甘肃省平凉市静宁一中19-20学年高一上学期期末数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年甘肃省平凉市静宁一中高一（上）第二次考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1．已知全集2{|1}U x x =>，集合2{|430}A x x x =-+<，则(U A =ð ) A ．(1,3) B ．(,1)[3-∞，)+∞C ．(,1)[3-∞-，)+∞D ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是( ) A ．2y x -=B ．1y x -=C ．2y x =D ．13y x =3．设函数21,1(),1x x f x lgx x ⎧+=⎨>⎩…，则((10))f f 的值为( )A ．101lgB ．1C ．2D ．04．根据表格中的数据，可以断定函数3()f x lnx x =-的零点所在的区间是( )A ．(1,2)B ．(2,)eC ．(,3)eD ．(3,5)5．已知函数2)5f x =+，则()f x 的解析式为( ) A ．2()1f x x =+ B ．2()1(2)f x x x =+…C ．2()f x x =D ．2()(2)f x x x =…6．已知函数(1)f x +的定义域为[2-，3]，则(32)f x -的定义域为( ) A ．[5-，5]B ．[1-，9]C ．1[,2]2-D ．1[,3]27．已知 1.22a =，0.61()2b -=，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<8．函数|1|y lg x =-的图象是( )A ．B ．C ．D ．9．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则f （1）g +（1）(= ) A ．3-B ．1-C ．1D ．310．已知函数(15)3,0()(02,0x a x a x f x a a x --<⎧=>⎨-⎩…且1)a ≠满足121212()(),,0f x f x x x R x x -∀∈<-，则实数a 的取值范围是( ) A ．11(,]53B ．1(0,]3C ．(0,1)D ．2(0,]311．幂函数2231()(69)mm f x m m x -+=-+在(0,)+∞上单调递增，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．2或412．已知01a <<，函数()|log |x a f x a x =-的零点个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．2或3或4二、填空题（每小题5分，共4小题20分） 13．函数1(1)2y lg x x=++-的定义域为 ． 14．函数()2log (5)(0a f x x a =++>且1)a ≠恒过定点的坐标为 ． 15．若函数2()|4|f x x x a =--的零点个数为2，则a 的范围是 ． 16．下列结论：①定义在R 上的函数()f x 在区间(,0)-∞上是增函数，在区间[0，)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数；②若f （2）(2)f =-，则函数()f x 不是奇函数；③函数0.5y x -=是(0,1)上的减函数；④对应法则和值域相同的函数的定义域也相同；⑤若0x 是二次函数()y f x =的零点，且0m x n <<，那么()()0f m f n <一定成立，其中正确结论的序号是 ． 三、解答题17．计算：（1）111010.2534273(0.0081)[3()][81(3)]88------⨯⨯+；（2）7229log 2527log 3log 45log lg lg lg +++⨯-．18．设集合{|24}A y y =剟，{|B x y ==，{|12}C x t x t =+<<． （1）求A B ；（2）若AC C =，求t 的取值范围．19．已知指数函数()(0,1)x g x a a a =>≠的图象经过点(3,8)P ． （1）求函数()g x 的解析式；（2）若22(231)(25)g x x g x x -+>+-，求x 的取值集合． 20．若函数22,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨---⎩…，（Ⅰ）在给定的平面直角坐标系中画出函数()f x 图象； （Ⅱ）利用图象写出函数()f x 的值域、单调区间．21．已知定义域为R 的函数2()21x x af x -+=+是奇函数．（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在R 上的单调性，共利用函数单调性的定义加以证明． 22．已知函数212()log (23)f x x ax =-+．（1）若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围； （2）若(1)3f -=-，求()f x 单调区间；（3）是否存在实数a ，使()f x 在(,2)-∞上为增函数？若存在，求出a 的范围？若不存在，说明理由．2019-2020学年甘肃省平凉市静宁一中高一（上）第二次考试数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1．已知全集2{|1}U x x =>，集合2{|430}A x x x =-+<，则(U A =ð ) A ．(1,3) B ．(,1)[3-∞，)+∞C ．(,1)[3-∞-，)+∞D ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞【解答】解：2{|1}{|1U x x x x =>=>或1}x <-，集合2{|430}{|13}A x x x x x =-+<=<<， {|3U A x x =…ð或1}x <-，故选：C ．2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是( ) A ．2y x -=B ．1y x -=C ．2y x =D ．13y x =【解答】解：函数2y x -=，既是偶函数，在区间(0,)+∞ 上单调递减，故A 正确； 函数1y x -=，是奇函数，在区间(0,)+∞ 上单调递减，故B 错误； 函数2y x =，是偶函数，但在区间(0,)+∞ 上单调递增，故C 错误； 函数13y x =，是奇函数，在区间(0,)+∞ 上单调递增，故D 错误； 故选：A ．3．设函数21,1(),1x x f x lgx x ⎧+=⎨>⎩…，则((10))f f 的值为( )A ．101lgB ．1C ．2D ．0【解答】解：函数21,1(),1x x f x lgx x ⎧+=⎨>⎩…，(10)101f lg ∴==，((10))f f f =（1）112=+=．故选：C ．4．根据表格中的数据，可以断定函数3()f x lnx x =-的零点所在的区间是( )A ．(1,2)B ．(2,)eC ．(,3)eD ．(3,5)【解答】解：由所给的表格可得f （e ）1 1.10.10=-=-<，f （3） 1.110.10=-=>，f ∴（e ）f （3）0<，故函数的零点所在的区间为(,3)e ， 故选：C ．5．已知函数2)5f x =+，则()f x 的解析式为( ) A ．2()1f x x =+ B ．2()1(2)f x x x =+…C ．2()f x x =D ．2()(2)f x x x =…【解答】解：22)52)1f x =++=++；2()1(2)f x x x ∴=+…．故选：B ．6．已知函数(1)f x +的定义域为[2-，3]，则(32)f x -的定义域为( ) A ．[5-，5]B ．[1-，9]C ．1[,2]2-D ．1[,3]2【解答】解：由函数(1)f x +的定义域为[2-，3]，即23x -剟，得114x -+剟， ∴函数()f x 的定义域为[1-，4]，由1324x --剟，解得122x -剟．(32)f x ∴-的定义域为1[2-，2]．故选：C ．7．已知 1.22a =，0.61()2b -=，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【解答】解： 1.22a =， 0.60.601()2212b -==>=，且 1.20.622>，而552log 2log 41c ==<， c b a ∴<<．故选：A ．8．函数|1|y lg x =-的图象是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：当1x >时，|1|(1)y lg x lg x =-=-， 当1x <时，|1|(1)y lg x lg x =-=-． 故函数的图象为A ． 故选：A ．9．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则f （1）g +（1）(= ) A ．3-B ．1-C ．1D ．3【解答】解：由32()()1f x g x x x -=++，将所有x 替换成x -，得32()()1f x g x x x ---=-++，根据()()f x f x =-，()()g x g x -=-，得32()()1f x g x x x +=-++，再令1x =，计算得，f （1）g +（1）1=．故选：C ．10．已知函数(15)3,0()(02,0x a x a x f x a a x --<⎧=>⎨-⎩…且1)a ≠满足121212()(),,0f x f x x x R x x -∀∈<-，则实数a 的取值范围是( ) A ．11(,]53B ．1(0,]3C ．(0,1)D ．2(0,]3【解答】解：函数(15)3,0()(02,0x a x a x f x a a x --<⎧=>⎨-⎩…且1)a ≠满足121212()(),,0f x f x x x R x x -∀∈<-， 可知函数是减函数，所以：15001312a a a -<⎧⎪<<⎨⎪--⎩…，解得11(,]53a ∈．故选：A ．11．幂函数2231()(69)mm f x m m x -+=-+在(0,)+∞上单调递增，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．2或4【解答】解：由题意得： 22691310m m m m ⎧-+=⎨-+>⎩，解得24m m ==⎧⎪⎨⎪⎩或，4m ∴=．故选：C ．12．已知01a <<，函数()|log |x a f x a x =-的零点个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．2或3或4【解答】解：函数()|log |x a f x a x =-的零点个数，等于函数x y a =和函数|log |a y x =的图象的交点个数，如图所示： 数形结合可得，函数x y a =和函数|log |a y x =的图象的交点个数为2， 故01a <<时，函数()|log |x a f x a x =-的零点个数为2， 故选：A ．二、填空题（每小题5分，共4小题20分） 13．函数1(1)2y lg x x=++-的定义域为 {|1x x >-且2}x ≠ ． 【解答】解：要使函数有意义，则1020x x +>⎧⎨-≠⎩，即12x x >-⎧⎨≠⎩，解得1x >-且2x ≠，故函数的定义域为{|1x x >-且2}x ≠， 故答案为：{|1x x >-且2}x ≠14．函数()2log (5)(0a f x x a =++>且1)a ≠恒过定点的坐标为 (4,2)- ．【解答】解：函数()2log (5)(0a f x x a =++>且1)a ≠，令51x +=，求得4x =-，()2f x =， 可得它的图象恒过定点(4,2)- 故答案为：(4,2)-．15．若函数2()|4|f x x x a =--的零点个数为2，则a 的范围是 {|0a a =或4}a > ． 【解答】解：令()2224,4044,04x x x x g x x x x x x ⎧-=-=⎨-<<⎩或厔， 画出函数()g x 的图象，当2x =时，g （2）4=．当0x =或4时，(0)g g =（4）0=． ∴当0a =或4a >时，函数2()|4|f x x x a =--的零点个数为2．故答案为：{|0a a =或4}a >．16．下列结论：①定义在R 上的函数()f x 在区间(,0)-∞上是增函数，在区间[0，)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数；②若f （2）(2)f =-，则函数()f x 不是奇函数； ③函数0.5y x -=是(0,1)上的减函数；④对应法则和值域相同的函数的定义域也相同；⑤若0x 是二次函数()y f x =的零点，且0m x n <<，那么()()0f m f n <一定成立，其中正确结论的序号是 ③ ．【解答】解：①由增函数的定义中“任意性”知，两个单调区间不能并在一起，故不对； ②函数0()y x R =∈既是奇函数又是偶函数，但f （2）(2)f =-，故不对；③由幂函数函数的单调性可知，因为0.50-<，故0.5y x -=在(0,1)上是减函数，故正确； ④若当函数为0()y x R =∈时，则当定义域不同时，函数对应法则和值域可以相同，故不对； ⑤若0x 是函数()y f x =的零点，且0m x n <<，则()f m ()f n 不一定小于0，故不对． 故答案为③． 三、解答题17．计算：（1）111010.2534273(0.0081)[3()][81(3)]88------⨯⨯+；（2）7229log 2527log 3log 45log lg lg lg +++⨯-． 【解答】解：（1）111010.2534273(0.0081)[3()][81(3)]88------⨯⨯+；1113()4()140.25342309(31)[3()]2⨯-⨯----⨯=-⨯⨯+， 1210112()9333-=-⨯+， 101333=-=，（2）7229log 2527log 3log 45log lg lg lg +++⨯- 1433223(2525)2223lg lg log lg lg lg -=+⨯÷++⨯， 1712144=-++-=．18．设集合{|24}A y y =剟，{|B x y ==，{|12}C x t x t =+<<．（1）求A B ；（2）若AC C =，求t 的取值范围．【解答】解：（1）{|24}A y y =剟，{|03}B x x =<…， [2AB ∴=，3)； （2）AC C =，C A ∴⊆，且{|12}C x t x t =+<<， ∴①C =∅时，12t t +…，解得1t …； ②C ≠∅时，11224t t t >⎧⎪+⎨⎪⎩……，解得12t <…，t ∴的取值范围为(-∞，2]．19．已知指数函数()(0,1)x g x a a a =>≠的图象经过点(3,8)P ． （1）求函数()g x 的解析式；（2）若22(231)(25)g x x g x x -+>+-，求x 的取值集合．【解答】解：（1）设指数函数()x g x a =，且0a >，1a ≠，由于它的图象经过点(3,8)P ， 38a ∴=，2a ∴=，即()2x g x =．（2）由不等式22(231)(25)g x x g x x -+>+-可得2223125x x x x -+>+-，即2560x x -+>，求得2x <，或3x >， 故x 的取值范围为{|2x x <，或3x >}． 20．若函数22,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨---⎩…，（Ⅰ）在给定的平面直角坐标系中画出函数()f x 图象； （Ⅱ）利用图象写出函数()f x 的值域、单调区间．【解答】解：（Ⅰ）函数图象如图所示；()II 由图象可得函数的值域为(-∞，1](1,)-+∞ 单调递减区间为[1-，0]单调递增区间为(,1)-∞-和(0,)+∞21．已知定义域为R 的函数2()21x x a f x -+=+是奇函数． （1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在R 上的单调性，共利用函数单调性的定义加以证明．【解答】解：（1）根据题意，函数2()21x x a f x -+=+是定义域为R 奇函数， 则002(0)021a f -+==+，解可得1a =， 当1a =时，12()12xxf x -=+，为奇函数，符合题意； 故1a =；（2）由（1）的结论，121()21221x x x f x -==-++，在R 上为减函数； 证明：设12x x <， 则2212121211(22)()()(2)(2)2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=---=++++， 又由12x x <，则21(22)0x x ->，1(21)0x +>，2(21)0x +>，则12()()0f x f x ->，则函数()f x 在R 上为减函数．22．已知函数212()log (23)f x x ax =-+．（1）若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围；（2）若(1)3f -=-，求()f x 单调区间；（3）是否存在实数a ，使()f x 在(,2)-∞上为增函数？若存在，求出a 的范围？若不存在，说明理由．【解答】解：（1）函数212()log (23)f x x ax =-+的定义域为R ，2230x ax ∴-+>恒成立，△0<，24120a -<即a 的取值范围a <<（2）(1)3f -=-，2a ∴=212()log (43)f x x x =-+．2430x x -+>，1x <或3x >设2()43m x x x =-+，对称轴2x =，∴在(,1)-∞上为减函数，在(3,)+∞上为增函数 根据符合函数单调性规律可判断：()f x 在(,1)-∞上为增函数，在(3,)+∞上为减函数（3）函数212()log (23)f x x ax =-+．设2()23n x x ax =-+，可知在(,)a -∞上为减函数，在(,)a +∞上为增函数 ()f x 在(,2)-∞上为增函数2a ∴…且4430a -+…，2a …且74a …，不可能成立． 不存在实数a ，使()f x 在(,2)-∞上为增函数．。

甘肃省平凉市静宁县第一中学【精品】高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|0A x x =<<，{}|12B x x =≤<，则()R C A B =（ ）A ．{|1x x ≤≤B ．{|1x x ≤<C ．{}2x x ≤<D ．{}|2x x << 2．设122a =，133b =，3log 2c =，则（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c b a << D ．c a b << 3．已知函数()()22231m m f x m m x +-=--是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数(m = )A ．1-B ．2C ．3D ．2或1- 4．如图所示，正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A ．6B ．8C ．2+D ．2+ 5．若斜率为2的直线经过(3,5)，(a,7)，(−1,b )三点，则a ，b 的值是（ ） A ．a =4，b =0B ．a =−4，b =−3C ．a =4，b =−3D ．a =−4，b =36．如图，在正方体1AC 中，异面直线AC 与1A B 所成的角为( )A ．90B ．60C ．45D ．307．函数()3log 3f x x x =-+的零点所在区间是（ ）A ．()0,2B ．()2,3C ．()1,2D ．()3,48．对于空间中的直线m ，n 以及平面α，β，下列说法正确的是（ ）A ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nB ．若//αβ，m α⊥，m n ⊥，则//n βC ．若αβ⊥，//m α，//n β，则m n ⊥D ．若m n ⊥，//αβ，m α⊥，则n β⊥9．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体得体积是( )cm 2．A ．43B ．83C ．2D ．410．已知偶函数()f x 在区间(],0-∞单调递减，则满足()()21f x f x -≤的x 取值范围是( )A ．[)1,+∞B ．(],1-∞C ．][1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．已知函数()f x ax b =+的图象如图所示，则函数()x b f x a -+=的图象为( )A ．B ．C ．D ．12．用{,min a b ，}c 表示a ，b ，c 三个数中的最小值.设函数(){}()2,1,90x f x min x x x =+-≥，则函数()f x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题13．设函数()ln ,13,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，则()()f f e =____________．140.258+（1258-）0+323log =_____． 15．用半径为2cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为__________cm 16．如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ，则下列结论正确的是_____．（填序号）①PB ⊥AD ；②平面P AB ⊥平面PBC ；③直线BC ∥平面P AE ；④sin ∠PDA 5=．三、解答题17．已知集合()(){|2220}A x x m x m =--+≤，其中m R ∈，集合1{|0}2x B x x -=≤+． ()1若1m =，求A B ⋃；()2若A B A ⋂=，求实数m 的取值范围．18．已知()1,1M -，()2,2N ，()3,0P .（1）求点Q 的坐标，满足PQ MN ⊥，//PN MQ ；（2）若点Q 在x 轴上，且NQP NPQ ∠=∠，求直线MQ 的倾斜角.19．设函数()()log 01a f x x a a =>≠且，函数2()g x x bx c =-++，且(4)(2)1f f -=，()g x 的图象过点(4,5)A -及(25)B --，． （1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）求函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域和值域．20．在三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆的等边三角形，2AB =，,O D 分别是,AB PB 的中点.（1）求证：//OD 平面PAC ；（2）求证:OP ⊥平面ABC ；（3）求三棱锥D ABC -的体积.21．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：AEC PDB ⊥平面平面；（Ⅱ）当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小. 22．定义在[]3,3-上的奇函数()f x ，已知当[]3,0x ∈-时，()()143x xa R f a x =+∈． ()1求实数a 的值；()2求()f x 在(]0,3上的解析式；()3若存在[]2,1x ∈--时，使不等式()1123x x mf x -≤-成立，求实数m 的取值范围．参考答案1．C【分析】先写出A 的补集，再根据交集运算求解即可.【详解】因为{|0R C A x x x =≤或，所以()R C A B ⋂={|2}x x ≤<，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，属于容易题.2．D【解析】试题分析：由已知1221a =>，1331b =>，且616228a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，616339b ⎛⎫== ⎪⎝⎭,1b a ∴>>， 而3log 2c =<1，所以c<a<b考点：指数的幂运算.3．A【分析】根据幂函数的定义，求出m 的值，代入判断即可．【详解】函数()()22231m m f x m m x +-=--是幂函数，211m m ∴--=，解得：2m =或1m =-，2m =时，()f x x =，其图象与两坐标轴有交点不合题意，1m =-时，()41f x x =，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意， 故1m =-，故选A ．【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查常见函数的性质，是一道常规题．4．B【分析】根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则可得结果.【详解】作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段//C B x '''轴，所以在原图形中对应的线段平行于x 轴且长度不变，点C '和B ′在原图形中对应的点C 和B 的纵坐标是O B ''的2倍，则OB =3OC =，则四边形OABC 的长度为8．故选：B .【点睛】本题考查了平面图形的直观图，解答此题的关键是掌握平面图形的直观图的画法，能正确的画出直观图的原图形，属于基础题.5．C【分析】根据两点间斜率公式列方程解得结果.【详解】斜率为2的直线经过(3,5)，(a,7)，(−1,b )三点，∴7−5a−3=b−5−1−3=2，解得a =4，b =−3．选C.【点睛】本题考查两点间斜率公式，考查基本求解能力，属基础题.6．B【解析】【分析】由11//A B D C ，得1ACD ∠是异面直线AC 与1A B 所成的角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线AC 与1A B 所成的角．【详解】11//A B D C ，1ACD ∴∠是异面直线AC 与1A B 所成的角(或所成角的补角)，11AC CD AD ==，160ACD ∴∠=，∴异面直线AC 与1A B 所成的角为60．故选B ．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．B【分析】通过计算()()0f a f b ⋅<，判断出零点所在的区间.【详解】由于()332log 232log 210f =-+=-<，()33log 33310f =-+=>，()()230f f ⋅<，故零点在区间()2,3，故选B.【点睛】本小题主要考查零点的存在性定理的应用，考查函数的零点问题，属于基础题.8．D【分析】利用线面关系，面面关系的性质逐一判断.【详解】解：对于A 选项，m ，n 可能异面，故A 错误；对于B 选项，可能有n β⊂，故B 错误；对于C 选项，m ，n 的夹角不一定为90°，故C 错误；故对D 选项，因为//αβ，m α⊥，故m β⊥，因为//m n ，故n β⊥，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题.9．B【解析】【分析】先根据三视图得到几何体的形状，然后再根据条件中的数据求得几何体的体积．【详解】由三视图可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，如下图中的四棱锥P −ABCD ．由题意得其底面面积S =2×2=4，高h =2，故几何体的体积V =13Sh =83．故选B ．【点睛】由三视图还原几何体的方法（1）还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体．（2）注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线．（3）想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体．10．D【解析】【分析】 根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得()()22f 2x 1f x 2x 1x (2x 1)x -≤-≤-≤，即，即，解不等式可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，偶函数()f x 在区间(],0-∞单调递减，则()f x 在[)0,+∞上为增函数， 则()()()()22212121(21)f x f x fx f x x x x x -≤⇒-≤⇒-≤⇒-≤， 解可得：113x ≤≤， 即x 的取值范围是1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦；故选：D ．【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性综合应用，注意将()()21f x f x -≤转化为关于x 的不等式，属于基础题．11．A【分析】根据函数()f x ax b =+的图象，可得a ，b 的范围，结合指数函数的性质，即可得函数()x b f x a -+=的图象.【详解】解：通过函数()f x ax b =+的图象可知：10b -<<，当1x =时，可得0a b +<，即01a b <<-<．函数()1()x b x b f x a a-+-==是递增函数；排除C ，D ．当0x =时，可得()0b f a =，10b -<<，01a b <<-<，()01b f a ∴=>．【点睛】本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题.12．B【分析】在同一坐标系内画出三个函数9y x =-，1y x =+，2x y =的图象，以此确定出函数()f x 图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值．【详解】(){}()2,1,90x f x min x x x =+-≥如图所示：则()f x 的最大值为1y x =+与9y x =-交点的纵坐标，由19y x y x =+⎧=-⎨⎩，得()4,5A 即当4x =时，5y =．故选B ．【点睛】本题考查了函数的概念、图象、最值问题.利用了数形结合的方法.关键是通过题意得出()f x 的简图．13．2【分析】利用分段函数由里及外逐步求解函数的值即可.解：由已知()ln 1f e e ==，所以()1312f =-=，故答案为：2.【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力.14．5【分析】根据根式、指数和对数运算化简所求表达式.【详解】 依题意，原式()1134422122125=⨯++=++=.故答案为：5【点睛】本小题主要考查根式、指数和对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15【分析】根据圆锥的底面周长等于半圆形纸片的弧长建立等式,再根据半圆形纸片的半径为圆锥的母线长求解即可.【详解】由题得, 半圆形纸片弧长为2cm π,设圆锥的底面半径为r ,则221r r cm ππ=⇒=,=.【点睛】本题主要考查了圆锥展开图中的运算,重点是根据圆锥底面的周长等于展开后扇形的弧长,属于基础题.16．④【分析】由题意,分别根据线面位置关系的判定定理和性质定理,逐项判定,即可得到答案.∵P A ⊥平面ABC ，如果PB ⊥AD ，可得AD ⊥AB ，但是AD 与AB 成60°，∴①不成立， 过A 作AG ⊥PB 于G ，如果平面P AB ⊥平面PBC ，可得AG ⊥BC ，∵P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB ，∴BC ⊥AB ，矛盾，所以②不正确；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，所以③不正确；在R t △P AD 中，由于AD ＝2AB ＝2P A ，∴sin ∠PDA =，所以④正确；故答案为: ④【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明,考查线线角,属于基础题.熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键,其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行;(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直;(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.17．（1）{|22}x x -<≤；()120.2m ≤≤【分析】 ()1解出二次不等式以及分式不等式得到集合A 和B ，根据并集的定义求并集；()2由集合A 是集合B 的子集，可得A B ⊆，根据包含关系列出不等式，求出m 的取值范围.【详解】集合{|222}A x m x m =-≤≤， 由102x x -≤+，则()()12020x x x -+≤⎧+≠⎨⎩， 解得21x -<≤，即{|21}B x x =-<≤，()11m =，则[]0,2A =，则{|22}A B x x ⋃=-<≤．()2A B A ⋂=，即A B ⊆，可得{22212m m -≤-≥，解得102m ≤≤， 故m 的取值范围是10.2m ≤≤【点睛】本题考查集合的交并运算，以及由集合的包含关系求参数问题，属于基础题．在解有关集合的题的过程中，要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.18．（1）()0,1Q ；（2）90︒.【分析】（1）设(),Q x y ，根据PQ MN ⊥得出313y x ⨯=--，然后由//PN MQ 得出121y x +=--，解方程组即可求出Q 的坐标；（2）设(),0Q x 由NQP NPQ ∠=∠得出NQ NP k k =-，解方程求出Q 的坐标，然后即可得出结果.【详解】解：（1）设(),Q x y ，由已知得：3MN k =，又PQ MN ⊥，可得：1PQ MN k k ⋅=-， 即：313y x ⨯=-- ① 由已知得：2PN k =-，又//PN MQ ，可得：PN MQ k k =， 即：121y x +=-- ② 联立①②求解得：0x =，1y =，即()0,1Q ；（2）设(),0Q x ，∵NQP NPQ ∠=∠，∴NQ NP k k =-， 又∵22NQ k x =-，2NP k =-， ∴222x=-， 即1x =，∴()1,0Q ，又∵()1,1M -，∴MQ x ⊥轴，故直线MQ 的倾斜角为90︒.【点睛】本题主要考查了的斜率以及与倾斜角的关系，熟练掌握斜率公式是解题的关键，属于中档题. 19．（1）()2log f x x =，()223g x x x =-++；（2）()1,3-,(],2-∞. 【分析】(1)根据()()421f f -=得出关于a 方程，求解方程即可；（2）根据()g x 的图象过点()4,5A -及()25B ，--，列方程组求得()g x 的解析式，可得()()223f g x log x x ⎡⎤=-++⎣⎦，解不等式2230x x -++>可求得定义域，根据二次函数的性质，配方可得(]2230,4x x -++∈，利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）因为()()442log 1,2a f f -== 2a ∴= ， ()2log f x x = ；因为()g x 的图象过点()4,5A -及()25B ，--， 所以164524253b c b b c c -++=-=⎧⎧⎨⎨--+=-=⎩⎩，得， ()223g x x x ∴=-++ ；（2）()()22log 23,f g x x x ⎡⎤=-++⎣⎦ 由2230x x -++>，得13,x -<<∴函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为()1,3-()(]221,3,23410,4x x x x ∈-∴-++=--∈（） ,()(]22log 23,2x x ∴-++∈-∞，即()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域为(],2-∞.【点睛】本题主要考查函数的解析式、定义域与值域，属于中档题. 求函数值域的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值.20．（1）见解析（2）见解析（3）13. 【解析】【分析】()1由三角形中位线定理，得出//OD PA ，结合线面平行的判定定理，可得//OD 平面PAC ；()2等腰PAB △和等腰CAB △中，证出1PO OC ==，而PC =理，得PO OC ⊥，结合PO AB ⊥，可得PO ⊥平面ABC ；()3由()2易知PO 是三棱锥P ABC -的高，算出等腰ABC 的面积，再结合锥体体积公式，可得三棱锥P ABC -的体积．【详解】() 1O ，D 分别为AB ，PB 的中点，//OD PA ∴又PA ⊂平面PAC ，OD ⊄平面PAC//OD ∴平面.PAC()2如图，连接OCAC CB ==O 为AB 中点，2AB =，OC AB ∴⊥，且1OC ==． 同理，PO AB ⊥， 1.PO = 又2PC =，2222PC OC PO ∴==+，得90POC ∠=．PO OC ∴⊥．OC 、AB ⊆平面ABC ，AB OC O ⋂=，PO ∴⊥平面.ABC()3PO ⊥平面ABC ，OP ∴为三棱锥P ABC -的高，结合1OP =，得棱锥P ABC -的体积为1111211.3323P ABC ABC V S OP -=⋅=⨯⨯⨯⨯= 【点睛】本题给出特殊三棱锥，求证线面平行、线面垂直并求锥体体积，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．21．(1)见解析 (2)4π 【分析】（Ⅰ）欲证平面AEC ⊥平面PDB ，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC 内一直线与平面PDB 垂直，而根据题意可得AC ⊥平面PDB ；（Ⅱ）设AC∩BD=O ，连接OE ，根据线面所成角的定义可知∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角，在Rt △AOE 中求出此角即可．【详解】（1）证明：∵底面ABCD 是正方形∴AC ⊥BD又PD ⊥底面ABCDPD ⊥AC所以AC ⊥面PDB因此面AEC ⊥面PDB（2）解：设AC 与BD 交于O 点，连接EO则易得∠AEO 为AE 与面PDB 所成的角∵E 、O 为中点 ∴EO ＝12PD ∴EO ⊥AO∴在Rt △AEO 中 OE ＝12PD ＝2AB ＝AO ∴∠AEO ＝45° 即AE 与面PDB 所成角的大小为45°本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．22．（1）1a =-；（2）()34x xf x =-；（3）5m ≥. 【分析】()1根据题意，由函数奇偶性的性质可得()010f a =+=，解可得a 的值，验证即可得答案；()2当(]0,3x ∈时，[]3,0x -∈-，求出()f x -的解析式，结合函数的奇偶性分析可得答案；()3根据题意，若存在[]2,1x ∈--，使得()1123x x m f x -≤-成立，即11114323x x x x m --≤-在[]2,1x ∈--有解，变形可得122()23x x m ≥+⋅在[]2,1x ∈--有解.设()122()23x x g x =+⋅，分析()g x 的单调性可得()g x 的最大值，从而可得结果． 【详解】() 1根据题意，()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，则()010f a =+=，得 1.a =-经检验满足题意；故1a =-；()2根据题意，当[]3,0x ∈-时，()1114343x x x x a f x =+=-， 当(]0,3x ∈时，[]3,0x -∈-，()114343---=-=-x x x x f x ． 又()f x 是奇函数，则()()34x x f x f x =--=-．综上，当(]0,3x ∈时，()34x x f x =-； ()3根据题意，若存在[]2,1x ∈--，使得()1123x x m f x -≤-成立， 即11114323x x x x m --≤-在[]2,1x ∈--有解， 即12243x x x m ≥+在[]2,1x ∈--有解． 又由20x >，则122()23x x m ≥+⋅在[]2,1x ∈--有解． 设()122()23x x g x =+⋅，分析可得()g x 在[]2,1x ∈--上单调递减， 又由[]2,1x ∈--时，()11min 12()12()523g x g --=-=+⋅=， 故5m ≥．即实数m 的取值范围是[)5,+∞．【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，以及指数函数单调性的应用，属于综合题．已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由()()+0f x f x -= 恒成立求解，（2）偶函数由()()0f x f x --= 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由()00f = 求解，偶函数一般由()()110f f --=求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.。

甘肃省平凉市静宁县第一中学2025届数学高一上期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若集合{}{}21,2,20A B xx x =-=-=∣，则集合A B ⋃=（） A.{}1,2- B.{}0,1,2 C.{}0,2D.{}1,0,2-2．若(1)(3)a x x =++，22(2)b x =+，则下列结论正确的是（） A.a b > B.a b <C.a b ≥D.a ，b 大小不确定3．在空间给出下面四个命题（其中m 、n 为不同的两条直线），α、β为不同的两个平面） ①,//m n α⊥m n α⇒⊥ ②//,////m n n m αα⇒ ③//,,//m n n m βααβ⊥⇒⊥④,//,//,//,////m n A m m n n αβαβαβ⋂=⇒ 其中正确的命题个数有 A.1个 B.2个 C.3个D.4个4．如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是A.直线1A B 与直线AC 所成的角是45︒B.直线1A B 与平面ABCD 所成的角是30C.二面角1A BC A --的大小是60︒D.直线1A B 与平面11A B CD 所成的角是305．设一个半径为r 的球的球心为空间直角坐标系的原点O ，球面上有两个点A ，B ，其坐标分别为（1，2，2），（2，-2，1），则（ ） A.AB r < B.AB r = C.2AB r =D.2AB r <6．已知直线ax+by+c =0的图象如图，则 ( )A.若c>0，则a>0，b>0B.若c>0，则a<0，b>0C.若c<0，则a>0，b<0D.若c<0，则a>0，b>07．若角α的终边经过点()()3,0P a a ≠，则 A.sin 0α> B.sin 0α< C.cos 0α>D.cos 0α<8．下列函数中最小正周期为π的是 A.1cos 2y x =B.1cos 42y x =C.tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.2sin3y x =9．函数1xy a =+（0a >且1a ≠）的图像必经过点（） A.()0,1 B.()1,0 C.()2,1D.()0,210．若条件p ：2x ≤，q ：112x ≥，则p 是q 成立的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

甘肃省平凉市静宁县第一中学2019～2020学年度高中二年级第一学期期末理科数学试题试题时间:120分钟满分:150分一、选择题(每小题5分,共12小题60分)1.对于空间向量()1,2,3a =r ,(),4,6b λ=r ,若//a b r r,则实数λ=( ) A. 2-B. 1-C. 1D. 2【试题参考答案】D根据//a b r r,知它们的坐标对应成比例,求出实数λ的值.【试题解答】因为//a b r r,所以12346λ==,即112λ=,所以2λ=. 故选:D.本题主要考查的是空间向量的平行或共线的坐标运算,是基础题. 2.已知函数()21222f x x x lnx =+-,则()2f '=( ) A. 1B. 1-C. 3D. 3?-【试题参考答案】C首先求出函数()21222f x x x lnx =+-的导函数()f x ',将2代入即可得最后结果. 【试题解答】∵()21222f x x x lnx =+-,∴()22f x x x=+-',∴()22213f =+-=',故选C.本题考查了导数的运算法则,准确求出函数的导函数是解题的关键,属于基础题.3.如图,向圆内随机掷一粒豆子(豆子的大小忽略不计),则豆子恰好落在圆的内接正方形中的概率是( )A.3πB.2πC.4πD.5π【试题参考答案】B根据题意,分别算出圆和正方形的面积,再利用几何概型公式加以计算,即可得到所求概率. 【试题解答】设圆的半径为a ,则圆的面积为2a π.设正方形的边长为b ,则()2222b a =,2b a ∴=,故正方形的面积为22a , Q 豆子落在圆内的每一个地方是均等的,∴豆子恰好落在圆的内接正方形中的概率2222a P a ππ==. 故选:B.本题主要考查的是几何概型,考查学生对几何概型的理解和应用,是基础题.4. 从装有红球、黑球和白球的口袋中摸出一个球,若摸出的球是红球的概率是0.4,摸出的球是黑球的概率是0.25,那么摸出的球是白球或黑球的概率是( ) A. 0.35B. 0.65C. 0.1D. 0.6【试题参考答案】D从袋中摸1个球,摸到的是红球,是白球,是黑球这三个事件是互斥的,因此摸出的球是白球或黑球的概率为1－0.4＝0.6.故选D. 互斥事件的概率.5.直线经过抛物线y 2=4x 的焦点,且与抛物线交于A,B 两点,若AB 的中点横坐标为3,则线段AB 的长为( ) A.B.C. 7D. 8【试题参考答案】D设抛物线24y x =的焦点为F ,准线为0l ,C 是AB 的中点,分别过点,A B 作直线0l 的垂线,垂足分别为,M N,由抛物线定义,得AB AF BF AM BN =+=+=22A B p px x +++A B x x p =++. 28C x p =+=.抛物线的弦长.6.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表: 广告费用(万元) 4 2 3 5 销售额(万元)49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A. 63.6万元 B. 65.5万元C. 67.7万元D. 72.0万元【试题参考答案】B【试题解答】4235492639543.5,4244x y ++++++====Q ,∵数据的样本中心点在线性回归直线上,回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4, ∴42=9.4×3.5＋a , ∴ˆa =9.1,∴线性回归方程是y=9.4x ＋9.1,∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6＋9.1=65.5 线性回归方程【此处有视频,请去附件查看】7.“a>1”是“<1”的 ( ) A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【试题参考答案】A选A.因为a>1,所以<1.而a<0时,显然<1,故由<1推不出a>1.8.执行如图所示的程序框图,输出的S (= )A. 25B. 9C. 17D. 20【试题参考答案】C直接利用循环结构,计算循环各个变量的值,当41620T S =+=>,不满足判断框的条件,退出循环输出结果即可.【试题解答】按照程序框图依次执行为1S =,0n =,0T =;S 9=,2n =,044T =+=;17S =,4n =,41620T S =+=>,退出循环,输出17S =.故应选C.解决程序框图问题时一定注意以下几点:(1) 不要混淆处理框和输入框;(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构;(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构;(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数;(5) 要注意各个框的顺序,(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到输出条件即可. 9.设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ,A (1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点.线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ,则M 的轨迹方程为( )A. 224412125x y -=B. 224412125x y +=C. 224412521x y -=D. 224412521x y +=【试题参考答案】D根据线段中垂线的性质可得,MA MQ =,又 5MQ MC +=,故有5MC MA AC +=>,根据椭圆的定义断判轨迹为椭圆,求出,a b 值,即得椭圆的标准方程.【试题解答】由圆的方程可知,圆心()1,0C -,半径等于5,设点M 的坐标为(),x y ,AQ Q 的垂直平分线交CQ 于M ,MA MQ ∴=,又 5MQ MC +=,5MC MA AC ∴+=>,依据椭圆的定义可得,点M 的轨迹是以,A C 为焦点,且2125,1,2a cb ==∴=,故椭圆方程为221252144x y +=, 即224412521x y +=,故选D.本题主要考查定义法求轨迹方程,属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法,设出动点的坐标(),x y ,根据题意列出关于,x y 的等式即可;②定义法,根据题意动点符合已知曲线的定义,直接求出方程;③参数法,把,x y 分别用第三个变量表示,消去参数即可;④逆代法,将()()00x g x y h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入()00,0f x y =. 10.双曲线虚轴的一个端点为M ,焦点为1F 、2F ,12120F MF ∠=o,则双曲线的离心率为( ) A.3B.6 C.6 D.3 【试题参考答案】B由题意知22221160,tan 3,3,2,cF MO F MO c b a c b b b∠=∴∠===∴=-=o362c b e a b∴===. 11.已知命题:p 函数2()24f x x mx =-+在[2)+∞，上单调递增;命题:q 关于x 的不等式22(2)10mx m x +-+>对任意x R ∈恒成立.若p q ∨为真命题,p q ∧为假命题,则实数m的取值范围为A. (14)，B. [24]-，C. D.(1)(24)-∞⋃，，【试题参考答案】C若命题p 为真,∵函数f(x)的对称轴为x=m,∴m≤2;若命题q 为真,当m=0时原不等式为-4x ＋1＞0,该不等式的解集不为R,即这种情况不存在; 当m≠0时,则有()2{4240m m m >∆=--<,解得1＜m ＜4;又∵P ∨q 为真,P ∧q 为假,∴P 与q 一真一假;若P 真q 假,则2{14m m m ≤≤≥或,解得m≤1; 若P 假q 真,则2{14m m ><<,解得2＜m ＜4;综上所述,m 的取值范围是m≤1或2＜m ＜41.复合命题的真假;2.二次函数图象和性质;3;一元二次不等式的解法12.已知12(,0)(,0)F c F c -，为椭圆22221x y a b+=的两个焦点,P (不在x 轴上)为椭圆上一点,且满足212PF PF c⋅=u u u r u u u u r ,则椭圆离心率的取值范围是( )A. 32⎣⎭B. 11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 3⎫⎪⎣⎭D.0,2⎛ ⎝⎭【试题参考答案】A首先根据椭圆定义可知122PF PF a +=,根据余弦定理2222121212122cos 4PF PF PF PF F PF F F c +-⋅∠==,再根据21212cos PF PF F PF c ⋅∠=,根据这三个式子的变形得到21222cos 123c F PF a c∠=<-和22223a c a ∴-≤,最后求离心率. 【试题解答】由椭圆的定义,得122PF PF a +=,平方得222121224PF PF PF PF a ++=①.由212PF PF c⋅=u u u r u u u u r ,21212cos PF PF F PF c ∴⋅∠=②,12F PF ∠是锐角, 由余弦定理得2222121212122cos 4PF PF PF PF F PF F F c +-⋅∠==③,-③得()22121221cos 44PF PF F PF a c +∠=- ④由②④,得21222cos 123c F PF a c ∠=<-, Q 12F PF ∠是锐角,2220123c a c<<- , 即22230a c ->且22223c a c <-∴ 2e <. 由②③可知222126PF PF c += ⑤由①⑤可得221223PF PF a c =- ,2122122PF PF PF PF a ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭,22223a c a ∴-≤,即223a c ≤,3e ∴≥.则椭圆离心率的取值范围是32⎣⎭. 故选:C.本题考查求椭圆的离心率,已知考查转化与化归的思想和变形,计算能力,属于中档题型,本题的关键和难点是三个式子的变形,得到关于,a c 的不等式关系.二、填空题(每小题5分,共4小题20分)13.写出命题“,20x x R ∀∈>”的否定:______.【试题参考答案】,20xx R ∃∈≤因为命题“p x ∀，”的否定为“p x ∃⌝，”,所以命题“,20x x R ∀∈>”的否定为,20xx R ∃∈≤14.从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议,则甲被选中的概率是 .【试题参考答案】12从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表共有246C =种基本事件,甲被选中包含133C =种,基本事件,因此甲被选中的概率是31=.62古典概型概率15.已知曲线2()x f x e x =+,则曲线在(0,(0))f 处的切线与坐标轴围成的图形面积为_______.【试题参考答案】12对函数()f x 求导,由()'0f 可以求出切线的斜率,进而求出切线方程,然后求出切线与坐标轴的交点,从而求出围成的三角形的面积.【试题解答】对()2xf x e x =+求导,()'2xf x e x =+,()0'001f e =+=,而()0001f e =+=,所以曲线在()()0,0f 处的切线斜率为1,切线方程为1y x =+, 切线与坐标轴的交点为(0,1)和(-1,0), 所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为111122S =⨯⨯=. 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,属于基础题.16.直线l 经过抛物线的焦点F ,且与抛物线交于两点A 、B 两点,若5AF FB =u u u r u u u r,则直线l 的斜率为________.【试题参考答案】±根据题意设出直线方程和,A B 两点坐标,将直线与抛物线联立,利用韦达定理得出12,x x 的关系,再根据5AF FB =u u u r u u u r,即可解出1x ,从而解出k .【试题解答】依题意,抛物线24y x =的焦点()1,0F ,设直线l 的方程为()1y k x =-由()214y k x y x⎧=-⎨=⎩,得()2222220k x k x k -++=,设()11,A x y ,()22,B x y . 12242x x k∴+=+,121x x ⋅=,5AF FB =u u u r u u u r Q ,12155x x ∴-=-即21560x x +-=, 121x x =Q ,221560x x ∴+-=,解得21x =或215x =, 11x ∴=或15=x ,又122422x x k+=+>, 将15=x代入解得2k =±. 故答案为:2±. 本题主要考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的定义及几何性质的应用,考查学生的审题能力,计算能力,是中档题.三、解答题(第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共6小题70分)17.已知向量()1,1,1AB =u u u r ,()1,2,1AC =-u u u r ,()3,,1AD y =u u u r.(1)若AD AC ⊥,求y 的值;(2)若A 、B 、C 、D 四点共面,求y 的值. 【试题参考答案】(1)1y =-;(2)4y =(1)根据AD AC ⊥,利用向量垂直时,数量积为0,即可得y 的值;(2)根据A 、B 、C 、D 四点共面,得λ∃,R μ∈,使得AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r,利用坐标运算,即可得y 的值.【试题解答】(1)AD AC ⊥,得AD AC ⊥u u u r u u u r ,0AD AC ∴⋅=u u u r u u u r,()()3,,11,2,10y ∴⋅-=,3210y ∴+-=,解得1y =-;(2)由A 、B 、C 、D 四点共面,得λ∃,R μ∈,使得,AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r,()()()1,1,11,2,13,,1y λμ∴+-=,321y λμλμλμ+=⎧⎪∴+=⎨⎪-=⎩,解得4y =.本题主要考查的是空间向量的坐标运算,考查向量垂直的坐标运算,点共面的向量运算,考查学生的理解能力,计算能力,是基础题.18.已知曲线3()f x x ax b =++在点(2,6)P -处的切线方程是13320x y --=. (1)求a ,b 的值;(2)如果曲线()y f x =的某一切线与直线l :134=-+y x 垂直,求切点坐标与切线的方程. 【试题参考答案】(1)1,16-;(2)()(1,14)1,18，---,418y x =-或414y x =-. (1)先求出函数的导数,由导数的几何意义可得()'21213f a =+=,()2826f a b =++=-,解方程可得,a b 的值;(2)设切点的坐标为()00,x y ,由两直线垂直的条件,斜率之积为1-,可得切线的斜率,解方程可得切点坐标,进而可得切线方程.试题解析:(1)∵()3f x x ax b =++的导数()2'3f x x a =+,由题意可得()'21213f a =+=,()2826f a b =++=-, 解得1a =,16b =-. (2)∵切线与直线134y x =-+垂直, ∴切线的斜率4k =.设切点的坐标为()00,x y ,则()200'314f x x =+=,∴01x =±.由()316f x x x =+-,可得0111614y =+-=-,或0111618y =---=-.则切线方程为()4114y x =--或()4118y x =+-. 即418y x =-或414y x =-.19. 山东省《体育高考方案》于2012年2月份公布,方案要求以学校为单位进行体育测试,某校对高三1班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试,并对50分以上的成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若90~100分数段的人数为2人. (Ⅰ)请估计一下这组数据的平均数M;(Ⅱ)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人,形成一个小组.若选出的两人成绩差大于20,则称这两人为“帮扶组”,试求选出的两人为“帮扶组”的概率.【试题参考答案】(Ⅰ)73;(Ⅱ)选出的两人为“帮扶组”的概率为815p =.本试题主要考查了概率的运算和统计图的运用.(1)由由频率分布直方图可知:50~60分的频率为0.1, 60~70分的频率为0.25, 70~80分的频率为0.45, 80~90分的频率为0.15, 90~100分的频率为0.05,然后利用平均值公式,可知这组数据的平均数M=55×0.1＋65×0.25＋75×0.45＋85×0.15＋95×0.05=73(分)(2)中利用90~100分数段的人数为2人,频率为0.05;得到总参赛人数为40,然后得到0~60分数段的人数为40×0.1=4人,第五组中有2人,这样可以得到基本事件空间为15种,然后利用其中两人成绩差大于20的选法有:(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 4,B 1),(A 4,B 2)共8种,得到概率值解:(Ⅰ)由频率分布直方图可知:50~60分的频率为0.1, 60~70分的频率为0.25, 70~80分的频率为0.45, 80~90分的频率为0.15, 90~100分的频率为0.05; ……………2分∴这组数据的平均数M=55×0.1＋65×0.25＋75×0.45＋85×0.15＋95×0.05=73(分)…4分 (Ⅱ)∵90~100分数段的人数为2人,频率为0.05; ∴参加测试的总人数为20.05=40人,……………………………………5分∴50~60分数段的人数为40×0.1=4人, …………………………6分设第一组50~60分数段的同学为A 1,A 2,A 3,A 4;第五组90~100分数段的同学为B 1,B 2 则从中选出两人的选法有:(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,A 4),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,A 3),(A 2,A 4),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,A 4),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 4,B 1),(A 4,B 2),(B 1,B 2),共15种;其中两人成绩差大于20的选法有:(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 4,B 1),(A 4,B 2)共8种 …………………………11分 则选出的两人为“帮扶组”的概率为815P =20.设点O 为坐标原点,抛物线C :22(0)y px p =>的焦点为F ,过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A 、B 两点,若8AB =,求:()1抛物线C 的标准方程; ()2AOB V 的面积.【试题参考答案】(1)24y x =(2)()1由题可知直线AB 的方程为:2p y x =-,代入22y px =化简,利用韦达定理以及抛物线的定义、8AB =求得p 的值,可得抛物线的方程;()2联立直线与抛物线方程,利用面积公式即可求解.【试题解答】() 1由题可知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,则该直线AB 的方程为:2p y x =-,代入22y px =,化简可得22304p x px -+=.设()11,A x y ,()22,B x y ,则有123x x p +=.8AB =Q ,∴有128x x p ++=,解得2p =,∴抛物线的方程为:24y x =.()2可得直线AB 的方程为:1y x =-.联立124y x y x =-⎧=⎨⎩可得2440y y --=,124y y +=,124y y =-.AOB ∴V 的面积2121211()4222S y y y y =⨯⨯+-=.本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用.21.如图,在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,∠BAC ＝90°,AB=AC=2,AA 1=6,点E 、F 分别在棱BB 1、CC 1上,且BE ＝13BB 1,C 1F ＝13CC 1.(1)求异面直线AE 与A 1F 所成角的大小; (2)求平面AEF 与平面ABC 所成角的余弦值. 【试题参考答案】(1)60º(2)6cos 6β=本题的关键是建立适当的空间直角 坐标系,建立坐标系如图,写出相关向量坐标,利用向量夹角公式即可; 由(1)求出平面和平面的法向量n 和m,利用cos n mn mβ⋅=⋅即可,注意在本题中 平面与平面所成的角为锐角,所以cos 0β>试题解析: (1)建立如图所示的直角坐标系,则,,,,从而(2,0,2)AE =u u u r,1(0,2,2)A F =-u u u u r .记与的夹角为,则有1141cos 288AE A F AE A Fθ⋅-===-⋅⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r . 又由异面直线与所成角的范围为,可得异面直线与所成的角为60o(2)记平面和平面的法向量分别为n 和m,则由题设可令(1,,)n y z =,且有平面的法向量为1(0,0,6)m AA ==u u u r,,.由0n AF ⋅=u u u r,得;由0n AE ⋅=u u u r,得.所以,即(1,2,1)=-n .记平面与平面所成角为,有6cos 66n m n m β⋅===-⋅⋅. 由题意可知为锐角,所以6cos β=利用空间直角坐标系,求两条异面直线所成的角,平面与平面所成角的余弦值【试题解答】请在此输入详解！22.已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的一个顶点是(0,1),离心率为32.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)已知矩形ABCD的四条边都与椭圆C相切,设直线AB方程为y kx m=+,求矩形ABCD面积的最小值与最大值.【试题参考答案】(Ⅰ);(Ⅱ)当时S有最大值10;当k=0时,S有最小值8.【试题解答】(Ⅰ)利用待定系数法即可,由题意,椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的一个顶点是(0,1),所以1b=,又,椭圆C的方程是;(Ⅱ)注意斜率的讨论,当时,椭圆的外切矩形ABCD面积为8. 当时, AB所在直线方程为y kx m=+,所以,直线BC和AD的斜率均为.联立直线AB与椭圆方程可得,令得到,直线AB与直线DC之间的距离为,同理可求BC与AD距离为,所以矩形ABCD的面积为,再利用基本不等式即可解决.试题解析:(Ⅰ)由题意,椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的一个顶点是(0,1),所以1b=又,离心率为3,即,222a b c=+解得,故椭圆C的方程是(Ⅱ)当时,椭圆的外切矩形ABCD面积为8. 当时, 椭圆的外切矩形ABCD 的边AB所在直线方程为y kx m=+, 所以,直线BC和AD的斜率均为. 由,消去y得,化简得:所以,直线AB方程为直线DC方程为直线AB 与直线DC之间的距离为同理,可求BC与AD距离为则矩形ABCD的面积为由均值定理仅当,即时S有最大值10. 因此,当时S有最大值10;当K=0时,S有最小值8.圆锥曲线及其在最值中的应用。