浙江专版2018年高考数学二轮专题复习重难增分训练五圆锥曲线的研究性学习20180207494

重难增分训练（五） 圆锥曲线的研究性学习1．已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．解：(1)已知定点A (4,0)，设圆心C (x ，y )，MN 线段的中点为E ，由几何图象知ME ＝MN 2＝4， CA 2＝CM 2＝ME 2＋EC 2⇒(x －4)2＋y 2＝42＋x 2⇒y 2＝8x . 即圆心C 的轨迹方程为y 2＝8x .(2)证明：点B (－1,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题知y 1＋y 2≠0，y 1y 2<0，y 21＝8x 1，y 22＝8x 2.由x 轴是∠PBQ 的角平分线可得y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1⇒y 1y 21＋8＝－y 2y 22＋8⇒8(y 1＋y 2)＋y 1y 2(y 2＋y 1)＝0⇒8＋y 1y 2＝0.直线PQ 方程为： y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)⇒y －y 1＝1y 2＋y 1(8x －y 21) ⇒y (y 2＋y 1)－y 1(y 2＋y 1)＝8x －y 21 ⇒y (y 2＋y 1)＋8＝8x ⇒y ＝0，x ＝1.所以直线PQ 过定点(1,0)．2．(2018届高三·杭州市联谊校联考)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，P 为椭圆C 1上任意一点，且PF 1―→·PF 2―→最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2.(1)求椭圆C 1的离心率e 的取值范围；(2)设双曲线C 2以椭圆C 1的焦点为顶点，顶点为焦点，B 是双曲线C 2上在第一象限内的任意一点，当e 取得最小值时，是否存在常数λ(λ>0)，使得∠BAF 1＝λ∠BF 1A 恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x ，y )，又F 1(－c,0)，F 2(c,0)，∴PF 1―→＝(－c －x ，－y )，PF 2―→＝(c －x ，－y )，∴PF 1―→·PF 2―→＝x 2＋y 2－c 2.由x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y 2＝b 2－b 2x 2a 2，其中0≤x 2≤a 2.∴PF 1―→·PF 2―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 2a 2x 2＋b 2－c 2＝c 2a 2x 2＋b 2－c 2.∴当x 2＝a 2时，PF 1―→·PF 2―→取得最大值，且(PF 1―→·PF 2―→)max ＝b 2，由题意得c 2≤b 2≤3c 2，c 2≤a 2－c 2≤3c 2.∴14≤c 2a 2≤12，即14≤e 2≤12，∴12≤e ≤22.(2)当e ＝12时，a ＝2c ，b ＝3c .∴双曲线C 2：x 2c 2－y 23c 2＝1，A (2c,0)．设B (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则x 20c 2－y 203c 2＝1.当AB ⊥x 轴时，x 0＝2c ，y 0＝3c ，则tan ∠BF 1A ＝3c3c ＝1，故∠BF 1A ＝π4.故∠BAF 1＝π2＝2∠BF 1A ，猜想存在常数λ＝2，使得∠BAF 1＝λ∠BF 1A 恒成立．当AB 不垂直于x 轴，即x 0≠2c 时，tan ∠BAF 1＝－y 0x 0－2c ，tan ∠BF 1A ＝y 0x 0＋c .∴tan 2∠BF 1A ＝2tan ∠BF 1A 1－tan 2∠BF 1A ＝2y 0x 0＋c1－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0x 0＋c 2.又y 20＝3c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20c 2－1＝3(x 20－c 2)，∴tan 2∠BF 1A ＝2y0x 0＋cx 0＋c 2－x 20－c 2＝－y 0x 0－2c＝tan ∠BAF 1.又2∠BF 1A 与∠BAF 1同在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π内，∴2∠BF 1A ＝∠BAF 1.综上，存在常数λ＝2，使得∠BAF 1＝λ∠BF 1A 恒成立．3．(2017·郑州市模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点，且|OA |＝|OF |＝2(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆的方程；(2)若C ，D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ，连接CM ，交椭圆于点P ，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由已知得b ＝c ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2＝4，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由(1)知，C (－2,0)，D (2,0)．由题意可设直线CM ：y ＝k (x ＋2)，P (x 1 ，y 1)．∵MD ⊥CD ，∴M (2,4k )． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 22＝1，y ＝k x ＋消去y ，整理得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， ∴Δ＝(8k 2)2－4(1＋2k 2)(8k 2－4)＞0.由根与系数的关系得－2x 1＝8k 2－41＋2k 2，即x 1＝2－4k 21＋2k 2. ∴y 1＝k (x 1＋2)＝4k 1＋2k 2， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k21＋2k 2，4k1＋2k 2. 设Q (x 0,0)，且x 0≠－2.若以MP 为直径的圆恒过DP ，MQ 的交点，则MQ ⊥DP ，∴QM ―→·DP ―→＝0恒成立．QM ―→＝(2－x 0,4k )，DP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2. ∴QM ―→·DP ―→＝(2－x 0)·－8k 21＋2k 2＋4k ·4k 1＋2k 2＝0， 即8k 2x 01＋2k 2＝0恒成立，∴x 0＝0. ∴存在点Q (0,0)，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点．4．(2017·四川双流中学模拟)已知动圆P 与圆F 1：(x ＋3)2＋y 2＝81，圆F 2：(x －3)2＋y 2＝1都内切，设圆心P 的轨迹为曲线C ，Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点F 2作OQ 的平行线交曲线C 于M ，N 两个不同的点．(1)求曲线C 的方程；(2)试探究|MN |和|OQ |2的比值能否为一个常数．若能，求出这个常数；若不能，请说明理由． 解：(1)设圆心P 的坐标为(x ，y )，半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝9－r ，|PF 2|＝r －1， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝8>6＝|F 1F 2|，∴圆心P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中2a ＝8,2c ＝6，∴a ＝4，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝7，故曲线C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 3，y 3)，直线OQ ：x ＝my ，则直线MN ：x ＝my ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ，x 216＋y27＝1，可得x 23＝112m 27m 2＋16，y 23＝1127m 2＋16，|OQ |2＝x 23＋y 23＝112m 27m 2＋16＋1127m 2＋16＝1m 2＋7m 2＋16，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋3，x 216＋y 27＝1，可得(7m 2＋16)y 2＋42my －49＝0，∴y 1＋y 2＝－42m 7m 2＋16，y 1y 2＝－497m 2＋16，∴|MN |＝m 2＋1|y 2－y 1| ＝m 2＋1y 1＋y 22－4y 1y 2 ＝m 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－42m7m 2＋162－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－497m 2＋16 ＝m 2＋7m 2＋16，∴|MN ||OQ |2＝m 2＋7m ＋16m 2＋7m 2＋16＝12.∴|MN |和|OQ |2的比值为一个常数，这个常数为12.5．首先解决如下问题，然后根据该问题的结论提出你的其他猜想，并证明你的猜想．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，离心率为22.分别过O ，F 的两条弦AB ，CD 相交于点E (异于A ，C 两点)，且OE ＝EF .(1)求椭圆的方程；(2)求证：直线AC ，BD 的斜率之和为定值．解：(1)由题意，得c ＝1，e ＝c a ＝22，故a ＝2， 从而b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.① (2)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ，②直线CD 的方程为y ＝－k (x －1)，③由①②得，点A ，B 的横坐标为±22k 2＋1， 由①③得，点C ，D 的横坐标为2k 2±k 2＋2k 2＋1，记A (x 1，kx 1)，B (x 2，kx 2)，C (x 3，k (1－x 3))，D (x 4，k (1－x 4))，则直线AC ，BD 的斜率之和为kx1－k －x 3x 1－x 3＋kx 2－k －x 4x 2－x 4 ＝k ·x 1＋x 3－x 2－x 4＋x 1－x 3x 2＋x 4－x1－x 3x 2－x 4＝k ·x 1x 2－x 3x 4－x 1＋x 2＋x 3＋x 4x1－x 3x 2－x 4＝k ·2⎝ ⎛⎭⎪⎫－22k 2＋1－k 2－2k 2＋1－0＋4k 22k 2＋1x1－x 3x 2－x 4＝0.[问题推广] 首先把试题推广到圆、椭圆中，再把试题推广到抛物线中．命题1 圆锥曲线mx 2＋ny 2＝1(mn ≠0)的内接四边形的两组对边，两条对角线所在的三对直线中，只要有一对直线的斜率之和为0，则另两对直线中的每一对直线的斜率之和也为0.(说明：当m ＝n >0时，mx 2＋ny 2＝1表示圆；当m >0，n >0，m ≠n 时，mx 2＋ny 2＝1表示椭圆)．证明：由字母A ，B ，C ，D 的轮换对称性可知，只需证明k AB ＋k CD ＝0⇒k AC ＋k BD ＝0；k AB ＋k CD ＝0⇒k BC ＋k DA ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，又设直线AB ，CD 的斜率分别为k ，－k ，方程分别为y ＝kx ＋b 1，y ＝－kx ＋b 2.将y ＝kx ＋b 1代入mx 2＋ny 2＝1，消去y 并整理得(nk 2＋m )x 2＋2knb 1x ＋nb 21－1＝0，显然x 1，x 2是此方程的两个根，由根与系数关系得x 1＋x 2＝－2knb 1nk 2＋m ，x 1x 2＝nb 21－1nk 2＋m， 在上式中同时以－k 代k ，b 2代b 1得x 3＋x 4＝2knb 2nk 2＋m ，x 3x 4＝nb 22－1nk 2＋m ， y 3－y 1＝－kx 3＋b 2－(kx 1＋b 1)＝－k (x 1＋x 3)＋(b 2－b 1)，同理y 4－y 2＝－k (x 2＋x 4)＋(b 2－b 1)，k AC ＋k BD ＝0⇔y 3－y 1x 3－x 1＋y 4－y 2x 4－x 2＝0 ⇔(y 4－y 2)(x 3－x 1)＋(y 3－y 1)(x 4－x 2)＝0⇔[－k (x 2＋x 4)＋(b 2－b 1)](x 3－x 1)＋[－k (x 1＋x 3)＋(b 2－b 1)](x 4－x 2)＝0⇔－k [(x 2＋x 4)(x 3－x 1)＋(x 1＋x 3)(x 4－x 2)]＋(b 2－b 1)(x 3＋x 4－x 1－x 2)＝0⇔－2k (x 3x 4－x 1x 2)＋(b 2－b 1)(x 3＋x 4－x 1－x 2)＝0⇔－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫nb 22－1nk 2＋m －nb 21－1nk 2＋m ＋(b 2－b 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2knb 2nk 2＋m －－2knb 1nk 2＋m ＝0 ⇔－2kn b 22－b 21nk 2＋m ＋2kn b 22－b 21nk 2＋m＝0， 显然成立，得证．类似地可以证明k BC ＋k DA ＝0，故k BC ＋k DA ＝0，k AC ＋k BD ＝0.命题2 抛物线y 2＝2px 的内接四边形的两组对边，两条对角线所在的三对直线中，只要有一对直线的斜率之和为0，则另两对直线中的每一对直线的斜率之和也为0.证明：由字母A ，B ，C ，D 的轮换对称性可知：只需证明k AB ＋k CD ＝0⇒k BC ＋k DA ＝0，k AB ＋k CD ＝0⇒k AC ＋k BD ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 222p －y 212p＝2p y 2＋y 1，同理k BC ＝2py 2＋y 3，k CD ＝2py 3＋y 4，k DA ＝2p y 1＋y 4，k AC ＝2p y 1＋y 3，k BD ＝2p y 2＋y 4.∵k AB ＋k CD ＝0，∴k AB ＝－k CD ， ∴2p y 2＋y 1＝－2p y 3＋y 4， ∴y 1＋y 2＋y 3＋y 4＝0. ∴k BC ＝2py 2＋y 3＝－2p y 1＋y 4＝－k DA ，k AC ＝2p y 1＋y 3＝－2p y 2＋y 4＝－k BD .即k BC ＋k DA ＝0，k AC ＋k BD ＝0.。