任意角和弧度制、任意角的三角函数
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第一节 任意角和弧度制、任意角的三角函.数1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念．2.能进行弧度与角度的互化．3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.突破点一 角的概念[基本知识]1．角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类角的分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分类⎩⎪⎨⎪⎧ 正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类⎩⎪⎨⎪⎧象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)第二象限角大于第一象限角．( )(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角．( )(3)终边在y ＝x 上的角构成的集合可表示为{ α| α＝π4＋k π，k ∈Z }.( )答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题1．与角2 020°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．解析：因为2 020°＝220°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 020°的终边相同的角是220°. 答案：220°2．已知角α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝________.解析：因为角α与β的终边关于直线y ＝x 对称． 所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)，则α＝2k π＋56π，k ∈Z.所以sin α＝sin 56π＝12.答案：123．已知α是第二象限角，则180°－α是第________象限角．解析：由α是第二象限角可得，90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°，k ∈Z ，所以180°－(180°＋k ·360°)<180°－α<180°－(90°＋k ·360°)，即－k ·360°<180°－α<90°－k ·360°(k ∈Z)．所以180°－α为第一象限角． 答案：一象限角及终边相同的角(1)要使角β与角α的终边相同，应使角β为角α与π的偶数倍(不是整数倍)的和．(2)注意锐角(集合为{α|0°<α<90°})与第一象限角(集合为{α|k ·360°<α<90°＋k ·360°，k ∈Z})的区别，锐角是第一象限角，仅是第一象限角中的一部分，但第一象限角不一定是锐角．[典例感悟]1．(2019·长春普通高中一模)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 因为直线y ＝－3x 的倾斜角是2π3，所以终边落在直线y ＝－3x 上的角的取值集合为{ α⎪⎪ α＝k π－π3，k ∈Z }.故选D.2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________________．解析：所有与45°终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z)， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z)， 解得－765360≤k <－45360(k ∈Z)， 从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°3．若角α是第二象限角，则α2是第________象限角．解析：∵α是第二象限角，∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z.当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角． 答案：一或三[方法技巧]1．象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． 2．求θn或nθ(n ∈N *)所在象限的方法(1)将θ的范围用不等式(含有k ，且k ∈Z)表示． (2)两边同除以n 或乘以n .(3)对k 进行讨论，得到θn 或nθ(n ∈N *)所在的象限．[针对训练]1．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z)，则角α与角β的终边的位置关系是( ) A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：选C 由题意知角α与角θ的终边相同，角β与角－θ的终边相同，又角θ与角－θ的终边关于x 轴对称，所以角α与角β的终边关于x 轴对称．2．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2， ∴cos θ2≤0，综上知θ2为第二象限角．突破点二 弧度制及应用[基本知识]1．弧度制的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．弧度制下的有关公式一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形半径的大小无关．( )(2)1弧度是长度等于半径长的弦所对圆心角的大小．( ) (3)60°＝π6 rad.( )答案：(1)√ (2)× (3)× 二、填空题1．一条弦的长度等于半径，这条弦所对圆心角大小为________弧度． 解析：弦与两条半径构成等边三角形，圆心角为π3.答案：π32．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________．解析：设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎨⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.答案：π3[典例感悟]1．已知扇形弧长为20 cm ，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm 2. 解析：由弧长公式l ＝|α|r ，得r ＝20100π180＝36π，∴S 扇形＝12lr ＝12×20×36π＝360π.答案：360π2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r 3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝⎛⎭⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6，所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·23r 2πr ＝518.答案：518[方法技巧]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度．(2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解．[针对训练]1．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4D ．2或4解析：选C 设扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.2．(2019·平罗月考)已知扇形的周长为20 cm ，当它的面积最大时，它的圆心角的弧度数为________．面积S ＝12lr ＝12解析：因为扇形的周长为20，所以l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r ，所以扇形的(20－2r )·r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25，所以当半径r ＝5时，扇形的面积最大为25，此时α＝2(rad)． 答案：23.(2018·湖北黄石三中阶段性检测)分别以边长为1的正方形ABCD 的顶点B ，C 为圆心，1为半径作圆弧AC ，BD ，两弧交于点E ，则曲边三角形ABE 的周长为________． 解析：连接BE ，CE .因为两圆弧所在圆的半径都是1，正方形边长也是1，所以△BCE 为正三角形，所以圆心角∠EBC ，∠ECB 都是π3，∠EBA ＝π2－π3＝π6.所以弧BE 的长为π3×1＝π3，弧AE 的长为π6×1＝π6，所以曲边三角形ABE 的周长是1＋π3＋π6＝1＋π2.答案：1＋π2突破点三 任意角的三角函数[基本知识]三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin αx 叫做α的余弦，记作cos α yx叫做α的正切，记作tan α 各象限符号Ⅰ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ－＋－三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若角θ的终边在直线y ＝2x 上，则tan α＝2.( ) (2)若sin θcos θ>0，则θ在第一象限内．( ) (3)0<α<π2，则sin α<tan α.( )答案：(1)√ (2)× (3)√ 二、填空题1．已知角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝________. 解析：因为|OP |＝(－1)2＋22＝5(O 为坐标原点)， 所以sin α＝25＝255.答案：2552．在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，且点A 在第二象限，则cos α＝________.解析：因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案：－353．比较大小．(填“>”、“<”或“＝”) (1)sin π4________cos π4；(2)sin π5________cos π5；(3)sin2π3________tan 2π3. 答案：(1)＝ (2)< (3)>[全析考法]考法一 三角函数值的符号判断[例1] (1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)(2019·沈阳重点高中期末联考)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >b >c D ．c >a >b[解析] (1)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角．由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角． (2)b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°＝a ，c ＝tan 35°>sin 35°＝b ，∴c >b >a .故选A. [答案] (1)C (2)A [方法技巧]1．三角函数值符号及角的位置判断已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况． 2．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 考法二 三角函数的定义[例2] (1)(2018·榆林第一次测试)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若角α的终边经过点P ( 35，－45 )，则cos α·tan α的值是( ) A ．－45B.45 C ．－35D.35α＝－35，则点A(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，cos 的坐标为________．[解析] (1)因为角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫35，－45， 所以cos α＝35，tan α＝－43，所以cos α·tan α＝35×⎝⎛⎭⎫－43＝－45. (2)∵cos α＝－35，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴A ⎝⎛⎭⎫－35，45. [答案] (1)A (2)⎝⎛⎭⎫－35，45 [方法技巧]三角函数定义应用策略(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解．(3)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(4)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标． 考法三 三角函数线的应用[例3] 函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． [解析] ∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z)． [答案] ⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z) [方法技巧]利用三角函数线求解三角不等式的方法对于较为简单的三角不等式，在单位圆中，利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临界状态，注意实线与虚线)，再通过大小找到其所满足的角的区域，由此写出不等式的解集．[集训冲关]1.[考法一]设角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A α的终边在第一、二象限能推出sin α>0，sin α>0成立能推出α的终边在第一、二象限或y 轴的正半轴上，故“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的充分不必要条件．故选A. 2.[考法二]已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( ) A ．150° B ．135° C ．300°D ．60°解析：选C sin 150°＝12>0，cos 150°＝－32<0，角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，又0°≤α<360°，所以角α为300°，故选C. 3.[考法二]在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.答案： 34.[考法三]在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为____________________． ＝22，sin 5π4＝解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cosπ4cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4. 答案：⎝⎛⎭⎫π4，5π4 [课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．2弧度的角所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B ∵π2<2<π，∴2弧度的角在第二象限．2．点P (cos 2 019°，sin 2 019°)所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 2 019°＝5×360°＋219°，即角2 019°与角219°的终边相同，219°＝180°＋39°，所以角219°在第三象限，即角2 019°也在第三象限．所以cos 2 019°<0，sin 2 019°<0，所以点P 在第三象限． 3．已知角α的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫－32，－12，则sin α的值为( ) A ．－32B ．－12C.32D.12解析：选B 根据三角函数的定义，角α的终边与单位圆交点的纵坐标为角α的正弦值． 4．半径为1 cm ，圆心角为150°的角所对的弧长为( ) A.23 cm B.2π3 cm C.56cm D.5π6cm 解析：选D ∵α＝150°＝56π rad ，∴l ＝α·r ＝56π cm.5．(2018·四川石室中学期中)已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315.故选D.[B 级 保分题——准做快做达标]1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 因为点P (tan α，cos α)在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α<0，cos α<0，所以α为第二象限角．2．(2019·南昌二中模拟)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( ) A ．sin 2 B ．－sin 2 C ．cos 2D ．－cos 2解析：选D 因为r ＝(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝2， 由任意角的三角函数的定义，得sin α＝yr ＝－cos 2.3．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 4．(2019·长春模拟)已知α，β是第一象限角，且sin α>sin β，则( ) A ．α>β B ．α<β C ．cos α>cos βD ．tan α>tan β解析：选D 因为α，β是第一象限角，所以sin α>0，sin β>0，又sin α>sin β，所以sin 2α>sin 2β>0，所以1－cos 2α>1－cos 2β，所以cos 2α<cos 2β，所以1cos 2α>1cos 2β>0，所以tan 2α>tan 2β，因为tan α>0，tan β>0，所以tan α>tan β.故选D.5．(2019·洛阳阶段性测试)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边经过点P (3,4)，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2 019π2＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选C ∵角α的终边经过点P (3,4)，∴sin α＝45，cos α＝35.∴sin ⎝⎛⎭⎫α－2 019π2＝sin ( α－2 020π2＋π2 )＝sin ( α＋π2 )＝cos α＝35.故选C. 6．(2018·莆田二十四中月考)一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ θR ＝6，12θR 2＝6.解得θ＝3，即扇形的圆心角的弧度数是3.故选C. 7．终边在坐标轴上的角的集合是( )A ．{φ|φ＝k ·360°，k ∈Z}B ．{φ|φ＝k ·180°，k ∈Z}C ．{φ|φ＝k ·90°，k ∈Z}D ．{φ|φ＝k ·180°＋90°，k ∈Z}解析：选C 令k ＝4m ，k ＝4m ＋1，k ＝4m ＋2，k ＝4m ＋3，k ，m ∈Z.分别代入选项C 进行检验：(1)若k ＝4m ，则φ＝4m ·90°＝m ·360°；(2)若k ＝4m ＋1，则φ＝(4m ＋1)·90°＝m ·360°＋90°；(3)若k ＝4m ＋2，则φ＝(4m ＋2)·90°＝m ·360°＋180°；(4)若k ＝4m ＋3，则φ＝(4m ＋3)·90°＝m ·360°＋270°.综上可得，终边在坐标轴上的角的集合是{φ|φ＝k ·90°，k ∈Z}．8．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________________. 解析：如图所示，设角π6的终边为OA ，OA 关于直线y ＝x 对称的射线为OB ，则以OB 为终边且在0～2π范围内的角为π3， 故以OB 为终边的角的集合为{ α⎪⎪ α＝2k π＋π3，k ∈Z }.∵α∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋π3<4π，∴－136<k <116. ∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1.∴α＝－11π3，－5π3，π3，7π3. 答案：－11π3，－5π3，π3，7π39．若角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，则sin θ＋cos θ等于________．解析：∵角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，∴x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |.当a >0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝y r ＋x r ＝－15. 当a <0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝y r ＋x r ＝15. 故sin θ＋cos θ＝±15.答案：±1510．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.答案：(－2,3]11．(2019·齐齐哈尔八中月考)已知角α的顶点在坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P (3a,4a )，其中a ≠0，求sin α，cos α，tan α.解：设r ＝|OP |＝(3a )2＋(4a )2＝5|a |.当a >0时，r ＝5a ，∴sin α＝4a 5a ＝45，cos α＝3a 5a ＝35，tan α＝4a 3a ＝43；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－45，cos α＝－35，tan α＝43. 综上可知，sin α＝45，cos α＝35，tan α＝43或sin α＝－45，cos α＝－35，tan α＝43. 12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值； (2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3)若α∈⎝⎛⎦⎤0，23π，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式． 解：(1)由题意可得B ⎝⎛⎭⎫－45，35，根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34. (2)若△AOB 为等边三角形，则B ⎝⎛⎭⎫12，32，可得tan ∠AOB ＝y x ＝3，故∠AOB ＝π3；故与角α终边相同的角β的集合为{ β|β＝π3＋2k π，k ∈Z }. (3)若α∈⎝⎛⎦⎤0，23π，则S 扇形OAB ＝12αr 2＝12α， 而S △AOB ＝12×1×1×sin α＝12sin α， 故弓形AB 的面积S ＝S 扇形OAB －S △AOB ＝12α－12sin α，α∈⎝⎛⎦⎤0，23π.。
