中考数学几何模型专题3对角互补模型(学生版)知识点+例题
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【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题3对角互补模型
模型1：全等形——90°对角互补模型
模型2：全等形——120°对角互补模型 题策略
模型3：全等形——任意角对角互补模型
模型4：相似形——90°对角互补模型
【例1】．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，典例题
DF之间的数量关系．
（1）思路梳理
将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG∠∠AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__；
（2）类比引申
如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.
【例2】．（2019·山东枣庄·中考真题）在𝛥𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷,
（1）如图1，点𝑀，𝑁分别在𝐴𝐷，𝐴𝐵上，且∠𝐵𝑀𝑁=90°，当∠𝐴𝑀𝑁=30°，𝐴𝐵=2时，求线段𝐴𝑀的长；
（2）如图2，点𝐸，𝐹分别在𝐴𝐵，𝐴𝐶上，且∠𝐸𝐷𝐹=90°，求证：𝐵𝐸=𝐴𝐹；
（3）如图3，点𝑀在𝐴𝐷的延长线上，点𝑁在𝐴𝐶上，且∠𝐵𝑀𝑁=90°，求证：𝐴𝐵+𝐴𝑁=√2𝐴𝑀;
【例3】．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图∠，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐵=∠𝐷=90°，𝐸，𝐹分别是边𝐵𝐶，𝐶𝐷上的点，且∠𝐸𝐴𝐹=12∠𝐵𝐴𝐷．请直接写出线段𝐸𝐹，𝐵𝐸，𝐹𝐷之间的数量关系：__________；
（2）如图∠，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐵+∠𝐷=180°，𝐸，𝐹分别是边𝐵𝐶，𝐶𝐷上的点，且∠𝐸𝐴𝐹=12∠𝐵𝐴𝐷，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐵+∠𝐷=180°，𝐸，𝐹分别是边𝐵𝐶，𝐶𝐷所在直线上的点，且∠𝐸𝐴𝐹=12∠𝐵𝐴𝐷．请画出图形（除图∠外），并直接写出线段𝐸𝐹，𝐵𝐸，𝐹𝐷之间的数量关系．
【例4】．（2022·全国·八年级课时练习）四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是由等边𝛥𝐴𝐵𝐶和顶角为120°的等腰𝛥𝐴𝐵𝐷排成，将一个60°角顶点放在𝐷处，将60°角绕𝐷点旋转，该60°交两边分别交直线𝐵𝐶、𝐴𝐶于𝑀、𝑁，交直线𝐴𝐵于𝐸、𝐹两点．
（1）当𝐸、𝐹都在线段𝐴𝐵上时（如图1），请证明：𝐵𝑀+𝐴𝑁=𝑀𝑁；
（2）当点𝐸在边𝐵𝐴的延长线上时（如图2），请你写出线段𝑀𝐵，𝐴𝑁和𝑀𝑁之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（1）的条件下，若𝐴𝐶=7，𝐴𝐸=2.1，请直接写出𝑀𝐵的长为 ．
一、解答题
1．（2022·陕西·西安市第三中学七年级期末）回答问题
（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系． 优训练
