=lim an-lim bn。
极限的乘法运算法则
lim(an×bn)=lim an×lim bn。
极限的除法运算法则
lim(an/bn)=lim an/lim bn（ bn的极限不等于0）。

____每__一__项__都_大__于__它__的__前_一__项_________________的数列． • 递减数列：从第2项起，
____每__一_项__都__小__于__它_的__前__一__项________________的数列．
• 常数列：各项都__相_等_____的数列．
• 摆动数列：从第2项起，________________ 有__些__项_大__于__它__的__前_一__项__，__有__些_项__小__于__它__的_前__一__项__________ 的数列．
• (2)数列的通项公式具有双重身份，它既表示了数 列的第___n_____项，又是这个数列中所有各项的 _一_般__表_示___．通项公式反映了一个数列项与序号的 __函__数__关系，给了数列的通项公式，这个数列便 确定了，代入项数n就可求出数列的_每_一__项____．
• [思考] 数列的通项公式与函数关系式有什 么关系？
79(10n－1)，故 an＝79(10n－1)． (2)分开观察，正负号由(－1)n＋1 确定，分子是偶数 2n，分母
是 1×3，3×5，5×7，…，(2n－1)(2n＋1)，故数列的通项公式可
写成 an＝(－1)n＋1（2n－1）2n（2n＋1）. (3)将已知数列变为 1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，
• (3)数列的一般形式：a1，a2，a3，…，an，…， 或简记为，其中an是数列的第n项．
• 3．数列可看成是定义域为_N_*______或__N_*_____的子集 (子集中的自然数必须连续)的特殊函数，研究数列可联系函 数的相关知识给予解答．
• • [思考] 数列与集合对比有什么区别？
• 解：数列与集合的区别