青岛版数学八年级下册课件：8.1 不等式的基本性质(共23张PPT)

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初中数学青岛版八年级下册高效课堂资料8.1 不等式的基本性质(2)课件

自学指导
要求：认真自学课本86—88页内容，注意分数基本性质和不等式基本性质的类比.
要求：先独立思考，再组内、组际交流、展示时重点讲解解题思路的梳理和分析. 注意：1.不等式的基本性质3；
2.步骤一定要规范条理.
当堂训练
要求： 1.独立完成，成绩计入小组量化； 2.整理改错，梳理知识，反思收获.
回扣目标，反思收获
利用思维导图，梳理知识，构建体系
1.类比等式的基本性质，通过探索不等式的基本性质，培养类比学习的学习意识. 2.通过练习，能运用不பைடு நூலகம்式的基本性质对不等式进行简单变形，并能用有理数估计一个无理数的大致范围. 3.在学习中进一步养成独立自主、合作分享、倾听质疑等学习品质和人格素养.
•青岛版八年级数学（下）
8.1 不等式的基本性质（2）
学习目标
1.类比等式的基本性质，通过探索不等式的基本性质，培养类比学习的学习意识. 2.通过练习，能运用不等式的基本性质对不等式进行简单变形，并能用有理数估计一个无理数的大致范围. 3.在学习中进一步养成独立自主、合作分享、倾听质疑等学习品质和人格素养.

青岛版八年级下册数学《不等式的基本性质》教学说课研讨课件复习

（1）m-7<n-7
()
（2）3m<3n
（）
（3）-5m>-5n
（4） m n 99
（5） m+5≥n+5
（） () ()
2、填空
(1)如果x-5>4，那么两边都加上5可得到x>9 (2)如果在-7<8的两边都加上9可得到 2 < 17 (3)如果在5>-2的两边都加上a+2可得到 a+7 > a (4)如果在-3>-4的两边都乘以7可得到 -21>-28 (5)如果在8>0的两边都乘以8可得到 64 > 0
如果a ＞b，那么a±c＞b±c.就是说，不等式两边都加上 (或减去）同一个数(或同一整式),不等号方向不变。
➢不等式基本性质2：如果a ＞b，c > 0 ,那么 ac>bc(或
a c
b c
) 就是说
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号
的方向不变。
➢不等式基本性质3：
如果a>b，c<0
若a=b,则a+c=b+c(或a-c=b-c)
都同 (1)不等式的两边加上（或减去）一同个数或一个式子，不等号的方向不变.
1. 不等式、等式性质
若a<b,则a+c<b+c （或a-c<b-c) . 的异同点
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为零），所得的结
果仍是等式.
(2)正确，根据不等式基本性质1． (3)正确，根据不等式基本性质2． (4)正确，根据不等式基本性质1．
(5)不对，应分情况逐一讨论．当a＞0时，3a＞2a．(不等式基本性质2) 当 a=0时，3a=2a．当a＜0时，3a＜2a．(不等式基本性质3)

青岛版八年级数学下册第八章《8.1 不等式的基本性质》优课件(共24张PPT)

结果不等号的方向不变还是改变？
知用“>”或“<”填识空 5_＞__ -3
形 (4) 5× (-3) ＜ -3× (-3) 成
不等式的两边都乘以了－3，
不等式(1)(4)分别由不等式“5 ＞-3”做了
怎样的变形？
不等号改变方向
结果不等号的方向不变还是改变？
再来试一试！
知
-4 ＜ -2
识 ⑴ -4+4_＜___-2+4
若a=b,则ac=bc(或
a
c
=
b,
c
c≠0)
(1)不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号
的方向不变.
若a<b,则a+c<b+c （或a-c<b-c)
1. 不等式、等式性质的异同
(2) 不等式的两边都乘以（或除以）点.
同一个正数，不等号的方向不变. 2. 对于
零.
若a<b且c>0,
如果a b,
c 0,
那么ac
bc(或
a
b ).
cc
知识形成
等式的基本性质
不等式的基本性质注意
(1) 等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式.
若a=b,则a+c=b+c(或a-c=b-c)
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为
零），所得的结果仍是等式.
5、在－8＜0 的两边都除以8 可得－1＜0 。
1、在不等式－8＜0的两边都除以－8可得 1＞0 。
2、在不等式－3 x＜3的两边都除以－3可得 x 1。
3、在不等式－3＞－4的两边都乘以－3可得 9＜12。

《不等式的基本性质》课件1-优质公开课-青岛8下精品

由以上观察与思考得知，反过来，比较两个数量的大小时，可以借助它们的差来判断，也就是：如果a b 0, 那么a b; 如果a b 0, 那么a b; 如果a b 0, 那么a b. 因此我们可以用作差的方法比较两个数量的大小.
例题讲解：例1.比较下面各组中两个实数的大小.
如果 a b,
那么 a c b c.
不等式的性质2 不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
a b, c 0, a b ac bc ( ). c c
不等式的性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
如果 a b, c 0, a b 那么 ac bc (或 ). c c
第二课时
等式的基本性质
知识回顾
(1)等式的两边都加上(或减去)同一个整式，所得的结果仍是等式. 若a=b，则a+c=b+c (或a-c=b-c) (2)等式的两边都乘以(或除以)同一个整式 (除数不能为零)，所得的结果仍是等式.
a 若a=b，则ac=bc (或 c
=
b ， c≠0 ) c
2 2
x 5 x - 2 x 2 x 4; 当x 2 2 ,3 x - 6 （ 6 2 - 1） 0,
2 2
x 5 x - 2 x 2 x 4;
2 2
通过本节课，我们学习了
比较两个数量的大小时，可以借助它们的差来判断，如果a b 0, 那么a b; 如果a b 0, 那么a b; 如果a b 0, 那么a b. 因此我们可以用作差的方法比较两个数量的大小.
不等号不改变方向结果不等号的方向不变还是改变？

基本不等式课件(共43张PPT)

02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理来证明存在某个点使得函数值满足给定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质，来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。

初中数学青岛版八年级下册高效课堂资料8.1 不等式的性质(第1课时) 课件

8.1 不等式的基本性质第1课时
学习目标
重点：（1）探索并理解不等式的性质. （2）体会探索过程中所应用的归纳和类比的数学
思想方法．难点：不等式的性质。
知识回顾
等式有哪些性质？你能分别用文字语言和符号语言表示吗？
性质1 性质2
文字语言
符号语言
等式两边加（或减）如果a=b，那么
同一个数（或式子）， a+c=b+c，a-c=
思考：你能把不等式的性质1用符号语言表示吗?
思考用“＜”或“＞”填空。
①6＞2
观察不等号的变化，你能发现其中的规律吗？
6×5 _＞__2×5
猜想2：不等式两边乘（或除以）同
6×(-5)_＜__ 2 ×(-5) 一个正数,不等号的方向不变；
② -2＜3
猜想3：不等式两边乘（或除以）同
(-2)×6_＜__ 3×6
一个负数，不等号的方向改变．
(-2)×(-6)_＞__ 3 ×(-6)
思考：上面的猜想是否正确？如何验证？
不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
思考
不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
思考：你能把不等式的性质2,3用符号语言表示吗?
如果a b, c 0, 那么ac bc或 a b . c c
如果a b, c 0, 那么ac bc或 a b . c c

思考等式性质与不等式性质的主要区别是什么？
应用
设a＞b，用“＜”或“＞”填空，并说明依据不等式的那条性质．

青岛版数学八下8.1《不等式的基本性质》ppt-课件2

➢如果a>b，c<0
那么ac<bc(或ac
b c
)就是说不等式
的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向
改变。
➢不等式的对称性： ➢ 如果a>b，那么b<a
➢不等式传递性： ➢ 如果a>b，b>c,那么a>c
例1：设a＞b，用“＜”或“＞”填空并口答是根据哪一条不等式基本性质。
（1） a - 3_＞___b - 3；基本性质1 （2）a÷3__＞__b÷3 基本性质2
（3）a与b的差是负数。 a-b<0
不等式的定义用不等号（＞、≥、＜、≤或≠）表示不
等关系的式子叫做不等式
如4.5t<28000，2x+3≤6，a-b<0等都是不等式。
注：不大于，即小于或等于，用“≤”表示；不小于，即大于或等于，用“≥”表示。
不等式的性质
等式具有那些性质？不等式是否具有这些类似性质？
（或除以）同一个 PPT模板：-/moban/
PPT素材：-/sucai/
PPT背景：-/beijing/
PPT图表：/tubiao/
PPT下载：-/xiazai/
PPT教程： /powerpoint/
资料下载：/ziliao/
（3） 0.1a__＞__0.1b; 基本性质2
地理课件：/kejian/dili/
历史课件：/kejian/lish i/
正数，不等号的方向不变.
2. 对于零.
若a<b且c>0, 则ac<bc(或
a c
<
b) c
(3) 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

青岛八年级数学下册不等式的基本性质一PPT教案

青岛八年级数学下册不等式的基本性质一
1、观察下面两组式子:
第一组：1+2=3; a+b=b+a; S = ab; 4+x = 7.
第二组：-7 < -5; 3+4 > 1+4; 2x ≤6,
a+2 ≥0; 3≠4.
第一组都是
，第二组是
2、像-7 < -5; 3+4 > 1+4; 2x ≤6，a+2 ≥0;
第19页/共23页
比较归纳
等式与不等式的基本性质
等式
不等式
等式两边都加上(或基本性质1 减去)同一个整式,所
得结果仍是等式
基本性质2
等式两边都乘(或除以)同一个不为零的数,所得结果仍是等式.
不等式两边都加(或减去)同一个整式,不等号方向不变.
不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号方向不变; 不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号方向改变.
第16页/共23页
(1)若k<0,则下列不等式中不成立的是( C)
A.k+2>k-2 B.-6k>0
C.k>-k
D.k<-k
(2)已知a<b,下列不等式中错误的是 ( B)
A.4a<4b
B.-4a<-4b
C.a+4<b+4 D.a-4<b-4
第17页/共23页
1、若m>n，且am<an，则a的取值应满足条件（）
不等式性质2：
不等式两边同时乘以( 或除以 )同一个正数，不等号的方向不变。
不等式性质3：
不等式两边乘( 或除以 )同一个负数，不等号的方向改变。

基本不等式(共43张)ppt课件

15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式，并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。

《不等式的基本性质》PPT课件 (共23张PPT)

先×(-3),再+2
先再
1.已知x>y,比较2-3x与2-3y的大前定
小. 先×(-3),再+2
后不比等
×(a-3)
较号
2.已知m<<n,且(a-3)m> >(a-3)n,求a的范
围.
×(a-3)
解: 由题意可得:a-3<0(不等式的基本性质3)
∴a<3(不等式的基本性质2)
例1：已知x>y，试比较－2x和－2y的大小，并说明理由
一个不为0的数，所得结果仍是等式
如果a=b，那么ac=bc，a÷c＝b÷c（c≠0）
探索与发现
观察:用“<”或“>”填空,并找一找其中的规律.
(1)6>4 6+2__＞__4+2
6－2__＞__4－2
(2) –1<3 -1+2__<__3+2 -1－3_<___3－3
发现:当不等式两边加上或减去同一个数时,不等号的方向___不__变___
变式1:比较a－2x和a－2y的大小
变式2:比较 a 2x 和 a 2 y 的大小
3
3
变式3: 若x>y,且(a－3)x＜(a－3)y,求a的取值范围。
变式4：若x>y,比较(a-3)x与(a-3)y的大小？
例2：由 5 >2可得（ 5）2 >2 5 ，
不等式两边同时乘了
，
你能由 5 >2，推出 5 <2Байду номын сангаас5吗？
×(-3)
(6)若m>>-3,则-3m < 9;
×(-3)
(7)若a≥b,则2a ≥ 2b; (8)若-a＜b,则a >-b.

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×(-3)
(6)若m>>-3,则-3m < 9;
×(-3)
(7)若a≥b,则2a ≥ 2b; (8)若-a＜b,则a >-b.
设m＞n,用“＞”或“＜”填空。
(1) m-5____ n-5 (2) m+4 ____ n+4 (3) 6m ____ 6n (4) -3m ____ -3n
先×(-3),再+2
(1)若x+1>0,两边都减去1,得 x>-;1
-1
x+1>0
x > -1
-1
(2)-2<-1,两边都加上-a,得 -2-a<;-1a
+4
(3)若a-4>>0,则a >4;
+4
(4)∵0<1, ∴a a<+1; (5)若a＞-b,则a+b >0.
先再前定后不比等较号
先再前定后不比等较号
PPT素材：/sucai/ PPT图表：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ 范文下载：/fanwen/ 教案下载：/jiaoan/ PPT课件：/kejian/ 数学课件：/kejian/shu xue/ 美术课件：/kejian/me ishu/ 物理课件：/kejian/wul i/ 生物课件：/kejian/she ngwu/ 历史课件：/kejian/lish i/
（2）∵a2 ≥ 0,
∴a2-2 ≥ -2( 不等式的基本性质1 ) （3）若x+1＞0,两边同加上-1,得__x_＞_-_1__ (依据:__不__等__式_的__基_本__性__质_1______).
对了！对了！
探索与发现
已知4<6,则
Ⅰ组: 4×2 <6×2; 4÷2 <6÷2;
Ⅱ4组×: (-2) 6×(->2); 4÷(-2) 6÷(->2).
1、观察下面两组式子:
第一组：1+2=3; a+b=b+a; S = ab; 4+x = 7.
第二组：-7 < -5; 3+4 > 1+4; 2x ≤6,
a+2 ≥0; 3≠4.
第一组都是
，第二组是
2、像-7 < -5; 3+4 > 1+4; 2x ≤6，a+2 ≥0; 3≠4等表示不等关系的式子叫做不等式
先再
1.已知x>y,比较2-3x与2-3y的大前定
小. 先×(-3),再+2
后不比等
×(a-3)
较号
2.已知m<<n,且(a-3)m> >(a-3)n,求a的范
围.
×(a-3)
解: 由题意可得:a-3<0(不等式的基本性质3)
∴a<3(不等式的基本性质2)
例1：已知x>y，试比较－2x和－2y的大小，并说明理由
一个不为0的数，所得结果仍是等式
如果a=b，那么ac=bc，a÷c＝b÷c（c≠0）
探索与发现
观察:用“<”或“>”填空,并找一找其中的规律.
(1)6>4 6+2__＞__4+2
6－2__＞__4－2
(2) –1<3 -1+2__<__3+2 -1－3_<___3－3
发现:当不等式两边加上或减去同一个数时,不等号的方向___不__变___
A.k+2>k-2 B.-6k>0 C.k>-k D.k<-k 3、用“＜”或“＞”填空：
(1)a a+1 (2)a+2 a-2 (3)1-a -a (4)a2 0(a≠0)
通过这节课的学习活动你有哪些收获？
比较归纳
等式与不等式的基本性质
等式
不等式
等式两边都加上(或
基本性质1 减去)同一个整式,所得结果仍是等式
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0; （2）4x+3y>0 （3）x=3; （4） X2+xy+y2 （5）x≠5; （6）X+2>y+5;
等式基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式
如果a=b，那么a±c=b±c
等式基本性质2：等式的两边都乘以（或除以）同 PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛：语文课件：/kejian/yuw en/ 英语课件：/kejian/ying yu/ 科学课件：/kejian/kexu e/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 地理课件：/kejian/dili/
不等式两边都乘(或除以)一个不为零的数,
不等号方向改不改变和什么有关？
当不等式的两边同乘(或除以)同一个正数时,不等号的方向___不__变；而乘(或除以)同一个负数时,不等号的方
向___改_.变
不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数，不等
号的方向不变
不等式的两边都乘以(或都除以)同一个负数，必
须把不等号的方向改变.
如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc，
如果a＞b，且c＜0，那么ac＜bc，
不等式性质1：
不等式两边同时加上( 或减去 )同一个整式，不等号的方向不变。
不等式性质2：
不等式两边同时乘以( 或除以 )同一个正数，不等号的方向不变。
不等式性质3：
不等式两边乘( 或除以 )同一个负数，不等号的方向改变。
基本性质2
等式两边都乘(或除以)同一个不为零的数,所得结果仍是等式.
不等式两边都加(或减去)同一个整式,不等号方向不变.
不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号方向不变; 不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号方向改变.
作业
1、习题8.1第4、5、6、7题；
2、选作：习题8.1第8题。
(1)若k<0,则下列不等式中不成立的是( C)
A.k+2>k-2 B.-6k>0
C.k>-k
D.k<-k
(2)已知a<b,下列不等式中错误的是 ( B)
A.4a<4b
B.-4a<-4b
C.a+4<b+4 D.a-4<b-4
1、若m>n，且am<an，则a的取值应满足条件（） A．a>0 B．a<0 C．a=0 D．a0 2、若k<0,则下列不等式中不成立的是( )
变式1:比较a－2x和a－2y的大小
变式2:比较 a 2x 和 a 2 y 的大小
3
3
变式3: 若x>y,且(a－3)x＜(a－3)y,求a的取值范围。
变式4：若x>y,比较(a-3)x与(a-3)y的大小？
例2：由 >52可两边同时乘了
，
你能由 >52，推出 <52.5吗？
不不等等式式两两边边都都加加上(或(或减减去去) ) 同同一一个个整数式,不,不等等号号的的方方向向不不变变. .
如果a＜b,那么a+c < b+c, a-c b<-c; 如果a＞b,那么a+c > b+c, a-c b>-c.
小试牛刀
选择适当的不等号填空：
（1）∵0 ＜ 1, ∴ a ＜ a+1( 不等式的基本性质1)