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三角函数化简题

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课题：§三角函数的化简、求值与证明 日期：2009年 月 日星期式进行三角函数式的化简与恒等式的证明．用．1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

．三角函数的求值： 1．寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；2．正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；3．一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等．1．三角函数式的化简：三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化． 2．三角恒等式的证明：三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．1、已知θ是第三象限角，且4459sin cos θθ+=，那么2sin θ等于 （ A ）A 、3 B 、3- C 、23 D 、23-2、函数222y sin x x =--+的最小正周期 （ B ） A 、2π B 、π C 、3π D 、4π3、tan 70cos10(3tan 201)-等于 （ D ）A 、1B 、2C 、－1D 、－24、已知46sin (4)4m m m αα-=≠-，则实数m 的取值范围是＿＿[－1，73]＿＿＿。

5、设10,sin cos 2απαα<<+=，则cos2α＝＿＿例1．已知3sin 5m m θ-=+，42cos 5m m θ-=+（2πθπ<<），则tan θ= （ C ）()A 423m m -- ()B 342m m -±- ()C 512- ()D 34-或512- 略解：由22342()()155m m m m --+=++得8m =或0m =（舍），∴5sin 13θ=，∴5tan 12θ=-．例2．已知1cos(75)3α+=，α是第三象限角，求cos(15)sin(15)αα-+-的值．解：∵α是第三象限角，∴36025575360345k k α⋅+<+<⋅+（k Z ∈），∵1cos(75)3α+=，∴75α+是第四象限角，∴sin(75)α+==，∴原式221cos(15)sin(15)sin(75)cos(75)3αααα+=---=+-+=-． 例3．已知2sin sin 1θθ+=，求243cos cos 2sin 1θθθ+-+的值．解：由题意，22sin 1sin cos θθθ=-=，∴原式223sin sin2sin 1sin 1cos 1sin sin 22θθθθθθθ=+-+=+-+=-+=．例4．已知8cos(2)5cos 0αββ++=，求tan()tan αβα+⋅的值． 解：∵2()αβαβα+=++，()βαβα=+-， ∴8cos[()]5cos[()]0a αβααβ++++-=，得13cos()cos 3sin()sin αβααβα+=+，若cos()cos 0αβα+≠，则13tan()tan 3αβα+⋅=， 若cos()cos 0αβα+=，tan()tan αβα+⋅无意义．说明：角的和、差、倍、半具有相对性，如()()βαβαβαα=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()αβαβα+=++等，解题过程中应充分利用这种变形．例5．已知关于x的方程221)0x x m -+=的两根为sin ,cos ,(0,2)θθθπ∈，求：（1）sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值；（2）m 的值；（3）方程的两根及此时θ的值． 解：（1）由根与系数的关系，得sin cos sin cos 2m θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，∴原式2222sin cos sin cos 1sin cos sin cos cos sin sin cos 2θθθθθθθθθθθθ-=+==+=---．（2）由①平方得：212sin cos 2θθ+⋅=，sin cos 4θθ⋅=，即24m =，故m =．（3）当221)0x x -+=，解得1212x x ==，∴sin 1cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1sin 2cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩②∵(0,2)x π∈，∴3πθ=或6π． 例1．化简：（123tan123sin12(4cos 122)--；（2）(cottan )(1tan tan )222αααα-+⋅；（3(1sin cos )(sincos )(0)θθθθθπ++-<<．解：（1）原式21323(sin12cos12)3sin123cos12222sin12cos12(2cos 121)sin 24cos 24--==- sin 482==-（2）原式1cos 1cos sin 1cos ()(1)sin sin cos sin αααααααα+--=-+⋅2cos 1cos 1(1)2cot (11)2cscsin cos cos ααααααα-=+=+-=．（3）原式2(2cos 2cos sin )(sin cos )θθθθθ+-=2cos (cos sin )(sin cos )θθθθθ+-=222cos (sin cos )cos (cos )22222|cos ||cos |22θθθθθθθ--== ∵0θπ<<，∴022θπ<<，∴|cos |cos 22θθ=，∴原式cos θ=-．例3．证明：（1）222(3cos 4)tan cot 1cos 4x x x x ++=-；（2）sin(2)sin 2cos()sin sin A B BA B A A+-+=．证：（1）左边22442222222222sin cos sin cos (sin cos )2sin cos 1cos sin sin cos sin 24x x x x x x x xx x x x x ++-=+== 22222111sin 21sin 284sin 244cos 222111cos 41cos 4sin 2(1cos 4)48x x x x x x x x ---+====--- 42(1cos 4)2(3cos 4)1cos 41cos 4x x x x+++===--右边，∴得证．说明：由等式两边的差异知：若选择“从左证到右”，必定要“切化弦”；若“从右证到左”，必定要用倍角公式．（2）左边sin[()]2cos()sin sin A B B A B A A ++-+=sin()cos cos()sin sin A B A A B AA+-+=sin[()]sin sin sin A B A B A A+-===右边，∴得证．1．若cos130a =，则tan 50=（ D ）()Aa ()Ba± ()C()D a- 2．(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++=（ B ）()A 2 ()B 4 ()C 8 ()D 163．化简：42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44x x x x ππ-+-+ 答案：1cos 22x 4．设3177cos(),45124x x πππ+=<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值。

答案：2875- 6．已知11sin()cos [sin(2)cos ],022αβααβββπ+-+-=<<，求β的值。

答案：2π7．（05北京卷）已知tan 2α=2，求（I ）tan()4πα+的值；（II ）6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值．解：（I ）∵ tan2α=2, ∴ 22tan2242tan 1431tan 2ααα⨯===---;所以tan tantan 14tan()41tan 1tan tan 4παπααπαα+++==--=41134713-+=-+； （II ）由(I), tan α=－34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()173463()23-+=--.8．（05全国卷）已知函数2()2sin sin 2,[0,2].f x x x x =+∈π求使()f x 为正值的x 的集合. 解：∵()1cos 2sin 2f x x x =-+………………………………………………2分1)4x π=-…………………………………………………4分()01)04f x x π∴>⇔->sin(2)42x π⇔->-…………6分 5222444k x k πππππ⇔-+<-<+…………………………8分 34k x k πππ⇔<<+…………………………………………10分 又[0,2].x π∈ ∴37(0,)(,)44x πππ∈⋃………………………12分9．(05浙江卷)已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ．(Ⅰ) 求f (256π)的值； (Ⅱ) 设α∈(0，π)，f (2α)＝41－sin α的值．解：(Ⅰ) 25125sin ,cos626ππ=225252525()sin cos 06666f ππππ=+=(Ⅱ) 1()2sin 22f x x x =-11()cos sin 222242f ααα∴=+-=-011sin 4sin 162=-α-α 解得8531sin ±=α 0sin ),0(>α∴π∈α 8531sin +=∴a 1．1sin 4cos 41sin 4cos 4αααα++=+-（ B ）()A cot α ()B cot 2α ()C tan α ()D tan 2a2．已知()f x =53(,)42ππα∈时，式子(sin 2)(sin 2)f f αα--可化简为（ D ）()A 2sin α ()B 2cos α- ()C 2sin α- ()D 2cos α 3．222cos 12tan()sin ()44αππαα-=-+ 1 ．课题：§三角函数的化简、求值与证明 日期：2009年 月 日星期 一、选择题 1、已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+的值等于（ D ） A、3 B 、3- C 、13 D 、13-2、已知tan α、tan β是方程240x ++=的两根，且(,)22ππαβ∈-、，则αβ+等于 （B ）A 、3π B 、23π- C 、3π或23π- D 、3π-或23π3、化简23cos (1sin )[2tan()]422cos ()42x xx x ππ+---为 （ B ）A 、sin xB 、cos xC 、tan xD 、cot x4、（全国卷Ⅲ）22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+αααα（ B ） (A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)125、（山东卷）函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0,01),sin()(12x e x x x f x ，若2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为（ B ）（A ）1 （B ）22,1-（C ）22- （D ）22,1 班级 姓名二、填空题6、（全国卷Ⅱ）设a 为第四象限的角，若 513sin 3sin =a a ，则tan2a =_____43-_________. 7、（北京卷）已知tan2α=2，则tanα的值为－34，tan ()4πα+的值为 -718、已知tan()34πθ+=，则2sin 22cos θθ-的值为＿＿＿45-＿＿＿＿。

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高中数学三角函数的恒等变换及化简求值精选题

高中数学三角函数的恒等变换及化简求值精选题

三角函数的恒等变换及化简求值精选题一．选择题（共7小题） 1．若3ta n 4α=，则2c o s 2s in 2(αα+=)A ．6425B ．4825C ．1D ．16252．若3c o s ()45πα-=，则sin 2(α=)A ．725B ．15C ．15-D ．725-3．已知向量(sin ,2),(1,c o s )ab θθ=-=，且ab⊥，则2sin 2c o s θθ+的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．34．若1ta n 3θ=，则c o s 2(θ=)A ．45-B ．15- C ．15D ．455．已知角α的终边经过点(2,1)P -，则sin c o s (sin c o s αααα-=+ )A ．3B ．13C ．13-D ．3- 6．已知函数()s in (2)6f x x π=-，若方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，则12sin ()(x x -=)A ．45-B ．35-C ．3-D ．3-7．已知1ta n 4ta n θθ+=，则2c o s ()(4πθ+=)A ．12B ．13C ．14D ．15二．填空题（共15小题）9．设当x θ=时，函数()s in o s f x x x=+取得最大值，则ta n ()4πθ+=．10．求值：s in 50(1n 10)︒+︒=．11．1s in 10c o s 10-=︒︒．12．已知s in 10c o s 102c o s 140m ︒+︒=︒，则m=．13．4c o s 50ta n 40︒-︒=．14．2c o s 10s in 20s in 70︒-︒=︒．15．已知1ta n 31ta n αα+=-，则2sin 2sin co s 1ααα-+=．16．若1s in ()43πα-=，则c o s ()4πα+=．17．若o s 2in 2c o s ()4θθπθ=+，则s in 2θ=．18．若ta n 3α=，则s in 2ta n ()4απα+的值为 ．19．若ta n 3,(0,)2παα=∈，则c o s ()4πα-=．20．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2s in 18m =︒，若24m n +=，si n 63=︒．21．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为2s in 18a=︒，若24a b +=，则2=．22．函数2()ta n 60s in 2inf x x x=︒+在[,]2ππ上的值域为 ．三．解答题（共3小题） 23．设函数()s in ()s in ()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=．（Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数()yf x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[4π-，3]4π上的最小值．24．已知α，β为锐角，4ta n 3α=，c o s ()5αβ+=-（1）求c o s 2α的值； （2）求tan ()αβ-的值．25．已知函数22()s inc o s in f x x x x =--co s ()x x R ∈．（Ⅰ）求2()3f π的值．（Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．三角函数的恒等变换及化简求值精选题25道参考答案与试题解析一．选择题（共7小题） 1．若3ta n 4α=，则2c o s 2s in 2(αα+=)A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【分析】将所求的关系式的分母“1”化为22(c o s sin )αα+，再将“弦”化“切”即可得到答案． 【解答】解：3ta n 4α=，22222314c o s 4s in c o s 14ta n 644c o s 2s in 29s in c o s ta n 125116ααααααααα+⨯++∴+====+++．故选：A ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题． 2．若3c o s ()45πα-=，则sin 2(α=)A ．725B ．15C ．15-D ．725-【分析】法1︒：利用诱导公式化s in 2c o s (2)2παα=-，再利用二倍角的余弦可得答案．法︒：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得s in c o s αα+的值，再平方，即得s in2α的值【解答】解：法31:c o s ()45πα︒-=，297s in 2c o s (2)c o s 2()2c o s ()1212442525πππαααα∴=-=-=--=⨯-=-，法32:c o s ()in c o s )425πααα︒-=+=，∴19(1s in 2)225α+=，97s in 2212525α∴=⨯-=-，故选：D ．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题．3．已知向量(sin ,2),(1,c o s )ab θθ=-=，且ab⊥，则2sin 2c o s θθ+的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．3【分析】由题意可得a b ⋅=，即解得ta n 2θ=，再由222222s in c o s c o s 2ta n 1s in 2c o s c o s s in 1ta n θθθθθθθθθ+++==++，运算求得结果．【解答】解：由题意可得sin 2co s 0ab θθ⋅=-=，即ta n 2θ=．222222s in c o s c o s 2ta n 1s in 2c o s 1c o s s in 1ta n θθθθθθθθθ++∴+===++，故选：A ．【点评】本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题． 4．若1ta n 3θ=，则c o s 2(θ=)A ．45-B ．15- C ．15D ．45【分析】原式利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将ta n θ的值代入计算即可求出值．【解答】解：1ta n 3θ=，22224c o s 22c o s 11111519ta n θθθ∴=-=-=-=++．故选：D ．【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．5．已知角α的终边经过点(2,1)P -，则sin c o s (sin c o s αααα-=+ )A ．3B ．13C ．13-D ．3-【分析】先根据已知条件得到ta n α，再化简s in c o s s in c o s αααα-+代入即可得到结果．【解答】解：因为角α的终边经过点(2,1)P -，所以1ta n 2α=-，则11s in c o s ta n 1231s in c o s ta n 112αααααα----===-++-+，故选：D ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，着重考查同角三角函数的基本关系式，考查任意角的三角函数的定义，属于中档题． 6．已知函数()s in (2)6f x x π=-，若方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，则12sin ()(x x -=)A ．45- B ．35-C．3-D．3-【分析】由已知可得2123x x π=-，结合12x x <求出1x 的范围，再由12112s i n ()s i n (2)c o s (2)36x xx x ππ-=-=--求解即可． 【解答】解：因为0x π<<，∴112(,)666x πππ-∈-，又因为方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，∴1223x x π+=，∴2123x x π=-，∴12112s in ()s in (2)c o s (2)36x x x x ππ-=-=--，因为12212,3x x x x π<=-，103x π∴<<，∴12(,)662x πππ-∈-，∴由113()s in (2)65f x x π=-=，得14c o s (2)65x π-=，∴124s in ()5x x -=-，故选：A ．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题． 7．已知1ta n 4ta n θθ+=，则2c o s ()(4πθ+=)A ．12B ．13C ．14D ．15【分析】由已知求得s in c o s θθ的值，再由二倍角的余弦及诱导公式求解2c o s ()4πθ+的值．【解答】解：由1ta n 4ta n θθ+=，得s in c o s 4c o s s in θθθθ+=，即224s in c o s s in c o s θθθθ+=，1s in c o s 4θθ∴=，∴21c o s (2)1s in 22c o s ()422πθπθθ++-+==11212s in c o s 14224θθ-⨯-===．故选：C ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．二．填空题（共15小题） 9．设当xθ=时，函数()s in o s f x x x=+取得最大值，则ta n ()4πθ+=2+【分析】()f x 解析式提取，利用两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，由x θ=时函数()f x 取得最大值，得到θ的取值，后代入正切公式中计算求值．【解答】解：()sin o s 2sin ()3f x x x x π=+=+；当xθ=时，函数()f x 取得最大值2,32k k zππθπ∴+=+∈；26k πθπ∴=+，kz∈；∴1ta n ()ta n (2)ta n ()2464463k πππππθπ++=++=+==+故答案为：2+．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．10．求值：s in 50(1n 10)︒+︒=1 ．【分析】先把原式中切转化成弦，利用两角和公式和整理后，运用诱导公式和二倍角公式化简整理求得答案．【解答】解：原式2s in 40s in 80c o s 10s in 50c o s 401c o s 10c o s 10c o s 10c o s 10︒︒︒=︒⋅=︒===︒︒︒︒故答案为：1【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换及其化简求值，以及两角和公式，诱导公式和二倍角公式的化简求值．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用． 11．1s in 10c o s 10-=︒︒4 ．【分析】s in 10c o s 10得结果．【解答】解：12(c o s 10in 10)1221s in 10c o s 10s in 10c o s 10s in 202︒-︒-==︒︒︒︒︒4s in 20420S in ==故答案为：4【点评】本题主要基础知识的考查，考查了在三角函数的化简与求值中，综合运用二倍角正弦公式、两角和的正弦公式，要求考生熟练运用公式对三角函数化简． 12．已知s in 10c o s 102c o s 140m ︒+︒=︒，则m=【分析】由题意可得2c o s 140s in 10c o s 10m ︒-︒=︒，再利用三角恒等变换求得它的值． 【解答】解：由题意可得2c o s 140s in 102c o s 40s in 102c o s (3010)s in 10c o s 10c o s 10c o s 10m ︒-︒-︒-︒-︒+︒-︒===︒︒︒2c o s 10s in 10s in 102c o s 10-︒+︒-︒==︒故答案为：【点评】本题主要考查三角恒等变换，属于中档题． 13．4c o s 50ta n 40︒-︒=【分析】表达式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果． 【解答】解：4c o s 50ta n 404s in 40ta n 40︒-︒=︒-︒4s in 40c o s 40s in 40c o s 40︒︒-︒=︒2s in 80s in (3010)c o s 40︒-︒+︒=︒12c o s 10c o s 10in 1022c o s 40︒-︒-︒=︒3c o s 10in 1022c o s 40︒-︒=︒==．【点评】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键． 14．2c o s 10s in 20s in 70︒-︒=︒【分析】利用两角和差的余弦公式，进行化简即可．【解答】解：原式12o s 20s in 20)s in 202c o s (3020)s in 2022c o s 20c o s 20︒+︒-︒︒-︒-︒==︒︒o s 20s in 20s in 20o s 20c o s 20c o s 20︒+︒-︒︒===︒︒【点评】本题主要考查三角函数值的化简，利用两角和差的余弦公式是解决本题的关键． 15．已知1ta n 31ta n αα+=-，则2sin 2sin co s 1ααα-+=25．【分析】由1ta n 31ta n αα+=-，我们可计算出ta n α的值，由于2sin α2c o s +α1=，所以将所求的代收式变形为222222s in c o s s in s in c o s s in c o s ααααααα-+++，然后化弦为切，代入求值．【解答】解：1ta n 31ta n αα+=-，1ta n 2α∴=．22222222222112()212s in c o s 2ta n 1222s in 2s in c o s 1115()12s in s in c o s ta n ta n s in c o s ta n αααααααααααααα⨯-⨯+-++-++∴-+====+++． 故答案是：25．【点评】本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数间的基本关系，解题的关键是将角的弦化切，属于中档题． 16．若1s in ()43πα-=，则c o s ()4πα+=13．【分析】由已知利用诱导公式化简所求即可得解． 【解答】解：1sin ()43πα-=，∴1c o s ()s in (())s in ()42443a ππππαα+=--=-=．故答案为：13．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 17．若o s 2in 2c o s ()4θθπθ=+，则s in 2θ=23-．【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可得：2(c o s s in )in 2θθθ+=，平方后整理可得：23sin 24sin 240θθ--=，进而解得s in 2θ的值． 【解答】解：o s 22c o s()4θθπθ=+，∴2(c o s s in )in 22θθθ=+=，∴平方可得：24(1sin 2)3sin 2θθ+=，整理可得：23sin 24sin 240θθ--=，∴解得：2s in 23θ=-，或2（舍去）．故答案为：23-．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18．若ta n 3α=，则s in 2ta n ()4απα+的值为310-．【分析】直接利用三角函数关系式的变换和倍角公式的应用求出结果．【解答】解：由于ta n 3α=，所以22ta n 3s in 21ta n 5ααα==+，1ta n 4ta n ()241ta n 2πααα++===---所以3s in 235210ta n ()4απα==--+．故答案为：310-【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 19．若ta n 3,(0,)2παα=∈，则c o s ()4πα-=5．【分析】由已知结合同角三角函数基本关系式求解s in α、c o s α的值，然后展开两角差的余弦求解．【解答】解：由ta n 3α=，得s in 3c o s αα=，即s in 3c o s αα=．又22sin c o s 1αα+=，且(0,)2πα∈，解得：s in 10α=，c o s 10α=．∴c o s ()c o s c o s s in s in4441021025πππααα-=+=+=．故答案为：5．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及两角差的余弦，是基础题．20．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2s in 18m=︒，若24m n +=，则s i n 63m +=︒【分析】根据三角函数同角三角函数关系表示n ，利用辅助角公式结合两角和差的正弦公式进行化简即可． 【解答】解：2s in 18m =︒，∴由24m n +=，得222444sin 184co s 18nm =-=-︒=︒，则2s in 182c o s 18in (4518)in 63s in 63s in 63s in 63s in 63m +︒+︒︒+︒︒====︒︒︒︒故答案为：【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求解，利用辅助角公式以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键．21．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为2s in 18a=︒，若24a b +=，则2=12-．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求24co s 18b =︒，然后利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简得答案． 【解答】解：2s in 18a =︒，若24a b +=，2222444sin 184(1sin 18)4c o s 18b a∴=-=-︒=-︒=︒，∴22c o s 54sin 3614sin 18c o s 182sin 362-︒-︒====-︒︒︒，故答案为：12-．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．22．函数2()ta n 60s in 2inf x x x=︒+在[,]2ππ上的值域为．【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可求()in (2)4f x x π=-+[,]2x ππ∈，可得：32[44x ππ-∈，7]4π，进而利用正弦函数的性质即可得解．【解答】解：2()tan 60sin 22f x x x=︒+1c o s 2in 22xx -=+2o s 2x x=+-in (2)4x π=-+又[,]2x ππ∈，可得：32[44xππ-∈，7]4π，s in (2)[14x π∴-∈-，2，可得()in (2)4f x x π=-+-，．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想，属于基础题． 三．解答题（共3小题） 23．设函数()s in ()s in ()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=．（Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数()yf x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[4π-，3]4π上的最小值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数()f x 为正弦型函数，根据()06f π=求出ω的值；（Ⅱ）写出()f x 解析式，利用平移法则写出()g x 的解析式，求出[4x π∈-，3]4π时()g x 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数()s in ()s in ()62f x x x ππωω=-+-s in c o sc o s s ins in ()662x x x πππωωω=---3in c o s 22x xωω=-in ()3x πω=-，又()in ()0663f πππω=-=，∴63k ππωπ-=，k Z∈，解得62k ω=+，又03ω<<，2ω∴=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()in (2)3f x x π=-，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数in ()3y x π=-的图象；再将得到的图象向左平移4π个单位，得到in ()43yx ππ=+-的图象，∴函数()in ()12yg x x π==-；当[4x π∈-，3]4π时，[123xππ-∈-，2]3π，s in ()[122x π∴-∈-，1]，∴当4xπ=-时，()g x取得最小值是322-=-．【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题． 24．已知α，β为锐角，4ta n 3α=，c o s ()5αβ+=-（1）求c o s 2α的值； （2）求tan ()αβ-的值．【分析】（1）由已知结合平方关系求得s in α，c o s α的值，再由倍角公式得c o s 2α的值； （2）由（1）求得t a n 2α，再由c o s ()5αβ+=-求得t a n (αβ+，利用tan ()tan [2()]αβααβ-=-+，展开两角差的正切求解．【解答】解：（1）由22431s in c o s s in c o s ααααα⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为锐角，解得4s in 53c o s 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，227c o s 225c o s s in ααα∴=-=-；（2）由（1）得，24s in 22s in c o s 25ααα==，则s in 224ta n 2c o s 27ααα==-．α，(0,)2πβ∈，(0,)αβπ∴+∈，s in ()5αβ∴+==．则s in ()ta n ()2c o s ()αβαβαβ++==-+．ta n 2ta n ()2ta n ()ta n [2()]1ta n 2ta n ()11ααβαβααβααβ-+∴-=-+==-++．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题． 25．已知函数22()s inc o s in f x x x x =--co s ()x x R ∈．（Ⅰ）求2()3f π的值．（Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，（Ⅰ）代入可得：2()3f π的值．（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得()f x 的最小正周期及单调递增区间【解答】解：函数22()s inc o s in f x x x x =--7c o s in 2c o s 22s in (2)6x x x x π=-=+（Ⅰ）2275()2s in (2)2s in 23362f ππππ=⨯+==，（Ⅱ）2ω=，故Tπ=，即()f x 的最小正周期为π，由72[262xk πππ+∈-+，2]2k ππ+，k Z∈得：5[6x k ππ∈-+，]3k ππ-+，kZ∈，故()f x 的单调递增区间为5[6k ππ-+，]3k ππ-+或写成[6k ππ+，2]3k ππ+，kZ∈．【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档。

三角函数化简题

三角函数化简题

三角函数的化简、求值与证明 日期：2009年 月 日星期式进行三角函数式的化简与恒等式的证明．用．（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分．三角函数的求值： 2．正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值； 3．一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等． 1．三角函数式的化简： 三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化． 2．三角恒等式的证明： 三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．1、已知θ是第三象限角，且4459sin cos θθ+=，那么2sin θ等于 （ A ）A B 、 C 、23 D 、23-2、函数22y sin x x =-的最小正周期 （ B ）A 、2πB 、πC 、3πD 、4π3、tan 70cos10(3tan 201)-等于 （ D ）A 、1B 、2C 、－1D 、－24、已知46sin (4)4m m m αα-=≠-，则实数m 的取值范围是＿＿[－1，73]＿＿＿。

三角函数化简例题大全

三角函数化简例题大全

三角函数化简例题大全三角函数化简是解决三角函数表达式的一种常见方法，可以通过一系列的恒等变换将复杂的三角函数表达式简化为更简单的形式。

以下是一些常见的三角函数化简例题，我将从不同的角度给出一些例子。

1. 化简三角函数表达式：例如，化简 sin²(x) + cos²(x) 的表达式。

根据三角恒等式 sin²(x) + cos²(x) = 1，可以将原表达式化简为 1。

2. 利用和差化积公式：例如，化简 sin(x)cos(x) 的表达式。

根据和差化积公式sin(x)cos(x) = 1/2 sin(2x)，可以将原表达式化简为 1/2sin(2x)。

3. 利用倍角公式：例如，化简 sin²(x) 的表达式。

根据倍角公式 sin(2x) =2sin(x)cos(x)，可以将原表达式化简为 1/2 1/2cos(2x)。

4. 利用三角函数的周期性质：例如，化简sin(x + π) 的表达式。

根据 sin(x + π) = -sin(x)，可以将原表达式化简为 -sin(x)。

5. 利用三角函数的奇偶性质：例如，化简 cos(-x) 的表达式。

根据 cos(-x) = cos(x)，可以将原表达式化简为 cos(x)。

6. 利用三角函数的互余关系：例如，化简tan(π/2 x) 的表达式。

根据tan(π/2 x) = cot(x)，可以将原表达式化简为 cot(x)。

以上是一些常见的三角函数化简的例题，通过运用三角函数的基本性质、恒等变换和公式，可以将复杂的三角函数表达式化简为更简单的形式，这有助于我们在解决数学问题和证明中更加灵活和高效地运用三角函数。

三角函数化简求值每日一练

三角函数化简求值每日一练

三角函数化简求值每日一练1、的值为____________2、计算：=____________3、化简=____________4、sin15°+sin75°的值是____________5、求值：sin10°tan70°﹣2cos40°=____________6、sin315°sin（﹣1260°）+cos390°sin（﹣1020°）=____________7、=____________8、sin2230°+sin110°•cos80°=____________9、=____________10、=____________11、求值sin17°cos47°﹣sin73°cos43°=____________12、=____________13、﹣的值是____________14、（1+tan21°）（1+tan24°）的值为____________15、=____________16、计算3tan10°+4 =____________17、化简：=____________18、=____________19、sin40°（tan190°﹣）=____________20、计算：=____________21、求值：=____________22、计算：=____________答案解析部分一、单选题1、【答案】B【考点】三角函数的化简求值【解析】【解答】解：= = = ，故选：B．【分析】利用三角恒等变换化简所给的式子，可得结果．二、填空题2、【答案】1【考点】三角函数的化简求值，两角和与差的正切函数【解析】【解答】解：∵tan60°= ，∴==tan（60°﹣15°）=tan45°=1．故答案为：1．【分析】由tan60°= ，利用两角差的正切公式，即可求出答案来．3、【答案】﹣8【考点】三角函数的化简求值【解析】【解答】解：∵tan12°﹣= = = =﹣8sin12°cos24°，∴= =﹣8．故答案为：﹣8．【分析】由同角函数的三角函数关系以及两角和差的正弦公式转化原式可得tan12°﹣=﹣8sin12°cos24°，整理化简可得结果。