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中考数学专题训练旋转模型几何变换的三种模型手拉手半角对角互补

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几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补

等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等边三角形（包含费马点）特殊角旋转变换对角互补模型一般角特殊角角含半角模型一般角等线段变换（与圆相关）

【练1】 （2013北京中考）在ABC△中，ABAC，BAC（060），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．

（1）如图1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）；

（2）如图2，15060BCEABE，，判断ABE△的形状并加以证明；

（3）在（2）的条件下，连结DE，若45DEC，求的值．

真题演练 知识关联图

【练2】 （2012年北京中考）在ABC△中，BABCBAC，，M是AC的中点，P是线段上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ．

（1）若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出CDB的度数；

（2）在图2中，点P不与点BM，重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；

（3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQQD，请直接写出的范围．

考点1：手拉手模型：全等和相似

包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来

（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）

（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）

（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）

（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）

例题精讲 【例1】 （14年海淀期末）已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形 ，且ABCE．

（1）如图1，连接BG、DG．求证：BGDE；

（2）如图2，如果正方形ABCD的边长为2，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CGBD∥，BGBD．

①求BDE的度数；

②请直接写出正方形CEFG的边长的值．

【题型总结】

手拉手模型是中考中最常见的模型，突破口常见的有哪些信息？常见的考试方法有哪些？ 【例2】 （2014年西城一模） 四边形ABCD是正方形，BEF是等腰直角三角形，90BEF，BEEF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC。

（1）如图24-1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及ECGC的值；

（2）将图24-1中的BEF绕点B顺时针旋转至图24-2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

图A

C D G

E F

B A

C D

G

E F

B

图

【题型总结】

此类型题目方法多样，你还能找到其他的解题方法吗？另外涉及到的中点辅助线你还能说出几种？ 【例3】 （2015年海淀九上期末）如图1，在ABC△ 中，4BC，以线段AB为边作ABD△，使得ADBD， 连接DC，再以DC为边作CDE△，使得DCDE，CDEADB．

（1）如图2 ，当45ABC且90时，用等式表示线段ADDE，之间的数量关系；

EABCD

（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BFAF，．若 90，依题意补全图3， 求线段AF的长；请直接写出线段AF的长（用含的式子表示）．

EABCDEABCDEABCD

图2 图3 备用图

图1 【例4】 （13年房山一模）

（1）如图1，ABC△和CDE△都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P，求证：BEAD．

（2）如图2，在BCD△中，120BCDo，分别以BC、CD和BD为边在BCD△外部作等边ABC△、等边CDE△和等边BDF△，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是_______（只填序号即可）①ADBECF；②BECADC；③60DPEEPCCPAo；

（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PBPCPDBE．

图2 PFDECADBPPFDCADECABB图1

【题型总结】

到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为120°．旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题

费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．

考点2： 角含半角模型：全等

秘籍：角含半角要旋转：构造两次全等

FEDCBAGFEDCBAABCDEFFEDCBAG

ABCDEFGABCDEABCDEF

【例1】 （2012年西城期末）已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足45MAN，连结MC，NC，MN．猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论．

【例2】 （2014年平谷一模）

（1）如图1，点EF、分别是正方形ABCD的边BCCD、上的点，45EAF，连接EF， 则EFBEFD、、之间的数量关系是：EFBEFD．连结BD，交AEAF、于点MN、，且 MNBMDN、、满足222DNBMMN，请证明这个等量关系；

（2）在ABC△中， ABAC，点DE、分别为BC边上的两点．

①如图2，当60BAC，30DAE时，BDDEEC、、应满足的等量关系是__________________；

②如图3，当BAC，(090)，DAE21时，BDDEEC、、应满足的等量关系是____________________．【参考：1cossin22】

ABCDEF图1BCDE图2ABCDE图3AMN

考点3：对角互补模型

常和角平分线性质一起考，一般有两种解题方法

（全等型—90°）

OABCEDNOMABCED

（全等型—120°） （全等型—任意角）

OEDCBAOFEDCBA OEDCBA

【例1】 四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角三角形ABD和直角三角形CBD，其中A和C都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．

DCBA 【题型总结】

角含半角的特点有哪些，哪些是不变的量？由角含半角产生的数量关系都是有哪些？如何描述这类题目的辅助线？

【例2】 已知：点P是MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使180APBMONo．

（1）利用图1，求证：PAPB；

（2）如图1，若点C是AB与OP的交点，当3POBPCBSS时，求PB与PC的比值；

CAOPBMNT TNMBPOAC

图1 图2

【例3】 (初二期末)已知：如图，在ABC△中，ABAC，BAC，且60120．P为ABC△内部一点，且PCAC，120PCA．

（1）用含的代数式表示APC，得APC =_______________________；

（2）求证：BAPPCB；

（3）求PBC的度数．

BCPA

【题型总结】

对角互补模型经常在哪里题目里出现，题目中有哪些提示信息？经常和哪种图形同时出现？

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几何模型与证法-中考几何专题复习：对角互补四边形

几何模型与证法-中考几何专题复习：对角互补四边形

对角互补四边形

课程名称

授课教师 年级

日期 学科

时段 数学

掌握含有一对直角和一组等邻边四边形的基本模型，通过旋转或作垂直构造全等三角形。解决相关问题

掌握掌握含有60°和120°和一组等邻边四边形的基本模型，通过旋转或作垂直构造全等三角形，解决相关问

题。 教学目标

掌握含有一组对角互补的四边形，作垂直构造相似三角形，解决相关问题

掌握对角互补四边形的共同特征-----四点共圆，作出其外接圆，利用圆的性质和定理解决相关问题。

精准诊查

课首沟通

了解学生的复习进度，提问学生对对角互补的四边形有怎样的认识！说明对角互补的四边形是中考重点考察的对象，尤其在做

辅助线方面要求比较高，这个内容涉及勾股定理，图形的旋转，圆，相似等知识，比较综合，需要学生高度重视。

知识导图

课首小测

1. [单选题] 如图，四边形ABCD内接于圆，则下列结论中正确的是（ ）

A．∠A+∠C＝180° B．∠A+∠C＝90° C．∠A+∠B＝180° D．∠A+∠B＝90°

2. [单选题] 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，点E是对角线BD的中点，

连接AE、CE，DF平分∠BDA交AB于点F，交AE于点G，则下列结论正确的是（ ） A．BC＝CD B．DG＞AG C．点G是△AFD的外心 D．点G是△BCD的外心

3. [单选题] 将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心（对

角线的交点），则图中四块阴影面积的和为（ ）

2 2 2 D．8cm2 A．2cm B．4cm C．6cm

4.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，AC＝4，求四边形ABCD的面积．

5.如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边AB上一点，点P是对角线BD上一点，且PE⊥PC．

（1）求证：PC＝PE；

初中数学教学中“旋转变换”模型解题策略研究

初中数学教学中“旋转变换”模型解题策略研究

龙源期刊网

初中数学教学中“旋转变换”模型解题策略研究

作者：李淑琴

来源：《科教导刊·电子版》2019年第29期

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摘 要 初中几何教学中，为了提高教学质量，让学生学会快速解题方法，可考虑采用模型教学的方式，在很大程度上降低了解题的难度，激发了学生的学习兴趣，也使得教学效果得到了显著的提高。因此，模型教学在初中数学几何教学中起着很重要的作用，本文中笔者对“旋转变换”模型解压轴题进行了探究，在教学中，结合实例，渗透数学建模思想，寻找“旋转变换”模型，获得较好的教学策略时，也提高了学生的学习兴趣，帮助学生解决中考压轴题问题。

关键词 初中数学 几何模型 旋转变换

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

在初中数学几何中运用模型教学，在一定程度上促进了教学质量的提高。“旋转变换”特性的应用，是新课改背景下必然的产物，对初中阶段的几何数学有重大的影响。作者借助多年的教学体会，结合实例，对初中数学中几何模型的教学进行了探讨和分析。

1初中几何中常见的应用模型之一——旋转变换模型

1.1教师在教学中的参与与引导

在中考中，应用“旋转变换”解压轴题已成为学生必备的一种几何解题技巧。教学中要求学生掌握作图的操作技能，还要认识旋转的形成过程及旋转变换发生的关键——找到一组边相等，使旋转前后这两边能够完全重合，这样就可以对原图形或某线段进行变换，培养学生的发散思维。

1.2结合实例

1.2.1对角互补型——90€？

如上图1，四边形中，若相对两个角的和为180€啊T蚩梢酝DO，构造三角形全等或相似。

1.2.2通过旋转构造直角三角形 龙源期刊网

例题：如图2，P是等边△ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转60€昂螅玫健鱌′AB。

初中最全几何解题模型总结

初中最全几何解题模型总结

初中几何题太吃力总丢分？你需要这分最全几何解题模型总结！

01

全等变换

平移：平行等线段（平行四边形）

对称：角平分线或垂直或半角

旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转

对称全等模型：

说明： 以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。

02

对称半角模型

说明：

上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

03

旋转全等模型

半角：有一个角含1/2角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等

共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等

中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

04

旋转半角模型

说明：

旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型

构造方法：

遇60度旋60度，造等边三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋顶点，造旋转全等

遇中点旋180度，造中心对称

06

共旋转模型

说明：

旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。

07

模型变形

说明：

模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

中点旋转：

说明：

两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。

初中三年常用的数学模型大汇总

初中三年常用的数学模型大汇总

1 全等变换

平移：平行等线段（平行四边形）。

对称：角平分线或垂直或半角。

旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转。

2 对称全等模型

说明：

以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线,形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等.

3 对称半角模型

说明：

上图依次是45°、30°、22。5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

4 旋转全等模型

半角:有一个角含1/2角及相邻线段。

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等.

共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等。

中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题。

5 旋转半角模型

说明：

旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等.

6 自旋转变换

构造方法：

遇60度旋60度，造等边三角形;

遇90度旋90度，造等腰直角；

遇等腰旋顶点，造旋转全等;

遇中点旋180度，造中心对称。

7 共旋转模型

说明：

旋转中所成的全等三角形,第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。

8 模型变形

说明：

模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用. 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点,围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

9 中点旋转模型

说明：

两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边,转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形)公旋转顶点,通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。