2011年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析

【参考答案】 【1】．A提示：∵i 2i 2i1)i 1(i 1i 122==-+=-+，∴原式i i i i 3345022011-====+⨯，∴选（A ）. 【2】．A 提示：}0|{}1,log |{2>=>==y y x x y y U,}210|{}2,1|{<<=>==y y x x y y P , ∴1,2U P ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭ð ， ∴选（A ）. 【3】．B 提示：)6sin(2)cos 21sin 23(2cos sin 3)(π-=-=-=x x x x x x f , 由1)(≥x f 得，,21)6πsin(≥-x 所以6π5π26π6ππ2+≤-≤+k x k , 所以π2π2ππ()3k x k k +≤≤+∈Z ，故选（B ）. 【4】．C 提示：px y 22=的图像为开口向右的抛物线，过抛物线焦点分别作倾斜角为30,150的两条直线，则这两条直线与抛物线的交点及焦点构成符合条件的两个正三角形.由对称性可知，两直线位置一有改变就不可能构成正三角形，故选（C ）. 【5】．C提示：∵正态曲线关于直线2=x 对称，而已知8.0)4(=<ξP ， ∴6.0)40(,2.0)0()4(=<<=<=>ξξξP P P ， ∴,3.0)40(21)20(=<<=<<ξξP P 故选（C ）. 【6】．B提示：)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，∴)()(),()(x g x g x f x f =--=-.∴⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+-+-=+--，，2)()(2)()(xx x x a a x g x f a a x g x f 即()()2()() 2.x xx x f x g x a a f x g x a a --⎧+=-+⎪⎨-+=-+⎪⎩，①②①+②，得,)2(,2)(a g x g ==由得2=a . ①-②，得x x x x a a x f ---=-=22)(，所以,41522)2(22=-=-f 故选（B ）.【7】．B 提示：将12,,K A A 分别能正常工作记为事件12,,K A A ，则系统正常工作的概率为))(1)(()()())((212121A A P k P A A P k P A A k P -=+⋅=+⋅⨯-⨯=2.01(9.0864.0)2.0=.故选（B ）. 【8】．D提示：由⊥a b 得0⋅a b =，即y x y x z ,,32+=满足不等式1||||≤+y x 所表示的区域为点)1,0(),0,1(),1,0(),0,1(--连结而构成的正方形及其内部，由线性规划知识，z 取最大和最小值时的最优解为)1,0(和)1,0(-，故33≤≤-z ，故选（D ）. 【9】．C提示：由0),(=b a ϕ，得b a b a +=+22，平方得0=ab ，不妨设,0,02≥==a a a b 得则可得a 与b 互补；反之由a 与b 互补，容易得到0),(=b a ϕ，故选（C ）. 【10】．D提示：,2ln 230)(300tM t M --=' 由已知,2ln 102ln 230)30(10-=-='-MM∴6000=M ，∴1502600)60(,2600)(230=⋅=⋅=--M t M t太贝克，∴选（D ）.【11】．17 提示：由23181818181)31(C )31(C rr rr r r r xxx T --+-=-=， 令152318=-r ，得2=r ，得,17)31(C 151522183x x T =-= 所以15x 的系数为17. 【12】．14528提示：所求概率14528C C C C 2302312713=+=P . 【13】．6667提示：自上而下设各节容积分别为9821,,,,a a a a 且公差为d ，则由已知得⎩⎨⎧=++=+++，，439874321a a a a a a a 故⎩⎨⎧=+=+.421336411d a d a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.66722131d a ，故666766282213415=+=+=d a a .【14】．（2，2），1)1(22=+-y x提示：（I ）过P '作M P '垂直于y 轴且垂足为M ，则PM P '∆为等腰直角三角形，故可得P PM 故,2=点在α内的横坐标为2，而易知P 在α内的纵坐标也为2，故)2,2(P .（II ）设曲线C '上任一点),(y x P '''在α内的射影为),(y x P ，则易知),2(,2,y x P x x y y '='='所以代入方程得，22)22(22=+-y x ，所以曲线C '在α内射影C 的方程为1)1(22=+-y x .【15】．21，43提示：法一：当n =1,2,3,4时符合条件的方案分别为2，3，5，8，由此归纳推测，n =5时有1385=+种方案，n =6时，有8+13=21种方案.法二：为自上而下的6个正方形着色，且黑色正方形互不相邻时，分别着黑色正方形的个数为3，2，1，0，有3个正方形着黑色时，可先将3个白色正方形排好，3个黑色正方形插空共34C 种方案，同理，着2，1，0个黑色正方形分别有071625C ,C ,C 种方案，故一共有21C C C C 07162534=+++种.第二问正好是第一问的对立事件，用两种颜色给6个正方形着色共26种方案，故符合条件的有432126=-种（或以着黑色正方形的个数为标准分类有21C C C C C C C 06162636465666-++++++）.【16】．解：（Ⅰ）22212cos 14444c a b ab C =+-=+-⨯=， ∴2c =∴ABC ∆的周长为122 5.a b c ++=++=（Ⅱ）1cos ,sin 4C C ====∴sin 4sin 2a C A c ===∴.,a c A C <<∴，故A 为锐角，7cos.8A===∴7111cos()cos cos sin sin.848416A C A C A C-=+=⨯+=∴【17】．解：（Ⅰ）由题意：当020x≤≤时，()60v x=；当20200x≤≤时，设()v x ax b=+.再由已知得2000,2060,a ba b+=⎧⎨+=⎩解得1,3200.3ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故函数()v x的表达式为60,020,()1(200),20200.3xv xx x≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60,020,()1(200),20200.3x xf xx x x≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩当020,()x f x≤≤时为增函数，故当20x=时，其最大值为60×20=1200；当20200x≤≤时，211(200)10000()(200).3323x xf x x x+-⎡⎤=-≤=⎢⎥⎣⎦当且仅当200x x=-，即100x=时，取等号.所以，当100x=时，()f x在区间[20，200]上取得最大值10000.3综上，当100x=时，()f x在区间[0，200]上取得最大值1000033333≈.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时. 【18】．解法1：过E作EN AC⊥于N，连结EF.（I）证明：如图1，连结NF，1AC，由直棱柱的性质知，底面ABC⊥侧面1AC.又平面ABC侧面1AC AC=，且EN⊂底面ABC，所以EN⊥侧面1AC，NF为EF在侧面1AC内的射影，在Rt CNE∆中，cos60CN CE=︒=1，则由114CF CNCC CA==，得1//NF AC，又11,AC AC ⊥故1NF AC ⊥.由三垂线定理知1.EFAC ⊥（II ）解：如图2，连结AF ，过N 作NM AF ⊥于M ，连结ME . 由（I ）知EN ⊥侧面1AC ，根据三垂线定理得,EM AF ⊥ 所以EMN ∠是二面角C AF E --的平面角，即EMN θ∠=. 设,045FACαα∠=︒<≤︒则.在Rt CNE ∆中，sin60NE EC =⋅︒=在Rt ,sin 3sin ,AMN MNAN αα∆=⋅=中故tan NE MN θ== 又045,α︒<≤︒所以0sin α<≤故当sin 2α=即当45α=︒时，tan θ达到最小值，即tan 33θ=，此时F 与1C 重合.解法2：（I ）证明：建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得1(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4),(0,4,1),A B C A E F于是1(0,4,4),(3,1,1).CA EF =-=-则1(0,4,4)(,1)0440,CA EF ⋅=-⋅=-+=故1.EFAC ⊥（II ）解：设,(04)CF λλ=<≤， 平面AEF 的一个法向量为(,,)x y z =m ， 则由（I ）得F （0，4，λ）.(3,3,0),(0,4,)AE AF λ==，于是由,AE AF ⊥⊥m m ，可得0,30,40.0,AE y y z AF λ⎧⋅=+=⎪⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩即m m取,,4).λ=-m又由直三棱柱的性质可取侧面1AC 的一个法向量为(1,0,0)=n ，于是由θ为锐角可得||cos ||||θ⋅=⋅m n mn θ==，所以tan θ==由04λ<≤，得114λ≥，即tan θ≥= 故当4λ=，即点F 与点1C 重合时，tan θ【19】．解：（I ）由已知1,n n a rS +=可得21n n a rS ++=，两式相减可得2111(),n n n n n a a r S S ra ++++-=-=即21(1).n n a r a ++=+又21,a ra ra ==所以0r =时，数列{}n a 为a ，0，…，0，…； 当0,1r r ≠≠-时，由已知0,a ≠所以0n a ≠（*n ∈N ）， 于是由21(1),n n a r a ++=+可得211()n n a r n a *++=+∈N ， 所以23,,,,n a a a 成等比数列，所以当n ≥2时，2(1).n na r r a -=+综上，数列{}n a 的通项公式为21,(1), 2.nn a n a r r a n -=⎧=⎨+≥⎩， （II ）对于任意的*m ∈N ，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列，证明如下：当r =0时，由（I ）知，,1,0, 2.n a n a n =⎧=⎨≥⎩∴对于任意的*m ∈N ，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列， 当0r ≠，1r ≠-时，21211,.k k k k k k k S S a a S S a +++++=++=+若存在*k ∈N ，使得12,,k k k S S S ++成等差数列， 则122k k k S S S +++=，12222,kk k k S a a S ++++=∴即212,k k a a ++=-由（I ）知，23,,,,m a a a 的公比12r +=-，于是对于任意的*m ∈N ，且12,2,m m m a a +≥=-从而24,m m a a +=122,m m m a a a ++∴+=即12,,m m m a a a ++成等差数列，综上，对于任意的*m ∈N ，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列. 【20】．解：（I ）设动点为M ，其坐标为(,)x y ，当x a ≠±时，由条件可得12222,MA MA y y y k k m x a x a x a ⋅=⋅==-+- 即222()mxy ma x a -=≠±，又12(,0),(,0)A a A a -的坐标满足222,mx y ma -=故依题意，曲线C 的方程为222.mxy ma -=当1m <-时，曲线C 的方程为22221,x y C a ma+=-是焦点在y 轴上的椭圆； 当1m =-时，曲线C 的方程为222xy a +=，C 是圆心在原点的圆；当10m -<<时，曲线C 的方程为22221x y a ma +=-，C 是焦点在x 轴上的椭圆； 当0m >时，曲线C 的方程为22221,x y a ma-=C 是焦点在x 轴上的双曲线. （II ）由（I ）知，当m =-1时，1C 的方程为222;x y a +=当(1,0)(0,)m ∈-+∞时，2C的两个焦点分别为12((F F -对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞，1C 上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2||S m a =的充要条件是22200020,0,12|||.2x y a y y m a ⎧+=≠⎪⎨⋅=⎪⎩ 由①得00||,y a <≤由②得0||y =当10,0,2a m <≤≤<即或0m <≤时， 存在点N ，使2||Sm a =；1,2a m >即-1<<或m >时， 不存在满足条件的点N ，当150,m ⎫⎛+∈⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦时， 由100200(1,),(1,)NF a m x y NF a x y =-+--=+-，可得22221200(1),NF NF x m a y ma ⋅=-++=-令112212||,||,NF r NF r F NF θ==∠=，则由22121212cos ,cos ma NF NF r r ma r r θθ⋅==-=-可得， ① ②从而22121sin 1sin tan 22cos 2ma S r r ma θθθθ==-=-， 于是由2||S m a =，可得2212||tan ||,tan .2m ma m a mθθ-==-即 综上可得，当12m ⎡⎫-∈⎪⎢⎪⎣⎭时，在1C 上，存在点N ，使得212||,tan 2;S m a F NF =∠=且当10,2m ⎛+∈ ⎝⎦时，在1C 上，存在点N ，使得212||,tan 2;S m a F NF =∠=-且当15,m ⎛⎛⎫+∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，在1C 上，不存在满足条件的点N . 【21】．（I ）解：()f x 的定义域为(0,)+∞，令1()10,f x x'=-=解得 1.x = 当01,()0,()x f x f x '<<>时在（0，1）内是增函数；当1x >时，()0,()(1,)f x f x '<+∞在内是减函数，故函数()1f x x =在处取得最大值(1)0.f =（II ）证明：（1）由（I ）知，当(0,)x ∈+∞时， 有()(1)0,f x f ≤=即ln 1.x x ≤-0k k a b ⋅>，从而有ln 1k k a a ≤-， 得ln (1,2,,)kk k k k b a a b b k n ≤-=，求和得111ln .knn nb kk k k k k k aa b b ===≤-∑∑∑111,ln 0,k n nnb k kkkk k k a b b a===≤∴≤∑∑∑即1212ln()0,n b b bn a b a ≤1212 1.n b b b n a a a ≤∴（2）①先证12121.nb bbn b b b n≥令1(1,2,,),kka k n nb ==则11111,nnnk k k k k k a b b n ======∑∑∑于是由（1）得1212111()()()1n b b b nnb nb nb ≤，即1212121,nnb b b b b b n n n b b b +++≤=所以12121.nb b bn b b b n≥②再证122221212.n b b bn n b b b b b b ≤+++记21,(1,2,,)nkk k k b Sb a k n S====∑令，则211111nn nk k k k k k k a b b b S ======∑∑∑，于是由（1）得1212()()()1nb b b n b b b S SS≤， 即121212,n nb b b b bbn b b b S S +++≤=所以122221212.n b bbn n b b b b b b ≤+++综合①②，（2）得证. 【End 】。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数 学(理工农医类)一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.i 为虚数单位，则20111i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭( )A.i -B.1-C.iD.1 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数的代数式，根据四则运算化简求解. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】因为()221i 1i i 1i 1i ++==--，所以201120114502331i i i i i 1i ⨯++⎛⎫====- ⎪-⎝⎭，故选A.2.已知{}1,log 2>==x x y y U ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==2,1x x y y P ，则U P =ð ( )A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21B.⎪⎭⎫⎝⎛21,0 C.()+∞,0 D. ()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,210,【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出全集和一个子集，根据反函数和对数函数性质化简，再利用集合的基本运算求解. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由已知()+∞=,0U ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,0P ，所以1,2U P ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭ð,故选A.3.已知函数()x x x f cos sin 3-=，x ∈R ，若()1f x …，则x 的取值范围为 ( ) A.ππππ,3x k x k k ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z 剟B.π2π2ππ,3x k x k k ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z 剟C.π5πππ,66x k x k k ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z 剟 D.π5π2π2π,66x k x k k ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z 剟 【测量目标】两角和与差的正弦，三角函数的定义域和周期性.【考查方式】给出三角函数的解析式，利用两角和与差的正弦化简，再根据三角函数的值域求解定义域.【难易程度】中等 【参考答案】Bcos 1x x -…得π1sin 62x ⎛⎫- ⎪⎝⎭…，（步骤1） 则ππ5π2π2π666k x k +-+剟，解得π2π2ππ3k x k ++剟，k ∈Z ，所以选B.（步骤2）4.将两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则 ( )A. 0=nB. 1=nC. 2=nD. 3n … 【测量目标】直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单几何性质. 【考查方式】给出含未知系数的抛物线函数，根据抛物线的对称性，得到过焦点的两条直线的斜率，从而判断求解. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】根据抛物线的对称性，正三角形的两个 顶点一定关于x 轴对称，且过焦点的两条直线 倾斜角分别为30和150，（步骤1）这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形 的个数记为n ，2=n ，所以选C.(步骤2)第4题图5.已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξP ( )A. 6.0B. 4.0C. 3.0D. 2.0 【测量目标】随机变量的正态分布，离散型随机变量的概率.【考查方式】给出限制条件下的随机变量的概率，根据正态分布对称性计算其他限制条件下随机变量的概率.【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于 直线2=x 对称，所以()5.02=<ξP ，（步骤1）并且()()4220<<=<<ξξP P 则()()()2420<-<=<<ξξξP P P3.05.08.0=-=所以选C.（步骤2）第5题图6.已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-x x a a x g x f()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2f （ ） A. 2 B.415 C. 417 D. 2a 【测量目标】函数奇偶性的综合应用.【考查方式】给出两个函数间的关系式和一个函数值，求在相同自变量下另一函数值. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】由条件()()22222+-=+-a a g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即 ()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ，（步骤1） 所以2=a ，()41522222=-=-f ，所以选B.（步骤2） 7.如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为 ( )第7题图A. 960.0B. 864.0C. 720.0D. 576.0 【测量目标】对立事件的概率，乘法原理.【考查方式】分别给出3个事件的概率，利用对立事件的概率公式得到两个事件概率，再根据乘法原理得出结果. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】21A A 、至少有一个正常工作的概率为()()211A P A P - ()()110.810.810.040.96=--⨯-=-=，（步骤1）系统正常工作概率为()()()()864.096.09.0121=⨯=-A P A P K P ，所以选B.（步骤2）8.已知向量a ()3,z x +=，b ()z y -=,2，且a ⊥b .若y x ,满足不等式1x y +…，则z 的取值范围为 ( ) A. []2,2- B. []3,2- C. []2,3- D. []3,3-【测量目标】平面向量的数量积运算，向量的坐标运算，二元线性规划求目标函数的最值，判断不等式组表示的平面区域.【考查方式】给出两个相互垂直的向量坐标和不等式方程，画出可行域，再利用向量的数量积运算得出目标函数，根据图象求解. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】因为a ⊥b ，()()032=-++z y z x ， 则y x z 32+=，y x ,满足不等式1x y +…，（步骤1） 则点()y x ,的可行域如图所示,当y x z 32+=经过点()1,0A 时，y x z 32+=取得最大值3. 当y x z 32+=经过点()1,0-C 时，y x z 32+=取得最小值-3. 所以选D .（步骤2）第8题图9.若实数b a ,满足0,0a b厖，且0=ab ，则称a 与b 互补，记()b a b a b a --+=22,ϕ，那么()0,=b a ϕ是a 与b 互补 ( )A . 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件 【测量目标】充分、必要条件，合情推理.【考查方式】给出关于实数的新定义，根据合情推理求解. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】若实数b a ,满足0,0a b厖，且0=ab ，则a 与b 至少有一个为0，不妨设0=b ，则()0,2=-=-=a a a ab a ϕ；（步骤1） 反之，若()0,22=--+=b a b a b a ϕ0a b =+…两边平方得ab b a b a 22222++=+0=⇔ab ，则a 与b 互补，故选C.（步骤2）10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：()3002t M t M -=，其中0M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变化率．．．是2ln 10-（太贝克/年），则()=60M ( ) A. 5太贝克 B. 2ln 75太贝克 C. 2ln 150太贝克 D. 150太贝克 【测量目标】导数的运算，导数在实际问题中的应用，导数的几何意义.【考查方式】给出含未知系数的函数，利用导数的运算求出含未知系数导函数，再利用导数的几何意义得到导函数，再计算求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】因为()3001ln 2230tM t M -'=-⨯，则()30300130ln 2210ln 230M M -'=-⨯=-，解得6000=M ，所以()302600tt M -⨯=，那么()150416002600603060=⨯=⨯=-M （太贝克），所以选D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.在1831⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中含15x 的项的系数为 .（结果用数值表示）【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式，根据二项式展开式的通项公式求解特定项的系数. 【难易程度】容易 【参考答案】17【试题解析】二项式展开式的通项公式为18118C r r r r T x -+⎛= ⎝1182181C 3rr r r x--⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2152118=⇒=--r r r ，含15x 的项的系数为22181C 173⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故填17. 12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示） 【测量目标】对立事件的概率,随机事件与概率.【考查方式】给出问题情境，求出所求事件的对立事件的概率，根据对立事件的概率公式，得到所求事件的概率. 【难易程度】容易 【参考答案】14528 【试题解析】从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B ，则A 与B 是对立事件，因为()227230C 2713C 1529P B ⨯==⨯，（步骤1） 所以()()145282915132711=⨯⨯-=-=B P A P ，所以填14528.（步骤2）13.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升. 【测量目标】等差数列的通项公式.【考查方式】给出实际问题，转化为数列求项的问题，从而联立方程求解，并根据通项公式得出结果.【难易程度】容易 【参考答案】6667 【试题解析】：设该数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意⎩⎨⎧=++=+++439874321a a a a a a a ，即⎩⎨⎧=+=+421336411d a d a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+6673471d d a ，（步骤1） 则d d a d a a 374115-+=+=6667662134=-=，所以应该填6667.（步骤2） 14.如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系x Oy ''（其中y '轴与y 轴重合）所在的平面为β，45xOx '∠=.（Ⅰ）已知平面β内有一点()P '，则点P '在平面α内的射影P 的坐标为 ； （Ⅱ）已知平面β内的曲线C '的方程是(22220x y ''+-=，则曲线C '在平面α内的射影C 的方程是 .第14题图1【测量目标】曲线与方程，二面角.【考查方式】(1)给出一点的坐标和二面角，根据二面角的定义求解射影点的坐标;(2)给出曲线在一个平面内的方程，根据射影定理求解曲线在另一个平面内的方程. 【难易程度】中等【参考答案】()2,2,()1122=+-y x【试题解析】（Ⅰ）设点P '在平面α内的射影P 的坐标为()y x ,，则点P 的纵坐标和()P '纵坐标相同，所以2=y ，（步骤1） 过点P '作P H Oy '⊥，垂足为H ， 连结PH ，则45P HP '∠=，P 的横坐标cos 45x PH P H '== cos 4522x '=== ， 所以点P '在平面α内的射影P 的坐标为()2,2；（步骤2）（Ⅱ）由（Ⅰ）得cos 452x x x ''==⨯，y y '=，所以x y y⎧'=⎪⎨'=⎪⎩代入曲线C '的方程 (22220x y ''+-=，得()⇒=-+-0222222y x ()1122=+-y x ，所以射影C 的方程填()1122=+-y x .（步骤3）第14图215.给n 个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当4n …时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：第15题图由此推断，当6=n 时，黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有 种.（结果用数值表示） 【测量目标】合情推理.【考查方式】给出前四项的图象，根据合情推理归纳出后面项的性质求解. 【难易程度】中等 【参考答案】43,21【试题解析】设n 个正方形时黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案数为n a ，由图可知， 21=a ，32=a ，213325a a a +=+==， 324538a a a +=+==，由此推断5345813a a a =+=+=，21138546=+=+=a a a ，故黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种；（步骤1）由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有6422222226==⨯⨯⨯⨯⨯种方法，由于黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有432164=-种着色方案，故分别填43,21.（步骤2） 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分） 设ABC △的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （Ⅰ）求ABC △的周长； （Ⅱ）求()C A -cos 的值.【测量目标】正弦、余弦定理，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦.【考查方式】给出三角形的两边长，和第三边所对角的余弦值.(1)根据余弦定理求出第三边长，从而求出三角形的周长；（2）利用同角的三角函数的基本公式求出两个角的正、余弦值，利用两角差的余弦求解.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC △的周长为5221=++=++c b a .（步骤1）（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===cC a A .（步骤2） ∵c a <，∴C A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A ,（步骤3） ∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. （步骤4） 17．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20200x 剟时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当0200x剟时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x = 可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 【测量目标】求函数的解析式，分段函数，均值不等式求最值，函数的单调性,利用函数单调性求最值.【考查方式】给出实际问题，（1）利用待定系数法求出函数的解析式；（2）运用均值不等式和函数的单调性求出分段函数不同段的最值. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由题意：当020x <…时，()60=x v ；当20200x剟时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a故函数()x v 的表达式为()x v =()60,020,1200,20200.3x x x <⎧⎪⎨-⎪⎩…剟（步骤1）（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()60,020,1200,20200.3x x x x x <⎧⎪⎨-⎪⎩…剟当020x <…时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；当20200x剟时，()()()220011100002003323x x f x x x +-⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦…，（步骤2） 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值100003≈3333，（步骤3）即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．（Ⅰ）当1=CF 时，求证C A EF 1⊥；（Ⅱ）设二面角E AF C --的大小为θ，求θtan 的最小值.第18题图1【测量目标】异面直线垂直的判定，二面角,线面垂直的判定，空间直角坐标系，空间向量的数量积运算，空间向量的夹角问题. 【考查方式】（法一）（Ⅰ）通过面面垂直到线面垂直，在利用射影定理和三垂线定理求证异面直线的垂直；（Ⅱ）找出二面角的平面角，通过解三角形求解二面角.(法二)建立空间直角坐标系，（Ⅰ）利用空间向量的数量积运算求证；(1)先找出两个平面的两个法向量，再利用法向量的数量积运算求出二面角的大小. 【难易程度】较难 【试题解析】．解法1：过E 作EN AC ⊥于N ，连结EF . (Ⅰ)如图，连结NF 、1AC ,由直棱柱的性质知，底面ABC ⊥侧面1AC , 又底面ABC 侧面1AC AC =,且EN ABC ⊂底面, 所以1,EN AC NF ⊥面侧为EF 在侧面1AC 内的射影.（步骤1）在Rt CNE △中，cos60=1CN CE = . 则由114CF CN CC CA ==，得1NF AC ∥,又11,AC AC ⊥故1NF AC ⊥. 由三垂线定理知1.EF AC ⊥（步骤2）(Ⅱ)如图，连结,AF 过N 作NM AF ⊥于M ,连结ME .由（Ⅰ）知EN ⊥侧面1AC ,根据三垂线定理得EM AF ⊥, 所以EMN C AF E ∠--是二面角的平面角，即,EMN θ∠=（步骤3）设,FAC α∠=则045α<….在Rt CNE △中，sin60NE EC = 在Rt AMN △中，sin =3sin MN AN αα= ，故tan =.3sin NE MN θα=又045α< …，0sin 2α∴<…故当sin 2α=即当45α= 时，tan θ达到最小值，tan θ==此时F 与1C 重合.（步骤4） 解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得1(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4),(0,4,1),A B C A E F于是1(0,4,4),(,1).CA EF =-=则1(0,4,4)(,1)0440,CA EF =-=-+=故1EF AC ⊥.（步骤5） （Ⅱ）设,(04),CF λλ=<…平面AEF 的一个法向量为(,,),x y z m =则由（Ⅰ）得(0,4,).F λ(0,4,),AE AF λ== 于是由,AE AF ⊥⊥m m 可得00AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m即3040y y z λ+=+=⎪⎩，取,,4).λ=-m 又由直三棱柱的性质可取侧面1AC 的一个法向量为(1,0,0)=n ，（步骤6）于是由θ为锐角可得cos θθ===m nm n所以tan θ=由1104,tan 4λθλ<=得，即剠?. 故当4,λ=即点F 与点1C 重合时，tan θ（步骤7）第18题图2 第18题图3 第19题图419.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1(0)a a a =≠，n n rS a =+1(n *∈N ，,1)r r ∈≠-R . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在k *∈N ，使得1+k S ，k S ，2+k S 成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且2m …，1+m a ，m a ，2+m a 是否成等差数列，并证明你的结论.【测量目标】根据数列的前n 项和写数列的通项公式，等差数列的性质.【考查方式】给出首项、数列前n 和与通项公式的关系式，（1）由此得到数列的递推公式，再分类讨论求出函数的通项公式；（2）利用等差数列的性质求证.【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)由已知1n n a rS +=,可得21,n n a rS ++=两式相减可得2111(),n n n n n a a r S S ra ++++-=-=即21(1),n n a r a ++=+又21a ra ra ==，所以当0r =时，数列{}n a 为：,0,0a …，，…；当0,1r r ≠≠-时，由已知0,a ≠所以0(),n a n *≠∈N于是由21(1),n n a r a ++=+可得211()n n a r n a *++=+∈N 23,,,n a a a ∴…，…成等比数列，22(1).n n n a r r a -∴=+，…综上，数列{}n a 的通项公式为2,1,(1),2n n a n a r r a n -=⎧=⎨+⎩…（步骤1） （Ⅱ）对于任意的,m *∈N 且122,,,m m m m a a a ++…成等差数列，证明如下：当0r =时，由（Ⅰ）知，,10,2,n a n a n =⎧=⎨⎩… ∴对于任意的,m *∈N 且122,,,m m m m a a a ++…成等差数列；（步骤2） 当0,1r r ≠≠-时，21211,,k k k k k k k S S a a S S a +++++=++=+若存在,k *∈N 使得12,,k k k S S S ++成等差数列，则122,k k k S S S +++=12222k k k k S a a S ++∴++=，即212.k k a a ++=-（步骤3）由（Ⅰ）知，23,,,n a a a …，…的公比12,r +=-于是对于任意的,m *∈N 且12,2,m m m a a +=-…从而24,m m a a +=122,m m m a a a ++∴+=即12,,m m m a a a ++成等差数列.综上，对于任意的,m *∈N 且2,m …12,,m m m a a a ++成等差数列.（步骤4）20. （本小题满分14分）平面内与两定点1(,0),A a -，2(,0)(0)A a a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线.（Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系；（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞ ，对应的曲线为2C ，设1F 、2F 是2C 的两个焦点.试问：在1C 上，是否存在点N ，使得12F NF △的面积2S m a =.若存在，求12tan F NF 的值；若不存在，请说明理由.【测量目标】圆锥曲线中的探索性问题，直线的斜率，曲线与方程，空间向量的数量积运算.【考查方式】（Ⅰ）给出两点的坐标，两直线斜率公式得出曲线的方程，再根据m 的取值范围分类讨论C 的形状；（Ⅱ）给定m 的值求出1C 曲线方程和2C 的交点坐标，联立1C 和三角形面积方程，从而再利用空间向量的数量积运算求解.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）设动点为M ，其坐标为(,),x y当x a ≠±时，由条件可得12222,MA MA y y y k k m x a x a x a===-+-即222(),mx y ma x a -=≠± 又1(,0)A a -、2(,0)A a 的坐标满足222mx y ma -=，故依题意，曲线C 的方程为222.mx y ma -=（步骤1）当1m <-时，曲线C 的方程为22221,x y a ma+=-C 是焦点在y 轴上的椭圆； 当1m =-时，曲线C 的方程为222,x y a +=C 是圆心在原点的圆；当10m -<<时，曲线C 的方程为22221,x y a ma+=-C 是焦点在x 轴上的椭圆； 当0m >时，曲线C 的方程为22221,x y a ma -=C 是焦点在x 轴上的双曲线.（步骤2） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1m =-时，1C 的方程为222;x y a +=当(1,0)(0,)m ∈-+∞ 时，2C的两个焦点分别为12((F F -对于给定的(1,0)(0,),m ∈-+∞ 1C 上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2S m a =的充要条件是22200020,0,12.2x y a y m a ⎧+=≠⎪⎨=⎪⎩ ①②由①得00,y a <…由②得0y =当0,a <0,m <或0m <…时， 存在点N ，使2;S m a =,a >即1m -<<或m >时 不存在满足条件的点N .（步骤3）当110,22m ⎡⎫⎛∈⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦ 时，由100(,),NF x y =-- 200(,),NF x y =-可得22221200(1)NF NF x m a y ma =-++=-令112212,,,NF r NF r F NF θ==∠=则由21212cos ,NF NF rr ma θ==- 可得212,cos ma r r θ=- 从而22121sin 1sin tan ,22cos 2ma S r r ma θθθθ==-=-于是由2S m a =， 可得221tan ,2ma m a θ-=即2tan m mθ=-.（步骤4） 综上可得：当m ⎫∈⎪⎪⎣⎭时，在1C 上，存在点N ，使得2S m a =，且12tan 2;F NF =当m ⎛∈ ⎝⎦时，在1C 上，存在点N ,使得2,S m a =且12tan 2;F NF =-当11(1,()22m ∈-+∞ 时，在1C 上，不存在满足条件的点N .（步骤5） 21.（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数()ln 1f x x x =-+，(0,)x ∈+∞，求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）设11,(1,2,,)a b k n =…均为正数，证明：（1）若112212+n n n a b a b a b b b b +++++………，则12121n b b b n a a a ……；（2）若121n b b b ++=…+，则1222212121++n b b b n n b b b b b b n +……剟.【测量目标】利用导数求函数的最值，不等式恒成立问题.【考查方式】（Ⅰ）给出函数，利用导数的运算求出导函数，再利用导函数的单调性得到最值点求解最值；（Ⅱ）利用不等式的基本性质求证.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,).+∞令1()10,f x x'=-=解得 1.x = 当01x <<时，()0,f x '>()f x 在(0,1)内是增函数；当1x >时，()0,()f x f x '<在(1,)+∞内是减函数；故函数()f x 在1x =处取得最大值(1)0.f =（步骤1）（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知(0,)x ∈+∞时，有()(1)0,f x f =…即ln 1.x x -…0,k k a b > 从而有ln 1,k k a a -…得ln (1,2,).k k k k k b a a b b k n -=…，…求和得111ln .k n n n b kk k k k k k a a b b ===-∑∑∑…（步骤2） 111,ln 0,k n n n b k k k kk k k a b b a ===∴∑∑∑ 剟即1212ln()0,k b b b k a a a ……12121n b b b n a a a ∴…….（步骤3）（2）①先证12121.n b b b n b b b n…… 令1(1,2,),k k a k n nb ==…，则11111,n n n k k k k k k a b b n ======∑∑∑于是 由（1）得1212111nb b b n nb nb nb ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……1，即1212+121,n n b b b b b b n n n b b b ++=……… 12121.n b b b n b b b n ∴……（步骤4）②再证122221112+.n b b b n n b b b b b b ++………记21.nk k S b ==∑令21111(1,2,,),1,n n n k k k k k k k k k b a k n a b b b S S ========∑∑∑… 于是由（1）的12121,n bb b n b b b S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…… 即121212+222121212,.n n nb b b b bb b b b n n n b b b S S b b b b b b ++=∴++…………+剟 综上①②，（2）得证.（步骤5）。

2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(湖北卷)本试题卷共三大题21小题．全卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 为虚数单位，则20111i ()1i+=- ( ) A ．－i B ．－1 C ．i D ．1 2．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，1{|,2}P y y x x==>，则∁U P ＝( ) A ．1[,)2+∞ B ．1(0,)2C ．(0，＋∞)D ．1(0][,)2∞⋃+∞－，3．已知函数()3sin cos f x x x =－，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A ．π{|πππ,}3x k x k k +≤≤+∈Z B ．π{|2π2ππ,}3x k x k k +≤≤+∈ZC ．π5{|πππ,}66x k x k k +≤≤+∈ZD ．π5{|2π2ππ,}66x k x k k +≤≤+∈Z4．将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )A ．n ＝0B ．n ＝1C ．n ＝2D ．n ≥35．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ <2)＝( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.26．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a ＞0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2B ．154 C.174D ．a 27．如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.5768．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b .若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )A ．[－2,2]B ．[－2,3]C ．[－3,2]D ．[－3,3]9．若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补．记22()a b a b a b ϕ=+--，，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( )A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件10．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：300()2t M t M -=，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率．．．是－10ln2(太贝克/年)，则M (60)＝( ) A ．5太贝克B ．75ln2太贝克C ．150ln2太贝克D ．150太贝克二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11． 181()3x x-的展开式中含x 15的项的系数为__________．(结果用数值表示)12．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为__________．(结果用最简分数表示)13．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为__________升．14．如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系x ′Oy ′(其中y ′轴与y 轴重合)所在的平面为β，∠xOx ′＝45°.(1)已知平面β内有一点P ′(22,2)，则点P ′在平面α内的射影P 的坐标为__________；(2)已知平面β内的曲线C ′的方程是22(2)220x y '-+'-=，则曲线C ′在平面α内的射影C 的方程是__________．15．给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n ≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：由此推断，当n ＝6时，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案共有__________种，至少有两个黑色正方形相邻．．的着色方案共有__________种．(结果用数值表示) 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，1cos 4C =. (1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．17．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)18．如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱CC 1上，且不与点C 重合．(1)当CF ＝1时，求证：EF ⊥A 1C ；(2)设二面角C —AF —E 的大小为θ，求tan θ的最小值．19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 1＝a (a ≠0)，a n ＋1＝rS n (n ∈N *，r ∈R ，r ≠－1)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若存在k ∈N *，使得S k ＋1，S k ，S k ＋2成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且m ≥2，a m ＋1，a m ，a m ＋2是否成等差数列，并证明你的结论．20．平面内与两定点A 1(－a,0)、A 2(a,0)(a >0)连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A 1，A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线．(1)求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系．(2)当m ＝－1时，对应的曲线为C 1；对给定的m ∈(－1,0)∪(0，＋∞)，对应的曲线为C 2，设F 1、F 2是C 2的两个焦点．试问：在C 1上，是否存在点N ，使得△F 1NF 2的面积S ＝|m |a 2.若存在，求tan F 1NF 2的值；若不存在，请说明理由．21． (1)已知函数f (x )＝ln x －x ＋1，x ∈(0，＋∞)，求函数f (x )的最大值． (2)设a k ，b k (k ＝1,2，…，n )均为正数，证明： ①若a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤b 1＋b 2＋…＋b n ， 则a 1b 1a 2b 2…a n b n ≤1；②若b 1＋b 2＋…＋b n ＝1，则1222212121n b b b n n b b b b b b n≤⋅⋅⋅≤++⋅⋅⋅.1．A 2．A 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．D 9．C 10．D 11．答案：1712．(答案：28145 13．答案：676614．答案：(2,2) (x －1)2＋y 2＝1 15．答案：21 4316．解：(1)∵22212cos 14444c a b ab C ==+-⨯=＋－， ∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵1cos 4C =， ∴22115sin 1cos 144C C =-=-()=. ∴15sin 154sin 28a C A c ===. ∵a <c ，∴A <C .故A 为锐角． ∴22157cos 1sin 1()88A A =-=-=. ∴71151511cos()cos cos sin sin 848416A C A C A C ==⨯+⨯=－＋. 17．解：(1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b .再由已知得20002060a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得132003a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故函数v (x )的表达式为60,020()1(200),202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩. (2)依题意并由(1)可得60,020()1(200),202003x x f x x x x ≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩. 当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20≤x ≤200时，211(200)10000()(200)[]3323x x f x x x +-=-≤=， 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值100003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值100003 3333≈，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时． 18．解：法1：过E 作EN ⊥AC 于N ，连结EF .(1)如图1，连结NF 、AC 1，由直棱柱的性质知，底面ABC ⊥侧面A 1C . 又底面ABC ∩侧面A 1C ＝AC ，且EN ⊂底面ABC ， 所以EN ⊥侧面A 1C ，NF 为EF 在侧面A 1C 内的射影． 在Rt △CNE 中，CN ＝CE cos60°＝1. 则由114CF CN CC CA ==，得NF ∥AC 1.又AC 1⊥A 1C ，故NF ⊥A 1C ， 由三垂线定理知EF ⊥A 1C .(2)如图2，连结AF ，过N 作NM ⊥AF 于M ，连结ME ， 由(1)知EN ⊥侧面A 1C ，根据三垂线定理得EM ⊥AF . 所以∠EMN 是二面角C -AF -E 的平面角，即∠EMN ＝θ.设∠F AC ＝α，则0°<α≤45°.在Rt △CNE 中，·sin 603NE EC =︒=. 在Rt △AMN 中 ，MN ＝AN ·sin α＝3sin α.故3tan 3sin NE MN θα==.又0°<α≤45°，∴20sin 2α<≤. 故当2sin 2α=，即当α＝45°时，tan θ达到最小值．36tan 233θ=⨯=.此时F 与C 1重合．法2：(1)建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得A (0,0,0)，B (23,2,0)，C (0,4,0)，A 1(0,0,4)，E (3,3,0)，F (0,4,1)，于是1(04,4)CA =-，，(311)EF =-，，． 则1(04,4)(311)0440CA EF ⋅=-⋅-=-+=，，，，故EF ⊥A 1C . (2)设CF ＝λ(0<λ≤4)，平面AEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )．则由(1)得F (0,4，λ)，(3,3,0)AE =，(0,4)AF λ=，，于是由AE ⊥m ，F A ⊥m 可得0AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即33040x y y z λ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取(3,,4)λλ=-m ．又由直三棱柱的性质可取侧面AC 1的一个法向量为n ＝(1,0,0)．于是由θ为锐角可得2||3cos ||||24λθλ⋅==⋅+m n m n ，2216sin 24λθλ+=+. 所以2216116tan 333λθλλ+==+.由0<λ≤4，得114λ≥，即116tan 333θ≥+=.故当λ＝4，即点F 与点C 1重合时，tan θ取得最小值63. 19．解：(1)由已知a n ＋1＝rS n ，可得a n ＋2＝rS n ＋1，两式相减可得a n ＋2－a n ＋1＝r (S n ＋1－S n )＝ra n ＋1，即a n ＋2＝(r ＋1)a n ＋1，又a 2＝ra 1＝ra ，∴当r ＝0时，数列{a n }为：a,0，…，0，…； 当r ≠0，r ≠－1时，由已知a ≠0，∴a n ≠0(n ∈N *)． 于是由a n ＋2＝(r ＋1)a n ＋1，可得211n n a r a ++=+ (n ∈N *)． ∴a 2，a 3，…，a n ，…成等比数列． ∴当n ≥2时，a n ＝r (r ＋1)n －2a . 综上，数列{a n }的通项公式为2,1(1),2n n a n a r r a n -=⎧=⎨+≥⎩.(2)对于任意的m ∈N *，且m ≥2，a m ＋1，a m ，a m ＋2成等差数列，证明如下： 当r ＝0时，由(1)知，,10,2n a n a n =⎧=⎨≥⎩，∴对于任意的m ∈N *，且m ≥2，a m ＋1，a m ，a m ＋2成等差数列； 当r ≠0，r ≠－1时，∵S k ＋2＝S k ＋a k ＋1＋a k ＋2，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1， 若存在k ∈N *，使得S k ＋1，S k ，S k ＋2成等差数列，则S k ＋1＋S k ＋2＝2S k ， ∴2S k ＋2a k ＋1＋a k ＋2＝2S k ，即a k ＋2＝－2a k ＋1.由(1)知，a 2，a 3，…，a n ，…的公比r ＋1＝－2，于是对于任意的m ∈N *，且m ≥2，a m＋1＝－2a m ，从而a m ＋2＝4a m ，∴a m ＋1＋a m ＋2＝2a m ，即a m ＋1，a m ，a m ＋2成等差数列．综上，对于任意的m ∈N *，且m ≥2，a m ＋1，a m ，a m ＋2成等差数列． 20．解：(1)设动点为M ，其坐标为(x ，y )． 当x ≠±a 时，由条件可得12222·MA MA y y y k k m x a x a x a=⋅==+--， 即mx 2－y 2＝ma 2(x ≠±a )．又A 1(－a,0)、A 2(a,0)的坐标满足mx 2－y 2＝ma 2， 故依题意，曲线C 的方程为mx 2－y 2＝ma 2.当m <－1时，曲线C 的方程为22221x y a ma+=-，C 是焦点在y 轴上的椭圆； 当m ＝－1时，曲线C 的方程为x 2＋y 2＝a 2，C 是圆心在原点的圆；当－1<m <0时，曲线C 的方程为22221x y a ma +=-，C 是焦点在x 轴上的椭圆； 当m >0时，曲线C 的方程为22221x y a ma -=，C 是焦点在x 轴上的双曲线． (2)由(1)知，当m ＝－1时，C 1的方程为x 2＋y 2＝a 2； 当m ∈(－1,0)∪(0，＋∞)时，C 2的两个焦点分别为F 1(1,0)a m -+，F 2(1,0)a m +．对于给定的m ∈(－1,0)∪(0，＋∞)，C 1上存在点N (x 0，y 0)(y 0≠0)使得S ＝|m |a 2的充要条件是22200020,0,121||||.2x y a y a m y m a ⎧+=≠⎪⎨⋅+=⎪⎩①② 由①得0<|y 0|≤a ，由②得0||||1m ay m=+. 当||01m aa m<≤+，即1502m -≤<，或1502m +<≤时， 存在点N ，使S ＝|m |a 2； 当||1m aa m>+，即1512m --<<，或152m +>时，不存在满足条件的点N . 当1515[,0)(0,]22m -+∈⋃时， 由100(1,)NF a m x y =-+--，200(1)NF a m x y =+--，，可得222120(1)NF N F x m a y m a=-++=-. 令11NF r =，22NF r =，∠F 1NF 2＝θ.则由21212cos NF NF rr ma θ==-，可得212cos ma r r θ=-， 从而22121sin 1sin tan 22cos 2ma S r r ma θθθθ==-=-，于是由S ＝|m |a 2， 可得221tan ||2ma m a θ-=，即2||tan m mθ=-.综上可得：当15[,0)2m -∈时，在C 1上，存在点N ，使得S ＝|m |a 2，且tan F 1NF 2＝2； 当15(0,]2m +∈时，在C 1上，存在点N ，使得S ＝|m |a 2，且tan F 1NF 2＝－2； 当1515(1,)(,)22m -+∈-⋃∞＋时，在C 1上，不存在满足条件的点N . 21．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． 令1()10f x x'=-=，解得x ＝1. 当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)内是增函数； 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)内是减函数； 故函数f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝0.(2)证明：①由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≤f (1)＝0，即ln x ≤x －1.∵a k ，b k >0，从而有ln a k ≤a k －1，得b k ln a k ≤a k b k －b k (k ＝1，2，…，n )． 求和得111ln knn nb kk k k k k k aa b b ===≤-∑∑∑.∵11nnk k kk k a b b==≤∑∑，∴1ln 0knb kk a=≤∑，即ln(a 1b 1a 2b 2…anb n )≤0，∴a 1b 1a 2b 2…anb n ≤1. ②(ⅰ)先证12121nb bbnb b b n⋅⋅⋅≥. 令1k k a nb = (k ＝1,2，…，n )，则11111n n nk k k k k k a b b n ======∑∑∑，于是由(1)得1212111()()()1n b b b n nb nb nb ⋅⋅⋅≤，即1212121n n b b b b b b n n n b b b ++⋅⋅⋅≤=⋅⋅⋅，∴12121b n b b n b b b n⋅⋅⋅≥. (ⅱ)再证122221212nb b bnn b b b b b b ⋅⋅⋅≤++⋅⋅⋅.记21nk k S b ==∑，令(1,2,,)k k b a k n S ==⋅⋅⋅，则211111n n nk k k k k k k a b b b S ======∑∑∑.于是由(1)得1212()()()1n b b bn b b b S S S ⋅⋅⋅≤，即121212n n b b b b b bn b b b S S ⋯⋯≤＋＋＋＝， ∴122221212nb b bnn b b b b b b ⋅⋅⋅≤++⋅⋅⋅.综合(ⅰ)(ⅱ)，②得证．。

EDA技术与应用学校：滨江学院姓名：张兆飞学号：20102309061一 EDA简介EDA是电子设计自动化（Electronic Design Automation）的缩写，在20世纪90年代初从计算机辅助设计（CAD）、计算机辅助制造（CAM）、计算机辅助测试（CA T）和计算机辅助工程（CAE）的概念发展而来的。

EDA是指以计算机为工作平台，融合了应用电子技术、计算机技术、智能化技术的最新成果而开发出的电子CAD通用软件包，它根据硬件描述语言HDL完成的设计文件，自动完成逻辑编译、化简、分割、综合、优化、布局布线及仿真，直至完成对于特定目标芯片的适配编译、逻辑映射和编程下载等工作。

目前EDA 主要辅助进行三个方面的设计工作：IC设计、电子电路设计和PCB设计。

没有EDA技术的支持，想要完成超大规模集成电路的设计制造是不可想象的；反过来，生产制造技术的不断进步又必将对EDA技术提出新的要求二EDA的设计流程1、文本/原理图编辑与修改。

首先利用EDA工具的文本或图形编辑器将设计者的设计意图用文本（ABEL-HDL程序）或图形方式（原理图或状态图）表达出来。

2、编译。

完成设计描述后即可通过编译器进行排错编译，变成特定的文本格式，为下一步的综合做准备。

3、综合。

这是将软件设计与硬件的可实现性挂钩，是将软件转化为硬件电路的关键步骤。

综合后HDL综合器可生成ENIF、XNF或VHDL等格式的网表文件，他们从门级开始描述了最基本的门电路结构。

4、行为仿真和功能仿真。

利用产生的网表文件进行功能仿真，以便了解设计描述与设计意图的一致性。

（该步骤可以略去）5、适配。

利用FPGA/CPLD布局布线适配器将综合后的网表文件针对某一具体的目标器件进行逻辑映射操作，其中包括底层器件配置、逻辑分割、逻辑优化、布局布线。

该操作完成后，EDA软件将产生针对此项设计的适配报告和JED 下载文件等多项结果。

适配报告指明了芯片内资源的分配与利用、引脚锁定、设计的布尔方程描述情况。