当前位置：文档之家 › 中考数学点对点-最值问题(解析版)

中考数学点对点-最值问题(解析版)

  • 格式：docx
  • 大小：586.82 KB
  • 文档页数：37

第 1 页 共 37 页

中考数学最值问题

专题知识点概述

在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分为几何最值和代数最值两大部分。

一、解决几何最值问题的要领

（1）两点之间线段最短；

（2）直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；

（3）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。

二、解决代数最值问题的方法要领

1.二次函数的最值公式

二次函数yaxbxc2（a、b、c为常数且a0）其性质中有

①若a0当xba2时，y有最小值。yacbamin442；

②若a0当xba2时，y有最大值。yacbamax442。

2.一次函数的增减性.一次函数ykxbk()0的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当mxn时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。

3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得0，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。

4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。

5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有abkk22，当且仅当ab0时，等号成立，即abk22的最小值为k。

6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。 第 2 页 共 37 页

7. 利用不等式与判别式求解.在不等式xa中，xa是最大值，在不等式xb中，xb是最小值。

8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。

例题解析与对点练习

【例题1】（2020•黑龙江）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为 ．

【答案】√3．

【解析】根据菱形的性质得到AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到EG＝AB＝1，EG∥AB，推出四边形EGCD是平行四边形，得到ED＝GC，于是得到EC+GC的最小值＝EC+GD的最小值，根据平移的性质得到点E在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于AE，解直角三角形即可得到结论．

∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，

∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，

∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF，

∴EG＝AB＝1，EG∥AB，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴∠BAD＝120°，

∴EG＝CD，EG∥CD， 第 3 页 共 37 页

∴四边形EGCD是平行四边形，

∴ED＝GC，

∴EC+GC的最小值＝EC+ED的最小值，

∵点E在过点A且平行于BD的定直线上，

∴作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于E，

则CM的长度即为EC+DE的最小值，

∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝1，

∴∠ADM＝60°，DH＝MH=12AD=12，

∴DM＝1，

∴DM＝CD，

∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°，

∴∠M＝∠DCM＝30°，

∴CM＝2×√32CD=√3．

【对点练习】（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为 ． 第 4 页 共 37 页

【答案】15．

【解析】作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．首先证明△ABA′是等边三角形，求出A′H，根据垂线段最短解决问题即可．

解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．

∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，

∴∠ABA′＝60°，

∴△ABA′是等边三角形，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝10，

在Rt△ABD中，AB=𝐴𝐷𝑡𝑎𝑛30°=10√3，

∵A′H⊥AB，

∴AH＝HB＝5√3，

∴A′H=√3AH＝15，

∵AM+MN＝A′M+MN≤A′H， 第 5 页 共 37 页

∴AM+MN≤15，

∴AM+MN的最小值为15．

【例题2】（2020•襄阳）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．

（1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；

（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？

（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．

【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．

（2）设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果（100﹣a）千克，根据实际意义可以确定a的范围，结合付款总金额（元）与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．

（3）根据（2）的结论列不等式解答即可．

【解析】（1）当0≤x≤50是，设y＝kx，根据题意得50k＝1500，

解得k＝30；

∴y＝30x；

当x＞50时，设y＝k1x+b， 第 6 页 共 37 页

根据题意得，

{50𝑘+𝑏=150070𝑘+𝑏=1980，解得{𝑘=24𝑏=300，

∴y＝24x+3000．

∴y={30𝑥(0≤𝑥≤50)24𝑥+300(𝑥＞50)，

（2）设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果（100﹣a）千克，

∴40≤a≤60，

当40≤a≤50时，w1＝30a+25（100﹣a）＝5a+2500．

当a＝40 时．wmin＝2700 元，

当50＜a≤60时，w2＝24a+25（100﹣a）＝﹣a+2500．

当a＝60时，wmin＝2440 元，

∵2440＜2700，

∴当a＝60时，总费用最少，最少总费用为2440 元．

此时乙种水果100﹣60＝40（千克）．

答：购进甲种水果为60千克，购进乙种水果40千克，才能使经销商付款总金额w（元）最少．

（3）由题意得：（40﹣24）×35a+（36﹣25）×25𝑎≥1650，

解得𝑎≥11767，

∵a为正整数，

∴a≥118，

∴a的最小值为118．

【对点练习】（2020海南模拟）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格第 7 页 共 37 页

为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．

（1）求该种水果每次降价的百分率；

（2）从第一次降价的第1天算起，第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？

时间(天) 1≤x＜9 9≤x＜15 x≥15

售价(元/斤) 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格

销量(斤) 80－3x 120－x

储存和损耗费用(元) 40＋3x 3x2－64x＋400

（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第

15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？

【答案】看解析。

【解析】（1）设该种水果每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为10(1－x)，第二次降价后的价格为10(1－x)2，进而可得方程；（2）分两种情况考虑，先利用“利润＝(售价－进价)×销量－储存和损耗费用”，再分别求利润的最大值，比较大小确定结论；（3）设第15天在第14天的价格基础上降a元，利用不等关系“（2）中最大利润－[(8.1－a－4.1)×销量－储存和损耗费用]≤127.5”求解．

解答：（1）设该种水果每次降价的百分率为x，依题意得：

10(1－x)2＝8.1．

解方程得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)

答：该种水果每次降价的百分率为10%．

（2）第一次降价后的销售价格为：10×(1－10%)＝9(元/斤)，

当1≤x＜9时，y＝(9－4.1)(80－3x)－(40＋3x)＝－17.7x＋352； 第 8 页 共 37 页

当9≤x＜15时，y＝(8.1－4.1)(120－x)－(3x2－64x＋400)＝－3x2＋60x＋80，

综上，y与x的函数关系式为：y＝－17.7x＋352(1≤x＜9，x为整数)，－3x2＋60x＋80(9≤x＜15，x为整数)．

当1≤x＜9时，y＝－17.7x＋352，∴当x＝1时，y最大＝334.3(元)；

当9≤x＜15时，y＝－3x2＋60x＋80＝－3(x－10)2＋380，∴当x＝10时，y最大＝380(元)；

∵334.3＜380，∴在第10天时销售利润最大．

（3）设第15天在第14天的价格上最多可降a元，依题意得：

380－[(8.1－a－4.1)(120－15)－(3×152－64×15＋400)]≤127.5，

解得：a≤0.5，

则第15天在第14天的价格上最多可降0.5元．

所以当x35时，最大利润为1950元。

【例题3】（2020•乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y=𝑘𝑥交于A、B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（ ）

A．−12 B．−32 C．﹣2 D．−14

【答案】A

合集下载

2019年中考数学复习专题六【最值问题】测试解析卷

2019年中考数学复习专题六【最值问题】测试解析卷

1 2019年中考数学复习专题六【最值问题】测试解析卷

一、选择题

1．如图，⊙O的半径为1，点O到直线m的距离为2，点P是直线m上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是( B )

A．1 B.3 C．2 D.5

,第1题图) ,第2题图)

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP＋EP最小值的是( B )

A．BC B．CE C．AD D．AC

【解析】在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，可得点B和点C关于直线AD对称，连结CE，交AD于点P，此时BP＋EP最小，为CE的长，故选B.

二、填空题

3．如图，将直线y＝－x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A(2，－4)，且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA＋PB的值最小，则点P的坐标为__(23，0)__．

【解析】如图，作点B关于x轴对称的点B′，连结AB′，交x轴于P，则点P即为所求，设直线y＝－x沿y轴向下平移后的直线解析式为y＝－x＋a，把A(2，－4)代入可得，a＝－2，∴平移后的直线为y＝－x－2，令x＝0，则y＝－2，即B(0，－2)∴B′(0，2)，设直线AB′的解析式为y＝kx＋b，把A(2，－4)，B′(0，2)代入可得，－4＝2k＋b，2＝b，解得k＝－3，b＝2，∴直线AB′的解析式为y＝－3x＋2，令y＝0，则x＝23，∴P(23，0)． 2 ,第3题图) ,第4题图)

4．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为(－1，0)，半径为1，点P为直线y＝－34x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是__22__．

【解析】连结AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，∴当AP⊥直线y＝－34x＋3时，PQ最小，∴PQ＝32－12＝22.

三、解答题

5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c过A，B，C三点，点A的坐标是(3，0)，点C的坐标是(0，－3)，动点P在抛物线上．

最值问题集锦05-备战2020年中考数学之最值问题集锦(原卷版)

最值问题集锦05-备战2020年中考数学之最值问题集锦(原卷版)

最值问题集锦05

1．（2019•玉林）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

2．（2019•泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）

A．2 B．4 C． D．

3．（2019•西藏）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）

A．2 B．2 C．3 D．

4．（2019•河北）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（ ）

A．10 B．6 C．3 D．2

5．（2019•南通）如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于

．

6．（2019•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 ．

7．（2019•眉山）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4．⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为 ．

8．（2019•营口）如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD＝DC＝2，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为 ．

9．（2019•锦州）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是 ．

中考数学专题讲练 线段最值问题一(解析版)

中考数学专题讲练 线段最值问题一(解析版)

中考数学专题讲练 线段最值问题一(解析版)

1 / 68

线段最值问题（一）

一．两点之间线段最短

两点之间，线段最短经常结合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边和圆来求解线段或者线段和的最大最小值问题。解题的关键是找到定点和定长的线段，然后利用上述知识找到临界位置，求出最值.

1.两点之间，线段最短：A和B两点之间，线段AB最短.

2. ABa，BCb（ab），则当点C在D点时，minACABACab，当点C在点E时，maxACABBCab

二．垂线段最短

垂线段最短是直线外一点与直线上各点的连线中垂线段最短的简称，如图，线段AB外一点C与线段上各点的连线中，垂线段CD最短. DCBAEDCBA中考数学专题讲练 线段最值问题一(解析版)

2 / 68

一．考点：两点之间线段最短，垂线段最短

二．重难点：两点之间线段最短，垂线段最短

三．易错点：

1．利用两点之间线段最短求解最值时要找到定点和定线段，然后再找到临界位置求解；

2．利用垂线段最短求解最值时关键是找准定点和动点所在的线段或直线．

题模一：两点之间线段最短

例1.1.1 在RtABC中，∠ACB=90°，BAC=30°，BC=6．

（I）如图①，将线段CA绕点C顺时针旋转30°，所得到与AB交于点M，则CM的长=__；

（II）如图②，点D是边AC上一点D且AD=23 ，将线段AD绕点A旋转，得线段AD′，点F始终为BD′的中点，则将线段AD绕点A逆时针旋转__度时，线段CF的长最大，最大值为__． FEDCBA中考数学专题讲练 线段最值问题一(解析版)

3 / 68

【答案】 （1）6

（2）150；63

【解析】 （Ⅰ）如下图①所示：

∵将线段CA绕点C顺时针旋转30°，

∴△AMC 为等腰三角形，AM=MC

∵∠BAC=30°，

∴△MBC为等边三角形，

∴AM=MB=CM

又∵BC=6，

中考数学点对点-分式的运算(解析版)

中考数学点对点-分式的运算(解析版)

第 1 页 共 13 页

专题03 分式的运算

专题知识点概述

一、分式的概念

1.分式：形如𝐴𝐵，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式(fraction)。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式有意义的条件是分母不等于0

2.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。

3.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。

分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。

4.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.

二、分式运算法则

1.分式的四则运算：

（1）同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用

（2）异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.

2.分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母. 8.分式的除法法则:

(1)两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.

(2)除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数.

例题解析与对点练习

【例题1】（2020•安顺）当x＝1时，下列分式没有意义的是（ ） 第 2 页 共 13 页

A．𝑥+1𝑥 B．𝑥𝑥−1 C．𝑥−1𝑥 D．𝑥𝑥+1

【答案】B

【解析】A.𝑥+1𝑥，当x＝1时，分式有意义不合题意；

B.𝑥𝑥−1，当x＝1时，x﹣1＝0，分式无意义符合题意；

C.𝑥−1𝑥，当x＝1时，分式有意义不合题意；

D.𝑥𝑥+1，当x＝1时，分式有意义不合题意；

【点拨】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．

【对点练习】（2019江苏常州）若代数式13xx有意义，则实数x的取值范围是（ ）