人教A版选修2-3高二数学复习：练习题2.docx

绝密★启用前人教版选修2-3 课时2.4 正态分布一、选择题1．【题文】正态分布密度函数为φμ，σ(x )＝28e 8πx -，x ∈(－∞，＋∞)，则总体的平均数和标准差分别是( )A ．0和8B ．0和4C ．0和2D ．0和22．【题文】某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的分布可视为正态分布，如图所示，则下列说法中正确的一个是( )A ．乙科总体的标准差及平均数不相同B ．甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同C ．丙科总体的平均数最小D ．甲科总体的标准差最小3．【题文】若随机变量ξ的密度函数为()222πx f x -=，ξ在(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p 1、p 2，则p 1、p 2的关系为( )A ．p 1＞p 2B ．p 1＜p 2C ．p 1＝p 2D ．不确定4．【题文】随机变量X ～N (μ，σ2)，则Y ＝aX ＋b 服从( )A ．N (aμ，σ2)B ．N (0,1)C ．N (aμ，2b σ) D ．N (aμ＋b ，a 2σ2)5．【题文】随机变量ξ～N (2,100)，若ξ落在区间(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，则k 等于( ) A ．2B ．10 C. 2 D ．可以是任意实数6．【题文】已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( )A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.9777．【题文】以φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布(μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|<σ)等于( )A ．φ(μ＋σ)－φ(μ－σ)B ．φ(1)－φ(－1)C ．1μϕσ-⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2φ(μ＋σ)8．【题文】已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N (110,52)，据此估计，大约应有57人的分数区间为( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115]二、填空题9．【题文】已知X ～N (1.4,0.052)，则X 落在区间(1.35,1.45)中的概率为__________．10．【题文】某次考试成绩X ～N (a ,52)，随机抽查了10位同学的成绩，其平均值为72.5，标准差为5.3，则a 的估计值为________．11．【题文】若随机变量X 的概率密度函数是()()()22822πx f x x +-=∈R ，则()21E X -＝________.三、解答题12．【题文】某砖瓦厂生产的砖的“抗断强度”X服从正态分布N(30,0.82)，质检人员从该厂某一天生产的1 000块砖中随机抽查一块，测得它的抗断强度为27.5kg/cm2，你认为该厂这一天生产的这批砖是否合格？为什么？13．【题文】已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如图．(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；(2)求此地农民工年均收入在8000～8500之间的人数百分比．14.【题文】某人乘车从A地到B地，所需时间（分钟）服从正态分布N（30，100），求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率.人教版选修2-3 课时2.4 正态分布参考答案与解析一、选择题 1． 【答案】C【解析】根据正态分布密度曲线()()222,x x μσμσϕ--=知μ＝0，σ＝2.故选C.考点：正态分布的曲线. 【题型】选择题 【难度】较易 2． 【答案】D【解析】由图象知甲、乙、丙三科的平均分一样，但标准差不同，σ甲<σ乙<σ丙． 考点：正态分布的曲线. 【题型】选择题 【难度】较易 3． 【答案】C【解析】由题意知，μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x ＝0对称，所以p 1＝p 2.故选C. 考点：正态分布. 【题型】选择题 【难度】较易 4． 【答案】D【解析】由X ～N (μ，σ2)知E (X )＝μ，D (X )＝σ2，∴E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ＝aμ＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )＝(aσ)2，从而Y ～N (aμ＋b ，a 2σ2). 考点：正态分布. 【题型】选择题 【难度】一般5． 【答案】A【解析】由于ξ的取值落在(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x ＝k 的左侧和右侧与x 轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x ＝k 对称，即μ＝k ，而μ＝2，∴k ＝2. 考点：正态分布. 【题型】选择题 【难度】一般 6． 【答案】C【解析】∵P (ξ>2)＝0.023，∴P (ξ<－2)＝0.023，故P (－2≤ξ≤2)＝1－P (ξ>2)－P (ξ<－2)＝0.954. 考点：正态分布. 【题型】选择题 【难度】一般 7． 【答案】B 【解析】设ξμησ-=，则P (|ξ－μ|<σ)＝P (|η|<1)＝φ(1)－φ(－1)． 考点：正态分布.【题型】选择题【难度】一般8．【答案】C【解析】由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.682 6，0.954 4，0.997 4.由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是60×0.682 6≈41人，60×0.9544≈57人，60×0.997 4≈60人．故选C.考点：正态分布.【题型】选择题【难度】一般二、填空题9．【答案】0.682 6【解析】因为μ＝1.4，σ＝0.05，所以X落在区间(1.35，1.45)中的概率为P(1.4－0.05<X≤1.4＋0.05)＝0.682 6.考点：正态分布.【题型】填空题【难度】较易10．【答案】72.5【解析】某次考试成绩X～N(a,52)，a即为正态分布的数学期望，而随机抽查了10位同学的成绩其平均值为72.5，用此样本平均值来估计a的值，故a＝72.5.考点：正态分布.【题型】填空题【难度】较易11．【答案】－5【解析】由概率密度函数解析式可知其图象的对称轴是直线x＝－2，可得μ＝－2，即E(X)＝－2，因此E(2X－1)＝2E(X)－1＝－5.考点：正态分布.【题型】填空题【难度】一般三、解答题12．【答案】略【解析】由于在一次试验中X落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率约99.7%，故X 几乎必然落在上述区间内．把μ＝30，σ＝0.8代入，得μ－3σ＝30－3×0.8＝27.6，μ＋3σ＝30＋3×0.8＝32.4，即(μ－3σ，μ＋3σ)＝(27.6,32.4)，而27.5∉(27.6,32.4)，所以认为这批砖不合格．考点：正态分布.【题型】解答题【难度】一般13．【答案】（1）()()2280002500(),,xP x x--⨯=∈-∞+∞（2）34.13%【解析】农民工年均收入ξ～N(μ，σ2)，结合图象可知μ＝8000，σ＝500.(1)此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式为()()2280002500(),,xP x x--⨯=∈-∞+∞.(2)∵P (7500<ξ≤8500)＝P (8000－500<ξ≤8000＋500)＝0.6826. ∴P (8000<ξ≤8500)＝12P (7500<ξ≤8500)＝0.3413. 即农民工年均收入在8000～8500之间的人数占总体的34.13%. 考点：正态分布. 【题型】解答题 【难度】一般 14.【答案】0.135 9【解析】∵()0.6826P X μσμσ-<<+=，∴()10.68262P X μσ->+=. ∴()10.682610.68261222P X μσ-<+=-=+. 又∵()220.9544P X μσμσ-<<+=，∴()10.954422P X μσ->+=. ∴()10.954410.954421222P X μσ-<+=-=+. ∴()()()22P X P X P X μσμσμσμσ+<<+=<+-<+10.954410.68262222⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭ ()10.95440.68260.13592=⨯-=. ∵30μ=，10σ=，∴()40500.135 9P X <<=.因此，此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率是0.135 9. 考点：正态分布. 【题型】解答题 【难度】一般。

P(aXb)a b,(x)dx
关于参数μ和σ： 参数μ是反映随机变量取值的平均水平
的特征数，可以用样本的均值去估计； 参数σ是 衡量随机变量总体波动大小的
特征数，可以用样本的标准差去估计.
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总体平均数反映总体随机变量的平均水平; 总体标准差反映总体随机变量的集中与分 散的程度.
1
2
平均数
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
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3. 正态曲线的特点
(1)曲线在x轴上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (3)曲线在x=μ处达到峰值(最高点) 1 ;
σ 2π
(4)曲线与x轴之间的面积为1.
利用计算机研究正态曲 线随着μ和σ变化而变化 的特点.
点整击理课播件放几何画板课件
让一个小球从高尔顿板 上方的通道口落下，小 球在下落的过程中与层 层小木块碰撞，最后掉 入高尔顿板下方的某一 球槽内.如果把球槽编号， 就可以考察球到底是落 在第几号球槽内.
高尔顿板示意图
整理Байду номын сангаас件
3.高尔顿板试验过程
重复进行高尔顿板试验， 随着试验次数的增加， 掉入各个球槽内的小球 的个数就会越来越多， 堆积的高度也会越来越 高.各个球槽内的堆积高 度反映了小球掉入各球 槽的个数多少.
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(2) 标准正态分布
特别地，当μ=0，σ=1时，正态总体称为
标准正态总体，这时相应的正态分布密度函
数表达式为
,(x)
1 x2 e 2,x(,).
2
这时的曲线称为标准正态曲线，这时的正态 分布称为标准正态分布.
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(2) 正态分布随机变量的产生背景

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知能巩固提升(十二)/课后巩固作业(十二)(时间：30分钟满分：50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.由“0”“1”组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)＝( )(A)12 (B)13(C)14(D)182.电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了15 000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是( )(A)0.75 (B)0.60 (C)0.48 (D)0.203.(2012·泰安高二检测)一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是( )(A)14 (B)23 (C)12 (D)134.(易错题)已知P(B)＞0,A 1A 2=∅,则下列式子成立的是( )①P(A 1|B)＞0;②P(A 1∪A 2|B)=P(A 1|B)+P(A 2|B)； ③12P(A A |B)0≠； ④12P(A A |B)1=.(A)①②③④ (B)②(C)②③ (D)②④二、填空题(每小题4分，共8分)5.(2012·泰州高二检测)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为_____．6.(2011·湖南高考)如图，四边形EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)=_______；(2)P(B|A)=_____.三、解答题(每小题8分，共16分)7.(2012·广州高二检测)甲、乙两个袋子中，各放有大小、形状和个数相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n 个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是110. (1)求n 的值；(2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1的条件下，求另一个标号也是1的概率.8.坛子里放着5个相同大小、相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．【挑战能力】(10分)某地区气象资料表明，邻近的甲、乙两城市中的甲市全年雨天的概率为12%，乙市全年雨天的概率为9%，两市中全年至少有一市为雨天的概率为16.8%，试求甲市为雨天的条件下，乙市亦为雨天的概率.答案解析1.【解析】选A ．在第一位数字为0的条件下，第二位数字为0的概率为()()n AB 21P(A B).n B 222===⨯｜ 2.【解析】选A ．记“开关了10 000次后还能继续使用”为事件A ，记“开关了15 000次后还能继续使用”为事件B ，根据题意，易得P(A)=0.80，P(B)=0.60，则P(AB)=0.60，由条件概率的计算方法，可得()()P AB 0.60P 0.75.P A 0.80=== 【变式训练】设某种动物从出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4.现有一个20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是.【解析】设“此种动物活到20岁”为事件A ，“活到25岁”为事件B ，所以()()()()()P AB P B 0.41P B |A .P A P A 0.82==== 答案：123.【解析】选D.一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．记事件A 为“其中一个是女孩”，事件B 为“另一个是女孩”，则A={(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B={(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB={(女，女)}． 于是可知()3P A 4=，()1P AB 4=．问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求P(B|A)，由条件概率公式，得()114P B |A 334==． 【误区警示】本题在求解过程中，常因搞错样本空间致误.4.【解题指南】结合概率知识求解，注意特例法的适用.【解析】选B.①P(A 1|B)≥0，故①错误；②正确； ③12P(A A |B)0≥;④12P(A A |B)0≥.5.【解析】设“种子发芽”为事件A ，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为：P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.答案：0.726.【解题指南】解答本题的关键是计算出正方形的面积和扇形的面积.可利用几何概型求P(A)及P(AB).【解析】正方形的面积为2，圆的面积为π.(1)∵A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，∴()2P A =π.(2)∵B 表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，∴()1P AB 2=π，∴()()()P AB 1P B |A P A 4==. 答案：(1)2π (2)147.【解析】(1)由题意得：()()()2n 2n 3n n 1C 1C n 3n 210+-==++,解得n=2. (2)记“一个标号是1”为事件A ，“另一个标号是1”为事件B ，所以()()()222153n AB C 1P B |A .n A C C 7===- 8.【解析】设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A ，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B ，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB.(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个鸭蛋的基本事件数为n(Ω)＝25A ＝20.又()1134n A A A 12.⨯＝＝于是()()n A 123P A .n()205Ω＝＝＝ (2)因为()23n AB A 6＝＝，所以()()n AB 63P AB .n()2010==Ω＝(3)由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)＝()()3P AB 110.3P A 25＝＝ 【一题多解】(3)因为n(AB)＝6，n(A)＝12，所以()()()n AB 61P B |A n A 122＝＝＝. 【挑战能力】【解题指南】求解本题时注意对“至少有一市”的理解，切勿因理解错误，出现解题错误.【解析】设事件A 为“甲市为雨天”，事件B 为“乙市为雨天”，则P(A)=0.12，P(B)=0.09，P(A ∪B)＝0.168.故P(AB)=P(A)+P(B)-P(A ∪B)＝0.12+0.09-0.168=0.042.所以P(B|A)=()()P AB P A =0.0420.12=0.35. 【变式训练】在一批电子元件中任取一件检查，是不合格品的概率为0.1，是废品的概率为0.01，已知取到了一件不合格品，它不是废品的概率是多少？【解析】设“取一件产品是不合格品”为事件A ，“取一件产品是废品”为事件B ，则()()()()()()P ABP A P AB P B |A P A P A -==()()()P A P B 0.10.010.9.P A 0.1--===。

y
O
x
(5)当一定时,曲线随着的变化而沿x轴平移 (6)当一定时,曲线的形状由的确定.
越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中; 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.
若X~N(,2),则对于任何实数a>0,概率
P a X a
dx , a x a
大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（ C ）
A.(90,110] B.(95,125] C.(100,120] D.(105,115]
2.已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率等于（ D ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228
3.设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X
a
P X 0.6826
P 2 X 2 0.9544 P 3 X 3 0.9974
3原则 通常认为服从于正态分布N(,2)的随机变量X只取 (-3,+3)之间的值.
课堂小结
b a
如果对于任何实数a<b,随机变量X满足 b Pa X b , x dx a
则称X的分布为正态分布 记N , 2 X服从正态分布,则记 X ~ N , 2
是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去
估计；
是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去
第二章 随机变量及其分布
2.4 正态分布
知识回顾
随机变量的方差
性质
意义
D(aX+b)=a2D(X)
若X服从两点分布,则DX=p(1-p)
若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p)