2018高考北京卷文科数学试题后附答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文 科 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题5分，共40分． 1．已知集合{}2A x x =<，{}–2,0,1,2B =，则A B =（ ） A ．{}0,1B ．{}–1,0,1C ．{}–2,0,1,2D ．{}–1,0,1,22．在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ） A ．12B ．56C ．76D ．7124．设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为（ ） A ．32fB ．322fC ．1252fD ．1272f6．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．在平面坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ） A ．ABB ．CDC ．EFD ．GH8．设集合(){},1,4,2A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤，则（ ） A ．对任意实数a ，()2,1A ∈ B ．对任意实数a ，()2,1A ∉ C ．当且仅当0a <时，()2,1A ∉ D ．当且仅当32a ≤时，()2,1A ∉ 第II 卷二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．设向量()10=,a ，()1,m =-b ，若()m ⊥-a a b ，则m =_________． 10．已知直线l 过点()1,0且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________． 11．能说明“若a b >，则11a b<”为假命题的一组a ，b 的值依次为_________． 12．若双曲线()222104x y a a -=>的离心率为52，则a =_________． 13．若x ，y 满足12x y x +≤≤，则2y x -的最小值是_________． 14．若ABC △的面积为()22234a c b +-，且C ∠为钝角，则B ∠=_________；ca的取值范围是_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）设{}n a 是等差数列，且1ln 2a =，235ln 2a a +=． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12e e e n a a a +++．16．（本小题13分）已知函数()2sin 3sin cos f x x x x =+． （1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在区间3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为32，求m 的最小值．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号17．（本小题13分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加01．，哪类电影的好评率减少01．，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论） 18．（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E ，F分别为AD ，PB 的中点． （1）求证：PE BC ⊥；（2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ； （3）求证：EF ∥平面PCD ．19．（本小题13分）设函数()()23132e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦．（1）若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为0，求a ； （2）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围．20．已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>，焦距为斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ． （1）求椭圆M 的方程； （2）若1k =，求||AB 的最大值；（3）设()20P -,，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点7142Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭,共线，求k ．2018年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文 科 数 学 答 案第I 卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题5分，共40分．第II 卷二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分． 9．【答案】1- 10．【答案】()1,011．【答案】1，1-（答案不唯一） 12．【答案】4 13．【答案】314．【答案】60；()2+∞,．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【答案】（1）ln2n ；（2）122n +-． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，235ln 2a a +=，1235ln 2a d ∴+=，又1ln2a =，ln 2d ∴=，()11ln 2n a a n d n ∴=+-=． （2）由（1）知ln 2n a n =，ln 2ln 2e e e 2nn a n n ===，{}e n a ∴是以2为首项，2为公比的等比数列，212ln 2ln 2ln 221e e e e e e =222=22nn a a a n n +∴+++=++++++-，121e e e =22n a a a n +∴+++-．16．【答案】（1）π；（2）π3． 【解析】（1）()1cos 211122cos 2sin 222262x f x x x x x -π⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==． （2）由（1）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为π3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,，所以π5ππ22666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦,． 要使得()f x 在π3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为1．所以ππ262m -≥，即π3m ≥．所以m 的最小值为π3． 17．【答案】（1）0025．；（2）0814．；（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．【解析】（1）由题意知，样本中电影的总部数是140503002008005102000+++++=． 第四类电影中获得好评的电影部数是20002550⨯=．，故所求概率为5000252000=．． （2）设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事件B ．没有获得好评的电影共有14006500830008520007580008510091628⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．部．由古典概型概率公式得()162808142000P B ==．． （3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率． 18．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）PA PD =，且E 为AD 的中点，PE AD ∴⊥，底面ABCD 为矩形，BC AD ∴∥，PE BC ∴⊥． （2）底面ABCD 为矩形，AB AD ∴⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∴⊥平面PAD ，AB PD ∴⊥．又PA PD ⊥，PD ⊥平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD ．（3）如图，取PC 中点G ，连接FG ，GD ．F ，G 分别为PB 和PC 的中点，FG BC ∴∥，且12FG BC =， 四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，ED BC ∴∥，12DE BC =， ED FG ∴∥，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形， EF GD ∴∥，又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，EF ∴∥平面PCD ．19．【答案】（1）12；（2）()1,+∞． 【解析】（1）()()23132e x f x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦，()()211e xf x ax a x ⎡⎤∴=-++⎣⎦'，()()2221e f a -'=，由题设知()20f '=，即()221e 0a -=，解得12a =．（2）方法一：由（1）得()()()()211e 11e x xf x ax a x ax x ⎡⎤=-++=--⎣⎦'．若1a >，则当11x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,时，()0f x '<；当()1x ∈+∞,时，()0f x '>． 所以()f x 在1x =处取得极小值．若1a ≤，则当()01x ∈,时，110ax x -≤-<，()0f x ∴'>． 所以1不是()f x 的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是()1,+∞． 方法二：()()()11e x f x ax x =--'．（1）当0a =时，令()0f x '=得1x =，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：1 0极大值()f x ∴在1x =处取得极大值，不合题意．（2）当0a >时，令()0f x '=得11x a=，21x =． ①当12x x =，即1a =时，()()21e 0x f x x '=-≥，()f x ∴在R 上单调递增， ()f x ∴无极值，不合题意．②当12x x >，即01a <<时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：10 0极大值极小值()f x ∴在1x =处取得极大值，不合题意．③当12x x <，即1a >时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：1极大值 极小值()f x ∴在1x =处取得极小值，即1a >满足题意．（3）当0a <时，令()0f x '=得11x a=，21x =，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表： 0 0极小值极大值()f x ∴在1x =处取得极大值，不合题意．综上所述，a 的取值范围为()1+∞,．20．【答案】（1）2213x y +=；（26；（3）1．【解析】（1）由题意得222c =，所以2c =又6c e a =3a 2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则()22236443348120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设()11A x y ,，()22B x y ,，则1232mx x +=-，212334m x x -=，则()222212121264114m AB k x k x x x x ⨯-=+-=++-， 易得当20m =时，max ||6AB =AB 6． （3）设()11A x y ,，()22B x y ,，()33C x y ,，()44D x y ,，则221133x y += ①，222233x y += ②， 又()20P -,，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由()122213y k x x y =++=⎧⎪⎨⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=，则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以11117124747x y C x x ⎛⎫--⎪++⎝⎭,，同理可得22227124747x yD x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,． 故3371,44QC x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，447144QD x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,，因为Q ，C ，D 三点共线，所以3443717104444x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将点C ，D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =．。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文史类）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若集合{}2A x x =<，{}2,0,1,2B x =-，则A B =I （A ）{}01，（B ）{}-101，，（C ）{}-201，，（D ）{}-1012，，，2）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）．A ．12B ．56C ．76D ．7124．设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d成等比数列”的（）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 ．5．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要的贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（）． A ．32f B ．322f C ．1252f D ．1272f6．某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4i1-i7. 在平面直角坐标系中，»AB ,»CD ,»EF ,¼GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中的一段上，角α是以Ox 为始边，OP 为始边.若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（A ）»AB（B ）»CD （C ）»EF（D ）¼GH8. 设集合(){},|1,4,2A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤，则()A 对任意实数a ，()2,1A ∈()B 对任意实数a ，()2,1A ∉ ()C 当且仅当0a <时，()2,1A ∉()D 当且仅当32a ≤时，()2,1A ∉ 二．填空（9）设向量()1,0a =r ，()1,b m =-r。

绝密★启封并使用完毕前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A={(x||x|<2)},B={−2,0,1,2},则A B=（A）{0,1} （B）{−1,0,1}（C）{−2,0,1,2}（D）{−1,0,1,2}（2）在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）12（B）56（C ）76（D ）712（4）设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 学科#网 （A ）32f （B ）322f （C ）1252f（D ）1272f（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（7）在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（A ）AB（B ）CD（C ）EF（D ）GH（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则（A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈（B ）对任意实数a ，（2,1）A ∉ （C ）当且仅当a <0时,（2,1）A ∉（D ）当且仅当32a ≤时,（2,1）A ∉ 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

绝密★启封并使用完毕前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A={(|||<2)},B={−2,0,1,2},则A B=（A）{0,1} （B）{−1,0,1}（C）{−2,0,1,2}（D）{−1,0,1,2}（2）在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）12（B）56（C）76（D）712（4）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为学科#网（A（B（C）（D）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A）1 （B）2（C）3 （D）4（7）在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（A ）AB（B ）CD （C ）EF（D ）GH（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则（A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈（B ）对任意实数a ，（2,1）A ∉ （C ）当且仅当a <0时,（2,1）A ∉（D ）当且仅当32a ≤时,（2,1）A ∉ 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。