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1．计算下列定积分： ⑴3sin()3x dx πππ+⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式3sin()3x dx πππ+⎰3sin()()33x d x ππππ=++⎰3cos()3x πππ=-+[cos()cos()]333ππππ=-+-+[cos (cos )]033ππ=----=。
【解法二】应用定积分换元法令3x u π+=，则dx du =，当x 从3π单调变化到π时，u 从23π单调变化到43π，于是有3sin()3x dx πππ+⎰4323sin udu ππ=⎰4323cos uππ=-42[coscos ]33ππ=-- [cos(cos )]033ππ=----=。
⑵132(115)dxx -+⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式132(115)dx x -+⎰1321(115)(115)5x d x --=++⎰21211(115)52x --=⋅+-22111[]10(1151)(1152)=--+⨯-⨯211(1)1016=--51512=。
【解法二】应用定积分换元法令115x u +=，则15dx du =，当x 从2-单调变化到1时，u 从1单调变化到16，于是有132(115)dxx -+⎰163115u du -=⎰21611152u -=⋅-211(1)1016=--51512=。
⑶32sin cos d πϕϕϕ⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式320sin cos d πϕϕϕ⎰32cos cos d πϕϕ=-⎰4201cos 4πϕ=-441[cos cos 0]42π=--1[01]4=--14=。
【解法二】应用定积分换元法令cos u ϕ=，则sin d du ϕϕ-=，当ϕ从0单调变化到2π时，u 从1单调变化到0，于是有320sin cos d πϕϕϕ⎰031u du =-⎰130u du =⎰4114u =14=。
⑷30(1sin )d πθθ-⎰；【解】被积式为3(1sin )d θθ-，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。
微积分牛顿莱布尼茨公式牛顿－莱布尼茨公式是微积分中的基本定理之一，也称为微积分基本定理或者牛莱公式。
该公式是微积分的重要工具，用于求解定积分和微分方程等问题。
下面我将为您详细介绍和解释这一公式。
牛顿－莱布尼茨公式可以用以下方式表述：设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导（即f'(x)存在），则该函数在[a,b]上的定积分可以被表示为：∫[a to b] f'(x) dx = f(b) - f(a)其中，∫ 符号表示积分，[a to b] 表示积分的区间，f'(x) 表示函数 f(x) 的导数。
该公式的物理含义是：函数曲线下方的面积等于函数在区间[a,b]上的两个端点所对应的函数值之差。
让我们来看一个具体的例子来理解牛顿－莱布尼茨公式的应用。
假设有一个函数 f(x) = 2x，在区间 [1, 3] 上。
我们可以求这个函数在该区间上的定积分，即∫[1 to 3] f'(x) dx。
首先，我们需要求出函数f'(x)，即函数f(x)的导数。
对于f(x)=2x，它的导数f'(x)=2接下来，我们将导数 f'(x) 代入定积分公式，得到∫[1 to 3] 2 dx。
将上限 3 和下限 1 代入函数 f(x) = 2x，得到 f(3) = 2 * 3 = 6和 f(1) = 2 * 1 = 2然后，我们将 f(3) - f(1) 代入定积分公式，得到∫[1 to 3] 2dx = 6 - 2 = 4所以，函数f(x)=2x在区间[1,3]上的定积分是4这个例子展示了牛顿－莱布尼茨公式的应用。
通过求解函数的导数，并将导数代入定积分公式，可以得到函数在给定区间上的定积分值。
当对复杂函数进行定积分时，牛顿－莱布尼茨公式可以极大地简化计算。
我们可以通过求函数的导数来得到原函数，然后将原函数代入定积分公式来求解定积分。
这种方法比直接计算定积分更加方便且高效。
需要注意的是，牛顿－莱布尼茨公式只适用于连续可导的函数。
牛顿莱布尼茨公式算面积牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula），也称为牛顿-莱布尼茨定理，是微积分的基本定理之一。
该公式表述了定积分和原函数之间的关系，提供了一种通过求导和积分相互转换的方法。
牛顿-莱布尼茨公式的表述如下：设f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是其在该区间上的一个原函数，则：∫a^b f(x) dx = F(b) - F(a)其中，∫a^b f(x) dx表示f(x)在[a,b]上的定积分，F(x)表示f(x)的一个原函数。
这个公式的直接意义可以理解为：如果我们知道了一个函数的一个原函数，那么我们就可以通过计算其在两个点的值之差，求出它在这两个点之间的定积分。
牛顿-莱布尼茨公式的应用非常广泛，其中一个典型的例子就是用它求解曲线的面积。
以y = f(x)为例，我们可以通过对该曲线上两个点（a, f(a)）和（b, f(b)）之间的面积进行积分来计算曲线的面积。
具体来说，我们首先需要求出曲线的一个原函数F(x)，然后使用牛顿-莱布尼茨公式来计算该曲线在[a,b]区间内的面积：S = ∫a^b y dx= ∫a^b f(x) dx= F(b) - F(a)其中S表示曲线在[a,b]区间内的面积，y表示曲线在x轴上的投影长度。
需要注意的是，当函数y = f(x)在[a,b]区间内有负值时，我们需要计算的面积实际上是曲线上方与x轴之间的面积，而非曲线下方与x轴之间的面积。
此时，我们需要对f(x)取绝对值，然后再进行计算。
值得一提的是，牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到多维积分上。
具体来说，在三维空间中，如果我们知道了一个函数f(x,y,z)的一个原函数F(x,y,z)，那么我们就可以通过计算其在一个三维区域内的值之差，求出该函数在该区域内的三重积分值。
这个公式的应用非常广泛，例如在物理学和工程学中经常用于计算物体的体积、质心、惯性矩等等。
总之，牛顿-莱布尼茨公式是微积分的基本工具之一，它在解决各种数学和物理问题中都起到了非常重要的作用。
考点、牛顿—莱布尼茨公式（N —L 公式）
定理：设函数在区间上连续，为的一个原函数，则. 该公式揭示了定积分与不定积分的内在联系，即定积分之值等于被积函数的任一原函数在积分区间上的增量，同时给出了计算定积分的一种简便方法：当被积函数的原函数可以求出时，计算定积分时只要将积分上限和下限分别代入所求出的原函数，取其差值即可。
（1）
=
（2）
= 注：利用N —L 公式，要满足定理中的条件：在上连续，且的原函数等表示出来。
N —L 公式是计算定积分常用且简便的方法。
真题2017：定积分3221d x x ⎰= 解析：21x 在[2,3]上联系，满足牛顿-莱布尼茨公式，6
1213113
2=+-=-x 真题2017：下列积分可以用牛顿-莱布尼茨公式进行计算的是
A. 20d x xe x ⎰
B.201d 1x x -⎰
C.11d ln e e x x x ⎰
D.1211d 1x x --⎰ 解析：满足
函数在区间上连续，才可以用牛顿-莱布尼茨公式，只有
A 在[a,b]上连续,答案选A 。
真题2017：定积分1
0(2)d 2x k x +=⎰，则k 的值是 A.0 B.1 C.-1 D.2 解析：可知2x+k 在【0,1】上连续，满足牛顿莱布尼茨公式，故211
02=+=+k kx x ，
k=1，答案选B
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f x [],a b ()F x ()f x ()()()()
b b
a a f x dx F x F
b F a ==-⎰()f x [],a b ()f x ()f x [],a b。
牛顿―莱布尼茨公式试题
牛顿-莱布尼茨公式是数学中有关重力场的基本公式。
这个公式表明：两个物体之间的相互作用力（即引力）是双方质量的乘积，再乘以一个G常数，再除以两物体之间的距离的平方而得到的。
牛顿—莱布尼茨公式定义如下：F=Gm1m2/d^2其中，F代表两物体之间的引力，G代表斯密定义的“引力常数”，m1和m2表示两个物体的质量，d表示两个物体间的距离，其中的平方是指d的平方。
牛顿 - 莱布尼茨公式是物理学家艾伦·牛顿和天文学家艾伦·莱布尼茨的贡献，牛顿发现物体之间的引力是相互作用的，而莱布尼茨则推出了关于距离的公式，因此，莱布尼茨将两者结合起来得到了牛顿 - 莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式既提供了物体间的引力及其强度的表达方式，又为物理学家分析、计算和理解复杂的重力系统提供了便利，也有助于物体力学中的重要问题和研究。
牛顿莱布尼茨公式例题
牛顿-莱布尼茨公式（又称牛莱公式，Leibniz integral rule），是微积分中的重要公式之一。
该公式描述了求导与积分的关系，也称为积分运算中的链式法则。
以下是牛顿-莱布尼茨公式的例题。
例题：计算 $F(x)=\int_{x^2}^{1}\frac{\cos t}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t$ 在$x=1$ 处的导数。
解题步骤：
Step 1：根据牛顿-莱布尼茨公式，$F(x)$ 的导数为被积函数 $\frac{\cos t}{\sqrt{t}}$ 在积分区间 $[x^2,1]$ 上的值，乘以 $x$ 的导数 $2x$，即
$F'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{x^2}^{1}\frac{\cos
t}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t=\frac{\cos 1}{\sqrt{1}}\cdot2x-\frac{\cos
x^2}{\sqrt{x^2}}\cdot2x$
Step 2：化简上式，得到
$F'(1)=\cos 1-2\cos 1=-\cos 1$
因此，$F(x)$ 在 $x=1$ 处的导数为 $-\cos 1$。
注：此题需要注意整除问题，即 $\sqrt{t}$ 在该积分中必须作为分母，以避免 $\sqrt{t}$ 在积分下限处为零。
