2013年高考理科数学全国新课标卷1(附答案)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(全国卷I新课标)

注意事项：

1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页．

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置．

3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．

4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( )．

A．A∩B＝ B．A∪B＝R

C．BA D．AB

答案：B

解析：∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2.

∴集合A与B可用图象表示为：

由图象可以看出A∪B＝R，故选B.

2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )．

A．－4 B．45 C．4

D．45

答案：D

解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|，

∴55(34i)34i34i(34i)(34i)55z.

故z的虚部为45，选D.

3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．

A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样

C．按学段分层抽样 D．系统抽样

答案：C

解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．

4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C：2222=1xyab(a＞0，b＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为( )．

A．y＝14x B．y＝13x

C．y＝12x D．y＝±x

答案：C

解析：∵52cea，∴22222254cabeaa.

∴a2＝4b2，1=2ba. ∴渐近线方程为12byxxa.

5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )．

A．[－3,4] B．[－5,2]

C．[－4,3] D．[－2,5]

答案：A

解析：若t∈[－1,1)，则执行s＝3t，故s∈[－3,3)．

若t∈[1,3]，则执行s＝4t－t2，其对称轴为t＝2.

故当t＝2时，s取得最大值4.当t＝1或3时，s取得最小值3，则s∈[3,4]．

综上可知，输出的s∈[－3,4]．故选A.

6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．

A．500π3cm3 B．866π3cm3

C．1372π3cm3 D．2048π3cm3

答案：A

解析：设球半径为R，由题可知R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA为直角三角形，如图． BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，

由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，

所以球的体积为34500π5π33(cm3)，故选A.

7．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )．

A．3 B．4 C．5 D．6

答案：C

解析：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，

∴am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3.

∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.

∵Sm＝ma1＋12mm×1＝0，∴112ma.

又∵am＋1＝a1＋m×1＝3，∴132mm.

∴m＝5.故选C.

8．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．

A．16＋8π B．8＋8π

C．16＋16π D．8＋16π

答案：A

解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A.

9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )．

A．5 B．6 C．7 D．8

答案：B

解析：由题意可知，a＝2Cmm，b＝21Cmm，

又∵13a＝7b，∴2!21!13=7!!!1!mmmmmm， 即132171mm.解得m＝6.故选B.

10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E：2222=1xyab(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )．

A．22=14536xy B．22=13627xy

C．22=12718xy D．22=1189xy

答案：D

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，

∴2211222222221,1,xyabxyab①②

①－②，得

1212121222=0xxxxyyyyab，

即2121221212=yyyybaxxxx，

∵AB的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，

而1212yyxx＝kAB＝011=312，∴221=2ba.

又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.

∴椭圆E的方程为22=1189xy.故选D.

11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f(x)＝220ln(1)0.xxxxx，，，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )．

A．(－∞，0] B．(－∞，1]

C．[－2,1] D．[－2,0]

答案：D

解析：由y＝|f(x)|的图象知：

①当x＞0时，y＝ax只有a≤0时，才能满足|f(x)|≥ax，可排除B，C.

②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.

故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.

当x＝0时，不等式为0≥0成立．

当x＜0时，不等式等价于x－2≤a.

∵x－2＜－2，∴a≥－2.

综上可知：a∈[－2,0]．

12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝2nnca，cn＋1＝2nnba，则( )．

A．{Sn}为递减数列

B．{Sn}为递增数列

C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列

D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列

答案：B

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝__________.

答案：2

解析：∵c＝ta＋(1－t)b，

∴b·c＝ta·b＋(1－t)|b|2.

又∵|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为60°，b⊥c，

∴0＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)，

0＝12t＋1－t.

∴t＝2.

14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和2133nnSa，则{an}的通项公式是an＝__________.

答案：(－2)n－1

解析：∵2133nnSa，①

∴当n≥2时，112133nnSa.②

①－②，得12233nnnaaa，

即1nnaa＝－2.

∵a1＝S1＝12133a，

∴a1＝1.

∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝(－2)n－1.

15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.

答案：255

解析：f(x)＝sin x－2cos x

＝125sincos55xx，

令cos α＝15，sin α＝25，

则f(x)＝5sin(α＋x)，

当x＝2kπ＋π2－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有最大值5， 即θ＝2kπ＋π2－α(k∈Z)，

所以cos θ＝πcos2π+2k＝πcos2＝sin α＝22555.

16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．

答案：16

解析：∵函数f(x)的图像关于直线x＝－2对称，

∴f(x)满足f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)，

即15164,0893,babab

解得8,15.ab

∴f(x)＝－x4－8x3－14x2＋8x＋15.

由f′(x)＝－4x3－24x2－28x＋8＝0，

得x1＝－2－5，x2＝－2，x3＝－2＋5.

易知，f(x)在(－∞，－2－5)上为增函数，在(－2－5，－2)上为减函数，在(－2，－2＋5)上为增函数，在(－2＋5，＋∞)上为减函数．

∴f(－2－5)＝[1－(－2－5)2][(－2－5)2＋8(－2－5)＋15]

＝(－8－45)(8－45)

＝80－64＝16.

f(－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]

＝－3(4－16＋15)

＝－9.

f(－2＋5)＝[1－(－2＋5)2][(－2＋5)2＋8(－2＋5)＋15]

＝(－8＋45)(8＋45)

＝80－64＝16.

故f(x)的最大值为16.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.

(1)若PB＝12，求PA；

(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.

解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.

在△PBA中，由余弦定理得PA2＝117323cos 30424.

故PA＝72.