山东各地2019高考数学(文科)最新试题分类大汇编14：三角函数(4)

2019年高考数学试题分项版——三角函数（解析版）1、（2019年高考新课标Ⅰ卷文）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a ，2c ，2cos 3A，则b=（A ）2（B ）3（C ）2 （D ）3【答案】D 【解析】试题分析：由由余弦定理得3222452b b，解得3b（31b舍去），选 D.2、（2019年高考新课标Ⅰ卷文）若将函数y=2sin (2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y=2sin(2x+π4) （B ）y=2sin(2x+π3) （C ）y=2sin(2x –π4) （D ）y=2sin(2x –π3)【答案】D 【解析】试题分析：函数y2sin(2x)6的周期为，将函数y2sin(2x)6的图像向右平移14个周期即4个单位，所得函数为y2sin[2(x))]2sin(2x)463，故选 D.3、（2019年高考新课标Ⅰ卷文）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x 在,单调递增，则a 的取值范围是（A ）1,1（B ）11,3（C ）11,33（D ）11,3【答案】C 【解析】试题分析：用特殊值法：取1a ，1sin 2sin 3f x xx x，21cos 2cos 3f x x x，但2201133f ，不具备在,单调递增，排除A ，B ，D ．故选C ．4、（2019年高考新课标Ⅰ卷理）已知函数()sin()(0),24f x x+x，为()f x 的零点，4x为()y f x 图像的对称轴，且()f x 在51836，单调，则的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B 【解析】试题分析：因为4x为()f x 的零点，4x为()f x 图像的对称轴，所以()444T kT ，即41412244k k T，所以41(*)k kN ，又因为()f x 在5,1836单调，所以5236181222T，即12，由此的最大值为9.故选B.5、（2019年高考新课标Ⅱ卷文）函数=sin()y A x 的部分图像如图所示，则（A ）2sin(2)6y x（B ）2sin(2)3yx（C ）2sin(2+)6yx （D ）2sin(2+)3yx 【答案】A6、（2019年高考新课标Ⅱ卷理）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ）ππ26k x k Z （B ）ππ26k x k Z （C ）ππ212Zk xk（D ）ππ212Zk xk【答案】B考点：三角函数的图象变换与对称性.【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωｘ加减多少值．7、（2019年高考新课标Ⅱ卷理）若π3cos45，则sin 2= （A ）725（B ）15（C ）15（D ）725【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos12144525，且cos 2cos2sin 242，故选 D.8、（2019年高考新课标Ⅲ卷文）若，则（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．9、（2019年高考新课标Ⅲ卷文理）在中，，BC 边上的高等于,则tan13cos 245151545ABC △π4B =13BC sin A =（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D 【解析】试题分析：设边上的高线为，则，所以．由正弦定理，知，即，解得，故选D ．[来源:学科网ZXXK]10、（2019年高考新课标Ⅲ卷理）若，则(A)(B)(C) 1 (D)【答案】A 【解析】试题分析：由，得或，所以，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．11、(2019年高考北京卷理) 将函数图象上的点向左平移（）个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（）A.，的最小值为B.，的最小值为[来源:Z 。

山东各地2019高考数学（文科）最新试题分类大汇编4：函数（2）A.1B.2C.3D.4 【答案】A【山东省济宁市鱼台一中2018届高三第三次月考文】3.函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩,那么1(())9f f =( ) A.4 B.14C.4-D.14- 【答案】B【山东省济宁市鱼台一中2018届高三第三次月考文】5.函数y =为A 、[4,1]-B 、[4,0)-C 、(0,1]D 、[4,0)(0,1]-【答案】D【山东省济宁市鱼台一中2018届高三第三次月考文】6.函数()()()f x x a x b =--〔其中a b >〕的图象如下面右图所示，那么函()x g x a b =+的图象是( ) A 、B 、C 、D 、【答案】A【山东省济宁市鱼台一中2018届高三第三次月考文】7、01x y <<<，那么 〔 〕 A 、33y x < B 、log 3log 3x y < C 、44log log x y < D 、11()()44xy <【答案】C【山东省济宁市鱼台一中2018届高三第三次月考文】9、以下函数中，在其定义域内是减函数的是( )A .1)(2++-=x x x fB 、 x x f 1)(=C 、 13()log f x x= D. ()ln f x x =【答案】 Cf (x )【山东省济宁市鱼台二中2018届高三11月月考文】7. 设函数2 0()() 0.x x f x g x x ⎧<=⎨>⎩，，，假设()f x 是奇函数，那么(2)g 的值是〔 〕A. 14-B. 4-C. 14 D. 4【答案】A【山东省济宁市鱼台二中2018届高三11月月考文】11.设函数.1s i n c o s )(3++=x x x x f 假设11)(=a f ，那么=-)(a f .【答案】9-与y =f (x -2)的图象关于y 轴对称；②假设函数f 〔x 〕＝x e ，那么∈∀21,x x R ，都有()()222121x f x f x x f +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+；③假设函数f 〔x 〕＝log a |x |()1,0≠>a a 在〔0，＋∞〕上单调递增，那么f 〔－2〕>f 〔a ＋1〕； ④假设函数()1220102--=+x x x f (x ∈R )，那么函数f (x )的最小值为2-.其中真命题的序号是.【答案】②④【山东省济宁市鱼台二中2018届高三11月月考文】20.〔本小题总分值12分〕某加工厂需要定期购买原材料，每公斤材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元、每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用〔即有400公斤不需要保管〕、 〔1〕设该厂每x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x 天内总的保管费用1y关于x 的函数关系式；〔2〕求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y 最少，并求出这个最少〔小〕值、【答案】20.解.⑴每次购买的原材料在x 天内总的保管费用[])(66)1(32103.040021元x x x y -=-++++⨯= …………………………………5分⑵由⑴可知购买一次原材料的总的费用为)(4005.1600662元x x x ⨯++- 所以购买一次原材料平均每天支付的总费用5946600)4005.160066(12++=⨯++-=x xx x x x y ……………………………9分∴71459466002=+⋅≥x xy .当且仅当x x 6600=，即10=x 时，取等号. ∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y 最少，为714元、……12分 【山东省济宁市金乡二中2018届高三11月月考文】1、函数1()lg 3f x x x=--的零点所在区间为〔〕A 、〔0，1〕B 、〔1，2〕C 、〔2，3〕D 、〔3，+∞〕【答案】C【山东省济宁市金乡二中2018届高三11月月考文】4、定义一种运算：()()a ab a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，函数()2(3)x f x x =⊗-，那么函数(1)y f x =+的大致图象是〔〕【答案】B【山东省济宁市金乡二中2018届高三11月月考文】8.函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的区间是〔〕A 、)1,21(B 、)2,1(-e C 、)1,1(-e D 、),2(e【答案】B【山东省济宁市金乡二中2018届高三11月月考文】9.设函数2()(21)4f x x a x =+-+，假设1212,0x x x x <+=时，有12()()f x f x >，那么实数a 的取值范围是〔〕A.12a > B.12a ≥ C.12a ≤ D.12a <【答案】D【山东省济宁市金乡二中2018届高三11月月考文】11.设函数.1s i n c o s )(3++=x x x x f 假设11)(=a f ，那么=-)(a f .【答案】9-【山东省潍坊市2018届高三上学期期末考试文】3、函数121-=x y 的图象关于x 轴对称的图象大致是【答案】B【山东省潍坊市2018届高三上学期期末考试文】 5.函数⎩⎨⎧=≥+<+=6))0((,1.1,13)(2f f x ax x x x f x 若，那么a 的取值等于A 、-1B 、1C 、2D 、4 【答案】B【山东省潍坊市2018届高三上学期期末考试文】11、偶函数)(x f 满足)1()1(+=-x f x f ，且在x ∈[0，1]时,x x f -=1)(，那么关于x 的方程xx f )91()(=，在x ∈[0，3]上解的个数是A 、1B 、2C.3D.4 【答案】D【山东省济南一中2018届高三10月文】3.函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是A 、),31(+∞-B 、)1,31(- C.)31,31(- D 、)31,(--∞ 【答案】B【山东省济南一中2018届高三10月文】6.偶函数()f x 在[]0,2上递减，试比()12211 , log , log 42a f b f c f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭大小 A.a b c >> B.a c b >> C.b a c >> D.c a b >> 【答案】D【山东省济南一中2018届高三10月文】7.假设)1,0(∈x ，那么以下结论正确的选项是A 、xx x 2lg 21>>B 、21lg 2x x x>>C 、x x xlg 221>> D 、x x xlg 221>>【答案】D【山东省济南一中2018届高三10月文】10.函数()22x f x =-，那么函数()y f x =的图象可能是【答案】B【山东省济南一中2018届高三10月文】12.如果方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是 A.)2,2(- B.)0,2(- C.)1,2(- D.)1,0( 【答案】C【山东省济南一中2018届高三10月文】13.函数2sin 2xy x =-的图象大致是【答案】C【山东省济南一中2018届高三10月文】14.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了获得最大利润，每个售价应定为〔〕A.95元B.100元C.105元D.110元 【答案】A【山东省济南一中2018届高三10月文】16.假设点(),9a 在函数3xy =的图象上，那么tan6a π=【山东省济南一中2018届高三10月文】18.：两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是{}1,2,3，其函数对应法那么如下表：那么()2f g =⎡⎤⎣⎦【答案】3【山东省济南一中2018届高三10月文】19.7log 203log lg25lg47(9.8)+++-=【答案】132【山东省济南一中2018届高三10月文】21.〔11分〕如图是一个二次函数()y f x =的图象.〔1〕写出这个二次函数的零点；〔2〕写出这个二次函数的解析式及[]2,1x ∈-时函数的值域【答案】21.解、〔1〕由图可知这个二次函数的零点为123,1x x =-=〔4分〕〔2〕可设两点式()()()31f x a x x =+-，又过()1,4-点，代入得1a =-，∴2()23f x x x =--+，…………….7分其在[]2,1x ∈-中，[]2,1x ∈--时递增，[]1,1x ∈-时递减，∴最大值为()14f -=….9分又()()23,10f f -==，∴最大值为0，∴[]2,1x ∈-时函数的值域为04y ≤≤….11分【山东省济南市2018届高三12月考】21、函数⎩⎨⎧<+≥-=10)],5([10,3)(n n f f n n n f ，其中*N ∈n ，那么)8(f =. 【答案】7【山东省济南市2018届高三12月考】26.〔本小题总分值8分〕设函数)1ln()(2++=ax x x f 的定义域为A .〔Ⅰ〕假设1A ∈，3A -∉，求实数a 的范围；〔Ⅱ〕假设函数=y ()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.【答案】26、〔本小题总分值8分〕 解：〔Ⅰ〕由题意，得⎩⎨⎧≤+->++0139011a a ----------------------------2分所以310≥a . 故实数a 的范围为),310[+∞.----------------------------4分 〔Ⅱ〕由题意，得012>++ax x 在R 上恒成立， 那么042<-=∆a ---------------------------6分 解得22<<-a .----------------------------7分故实数实数a 的范围为]22[，-.----------------------------8分【山东省济南市2018届高三12月考】31.〔本小题总分值12分〕定义在实数集R 上的奇函数)(x f 有最小正周期2，且当)1,0(∈x 时，142)(+=x x x f 〔Ⅰ〕求函数)(x f 在)1,1(-上的解析式；〔Ⅱ〕判断)(x f 在)1,0(上的单调性； 〔Ⅲ〕当λ取何值时，方程λ=)(x f 在)1,1(-上有实数解？ 【答案】31、〔此题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕∵f (x )是x ∈R 上的奇函数，∴f (0)=0.---------1分设x ∈(－1,0),那么－x ∈(0,1)，,142)(),(142142)(+-=∴-=+=+=---x xx x x x x f x f x f ---------2分⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈+=-∈+-=∴).1,0(,1420,0),0,1(,142)(x x x x f x x xx---------3分 〔Ⅱ〕设1021<<<x x ,,)14)(14()21)(22()14)(14()22()22()()(212121211221212221++--=++-+-=-+++x x x x x x x x x x x x x x x f x f ------4分∵1021<<<x x ，∴1222202121=><+x x xx ，，---------5分 ∴0)()(21>-x f x f∴f (x )在〔0，1〕上为减函数.---------6分 〔Ⅲ〕∵f (x )在〔0，1〕上为减函数，∴).21,52()(,142)(1420011∈+<<+x f x f 即---------7分 ).52,21()(,)0,1()(,--∈-x f x f 上时在同理---------8分,0),21,52()52,21(,0)0(时或当又=--∈=λλ f方程）（在1,1)(-∈=x x f λ上有实数解.-----------------10分【山东省济南市2018届高三12月考】32.〔本小题总分值12分〕济南高新区引进一高科技企业，投入资金720万元建设基本设施，第一年各种运营费用120万元，以后每年增加40万元；每年企业销售收入500万元，设)(n f 表示前n 年的纯收入.〔)(n f =前n 年的总收入-前n 年的总支出-投资额〕 〔Ⅰ〕从第几年开始获取纯利润？〔Ⅱ〕假设干年后，该企业为开发新产品，有两种处理方案：①年平均利润最大时，以480万元出售该企业； ②纯利润最大时，以160万元出售该企业； 问哪种方案最合算？【答案】32、〔本小题总分值12分〕解：由题意知每年的运营费用是以120为首项，40为公差的等差数列.设纯利润与年数的关系为)(n f ，设72040020720]402)1(120[500)(2-+-=-⨯-+-=n n n n n n n f .------3分 〔Ⅰ〕获取纯利润就是要求0)(>n f ，故有0720400202>-+-n n ，解得182<<n .又*N ∈n ，知从第三年开始获取纯利润.-----------------5分〔Ⅱ〕①年平均利润160)36(20400)(≤+-=nn n n f ，当且仅当6=n 时取等号.故此方案获利14404801606=+⨯〔万元〕，此时6=n .-----------------7分②1280)10(2072040020)(22+--=-+-=n n n n f ，当10=n 时，1280)(max =n f . 故此方案共获利1280+160=1440〔万元〕.-----------------9分比较两种方案，在同等数额获利的基础上,第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，应选择第①种方案.-----------------10分【山东省济南市2018届高三12月考】3、函数)12lg(13)(-+-=x xx x f 的定义域为A 、)1,(-∞B 、]1,0(C 、)1,0(D 、),0(+∞【答案】C【山东省济南市2018届高三12月考】4、以下函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A 、)R (3∈+=x x x y B 、)R (3∈=x y xC 、)R 0(log 2∈>-=x x x y ，D 、)0,R (1≠∈=x x xy 【答案】A【山东省济南市2018届高三12月考】11、a 是函数x x f x21log 2)(-=的零点，假设a x <<00，那么)(0x f 的值满足A 、0)(0=x fB 、0)(0>x f C 、0)(0<x fD 、)(0x f 的符号不能确定【答案】C【山东省济南市2018届高三12月考】13、定义在R 上的函数f (x )在〔－∞，2〕上是增函数，且f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，那么A.f (－1)＜f (3)B.f (0)＞f (3)C.f (－1)＝f (3)D.f (0)＝f (3) 【答案】A【山东省济南外国语学校2018届高三9月质量检测】4.以下函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是〔〕 A.2+5()y x x R =-∈ B.3-()y x x x R =+∈C.)(3R x x y ∈=D.)0,(1≠∈-=x R x xy 【答案】C【山东省济南外国语学校2018届高三9月质量检测】5.奇函数)(x f 的图象是两条直线的一部分〔如下图〕，其定义域为]1,0()0,1[⋃-，那么不等式1)()(->--x f x f 的解集是〔〕 A.{}011|≠≤≤-x x x 且 B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-<≤-10211|x x x 或C.{}01|<≤-x xD.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤-12101|x x x 或【答案】B【山东省济南外国语学校2018届高三9月质量检测】6.设 1.50.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，那么〔〕A.312y y y >>B.213y y y >>C.132y y y >>D.123y y y >> 【答案】C【山东省济南外国语学校2018届高三9月质量检测】18.〔8分〕二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+，且1)0(=f .〔1〕求)(x f 的解析式；〔2〕在区间[]1,1-上，)(x f y =图象恒在直线m x y +=2上方，试确定实数m 取值范围.【答案】18.解：〔1〕由1)0(=f ，可设)0(1)(2≠++=a bx ax x f故)1(1)1()1()()1(22++-++++=-+bx ax x b x a x f x f b a ax ++=2由题意得，⎩⎨⎧=+=022b a a ，解得⎩⎨⎧-==11b a ；故1)(2+-=x x x f ………4分〔2〕由题意得，m x x x +>+-212即m x x >+-132对[]1,1-∈x 恒成立 设13)(2+-=x x x g ，那么问题可转化为m x g mim >)(又)(x g 在[]1,1-上递减，故1)1()(-==g x g mim，故1-<m ………8分【山东省济南外国语学校2018届高三9月质量检测】19.〔8分〕函数21()21x x f x -=+，〔1〕判断函数()f x 的奇偶性；〔2〕求证：()f x 在R 上为增函数；【答案】19、证明：〔1〕函数()f x 的定义域为R ，且212()12121x x xf x -==-++， 所以2222()()(1)(1)2()21212121x x x x f x f x ---+=-+-=-+++++2222(21)2()2220212121x x x x x ⋅+=-+=-=-=+++.即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数.………4分〔2〕R x x ∈21、设，21x x <有()()()121212121222221212121(21)(21)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++， 12x x <，12220x x -<，1210x +>，2210x +>，()()12f x f x <.所以，函数()f x 在R 上是增函数.………8分【山东省济南外国语学校2018届高三9月质量检测】20、〔10分〕学校要建一个面积为2392m 的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m 和4m 的小路〔如下图〕。

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cos αcos β,sin αsin β的关系，结合tan αtan β的值可求前者，故可求cos α-β 的值.【详解】因为cos α+β =m ，所以cos αcos β-sin αsin β=m ，而tan αtan β=2，所以=12×2b ×kb ×sin A 2+12×kb ×b ×sin A2，故cos αcos β-2cos αcos β=m 即cos αcos β=-m ，从而sin αsin β=-2m ，故cos α-β =-3m ，故选：A .2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π 上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y =sin x 的的最小正周期为T =2π，函数y =2sin 3x -π6 的最小正周期为T =2π3，所以在x ∈0,2π 上函数y =2sin 3x -π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.22024年高考数学真题分类汇编——三角函数篇【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A ：当x ∈-π8,π3 时，2x -π3∈-7π12,π3，由函数y =sin x 在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8,π3上不为单调递增，故A 错误；对B ：当x =5π6时，2x -π3=4π3，由x =4π3不是函数y =sin x 的对称轴，故x =5π6不是f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当x ∈-π6,π4 时，2x -π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,12，故C 错误；对D ：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y =sin 2x +2×5π12-π3 =sin 2x +π2=cos2x ，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D .8(2024·广东广州·二模)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由f π4=1，得sin π4ω+φ =22，又点π4,1 及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2k π,k ∈Z ，由f 5π8 =0，点5π8,0 及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2k π,k ∈Z ，联立解得ω=2，φ=-π4+2k π,k ∈Z ，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f (x )=2sin 2x -π4，若将函数f (x )的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y =sin 2x -2θ-π4，则-2θ-π4=π2-k π,k ∈Z ，而θ>0，因此θ=-3π8+k π2,k ∈N ，所以当k =1时，θ取得最小值为π8.故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。

2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编3：三角函数一、选择题1 ．（2019年高考大纲卷（文））已知a 是第二象限角,5sin ,cos 13a a ==则 （ ）A ．1213-B ．513-C ．513D ．1213【答案】A2 ．（2019年高考课标Ⅰ卷（文））函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为【答案】C ;3 ．（2019年高考四川卷（文））函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是（ ）A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π【答案】A4 ．（2019年高考湖南（文））在锐角∆ABC 中,角A,B 所对的边长分别为a,b. 若2sinB=3b,则角A 等于______（ ）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π【答案】A5 ．（2019年高考福建卷（文））将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象,若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ,则ϕ的值可以是 （ ）A ．35π B ．65π C ．2πD ．6π【答案】B6 ．（2019年高考陕西卷（文））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】A7 ．（2019年高考辽宁卷（文））在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】A8 ．（2019年高考课标Ⅱ卷（文））△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC 的面积为 （ ）A ．2+2B ．+1C ．2-2D ．-1【答案】B9 ．（2019年高考江西卷（文））sincos 2αα==若 （ ）A ．23-B ．13-C ．13 D ．23【答案】C10．（2019年高考山东卷（文））ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、,若2B A =,1a =,b =,则c = （ ）A ．B ．2C D ．1【答案】B11．（2019年高考课标Ⅱ卷（文））已知sin2α=,则cos 2(α+)=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A12．（2019年高考广东卷（文））已知51sin()25πα+=,那么cos α= （ ）A ．25-B ．15-C ．15D ．25【答案】C13．（2019年高考湖北卷（文））将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是 （ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π6【答案】B14．（2019年高考大纲卷（文））若函数()()sin0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B15．（2019年高考天津卷（文））函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．1-B ．CD ．0【答案】B16．（2019年高考安徽（文））设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C = （ ）A ．3πB ．23πC ．34π D ．56π 【答案】B17．（2019年高考课标Ⅰ卷（文））已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =,6c =,则b =（ ）A ．10B ．9C ．8D ．5【答案】D18．（2019年高考浙江卷（文））函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是 （ ）A ．π,1B ．π,2C ．2π,1D ．2π,2【答案】A19．（2019年高考北京卷（文））在△ABC 中,3,5a b ==,1sin 3A =,则sin B = （ ）A ．15B ．59C ．3D ．1【答案】B20．（2019年高考山东卷（文））函数x x x y sin cos +=的图象大致为【答案】D 二、填空题21．（2019年高考四川卷（文））设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是________.【答案】322．（2019年高考课标Ⅱ卷（文））函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤<的图像向右平移2π个单位后,与函数sin(2)3y x π=+的图像重合,则||ϕ=___________.【答案】56π23．（2019年上海高考数学试题（文科））已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ,b ,c .若2220a ab b c ++-=,则角C 的大小是________(结果用反三角函数值表示).【答案】23π24．（2019年上海高考数学试题（文科））若1cos cos sin sin3x y x y +=,则()cos 22x y -=________.【答案】79-25．（2019年高考课标Ⅰ卷（文））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______.【答案】;26．（2019年高考江西卷（文））设f(x)=sin3x+cos3x,若对任意实数x 都有|f(x)|≤a,则实数a 的取值范围是_____._____【答案】2a ≥三、解答题27．（2019年高考大纲卷（文））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(I)求B(II)若sin sin A C =,求C . 【答案】(Ⅰ)因为()()a b c a b c ac ++-+=,所以222a cb ac +-=-.由余弦定理得,2221cos 22a cb B ac +-==-, 因此,0120B =.(Ⅱ)由(Ⅰ)知060A C +=,所以cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+cos()2sin sin A C A C =++122=+=故030A C -=或030A C -=-, 因此,015C =或045C =.28．（2019年高考湖南（文））已知函数f(x)=(1) 求2()3f π的值; (2) 求使 1()4f x <成立的x 的取值集合【答案】解: (1) 41)212cos 232(sin 21)3sin sin 3cos(cos cos )(+⋅+⋅=⋅+⋅⋅=x x x x x x f ππ41)32(.414123sin 21)32(41)62sin(21-==-=+=⇒++=ππππf f x 所以. (2)由(1)知,)2,2()62(0)62sin(4141)62sin(21)(f ππππππk k x x x x -∈+⇒<+⇒<++=.),12,127(.),12,127(Z k k k Z k k k x ∈--∈--∈⇒ππππππππ所以不等式的解集是：29．（2019年高考天津卷（文））在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =, a= 3, 2cos 3B =. (Ⅰ) 求b 的值;(Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】30．（2019年高考广东卷（文））已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值; (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【答案】(1)133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,4sin 5θ==-,1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭. [来源:12999数学网]31．（2019年高考山东卷（文））设函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=->,且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π, (Ⅰ)求ω的值 (Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值 【答案】32．（2019年高考浙江卷（文））在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2asinB=3b .(Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ) 若a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:2sin sin A B B =,且(0,)sin 0sin 22B B A π∈∴≠∴=,且(0,)23A A ππ∈∴=;(Ⅱ)由(1)知1cos 2A =,由已知得到: 222128362()3366433623b c bc b c bc bc bc =+-⨯⇒+-=⇒-=⇒=,所以128232ABCS =⨯⨯=33．（2019年高考福建卷（文））如图,在等腰直角三角形OPQ ∆中,90OPQ ∠=,OP=点M 在线段PQ 上.(1)若OM =,求PM 的长;(2)若点N 在线段MQ 上,且30MON ∠=,问:当POM ∠取何值时,OMN ∆的面积最小?并求出面积的最小值.【答案】解:(Ⅰ)在OMP ∆中,45OPM∠=︒,OM =OP =,由余弦定理得,2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒, 得2430MP MP -+=,解得1MP =或3MP =.(Ⅱ)设POM α∠=,060α︒≤≤︒, 在OMP ∆中,由正弦定理,得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠, 所以()sin 45sin 45OP OM α︒=︒+,同理()sin 45sin 75OP ON α︒=︒+故1sin 2OMN S OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+ ()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒=====因为060α︒≤≤︒,30230150α︒≤+︒≤︒,所以当30α=︒时,()sin 230α+︒的最大值为1,此时OMN ∆的面积取到最小值.即230POM ∠=︒时,OMN ∆的面积的最小值为8-.34．（2019年高考陕西卷（文））已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】(Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x .最小正周期ππ==22T . 所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π.(Ⅱ) 上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈.]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.35．（2019年高考重庆卷（文））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问9分)在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且222a b c =++. (Ⅰ)求A ;(Ⅱ)设a =S 为△ABC 的面积,求3cos cos S B C +的最大值,并指出此时B 的值.【答案】36．（2019年高考四川卷（文））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3cos()cos sin()sin()5A B B A B A c ---+=-.(Ⅰ)求sin A 的值;(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影.【答案】解:(Ⅰ)由3cos()cos sin()sin()5A B B A B A c ---+=-得 53sin )sin(cos )cos(-=---B B A B B A ,则 53)cos(-=+-B B A ,即 53cos -=A又π<<A 0,则 54sin =A (Ⅱ)由正弦定理,有BbA a sin sin =,所以22sin sin ==a A b B , 由题知b a >,则 B A >,故4π=B .根据余弦定理,有 )53(525)24(222-⨯⨯-+=c c , 解得 1=c 或 7-=c (负值舍去),向量BA 在BC =B 22[来源:12999数学网] 37．（2019年高考江西卷（文））在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.(1)求证:a,b,c 成等差数列;(2) 若C=23π,求ab的值. 【答案】解:(1)由已知得sinAsinB+sinBsinC+1-2sin 2B=1.故sinAsinB+sinBsinC=2sin 2B因为sinB 不为0,所以sinA+sinC=2sinB 再由正弦定理得a+c=2b,所以a,b,c 成等差数列 (2)由余弦定理知2222cos c a b ac C =+-得2222(2)2cos3b a a b ac π-=+-化简得35a b = 38．（2019年高考湖北卷（文））在△ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c . 已知c o s 23c o s ()A B C -+=.(Ⅰ)求角A 的大小; (Ⅱ)若△ABC 的面积S =5b =,求sin sin B C 的值.【答案】(Ⅰ)由cos23cos()1A B C -+=,得22cos 3cos 20A A +-=,即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=,解得1cos 2A = 或cos 2A =-(舍去).因为0πA <<,所以π3A =.(Ⅱ)由11sin 22S bc A bc ====得20bc =. 又5b =,知4c =.由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a =.又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.39．（2019年高考安徽（文））设函数()sin sin()3f x x x π=++.(Ⅰ)求()f x 的最小值,并求使()f x 取得最小值的x 的集合;(Ⅱ)不画图,说明函数()y f x =的图像可由sin y x =的图象经过怎样的变化得到.【答案】解:(1)3sincos 3cossin sin )(ππx x x x f ++=x x x x x cos 23sin 23cos 23sin 21sin +=++=)6sin(3)6sin()23()23(22ππ+=++=x x当1)6sin(-=+πx 时,3)(min -=x f ,此时)(,234,2236Z k k x k x ∈+=∴+=+πππππ所以,)(x f 的最小值为3-,此时x 的集合},234|{Z k k x x ∈+=ππ.(2)x y sin =横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍,得x y sin 3=; 然后x y sin 3=向左平移6π个单位,得)6sin(3)(π+=x x f 40．（2019年高考北京卷（文））已知函数21(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（）.(I)求f x （）的最小正周期及最大值;(II)若(,)2παπ∈,且f α=（）求α的值. 【答案】解:(I)因为21(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（）=1cos 2sin 2cos 42x x x +=1(sin 4cos 4)2x x +)4x π+,所以()f x 的最小正周期为2π,.(II)因为f α=（）所以sin(4)14πα+=. 因为(,)2παπ∈, 所以9174(,)444πππα+∈,所以5442ππα+=,故916πα=. 41．（2019年上海高考数学试题（文科））本题共有2个小题.第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>. (1)令1ω=,判断函数()()()2F x f x f x π=++的奇偶性并说明理由;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再往上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像.对任意的a R ∈,求()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有可能值.【答案】法一:解:(1)()2sin 2sin()2sin 2cos )24F x x x x x x ππ=++=+=+()F x 是非奇函数非偶函数.∵()0,()44F F ππ-==∴()(),()()4444F F F F ππππ-≠-≠- ∴函数()()()2F x f x f x π=++是既不是奇函数也不是偶函数.(2)2ω=时,()2sin 2f x x =,()2sin 2()12sin(2)163g x x x ππ=++=++,其最小正周期T π=由2sin(2)103x π++=,得1sin(2)32x π+=-, ∴2(1),36k x k k Z πππ+=--⋅∈,即(1),2126k k x k Z πππ=--⋅-∈ 区间[],10a a π+的长度为10个周期,若零点不在区间的端点,则每个周期有2个零点;若零点在区间的端点,则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点,其它区间仍是2个零点; 故当(1),2126k k a k Z πππ=--⋅-∈时,21个,否则20个. 法二:42．（2019年高考辽宁卷（文））设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x =求的最大值数学试卷【答案】。