江苏省南通市2018-2019学年高一上学期期末数学试题(解析版)
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南通市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{|1}A x x =≥-，则正确的是（ ） A ．0⊆A B ． {0}A ∈C ．A φ∈D ．{0}A ⊆【答案】D【解析】由元素与集合以及集合与集合的关系即可求解. 【详解】对A ，0A ∈,故A 错误； 对B ，{0}A ⊆，故B 错误；对C ，空集φ是任何集合的子集，即A φ⊆，故C 错误； 对D ，由于集合{0}是集合A 的子集，故D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了元素与集合以及集合与集合之间的关系，要注意区分，属于基础题. 2．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ） A ．3(3,)2-- B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)2【答案】D【解析】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D.【考点】1、一元二次不等式；2、集合的运算.3．已知a r ,b r 均为单位向量,它们的夹角为060,那么3a b +=r r ( )A ．B ．10C ．D ．4【答案】C【解析】试题分析：()2223369a b a ba ab b +=+=+⋅+r r rr rr r r ,,所以.【考点】向量的模的计算,向量数量积,模与向量关系.4．已知函数f （x ）1020x x x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，，，方程()2f x ﹣2f （x ）=0，则方程的根的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B 【解析】由()2f x ﹣2f （x ）=0，得f （x ）=0或f （x ）=2，根据函数f （x ）是分段函数，再分类讨论求解. 【详解】 因为()2fx ﹣2f （x ）=0，所以f （x ）=0或f （x ）=2， 当x <0时，f （x ）1x=<0，∴()0f x ≠且()2f x ≠， 当0x ≥时，f （x ）=|x ﹣2|，令f （x ）=0得，x =2；令f （x ）=2得，x =4或0， 综上：方程()2f x ﹣2f （x ）=0的根的个数是3个，故选：B. 【点睛】本题主要考查分段函数与方程问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.5．设函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x +π）=f （x ）+sin x .当0x π≤<时，f （x ）=0，则116f π⎛⎫=⎪⎝⎭( ) A ．12B 3C ．0D ．12-【答案】A【解析】由函数f （x ）满足f （x +π）=f （x ）+sin x .，将问题转化为11555sin 6666πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 再求解. 【详解】因为函数f （x ）满足f （x +π）=f （x ）+sin x . 所以11555sin 6666πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 又当0x π≤<时，f （x ）=0， 所以506f π⎛⎫=⎪⎝⎭所以1155511sin 0666622πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数求值问题，还考查了转化化归的思想和和运算求解的能力，属于中档题. 6．已知32m n k ==且112m n+=，则k 的值为( ) A ．15 BCD ．6【答案】C【解析】由3m =2n =k ，将指数式转化为对数式得m =log 3k ，n =log 2k ，再代入112m n+=，利用换底公式求解. 【详解】 ∵3m =2n =k ，∴m =log 3k ，n =log 2k ， ∴32111132k k log log m n log k log k+=+=+=log k 6=2， ∴k 2=6， 又0k >Q∴k =故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数与对数互化，换底公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u v u u u v u u u v的最小值为 （ ） A ．3- B ．6-C ．2-D ．83-【答案】B【解析】如图建立坐标系，(()()0,23,2,0,2,0A B C -，设(),P x y ，则()()(),23,2,,2,PA x y PB x y PC x y =-=---=--u u u v u u u v u u u v，()()()2232,22243PA PB PC x y x y x y y ∴⋅+=-⋅--=+-u u u v u u u v u u u v(222366x y ⎡⎤=+-≥-⎢⎥⎣⎦，∴最小值为6-，故选B ．点睛：已知图形的向量问题采用坐标法，可以将几何问题转化为计算问题，数形结合的思想应用．坐标法后得到函数关系，求函数的最小值．向量问题的坐标化，是解决向量问题的常用方法．8．已知圆O 与直线l 相切于点A ,点,P Q 同时从A 点出发,P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当Q 运动到点A 时,点P 也停止运动,连接,OQ OP (如图),则阴影部分面积12,S S 的大小关系是( )A ．12S S =B ．12S S ≤C ．12S S ≥D ．先12S S <再12S S =最后12S S > 【答案】A【解析】由题意得,弧AQ 的长度与AP 相等,利用扇形的面积公式与三角形的面积公式表示出阴影部分的面积12,S S ,比较其大小,即可求得答案. 【详解】设线段OP 与圆O 交于点B ,Q 直线l 与圆O 相切,∴ OA AP ⊥ ∴12AOP S OA AP =⋅⋅V 又Q »12AOQ S AQ OA =⋅⋅扇形,»AQ AP = ∴AOP AOQ S S =V 扇形∴ AOP AOQ AOB AOB S S S S -=-V 扇形扇形扇形即12S S = 故选:A. 【点睛】本题考查了求阴影部分的之间关系,解题关键是掌握扇形面积公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.9．若存在实数a ，使得函数22(1)401()1a x a x x f x x x ⎧-+++<=⎨>⎩„在（0，+∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜0 B ．a ≤﹣1C ．﹣2≤a ≤﹣1D ．﹣2≤a ＜0【答案】C【解析】根据分段函数的单调性；首先使各段单调递减a +1≤0、a ＜0，再使整体单调递减32(1)1a ++…，解不等式组即可.【详解】根据题意，若函数22(1)401()1a x a x x f x x x ⎧-+++<=⎨>⎩„在（0，+∞）上为减函数，当0＜x ≤1时，f （x ）=﹣x 2+2（a +1）x +4递减，有a +1≤0， 当x ＞1时，f （x ）=a x 为减函数，必有a ＜0，综合可得：10032(1)1a a a +⎧⎪<⎨⎪++⎩„…，解可得﹣2≤a ≤﹣1；故选：C ． 【点睛】本题考查了分段函数的单调性，注意使函数整体单调递减，属于易错题.10．设函数y =f （x ）的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1+x 2=2a 时，恒有f （x 1）+f （x 2）=2b ，则称点（a ，b ）为函数y =f （x ）图象的对称中心.研究函数f （x ）=x +sin πx ﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到12403440352018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值为( ) A ．4035 B ．﹣4035C ．8070D ．﹣8070【答案】D【解析】根据代数式的结构，探究f （2﹣x ）+f （x ）=-4，得到函数f （x ）关于（1，﹣2）对称，令12403440352018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L S ，再用倒序相加法求解. 【详解】∵f （2﹣x ）+f （x ）=2﹣x +sin π（2﹣x ）﹣3+x +sin πx ﹣3=2﹣x ﹣sin πx ﹣3+x +sin πx ﹣3=﹣4， ∴函数f （x ）关于（1，﹣2）对称， 设12403440352018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L S ， 则f （40352018）+f （40342018）+…+f （22018）+f （12018）=S ，两式相加得2S =4035[f （12018）+f （40352018）]=4035×（﹣4）， ∴S =﹣2×4035=﹣8070， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了函数的对称性及倒序相加法，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题11．已知全集U =R ，N ={1，2，3}，M ={2，4，6}，则图中阴影部分表示的集合为_____.【答案】{1，3}【解析】先根据韦恩图，得到阴影部分表示的集合为U N M I ð再求解. 【详解】因为集U =R ，N ={1，2，3}，M ={2，4，6}，由韦恩图得，阴影部分表示的集合为U N M I ð所以{}1,3UN M ⋂=ð 故答案为：{1，3} 【点睛】本题主要考查了集合中的韦恩图，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题. 12．已知,αβ都是锐角，21sin ,cos(),22ααβ=+=则cos β=_____.【解析】试题分析： 因为,αβ都是锐角，1sin cos cos(),(0,)222(0,)sin()2αααβαβππαβαβ==+=+∈∴+∈∴+=Q则cos cos[()]cos()cos sin()sin 1222ββααβααβαα=+-=+++=⨯=进而得到结论为4【考点】本题主要考查了两角和差的三角函数公式的运用．点评：解决该试题的关键是构造角的思想，注意已知中角的范围的限制，对于求解函数值的正负号，有着关键性的作用．13．已知f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是减函数，如果f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），那么实数m 的取值范围是_____. 【答案】（﹣∞，1）U （53，+∞） 【解析】因为先根据f （x ）是定义域在R 上的偶函数，将 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），转化为()()223f m f m ->-，再利用f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数求解.【详解】因为f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3）, 所以()()223fm f m ->- ,又因为f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数， 所以|m ﹣2|<|2m ﹣3|， 所以3m 2﹣8m +5>0， 所以（m ﹣1）（3m ﹣5）>0， 解得m <1或m 53>，故答案为：（﹣∞，1）U （53，+∞）. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.14．已知向量a r =（2，sinθ），b r =（1，cosθ），若a r ∥b r ，则221sin cos θθ+的值为______．【答案】23. 【解析】由向量共线为载体，建立关于角θ的三角函数关系式，借助三角恒等变形可求解本题答案 【详解】(2,sin ),(1,cos )a b θθ==r r ，a b r r ∥sin 2cos tan 2θθθ⇒=⇒=()22222222tan 421tan 2423sin sin cos sin cos cos θθθθθθθθ====+++++ 【点睛】通过向量共线去得出关于θ的三角函数关系式，再综合三角恒等变形中齐次式的运用，使得做题达到事半功倍的效果．15．△ABC 中，点M 是边BC 的中点，3AB =u u u r ，2AC =u u u r ，则AM BC ⋅=u u u u r u u u r_____.【答案】52-【解析】由点M 是边BC 的中点，得到12AM =u u u u r （AB AC +u u u r u u u r ），又BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r，再用数量积公式求解. 【详解】因为点M 是边BC 的中点，所以12AM =u u u u r （AB AC +u u u r u u u r ），又因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，所以12AM BC ⋅=u u u u r u u u r （AB AC +u u u r u u u r ）⋅（AC AB -u u u r u u u r ）12=（22AC AB -u u u r u u u r ）52=-，故答案为：52-.【点睛】本题主要考查了向量的表示及数量积运算，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.16．已知函数()2213f x sin x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间[a ，b ]（a ，b ∈R ，且a <b ）上至少含有8个零点，在所有满足条件的[a ，b ]中，b ﹣a 的最小值为_____. 【答案】103π【解析】根据题意，令f （x ）=2sin （2x 3π-）﹣1，解得零点为x 4k ππ=+或712x k ππ=+（k ∈Z ），易知相邻的零点之间的间隔依次为3π，23π，再根据f （x ）在[a ，b ]上至少含有8个零点，来确定b ﹣a 的最小值. 【详解】因为函数f （x ）=2sin （2x 3π-）﹣1， 令f （x ）=0，则2sin （2x 3π-）﹣1=0，所以s in （2x 3π-）12=，解得：x 4k ππ=+或712x k ππ=+（k ∈Z ），因为相邻的零点之间的间隔依次为3π，23π， 所以若f （x ）在[a ，b ]上至少含有8个零点， 则b ﹣a 的最小值为21034333πππ⨯+⨯=， 故答案为：103π. 【点睛】本题主要考查了三角函数的零点，还考查了数形结合的思想和推理论证的能力，属于中档题.三、解答题17．已知集合{|123}A x m x m =-≤≤+，函数()2()lg 28f x x x =-++的定义域为B ． （1）当2m =时，求A B U 、()R A B ⋂ð； （2）若A B A =I ，求实数m 的取值范围．【答案】(1) {|27}B x x A -<≤⋃=，(){|21}R A B x x =-<<I ð；(2) ()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭． 【解析】（1）根据题意，由2m =可得{|17}x A x =≤≤，由并集定义可得A B U 的值，由补集定义可得{|1R A x x =<ð或7}x >，进而由交集的定义计算可得()R A B ⋂ð，即可得答案； （2）根据题意，分析可得A B ⊆，进而分2种情况讨论：①、当A =∅时，有123m m ->+，②当A ≠∅时，有12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，分别求出m 的取值范围，进而对其求并集可得答案．【详解】根据题意，当2m =时，{|17}x A x =≤≤，()2()lg 28f x x x =-++有意义，则2280x x -++>，得{|24}B x x =-<<，则{|27}B x x A -<≤⋃=，又{|1R A x x =<ð或7}x >，则(){|21}R A B x x =-<<I ð； （2）根据题意，若A B A =I ，则A B ⊆， 分2种情况讨论：①当A =∅时，有123m m ->+，解可得4m <-， ②当A ≠∅时，若有A B ⊆，必有12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解可得112m -<<，综上可得：m 的取值范围是：()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查集合间关系的判定，涉及集合间的混合运算，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力. 18．已知函数()261f xx x =+-（1）求f （x ）的零点；（2）若α为锐角，且sinα是f （x ）的零点.（ⅰ）求()()()2tan cos cos sin πααπαπα+⋅-⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的值； （ⅱ）求6sin πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）11,32-；（2）（ⅰ）3；（ⅱ. 【解析】（1）令()2610f x x x =+-=，解一元二次不等式即可.（2）由α为锐角，得13sin α=.（ⅰ）利用诱导公式将原式化简再求值. （ⅱ）由两角和的正弦公式求解. 【详解】 （1）令()2610f x x x =+-=，解得13x =或12x =-，所以函数的零点是13 和12- .（2）因为α为锐角， 所以13sin α=. （ⅰ）()()()132tan cos tan cos sin sin sin cos sin πααααπααααπα+⋅-⋅===⋅⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭. （ⅱ） 由α为锐角，所以α=cos ，所以11632sin πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了函数的零点，三角函数化简求值，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19．已知()1211axf x log x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数.（1）求a 的值，并写出函数f （x ）的单调区间（不需要求解过程）； （2）若关于x 的方程()()12f x log x k =+在[2，3]上有解，求k 的取值范围.【答案】（1）1-，f （x ）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上是单调增函数；（2）[﹣1，1]. 【解析】（1）根据()1211axf x log x -=-的图象关于原点对称，得到f （x ）是奇函数， 则f （x ）+f （﹣x ）=0，恒成立，即1211011ax ax log x x -+⎛⎫⎛⎫=⎪⎪---⎝⎭⎝⎭恒成立，化简为x 2（a 2﹣1）=0求解.根据a 的值，f （x ）=log 112211x log x +=-（121x +-），再利用复合函数的单调性确定单调区间.（2）关于x 的方程()()12f x log x k =+在[2，3]上有解，即112211x log log x +=-（x +k ）在[2，3]上有解，转化为k 11x x +=--x ，在[2，3]上有解，再求得g （x ）11x x +=--x ，x ∈[2，3]值域即可. 【详解】（1）因为()1211axf x log x -=-的图象关于原点对称， 所以f （x ）为奇函数， 所以f （x ）+f （﹣x ）=0， 即1211011ax ax log x x -+⎛⎫⎛⎫=⎪⎪---⎝⎭⎝⎭， 所以1﹣a 2x 2=1-x 2， 即x 2（a 2﹣1）=0， 所以a =﹣1或a =1（舍去）， 所以f （x ）=log 112211x log x +=-（121x +-），定义域为（﹣∞，﹣1）U （1，+∞）. 所以f （x ）的增区间是（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），无减区间. （2）关于x 的方程()()12f x log x k =+在[2，3]上有解，即112211x log log x +=-（x +k ）在[2，3]上有解， 即11x x +=-x +k ，得k 11x x +=--x ， 令g （x ）11x x +=--x ，x ∈[2，3]， 则g （x ）=121x +--x 在x ∈[2，3]上单调递减，且f （2）=1，f （3）=﹣1， 所以k 的取值范围是[﹣1，1]. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性及对数方程有解问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20．如图在直角坐标系中，»AB 的圆心角为32π，»AB 所在圆的半径为1，角θ的终边与»AB 交于点C ．（1）当C 为»AB 的中点时，D 为线段OA 上任一点，求OC OD +u u u r u u u r的最小值；（2）当C 在»AB 上运动时，D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，求CE DE ⋅uur uuu r的取值范围. 【答案】（1）22；（2）[124124+]. 【解析】(1)根据题意设D （t ，0）（0≤t ≤1）,C （22），表示出向量+u u u r u u u r OC OD 的坐标，再利用模的公式求解.（2）设OC =u u u r（cosα，sinα），E （0，12-），D （12，0），分别表示出向量CE u u u r 与向量DE u u u r 的坐标，由数量积公式得到CE DE ⋅uur uuu r=（α4π+）14+，再用三角函数的图象和性质求解.【详解】(1)设D （t ，0）（0≤t ≤1）,C （2-，2），∴OC OD +=u u u r u u u r（t 2-，2），2+u u u r u u u r OC OD =（t 2-）212+，（0≤t ≤1），∴t =OC OD +u u u r u u u r 的最小值为2. （2）设OC =u u u r （cosα，sinα），0≤α32π≤，E （0，12-），D （12，0），∴CE =u u u r （﹣cosα，12--sinα），DE =uuu r （12-，12-），∴12CE DE ⋅=u u u r u u u r cosα12+sinα142+=sin （α4π+）14+，∵032πα≤≤， ∴4π≤α744ππ+≤， ∴sin （α4π+）∈[﹣1，1]，∴2sin （α4π+）14+∈[142-，142+].∴CE DE ⋅uur uuu r的取值范围是：[142-，142+]. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，模的求法，数量积运算以及三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法和运算求解的能力，属于中档题.21．如图，有一块矩形草坪ABCD ，AB =100m ，BC =503m ，欲在这块草屏内铺设三条小路OE 、EF 和OF ，要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF =90°.（1）设∠BOE =α，试求△OEF 的周长l 关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条路的铺设费用均为400元/m ，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用. 【答案】（1）l ()501sin cos cos sin αααα++=，α∈[6π，3π]；（2）当BE =AE =50米时，铺路总费用最低，最低总费用为400002+1）元.【解析】（1）在Rt △BOE 中，求得50OE cos α=，在Rt △AOF 中，求得500F sin α=，再根据∠EOF =90°，利用勾股定理求得2222505050()()EF OE OF cos sin cos sin αααα=+=+=，然后求得周长.结合图形，当点F 在点D 时，角α最小，点E 在点C 时，角α最大，求得定义域.（2）根据题意，铺路总费用最低，则△OEF 的周长l 的最小，即求l ()501sin cos cos sin αααα++=，α∈[6π，3π]，的最小值. 【详解】（1）在Rt △BOE 中，OB =50，∠B =90°，∠BOE =α∴50OE cos α=， 在Rt △AOF 中，OA =50，∠A =90°，∠AFO =α，∴500F sin α=，又∠EOF =90°，∴2222505050()()EF OE OF cos sin cos sin αααα=+=+=， ∴l =OE +OF +EF 505050cos sin cos sin αααα=++，即l ()501sin cos cos sin αααα++=，当点F 在点D 时，角α最小，此时求得6πα=；当点E 在点C 时，角α最大，此时求得3πα=，故此函数的定义域为[6π，3π]； （2）由题意可知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF 的周长l 的最小值即可， 由（1）得，l ()501sin cos cos sin αααα++=，α∈[6π，3π]， 设si nα+cosα=t ，则212t sin cos αα-⋅=，所以()()2501501100112αααα+++===--sin cos t l t cos sin t ， 因为α∈[6π，3π]，所以5712412πππα≤+≤，所以1sin cos sin [42t πααα⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，11t ≤-≤，1111t ≤≤-， 当4πα=，即BE ＝50时，)1001min l =，∴当BE =AE =50米时，铺路总费用最低，最低总费用为40000+1）元. 【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，还考查了建立函数和运算求解的能力，属于中档题. 22．已知a ∈R ，函数f （x ）=x 2﹣2ax +5.（1）若a >1，且函数f （x ）的定义域和值域均为[1，a ]，求实数a 的值； （2）若不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∈[13，12]恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2；（2）2578a ≤≤. 【解析】（1）根据f （x ）的图象开口向上，对称轴为x =a >1，知f （x ）在[1，a ]上单调递减，所以f （1）=a 求解即可.（2）将不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∈[13，12]恒成立，去绝对值转化为a 2512x x -≥且a 2512x x +≤在x ∈[13，12]恒成立，分别令g （x ）2251115252228-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭x x x ，x ∈[13，12]，用二次函数求其最大值，令h （x ）2251115252228+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭x x x ，x ∈[13，12]，求其最小值即可. 【详解】（1）∵f （x ）的图象开口向上，对称轴为x =a >1， ∴f （x ）在[1，a ]上单调递减， ∴f （1）=a ，即6﹣2a ＝a ，解得a =2.. （2）不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∈[13，12]恒成立， 即x |2ax ﹣5|≤1对x ∈[13，12]恒成立， 故a 2512x x -≥且a 2512x x +≤在x ∈[13，12]恒成立，令g （x ）2251115252228-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭x x x ，x ∈[13，12]， 所以g （x ）max =g （25）258=， 所以258a ≥. 令h （x ）2251115252228+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭x x x ，x ∈[13，12]， 所以h （x ）min =h （12）=7， 所以7a ≤. 综上：2578a ≤≤. 【点睛】本题主要考查了二闪函数的图象和性质，还考查了转化化归和运算求解的能力，属于中档题.。
