2020-2021四川成都七中高三(下)入学数学试卷(理科)-解析版

2020-2021学年四川省成都七中高三（下）入学数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q＝（）A．{3，0}B．{3，0，1}C．{3，0，2}D．{3，0，1，2} 2．若复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．1D．23．如图，向量等于（）A．B．C．D．4．命题p：若α为第一象限角，则sinα＜α；命题q：函数f（x）＝2x﹣x2有两个零点，则（）A．p∧q为真命题B．p∨q为真命题C．￢p∨￢q为真命题D．￢p∧q为真命题5．等比数列{a n}中，a1＝1，且4a1，2a2，a3成等差数列，则的最小值为（）A．B．C．D．16．设a＝sin，b＝，c＝（），则（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．12B．18C．24D．368．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（）附：lg2≈0.3010 A．10%B．20%C．50%D．100%9．执行如图所示的程序框图，若输入的n＝10，则输出的S＝（）A．B．C．D．10．将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有（）A．240种B．180种C．150种D．540种11．知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0），A1、A2是实轴顶点，F是右焦点，B（0，b）是虚轴端点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点P i＝（1，2），使得△P i A1A2（i＝1，2）构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（1，）D．（，+∞）12．已知函数f（x）＝ln（|x|﹣1）+e x+e﹣x，则使不等式f（x+1）＜f（2x）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣2，﹣1）C．D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）二、填空题（共4小题）.13．若二项式（1+2x）n（n∈N*）的展开式中所有项的系数和为243，则该二项式展开式中含有x3的系数为．14．若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值是．15．在棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱BB1，B1C1的中点分别为E，F，点P在平面BCC1B1内，作PQ⊥平面ACD1，垂足为Q．当点P在△EFB1内（包含边界）运动时，点Q的轨迹所组成的图形的面积等于．16．已知f（x）＝﹣lnx，f（x）在x＝x0处取最大值．以下各式正确的序号为①f（x0）＜x0②f（x0）＝x0③f（x0）＞x0④f（x0）＜⑤f（x0）＞．三、解答题：本大题共5小题，共70分.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且c sin2B＝b sin C．（1）若cos2A+3cos A﹣2sin B＝0，求角A的大小；（2）若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．18．已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为．为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况，做药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期．假设每次用药后当天是否出现A症状的出现与上次用药无关．（Ⅰ）如果出现A症状即停止试验”，求试验至多持续一个用药周期的概率；（Ⅱ）如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期．设药物试验持续的用药周期数为η，求η的期望．19．如图，在直角梯形ABED中，BE∥AD，DE⊥AD，BC⊥AD，AB＝4，．矩形BEDC沿BC翻折，使得平面ABC⊥平面BCDE．（1）若BC＝BE，证明：平面ABD⊥平面ACE；（2）当三棱锥A﹣BCE的体积最大时，求平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．20．已知过点的曲线C的方程为．（Ⅰ）求曲线C的标准方程：（Ⅱ）已知点F（1，0），A为直线x＝4上任意一点，过F作AF的垂线交曲线C于点B，D．（ⅰ）证明：OA平分线段BD（其中O为坐标原点）；（ⅱ）求最大值．21．已知函数f（x）＝2sin x﹣x2+2πx﹣a．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）零点处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：a．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号。

成都七中2020~2021学年度上期2021届高三入学考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟 总分：150分一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．把答案涂在答题卷上．）1．已知集合(){},21A x y y x ==-，(){}2,B x y y x ==，则AB =（ ）A ．∅B ．{}1C ．(){}1,1D ．(){}1,1-2．复数z = ）A ．1BC ．2D3．已知命题():,0p x ∃∈-∞，23x x <；命题:0,2q x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin x x <，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝4．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ） A ．55.2，3.6 B ．55.2，56.4C ．64.8，63.6D ．64.8，3.66．设2323a ⎛⎫=⎪⎝⎭，2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>7．一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积可能为（ ）A ．12π+B ．22π+C ．1π+D ．2π+8．若α，β为锐角，且满足4cos 5α=，()5cos 13αβ+=，则sin β的值为（ ） A ．1665-B ．3365C ．5665D ．63659．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n ∈N ，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i 行有i 个数，*i ∈N ），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （i ，*j ∈N 且j i ≤），则()21,20a =（ ）．A ．23132⨯B ．21232⨯C ．23032⨯D ．21132⨯10．已知函数()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，0ϕπ<<，()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．()6,10B ．()6,8C ．()8,10D ．()6,1211．正方体1111ABCD A B C D -中，若12CM MC =，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DP CPD P MP=，则点P 的轨迹为（ ）A ．椭圆的一部分B ．线段C ．抛物线的一部分D ．圆弧12．己知函数()212ln x f x x -=的定义域为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，若对任意的1x ，210,x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立，则实数m的取值范围为（ ）A ．(],3-∞B ．(],4-∞C ．(],5-∞D ．(],6-∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．）13．在空间直角坐标系O xyz -中，记点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点B ，则OB =________．14．已知x ，y 满足22x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-+的最大值为________．15．在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+，若b =4a c +=，则a 的值为________．16．已知椭圆2222:1x y a b Γ+=与双曲线2222:1x y m nΩ-=共焦点，1F 、2F 分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P ，且离心率之积为1．若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为________． 三、解答题（共70分，22与23题二选一，各10分，其余大题均为12分）17．（本题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a =，121n n a S +=+，数列{}n b 满足11a b =，点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．（本题12分）某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()g y 与尺寸()mm x 之间近似满足关系式by c x =⋅（b ，c 为大于0的常数）．按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（0.302，0.388）内时为优等品现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率； （2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程． 附：对于样本()(),1,2,,6i i v u i =，其回归直线u b v a =⋅+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()1122211nniii i i i nniii i vv u u v u nvub v v vnv====---==--∑∑∑∑，a u bv =-， 2.7183e ≈．19．（本题12分）如图，在以P ，底面圆的直径AB 长为2，O 为圆心．C 是圆O 所在平面上一点，且AC 与圆O 相切．连接BC 交圆于点D ，连接PD ，PC ，E 是PC 的中点，连接OE ，ED ．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ； （2）若二面角B PO D --的大小为23π，求平面PAC 与平面DOE 所成锐二面角的余弦值． 20．（本题12分）已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 为其左右焦点，离心率12e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于P ，Q 两点，PQ =（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于B ，C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴为K ，KED △，FOD △的面积分别记为1S ，2S ，若121849S S =，且点A 在第一象限．求点A 的坐标．21．（本题12分）已知函数()()1xf x x e =-，()lng x a x =+，其中e 是自然对数的底数．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与曲线()y g x =也相切．求实数a 的值； （2）设()()()h x bf x g x a =-+，求证：当10b e<<时，()h x 恰好有2个零点． （22题与23题为选做题，二选一）22．（本题10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22114x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程；（2）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6πθ=，()ρ∈R ，直线l与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度AB ． 23．（本题10分）已知函数()1144f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集． （1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，a b ≥-．成都七中2020-2021学年度上期2021届高三入学考试数学试卷（理科）答案1-5：CBCBD 6-10：BBBDA 11-12：DB 1314．1- 15．1或3 16．1217．【答案】（Ⅰ）1321n n n a b n -==- （Ⅱ）1133n n n T -+=-【解析】（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥， 两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥．又21213a S =+=，所以213a a =．故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列．所以13n n a -=．由点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，所以12n n b b +-=．则数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．则()11221n b n n =+-⋅=-． （Ⅱ）因为1213n n n n b n c a --==，所以0121135213333n n n T --=++++． 则12311352133333n nn T -=++++， 两式相减得：21222221133333n n n n T --=++++-11113321121313n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=+⨯--1121233n nn --⎛⎫=--⎪⎝⎭∴21112113323233n n n n n n T ----+=--=-⋅⋅ 18．【答案】（1）15； （2）0.5y ex =．【解析】（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比()0.302,0.388yx∈ 则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，有3件为非优等品，所求概率为232631155C P C ===．（2）对by c x =⋅两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+ 令ln i i v x =，ln i i u y =，则u b v a =⋅+，且ln a c = 由所给统计量及最小二乘估计公式有：11222175.324.618.360.271101.424.660.542ni i nii v u nuvb vnv==--⨯÷====-÷-∑∑118.324.6216a u bv ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=-==，由ln a c =得c e =，所以y 关于x 的回归方程为0.5y ex =．19．【解析】（1）证明：AB 是底面圆的直径，AC 与圆切于点A ， 所以AC AB ⊥，又PO ⊥底面，则PO AC ⊥，PO AB O =，所以：AC ⊥面PAB AC PB ⇒⊥，又因为，在三角形PAB 中，2PA PB AB PA PB ==⇒⊥ PA AC A =，所以PB ⊥面PAC ，∵PB ⊂面PBC所以：平面PBC ⊥平面PAC ； （2）因为OB PO ⊥，OD PO ⊥， ∴BOD ∠为二面角B PO D --的平面角， ∴23BOD π∠=，如图建立坐标系，易知1OB =，则()0,1,0A -，()0,1,0B ，1,022D ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，,1,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，11,322E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 由（1）知()0,1,1BP =-为平面PAC 的一个法向量， 设平面ODE 的法向量为(),,n x y z =，31111,,0322322OE x y z ⎛⎫=-⇒-+= ⎪ ⎪⎝⎭，311,002222OD x y ⎛⎫=-⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得：()3,3,1n =，26cos 13n BP n BPθ⋅==． 20．【答案】（1）22143x y +=． （2）()2,1 【解析】（1）不妨设P 在第一象限，由题可知,13P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，∴228113a b +=， 又∵12e =，∴22811123c c +=，可得1c =，椭圆的方程为22143x y +=． （2）设200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则切线l 的方程为20024x x y x =-代入椭圆方程得：()4223031204x x x x x +-+-=， 设()11,B x y ，()22,C x y ，()33,E x y ，则()3012320223x x x x x +==+，()22000332032443x x x y x x =-=-+， KE 的方程为()()230022000324323x x y x x x x ⎡⎤⎢⎥+=--++⎢⎥⎣⎦， 即()20200243x y x x x =-++，令0y =得()302083K x x x =+， 在直线l 方程中令0y =得02D x x =，222004124x x FD +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()()()23000022003428383x x x x DK x x +=-=++，02FD k x =-，02BC xk =，∴1FD BC k k ⋅=-，FD BC ⊥，∴~DEK FOD △△，∴()()22200122220941849163x x S DK S FD x +===+． 化简得()()2200177240x x+-=，∴02x =（02x =-舍去）∴A 的坐标为()1,1，()4223031204x x x x x +-+-=， ()()462420000431234814404x x x x x ⎛⎫∆=-+-=---≥ ⎪⎝⎭，因为2008x ≤≤+21．【解析】（1）由()()1x f x x e =-得()xf x xe '=，所以切线的斜率()1k f e '==．因为切点坐标为()1,0，所以切线的方程为()1y e x =-． 设曲线()y g x =的切点坐标为()11,x y ． 由()ln g x a x =+得()1g x x '=，所以()111g x e x '==，得11x e=． 所以切点坐标为1,1a e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为对1,1a e⎛⎫- ⎪⎝⎭也在直线()1y e x =-上．所以2a e =-．（2）由()()1ln xh x b x e x =--，得()211x xbx e h x bxe x x-'=-=．令()21xm x bx e =-，0x >，当10b e<<时，()()220x m x bx bx e '=+>， 故()m x 在()0,+∞上单调递增．又因为()110m be =-<，且221111ln ln 1ln 10m b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以()0m x =在()0,+∞上有唯一解，从而()0h x '=在()0,+∞上有唯一解． 不妨设为0x ，则011ln x b<<． 当()00,x x ∈时，()()()00m x m x h x x x '=<=，所以()h x 在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()()()00m x m x h x x x'=>=，所以()h x 在()0,x +∞上单调递增．故0x 是()h x 的唯一极值点．令()ln 1t x x x =-+，则当1x >时，()110t x x'=-<，所以()t x 在()1,+∞上单调递减， 从而当1x >时，()()10t x t <=，即ln 1x x <-，所以1ln 111ln ln 1ln ln b h b e b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111ln 1ln ln ln 0t b b b ⎛⎫⎛⎫=--=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()()010h x h <=，所以()h x 在()0,x +∞上有唯一零点． 又因为()h x 在()00,x 上有唯一零点，为1， 所以()h x 在()0,+∞上恰好有2个零点．另解：∵02011x x e e b =>>，∴0111x b <<+，再证明11111ln 10b h e b b +⎛⎫⎛⎫+=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．22．【答案】（1）26y x =-（2x ≤-或2x ≥）；（2． 【解析】（1）曲线C 的参数方程为221,14, x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩①②（t 为参数），将①式两边平方，得22212x t t =++③， ③-②，得26x y -=，即26y x =-，因为112x t t t t =+=+≥=，当且仅当1t t =，即1t =±时取“=”，所以2x ≥，即2x ≤-或2x ≥， 所以曲线C 的普通方程为26y x =-（2x ≤-或2x ≥）． （2）把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 得：22sin cos 6ρθρθ=-，()cos 2ρθ≥，则曲线C 的极坐标方程为22sin cos 6ρθρθ=-，()cos 2ρθ≥设A ，B 的极坐标分别为1,6A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，由226sin cos 6πθρθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩11得22sin cos 666ππρρ=-，即232240ρρ--=，且3ρ≥ 因为44324473∆=+⨯⨯=⨯，∴ρ=ρ=，满足ρ≥，不妨设1ρ=2ρ=所以12AB ρρ=-=注：没考虑ρ≥要酌情扣分 23．【解析】（1）()12,,411111,,4424412,4x x f x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩所以不等式的解集为[]1,1M =-．（2）要证a b -，只需证a b ≥-，即证()241ab a b -≥-，只需证22442ab a ab b -≥-+，即2242a ab b ≥++， 即证()24a b ≥+，只需证2a b ≥+因为a ，b M ∈，所以2a b +≤，所以所证不等式成立．。

2019-2020学年四川省成都七中高三（上）入学数学试卷（理科）（9月份）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x＜1}，B={x|x2-x＜0}，则（）A. A⊆BB. B⊆AC. A∩B={x|x＜1}D. A∪B={x|x＞0}2.已知a∈R，i i为实数，则a的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子，数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据上述问题的己知条件，分得橘子最多的人所得的橘子个数为（）A. 15B. 16C. 18D. 214.函数f(x)＝x2(e x-e-x)的大致图象为（）5.x4的系数是（）A. 40B. 60C. 80D. 1006.按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为（）A. k≥16B. k＜8C. k＜16D. k≥87.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（）A. 10B. 9C. 8D. 58.y＝5-x围成的平面图形的面积为（）9.已知函数f（x）=x lnx，若直线l过点（0，-e），且与曲线y=f（x）相切，则直线l的斜率为（）A. -2B. 2C. -eD. e10.已知将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φφ个单位长度后，得到函数g（x）的图象.若g（x）是偶函数，则f=（）D. 111.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A，C区域涂色不相同的概率为（）D.12.如图，将边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动，先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴时，又以B为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点C滚动时的曲线方程为y=f（x），则下列说法不正确的是（）A. f（x）≥0恒成立B. f（x）=f（x+8）C. f（x）=-x2+4x-3（2＜x≤3）D. f（2019）=0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知等差数列{a n}，且a4=8，则数列{a n}的前7项和S7=______14.若x，y______．15.的夹角为120°，且|数λ的值为______．16.若过抛物线y2=4x上一点P（4，4），作两条直线PA，PB使它们的斜率之积为定值4，则直线AB恒过点______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，又a1=2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2{b n}的前n项和T n18.如图1，在正方形ABCD中，E是AB的中点，点F在线段BC上，若将△AED，△CFD分别沿ED，FD折起，使A，C两点重合于点M，如图2．（1）求证：EF⊥平面MED；（2）求直线EM与平面MFD所成角的正弦值.19.2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市（简称创文）”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[60，80）内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率．（1）求被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；（3）已知在评分低于6060分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记ξ为群众督查员中老年人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．20.（a＞b＞0）的焦点坐标分別为F1（-1，0），F2（1，0），P为椭圆C上一点，满足3|PF1|═|5PF2|（1）求椭圆C的标准方程：（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B|AQ|=|BQ|，求k的取值范围．21.已知函数f（x）=xe x，g（x）=x2+x（1）求证：g（x）20对x∈（0，+∞）恒成立；（2）若F（x）=（x＞0），若0＜x1＜x2，x1+x2≤2，求证：F（x1）＞F（x2）．22.在直角坐标系xOy中，圆C O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合A={x|x＜1}，B={x|x2-x＜0}，解得B={x|0＜x＜1}，所以B⊆A，A∩B={x|0＜x＜1}，A∪B={x|x＜1}，故选：B．由集合A={x|x＜1}，B={x|x2-x＜0}，解得B={x|0＜x＜1}，所以B⊆A本题考查了集合的包含关系和集合的运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：i∴1-a=0，即a=1．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：设第一个人分到的橘子个数为a1，由题意得：S53=60，解得a1=6．则a5=a1+（5-1）×3=6+12=18．∴得到橘子最多的人所得的橘子个数是18．故选：C．设第一个人分到的橘子个数为a1，由等差数列前n项和公式能求出得到橘子最少的人所得的橘子个数，再由等差数列的通项公式即可求出答案．本题考查等差数列的应用，考查等差数列前n项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】A【解析】解：∵f（x）=x2（e x-e-x），∴f（-x）=（-x）2（e-x-e x）=-x2（e x-e-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，∵y=x2在x∈（0，+∞）上增函数，y＞0，y=e x-e-x在x∈（0，+∞）是增函数，y＞0，所以f（x）=x2（e x-e-x）在（0，+∞）是增函数，排除C．（或者）当x→+∞时，f（x）→+∞，故排除C，故选：A．判断函数的奇偶性，利用函数的单调性和函数值的变化趋势判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．5.【答案】C【解析】k=2．因此，二项展开式中x4故选：C．先写出二项展开式的通项，然后令x的指数为4，解出相应参数的值，代入通项即可得出答案．本题考查二项式定理求指定项的系数，考查二项式定理的应用，属于中等题．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查算法框图，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加k值到S并输出S．【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：S k是否继续循环循环前0 1第一圈 1 2 否第二圈 3 4 否第三圈 7 8 否第四圈 15 16 是故退出循环的条件应为k≥16,故选A.7.【答案】D【解析】解：∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A-1=0，即cos2A A为锐角，∴cos A又a=7，c=6，根据余弦定理得：a2=b2+c2-2bc•cos A，即49=b2，解得：b=5或b则b=5．故选：D．利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出cos A的值，再由a与c的值，利用余弦定理即可求出b的值．此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了定积分，找到积分区间和被积函数是解决此类问题的关键．本题属于基础题．1，4），（4，1），所以两曲线围成的面积为y=5-x-在[1，4]上的积分．【解答】解得，两曲线的交点坐标为（1，4），（4，1），所以两曲线围成的图形的面积为S=（5x x．故选：D．9.【答案】B【解析】解：函数f（x）=x lnx的导数为f′（x）=ln x+1，设切点为（m，n），可得切线的斜率为k=1+ln m，则1+ln m解得m=e，k=1+ln e=2，故选：B．求得f（x）的导数，设出切点（m，n），可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，解方程可得m，即可得到所求斜率．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的斜率公式，以及方程思想和运算能力，属于基础题．10.【答案】A【解析】【分析】先由题意写出g（x），根据g（x）是偶函数求出φ，即可得出结果．本题主要考查三角函数的图象变换与三角函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型．【解答】解：由题意可得：g（x）=sin（2x+3φ），因为g（x）是偶函数，所以k∈Z，即k∈Z，又0＜φk=0，故φ=所以f（）=故选：A．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，利用分步计数原理求出不同的涂色方案有420种，其中，A、C区域涂色不相同的情况有240种，由此能求出A、C区域涂色不相同的概率．【解答】解：提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，分4步进行分析：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E，与A、B区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域D、C，若D与B颜色相同，C区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，C区域有2种颜色可选，则区域D、C有3+2×2=7种选择，则不同的涂色方案有5×4×3×7=420种，其中，A、C区域涂色不相同的情况有：若A、C不同色，则ABCE两两不同色，涂色方案有5×4×3×2种，涂D时只需要和ACE不同即可，有2种，故有5×4×3×2×2=240种，∴A、C区域涂色不相同的概率为p故选：D．12.【答案】C【解析】解：∵正方形的边长为1，∴正方形的对角线AC则由正方形的滚动轨迹得到x=0时，C位于（0，1）点，即f（0）=1，当x=1时，C位于（1f（1）当x=2时，C位于（2，1）点，即f（2）=1，当x=3时，C位于（3，0）点，即f（3）=0，当x=4时，C位于（4，1）点，即f（4）=1，则f（x+4）=f（x），即f（x）具备周期性，周期为4，由右图可得f（x）≥0恒成立；f（x+8）=f（x）；当2＜x≤3时，C的轨迹为以（2，0）为圆心，1x-2）2+y2=1（2＜x≤3，y≥0）；f（2019）=f（504×4+3）=f（3）=0，综上可得A，B，D正确；C错误．故选：C．根据正方形的运动关系，分布求出当x=0，1，2，3，4时对应的函数值f（x），得到f （x）具备周期性，周期为4，结合图象，当2＜x≤3时，C的轨迹为以（2，0）为圆心，1本题主要考查函数值的计算和函数的解析式和性质，结合正方形的运动轨迹，计算出对应函数值，得到周期性是解决本题的关键．13.【答案】56【解析】解：由等差数列的性质可得：a1+a7=2a4=16．∴数列{a n}的前7项和S78=56．故答案为：56．由等差数列的性质可得：a1+a7=2a4．利用求和公式即可得出数列{a n}的前7项和S7．本题考查了等差数列的通项公式的性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：的距离，由图象得O到直线x+y+2=0的距离最小，此时最小值d的最小值是故答案为：作出不等式组对应的平面区域，根据点到直线的距离公式进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用点到直线的距离公式结合数形结合是解决本题的关键．15.【解析】解：∵120°，|cos120°=2×，=λ+，且=（λ）•（=0，2+，∴-3λ-4λ+9+3=0，根据向量数量积的公式，结合向量垂直的关系即可得到结论．本题主要考查平面向量的基本运算，利用向量垂直和数量积之间的关系是解决本题的关键．16.【答案】0）【解析】解：设PA的斜率为k，则PB所以PA的方程为：y-4=k（x-4）．联立抛物线方程：y2=4x，可得：y2可得A同理可得B（所以AB的方程为：y x可得：y x），所以直线AB恒过点：（0）．0）．设出直线PA的斜率，求出PB的斜率，然后求解A、B坐标．得到AB方程，即可推出结果．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线系方程的应用，考查转化思想以及计算能力．17.【答案】解：（1）设公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，又a1=2．d=1．故a n=2+（n-1）=n+1．（2）证明：由于a n=n+1【解析】（1）直接利用等差数列前n项和公式求出数列的公差，进一步求出数列的通项公式．（2）利用等比数列的求和公式和放缩法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n项和的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18.【答案】（1）证明：设正方形ABCD的边长为4，由图1知，AE=BE=2，BF=1，CF=3，，∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，即EF⊥ED，由题意知，在图2中，MD⊥ME，MD⊥MF，ME⊂平面MEF，MF⊂平面MEF，且ME∩MF=M，∴MD⊥平面MEF，∵EF⊂平面MEF，∴MD⊥EF．又ED⊂平面MED，MD⊂平面MED，且ED∩MD=D，∴EF⊥平面MED（2）解：由（1）知EF⊥平面MED，则建立如图所示空间直角坐标系，过点M作MN⊥ED，垂足为N，在Rt△DME从而E（0，0，0），，设平面MFD令x=2，则y=1，z=4，设直线EM与平面MFD所成角为θ，∴直线EM与平面MFD所成角的正弦值为（1）设正方形ABCD的边长为4，由DE2+EF2=DF2，可得EF⊥ED，结合MD⊥EF．可【解析】得EF⊥平面MED．（2）建立空间直角坐标系，过点M作MN⊥ED，垂足为N.求出平面MFD，即可得直线EM与平面MFD所成角的正弦值．本题考查了空间线面垂直的判定，线面角的求解，属于中档题．19.【答案】（本小题满分12分）解：（1）根据题意：6（0分）或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在[60，100]的频率为：（0.028+0.03+0.016+0.004）×10=0.78；（2）根据频率分布直方图，用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：（3）∵评分低于6（0，又从被调查者中按年龄分层抽取9人，∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，ξ的分布列为：ξ01ξ的数学期望E【解析】（1）根据频率分布直方图，求解在[60，100]的频率即可．（2）根据频率分布直方图，然后求解抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率．（3）从被调查者中按年龄分层抽取9人，这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．本题考查频率分布列，频率分布直方图，期望的求法，考查分层抽样的应用，是基础题．20.【答案】解：（1）由题意设|PF1|=r1，|PF2|=r2则3r1=5r2，又r1+r2=2a，在△PF1F2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2解得a=2，∵c=1，∴b2=a2-c2=3，∴（2y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，则x1+x2，△=48（3+4k2-m2）＞0…①设AB的中心为M（x0，y0），∵|AQ|=|BQ|，∴AB⊥QM，即k•k QM把②代入①得整理得16k4+8k2-3＞0，即（4k2-1）（4k2+3）＞0，【解析】（1）由题意设|PF1|=r1，|PF2|=r2，根据余弦定理即可求出a的值，即可求出b 的值，可得椭圆方程，（2）根据根与系数的关系和直线的斜率，化简整理即可求出k的范围．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数的关系、斜率等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．21.【答案】证明：（1）由题意，可知g（x）2e x-x2-x2e x2-x-1．令h（x）=e x-2-x-1，x＞0．则h′（x）=e x-x-1，x＞0．h″（x）=e x-1，∵当x＞0时，h″（x）=e x-1＞0，∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增．∴当x＞0时，h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．∴当x＞0时，h（x）＞h（0）=e0-1=0．故命题得证．（2）由题意，F（x）x＞0．F′（x）x＞0．①令F′（x）=0，解得x=1；②令F′（x）＜0，解得0＜x＜1；③令F′（x）＞0，解得x＞1．∴F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，在x=1处取得极小值F（1）=e．F（x）大致图象如下：根据图，可知F（x1）＞0，F（x2）＞0．∴ln F（x1）-ln F（x2）x1-ln x1-（x2-ln x2）=x1-x2-（ln x1-ln x2）．∵0＜x1＜x2，x1+x2≤2，∴根据对数平均不等式，有，∴=1-1-1=0．∵x1-x2＜0，∴ln F（x1）-ln F（x2）＞0．∴F（x1）＞F（x2）．故得证．【解析】本题第（1）题先对不等式左边进行化简整理，然后将整理后的表达式设为函数h（x），对函数h（x）进行一阶导数和二阶导数的分析，得到h（x）在（0，+∞）上单调递增，则当x＞0时，h（x）＞h（0）=e0-1=0．命题得证．第（2）题先对整理后的F（x）进行一阶导数的分析，画出函数F（x）大致图象，可知F（x1）＞0，F（x2）＞0．然后采用先取对数然后作差的方法比较大小，关键是构造对数平均数，利用对数平均不等式即可证明．本题主要考查函数的一阶导数和二阶导数对函数单调性分析的能力，数形结合法的应用，构造函数，构造对数平均数，利用对数平均不等式的技巧，本题属偏难题．22.【答案】解：（1）∵圆C∴消去参数φ，得圆C的普通方程是（x-1）2+y2=1，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ．（2）设P（ρ1，θ1），则有ρ1=2cosθ1，Q（ρ2，θ1），∵tanθ1＞0，∴0＜|OP||OQ|＜6．故|OP|•|OQ|的范围是（0，6）．（1）圆C的参数方程消去参数φ，能求出圆C的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，【解析】能求出圆C的极坐标方程．（2）设P（ρ1，θ1），则有ρ1=cosθ1，Q（ρ2，θ1），|OP|•|OQ|=ρ1ρ2，结合tanθ1＞0，能求出|OP|•|OQ|的范围．本题考查圆的极坐标方程的求法，考查两线段的乘积的取值范围的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。

四川省成都市第七中学2016届高三下学期入学考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合{}2450A xx x =--=，集合{}210B x x =-=，则A B =I （） A ．{}1B ．{}1-C ．{}1,1,5-D ．∅2．设复数z 满足()12i z i =－，则z =（） A ．1i -＋B ．1i --C ．1i ＋D ．1i -3．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()1,0,1，()1,1,0，()0,1,1，()0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（）ABCD4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4813S S =，那么816S S =（）A ．18B ．13 C ．19D ．3105．函数()sin 0,0,22y A x A ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则此函数的解析式可为（）A ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．2sin 46y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．2sin 43y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（） A ．计算数列{}12n -的前10项和B ．计算数列{}12n -的前9项和C ．计算数列{}21n -的前10项和D ．计算数列{}21n -的前9项和7．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是（）ABCD8．2名厨师和3位服务员共5人站成一排合影，若厨师甲不站两端，3位服务员中有且只有两位服务员相邻，则不同排法的种数是（） A ．60B ．48C ．42D ．369．设12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，P 在双曲线上，若120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，122PF PF ac ⋅=u u u r u u u u r（c 为半焦距），则双曲线的离心率为（）A ．132+ B ．152+ C ．2 D ．122+ 10．将函数()lg f x x =的图象向左平移1个单位，再将位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折得到()g x 的图象，若实数(),m n m n <满足()()1,106214lg 22n g m g g m n n +⎛⎫=-++= ⎪+⎝⎭，则m n -的值是（） A ．25-B ．13C ．115-D ．1115第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是______．（用数字作答）13．已知0a >，,x y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a =______．14．设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，2122x y z +-+的最大值为______．15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ．则下列命题正确的是______（写出所有正确命题的编号）．①当102CQ <<时，S 为四边形 ②当12CQ =时，S 为等腰梯形 ③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113C R =④当314CQ <<时，S 为六边形 ⑤当1CQ =时，S 的面积为6．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ．已知()cos23cos 1A B C -+=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的面积53,5S b ==，求sin sin B C 的值． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：11a =，*12210,n n a a n N +--=∈．数列{}n b 的前n 项和为n S ，2*19,3n n S n N -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设*,n n n c a b n N =∈．求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90,6A BC ∠=︒=，,D E 分别是,AC AB 上的点，2CD BE ==O 为BC 的中点．将ADE ∆沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，其中3A O '=．（Ⅰ）证明：A O '⊥平面BCDE ； （Ⅱ）求二面角A CD B '--的余弦值．19．（本小题满分12分）甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为321,,432，乙队每人答对的概率都是23．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分． （Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望()E ξ；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率． 20．（本小题13分）在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB 的端点A 、B 分别在,x y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且2AM MB =．（1）若点M 的轨迹为曲线C ，求其方程；（2）过点()0,1P 的直线l 与曲线C 交于不同两点E 、F ，N 是曲线上不同于E 、F 的动点，求NEF ∆面积的最大值． 21．（本小题14分）已知函数()()22ln 12g x a x x x =++-．（1）当0a >时，讨论函数()g x 的单调性；（2）当0a =时，在函数()g x 图象上取不同两点A 、B ，设线段AB 的中点为()00,P x y ，试探究函数()g x 在()()00,Q x g x 点处的切线与直线AB 的位置关系？（3）试判断当0a ≠时()g x 图象是否存在不同的两点A 、B 具有（2）问中所得出的结论．。