2013年高考理科数学全国卷1(含详细答案)
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数学试卷 第1页（共48页） 数学试卷 第2页（共48页） 数学试卷 第3页（共48页） 绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)
理科数学
使用地区：河南、山西、河北
注意事项：
1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页.
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.
4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合20{}|2Axxx,{|55}Bxx,则 ( ) A.ABR B.AB C.BA D.AB
2.若复数z满足(34i)|43i|z,则z的虚部为 ( )
A.4 B.45 C.4 D.45
3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( )
A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样 D.系统抽样
4.已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的离心率为52,则C的渐近线方程为 ( )
A.14yx B.13yx C.12yx D.yx 5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t,则输出的s属于 ( )
A.[3,4]
B.[5,2]
C.[4,3]
D.[2,5]
6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器
高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球
面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的
厚度,则球的体积为 ( )
A.3866πcm3 B.3500πcm3
C.31372πcm3 D.32048πcm3
7.设等差数列{}na的前n项和为nS,12mS,0mS,13mS,则m ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( )
A.168π
B.88π
C.1616π
D.816π
9.设m为正整数,2()mxy展开式的二项式系数的最大值为a,21()mxy展开式的二项式系数的最大值为b.若137ab,则m ( )
A.5 B.6 C.7 D.8 10.已知椭圆E：22221(0)xyabab的右焦点为(3,0)F,过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,1),则E的方程为 ( )
A.2214536xy B.2213627xy C.2212718xy D.221189xy
11.已知函数22,0,()ln(1),0.xxxfxxx≤若|()|fxax≥,则a的取值范围是 ( )
A.(,1] B.(,0] C.[2,1] D.[2,0]
12.设nnnABC△的三边长分别为na,nb,nc,nnnABC△的面积为nS,1,2,3,n.若11bc,1112bca,1nnaa,12nnncab,12nnnbac,则 ( )
A.{}nS为递增数列
B.{}nS为递减数列
C.21{}nS为递增数列,2{}nS为递减数列
D.21{}nS为递减数列,2{}nS为递增数列
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.
13.已知两个单位向量a,b的夹角为60,(1)ttcab.若0bc,则t________.
14.若数列{}na的前n项和2133nnSa,则{}na的通项公式是na________.
15.设当x时,函数()sin2cosfxxx取得最大值,则cos________.
16.设函数22()(1)()fxxxaxb的图象关于直线2x对称,则()fx的最大值为________.
三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
如图,在ABC△中,90ABC,3AB,1BC,P
为ABC△内一点,90BPC.
（Ⅰ）若12PB,求PA；
（Ⅱ）若150APB,求tanPBA. --------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------
姓名________________ 准考证号_____________ 数学试卷 第4页（共48页） 数学试卷 第5页（共48页） 数学试卷 第6页（共48页） 18.（本小题满分12分）
如图,三棱柱111ABCABC中,CACB,1ABAA,160BAA.
（Ⅰ）证明：1ABAC；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面11AABB,ABCB,求直线1AC与平面11BBCC所成角的正弦值.
19.（本小题满分12分）
一批产品需要进行质量检验,检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果3n,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验；如果4n,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验；其他情况下,这批产品都不能通过检验.
假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互独立. （Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；
（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.
20.（本小题满分12分）
已知圆M:22(1)1xy,圆N:22(1)9xy,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求||AB.
21.（本小题满分12分）
设函数2()fxxaxb,()e()xgxcxd.若曲线()yfx和曲线()ygx都过点(0,2)P,且在点P处有相同的切线42yx.
（Ⅰ）求a,b,c,d的值；
（Ⅱ）若2x≥时,()()fxkgx≤,求k的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲
如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D. （Ⅰ）证明：DBDC；
（Ⅱ）设圆的半径为1,3BC,延长CE交AB于点F,求BCF△外接圆的半径.
23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线1C的参数方程为45cos,55sinxtyt（t为参数）,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C的极坐标方程为2sin.
（Ⅰ）把1C的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求1C与2C交点的极坐标(0,02π)≥≤＜.
24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲
已知函数()|21||2|fxxxa,()3gxx.
（Ⅰ）当2a时,求不等式()()fxgx＜的解集；
（Ⅱ）设1a＞,且当1[,)22ax时,()()fxgx≤,求a的取值范围. 3 / 16
2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)
理科数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】B
【解析】解：∵集合2{}{0}|2|20Axxxxxx或，∴|255{0}ABxxx或-，ABR，故选B．
【提示】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出AB和AB．
【考点】并集及其运算，一元二次不等式的解法
2.【答案】D
【解析】解：∵复数z满足(34i)|43i|z，∴|4+3i|55(34i)34i34i34i2555z，故z的虚部等于45，故选D．
【提示】由题意可得|4+3i|534i34iz，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为34i55，由此可得z的虚部．
【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模
3.【答案】C
【解析】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．
了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．
故选C．
【提示】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样
【考点】分层抽样方法．
4.【答案】C
【解析】解：已知双曲线C：22221(00)xyabab，的离心率为52，故有222+54aba，∴2214ba，解得12ba．故C的渐近线方程为12yx，故选C．
【提示】由题意可得222+54aba，由此求得12ba，从而求得双曲线的渐近线方程．
【考点】双曲线的简单性质．
