折纸中的几何数学

折纸打孔问题技巧
折纸打孔问题是一种经典的数学问题，其目标是找到一种方法将一张固定形状的纸张通过尽可能少的折叠和打孔操作，达到给定的目标形状。

以下是一些解决折纸打孔问题的技巧：
1. 将纸张折叠成最简单的几何形状：通常，将纸张折叠成正方形或矩形是一种常见的策略，因为这些形状的对称性可以使得操作更加容易。

2. 找到对称轴：在选择打孔点的位置时，尽量选择在纸张的对称轴上，这样可以减少操作的次数。

3. 利用重叠部分：如果目标形状中有重叠的部分，可以将纸张折叠成能够同时覆盖这些部分的形状，然后一次性打孔。

4. 利用直线和曲线的关系：将纸张先折叠成直线，然后通过折叠和打孔操作将直线转化为曲线，这样可以减少操作的次数。

5. 利用纸张的限制：在打孔之前，对纸张的质量和强度进行评估，选择合适的打孔方式和位置，以避免纸张破裂或变形。

6. 尝试不同的方案：折纸打孔问题没有一种固定的解决方法，因此可以尝试不同的方案和创意来寻找最佳解决方案。

需要注意的是，解决折纸打孔问题需要一定的创造力和数学思维，可以通过实践和反复尝试来提高解决问题的技巧。

折纸与数学简介篇一：数学与折纸数学与折纸我们中的大多数人都有过折纸的经历，只是折叠后便收了起来．只有少数人折纸，是为了研究其间所揭示的数学思想．折纸是一项教育与娱乐两者兼备的活动．连L·卡洛尔也是一位折纸的热心者．虽然折叠纸张超越了许多文化，但日本人却把它作为一种交谊的途径，并通过普及和发展，使之成为一门称之为“折纸”的艺术．纸张折出的一些数学形体当折叠纸张的时候，很自然地会出现许多几何的概念．诸如：正方形、矩形、直角三角形、全等、对角线、中点、内接、面积、梯形、垂直平分线、毕达哥拉斯定理及其他一些几何和代数概念．下面是一些折纸的例子，它说明了上述概念的运用．Ⅰ)从一个矩形式样的纸张，作成一个正方形(下图左)．Ⅱ)由一张正方形的纸张，变成四个全等的直角三角形(上图右)．Ⅲ)找出正方形一条边的中点(下图右)．Ⅳ)在正方形的纸中内接一个正方形(下图左和中)．Ⅴ)研究纸的折痕，注意内接正方形的面积是大正方形面积的．Ⅵ)拿一个正方形纸张折叠，使折痕过正方形中心，便会构成两个全等的梯形(下图左)．Ⅶ)把一个正方形折成两半，那么折痕将成为正方形边的垂直平分线(下图右)．Ⅷ)证明毕达哥拉斯定理．如右图折叠正方形纸：c=正方形ABCD的面积．a=正方形FBIM的面积．b=正方形AFNO的面积．由全等形状相配得：正方形FBIM的面积=△ABK的面积．又 AFNO的面积=BCDAK的面积(此即正方形ABCD除△ABK外剩余部分的面积)．这样，a＋ b= c 222222Ⅸ)证明三角形内角和等于180°．取任意形状的三角形，并沿图示的点划线(横的为中位线)折叠a°＋b°＋c°＝180°——它们形成一条直线．Ⅹ)通过折切线构造抛物线．程序：——在离纸张一边一两英寸的地方，设置抛物线的焦点．如图所示的方法，将纸折20－30次．所形成的一系列折痕，便是抛物线的切线，它们整体地勾画出曲线的轮廓．篇二：探究折纸中的数学探究折纸中的数学教学目标（1）通过折纸理解垂直和平行的定义和相关性质；体会折纸中的数学思想，从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。

折纸几何公理本操作，也叫做折纸几何公理。

假定所有折纸操作均在理想的平面上实行，并且所有折痕都是直线，那么这些公理描述了通过折纸可能达成的所有数学操作：1. 已知 A 、 B 两点，能够折出一条经过 A 、 B 的折痕2. 已知 A 、 B 两点，能够把点 A 折到点 B 上去3. 已知 a 、 b 两条直线，能够把直线 a 折到直线 b 上去4. 已知点 A 和直线 a ，能够沿着一条过 A 点的折痕，把 a 折到自身上5. 已知 A 、 B 两点和直线 a ，能够沿着一条过 B 点的折痕，把 A 折到 a 上6. 已知 A 、 B 两点和 a 、 b 两直线，能够把 A 、 B 分别折到 a 、 b 上容易看出，它们实际上对应着不同的几何作图操作。

例如，操作1 实际上相当于连接已知两点，操作2 实际上相当于作出已知两点的连线的垂直平分线，操作3 则相当于作出已知线段的夹角的角平分线，操作4 则相当于过已知点作已知线的垂线。

真正强大的则是后面两项操作，它们确定出来的折痕要满足一系列复杂的特征，不是尺规作图一两下能作出来的（有时甚至是作不出来的）。

正是这两个操作，让折纸几何有别于尺规作图，折纸这门学问从此处开始变得有趣起来。

更有趣的是，操作5 的解很可能不止一个。

在绝大部分情况下，过一个点有两条能把点A 折到直线a 上的折痕。

操作6 则更猛：把已知两点分别折到对应的已知两线上，最多能够有三个解！一组限定条件能同时产生三个解，这让操作6 变得无比灵活，无比强大。

利用一些并不太复杂的解析几何分析，我们能得出操作6 有三种解的根本原因：满足要求的折痕是一个三次方程的解。

也就是说，给出两个已知点和两条对应的已知线后，寻找符合要求的折痕的过程，本质上是在解一个三次方程！尺规作图到底局限在哪里相比于折纸的几何操作，尺规作图就显得有些不够“强大”了。

不妨让我们先来回顾一下尺规作图里的五个基本操作：过已知两点作直线给定圆心和圆周上一点作圆寻找直线与直线的交点寻找圆与直线的交点寻找圆与圆的交点这5项操作看上去变化多端，但前3项操作都是唯一解，后两项操作最多也只能产生两个解。

立足折纸实验，导向几何本质——以《用正方形纸折30°角》一课为例发布时间：2021-02-04T10:55:50.120Z 来源：《中小学教育》2021年2月1期作者：金晓强[导读]金晓强浙江省嘉兴海宁市丁桥镇初级中学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982（2021）02-041-02新课标指出，数学教学必须注意从学生的生活情境和感兴趣的事物出发，为他们提供参与的机会，使他们体会到数学就在身边，对数学产生亲切感。

这就要求教师有一双善于发现的眼睛，挖掘身边的数学资源，为学生提供一个有趣的、与自身息息相关的学习内容，使学生在探究、发现的过程中，提升观察力、创造力。

在数学实验中，学生能够学习自己需要的、喜欢的数学，在学中玩，在玩中学，真正体现“学为中心”的理念。

一、问题缘起几何学习是初中数学学习的一大难点，但也是学生热爱数学的一个关键点。

然而现今的数学教育中，应试教育占据绝对主导，课堂上唯解题论、课外唯分数论的现象比比皆是，忽略了学生数学素养的培养，学生真正的能力得不到培养。

有许多学生平时解题能力很强，但在综合性考试中成绩却不尽如人意，原因无非是成为了“解题机器”，不具备相应的数学能力，面对从未谋面的新题型就无从下手。

基于这样的数学现状，笔者通过深入研究《用正方形纸折30°角》这节拓展课，试图从身边的几何入手，教学生一种数学思维、一种解决问题的方法。

二、教学实践这节课是在八年级学习完教材“全等三角形的判定”、“等腰三角形”等知识后，拓展研究的一个课题。

教材内容如下：1.生活中的折纸引入课题。

2.引例：用正方形纸片折30°角的三种方案，其中第一种方案是直接三折，操作时只能通过尝试折叠；第二种方案是先对折，再把一条边折到折痕上；第三种方案是对折后，把另一条边折到折痕中，实质跟方案二无异。

然后分别证明其正确性，篇幅较大。

3.两个关于折叠问题的证明和计算题，与引例没有直接联系。

立体几何折纸建构作者：常文武来源：《新高考·高一数学》2012年第07期纸，作为文明的载体，其最大的作用曾是书写和印刷.当然,用纸做纸巾、纸尿裤、包装袋等，这些功用也是必不可少的.本文要说明的是，折纸这个我们儿时的游戏不仅反映出纸的另一种用途，而且她还是非常了不起的一种艺术形式，甚至能帮助我们学好数学.我们已经学过平面几何，将要学习立体几何.立体几何是什么呢？通过下面的一系列折纸探索，可以充分地展示平面这一我们熟悉的概念与立体这一陌生的概念是如何联系起来的.探索一取一个信封，用过的也没关系，实在没有就临时制作一个.显然信封是一种平面的物品.现在照下面的步骤就可以使它变成一个立体的正四面体.第一步：将信封竖起来，将底部的一角折向中缝，同时保证折痕通过另一底角，但折痕不需要做出来.如图1所示.第二步：将中缝上的这点标记为P.过P点向两底角做两道折痕，注意正反向都要折一次.让折痕尽量做得尖锐和平直.如图2.第三步：用直角三角尺在P点处画一条水平线，剪去线上的部分.第四步：从开口端撑开，瞧，一个正四面体就做出来了.探索二请你证明：这样得到的果真是个正四面体.也就是说，这个四面体的每个面都是正三角形.探索三现在数一数，四面体有几条棱（E），几个顶点（V），几个面（F）.大数学家欧拉研究过对于其它简单多面体也适用的公式： V+ F- E=2. 对于四面体，你能验证这个公式成立吗？请跟我继续一个新的折纸实验.这次得到的将是更神奇的“一家子”四面体.探索四再取一个信封，如果你上次剪掉的上半个信封是完整的，请将它上面的口封好待用.怎么做呢？如图5所示，第一步：折一个底角的角平分线，即折出45 ° 角.第二步：折出与底边构成45 ° 角的平分线，即22.5 ° 角.第三步：标注翻折后的底角位置P.第四步：用直角三角尺在P点处画一条水平线，剪去线上的部分.第五步：通过对折开口边，找到中点M.第六步：过点M向两底角做两道折痕，注意正反向都要折一次.让折痕尽量做得尖锐和平直.第七步：从开口端撑开，至此一个新的四面体就做成了.这是一个阶段性的结果，或可称作是半成品.探索五这样得到的四面体是怎样的四面体？它的四个面是否全等？每个面的三角形是等腰三角形吗？每个侧面三角形具有怎样的三边长？探索六这个四面体有几种二面角？分别是多少度？继续拿刚才未最终完成的四面体折纸.第八步：把它打开压扁还原成半截信封的样子.第九步：照图6所示再作正反折痕3道：一横两斜.第十步：撑开信封开口端，把半截信封的左上角及右上角先后朝里折到底部的中点N.注意让虚线标注痕折凹陷进去.你将得到一个奇怪的多面体形状.如图7(此图由梁海声提供).这是一个包裹着4个四面体的复合体.脱胎于原来大四面体的新结构，这四个小四面体与原来四面体形状一致.探索七这个复杂多面体有多少个面，顶点，棱，它们符合欧拉定理么？探索八请再制作一个这样的四面体，看看两个这样的四面体可以组合出什么形状的联合体？以上都是用信封在做实验材料，如果没有信封呢？下面再介绍给大家一种名片折纸.探索九取一张名片，请你用它来折出一个四面体，你行吗？超简单！请看：图8所示的折痕一律是凹下去的，作出这些折痕，将四个直角顶点统一向上收拢回来就可以形成一个四面体，当然还需要一些胶带来固定接缝.探索十还是刚才那张名片，你能用它折出两个四面体吗？也很容易！如同一加一等于二一般，我们只要把第一种方法重复一次，一个连体双胞胎四面体就做出来了，如图9所示.当然要注意实线是拱起来的折痕，虚线是凹下去的折痕.探索十一你发现了吗？通常这样做成的四面体有一条棱在长方形的内部，它一定是长方形长边中点的联线！为什么？探索十二如果名片长宽比适当，照上面的办法制作出来的连体四面体从外观上来看，可以认为是由这两个四面体拼成的一个四棱锥.这是怎样的长宽比？问题的本质是，如何通过选择纸的形状得到具有直角二面角的四面体？答案是：2 ∶ 1.这就是通常被人称作是白银长方形的一种长方形.我们用的书、读的报纸、包括这本杂志的形状都是这个比.当然最精确符合这一标准的是 A 4纸.以上通过折纸得到的两种四面体是立体几何中的两个基本对象.但是已经足以让我们了解到立体几何的独特魅力.维数的增加意味着更多的可能性.是折纸让我们从二维空间进入了三维空间.让我们时刻拿起一张纸来折叠吧，说不定你会发现一个定理并以你的名字命名呢！(注：相关的折纸视频可参见网站： /v/default.html)《剖析直线方程的易错点》巩固练习参考答案1 提示：当 m=2 时，直线l的方程为 x=2；当 m≠2 时，直线l的斜率 k=2m－2， 由点斜式得直线方程为 y－1=2m－2（x－2）， 即方程为 2x－（m－2）y+m－6=0， 又当 m=2 时也满足此方程，故所述所求直线l的方程为 2x－（m－ 2）y+ m－6=0.2 提示：若截距不为0，可设直线的方程为 xa+ ya=1， 把点P（3, 2）代入得： 3a+2a=1， 即 a=5， 此时直线的方程为 x+y－5=0； 若截距为0，可设直线的方程为 y=kx， 把点P（3, 2）代入得 k=23， 此时直线方程为 y=23x， 故所求直线的方程为 2x－3y=0 和 x+y－5=0.3 提示：若 a=0 时两条直线显然不平行；若 a≠0， 则 a2=8a≠2－1， 解得 a=4， 故所求a的值为4.4 提示：当斜率不存在时，直线 x=1 与直线l: 2x+y－6=0 的交点为B（1, 4），符合要求；当斜率存在时，可设直线的方程为 y+1= k（x－ 1）， 即 kx－y－k－1=0， 由题意得kx－y－k－1=0， 2x+y－6=0， 解得 x=k+7k+2， y=4k－2k+2. 则Bk+7k+2, 4k－2k+2，又 AB=5，即 k+7k+2－12+4k－2k+2+1。

勾股定理折叠问题的实际应用勾股定理是数学中最基础的定理之一，也是最具有实用性的几何定理之一。

通过勾股定理，我们可以求解直角三角形中的各种问题，比如求三角形的边长、角度等。

除了在数学领域有着广泛的应用外，勾股定理还可以应用在一些实际生活中的问题中，比如在建筑、工程、设计等领域中。

本文将主要围绕勾股定理在折叠问题中的应用展开讨论。

1. 折纸问题折纸作为一种传统的手工艺品，一直受到人们的喜爱。

在折纸的过程中，勾股定理往往能够帮助我们准确的计算出纸张的折叠位置和角度，从而使得折出的作品更加美丽和精致。

比如，我们想要折一个正方形纸张成一个等腰直角三角形，勾股定理就可以派上用场。

根据勾股定理，我们知道直角三角形的两直角边和斜边的关系是：a^2 + b^2 = c^2。

假设正方形的边长为a，我们要将其折叠成一个等腰直角三角形，那么直角边的长度就可以使用a和a的关系来计算。

将正方形对角线对折，便可以得到一个等腰直角三角形，其中直角边的长度为a，斜边的长度为√2a。

这就是勾股定理在折纸问题中的应用之一。

另外，在实际折纸中，有时我们需要折叠出一个特定形状的纸片，比如心形、星形等。

在这种情况下，勾股定理也可以派上用场。

通过勾股定理，我们可以计算出每个折叠角度的大小，从而准确地完成所需要的折纸形状。

2. 纸箱设计在工程领域，设计纸箱是一个常见的问题。

设计者需要考虑到纸箱的结构稳定性、承重能力以及空间利用等因素。

勾股定理在这个过程中也发挥着重要的作用。

以设计一个正方体纸箱为例。

假设我们需要设计一个边长为a的正方体纸箱，勾股定理可以帮助我们计算出纸箱的对角线长度。

正方体的对角线的长度就是正方体的空间对角线的长度，即√(a^2 + a^2 + a^2) = √3a。

这个对角线长度可以帮助我们确定纸箱的尺寸以及结构设计。

另外，有些设计需要将纸箱折叠成非常规的形状，比如六面体或者其他多面体。

在这种情况下，设计者需要考虑到每个面的尺寸和角度，勾股定理就可以帮助解决这个问题。

中考几何——折叠专项【一，折叠与平行线性质结合求角度】1．如图，矩形纸片ABCD ，M 为AD 边的中点将纸片沿BM 、CM 折叠，使A 点落在1A 处，D 点落在1D 处，若130∠=︒，则(BMC ∠= )A ．75︒B ．150︒C ．120︒D ．105︒2．将长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，若35ABC ∠=︒，则DBE ∠的度数为( )A ．55︒B ．50︒C ．45︒D ．60︒3．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EC ，ED 为折痕，折叠后点A '，B '，E 在同一直线上，则CED ∠的度数为( )A ．75︒B ．95︒C ．90︒D ．60︒4．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠( )A ．若132∠=∠，则1108∠=︒B ．若122∠=∠，则198∠=︒C ．若12∠=∠，则155∠=︒D ．若1122∠=∠，则140∠=︒5．如图，将对边平行的纸带按如图所示进行折叠，已知165∠=︒，则2∠的大小为( )A ．115︒B ．65︒C ．55︒D ．50︒6．如图①，在长方形ABCD 中，E 点在AD 上，并且30ABE ∠=︒，分别以BE 、CE 为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中AED n ∠=︒，则BCE ∠的度数为( )度．A ．602n+ B ．60n +C ．302n +D ．30n +7．小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），AOB∠的度数是．8．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A与点A'重合（点A在BC边上），点∠+∠=︒．B落在点B'的位置上，若40∠'=︒，则12DEA9．如图1，长方形ABCD沿着直线DE和EF折叠，使得AB的对应点A'，B'和点E在同一条直线上．（1）求DEF∠的度数；（2）如图2，若再次沿着直线EM和EN折叠使得A、B的对应点A''、B''分别落在DE和EF上，34∠的度数．∠=︒，求BENAEM10．如图a是长方形纸带（提示：//)AD BC，将纸带沿EF折叠成图b，再沿GF折叠成图c．（1）若20DEF ∠=︒，则图b 中EGB ∠= ，CFG ∠= ； （2）若20DEF ∠=︒，则图c 中EFC ∠= ； （3）若DEF α∠=，把图c 中EFC ∠用α表示为 ；（4）若继续按EF 折叠成图d ，按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住EFG ∠，整个过程共折叠了9次，问图a 中DEF ∠的度数是 ．【二.折叠和三角形内角和，外角和结合求角度】1．如图，三角形纸片ABC 中，80A ∠=︒，60B ∠=︒，将纸片的角折叠，使点C 落在ABC ∆内，若30α∠=︒，则β∠的度数是( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒2．如图，65A ∠=︒，75B ∠=︒，将纸片的一角折叠，使点C 落在ABC ∆外，若218∠=︒，则1∠的度数为( )A ．50︒B ．98︒C ．75︒D ．80︒3．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在ABC ∆外的A '处，折痕为DE ．如果A α∠=，CEA β∠'=，BDA γ'∠=，那么α，β，γ三个角的关系是 ．4．如图，将ABC ∆纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A '处，且A B '平分ABC ∠，A C '平分ACB ∠，若1288∠+∠=︒，则BA C '∠的度数是 ．5．将纸片ABC ∆沿DE 折叠使点A 落在A '处的位置．（1）如果A '落在四边形BCDE 的内部（如图1)，A ∠'与12∠+∠之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如果A '落在四边形BCDE 的外部（如图2)，这时A ∠'与1∠、2∠之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．6．动手操作：一个三角形的纸片ABC，沿DE折叠，使点A落在点A'处．观察猜想（1）如图1，若40∠+∠=︒；∠=︒，则12A若55∠+∠=︒；∠=︒，则12A若A n∠+∠=︒．∠=︒，则12探索证明：（2）利用图1，探索1∠、2∠与A∠有怎样的关系？请说明理由．拓展应用（3）如图2，把ABC∠，若12108∠+∠=︒，利∠，CA'平分ACB∆折叠后，BA'平分ABC用（2）中结论求BAC∠'的度数．【三.折叠和勾股定理结合求边长】1．如图，矩形纸片ABCD中，4AB=，3AD=，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为()A．1 B．43C．32D．22．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C'处，点B落在点B'处，其中9AB=，6BC=，则FC'的长为()A．103B．4 C．4.5 D．53．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边6AB=，8BC=，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD=．4.如图，矩形ABCD中，AD=5,AB=7.点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D/落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为5.如图，将正方形纸片ABCD 沿MN 折叠，使点D 落在边AB 上，对应点为D ’，点C 落在C ’处.若AB=6，AD ’=2，则折痕MN 的长为 .6．如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将ADE ∆沿AE 折叠后得到AFE ∆，且点F 在矩形ABCD 内部．将AF 延长交边BC 于点G ．若1CG GB k =，则ADAB= 用含k 的代数式表示）．7．如图，在矩形纸片ABCD 中，6AB =，10BC =，点E 在CD 上，将BCE ∆沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将ABG ∆沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，①45EBG ∠=︒；②DEF ABG ∆∆∽；③32ABG FGH S S ∆∆=；④AG DF FG +=．则下列结论正确的有( )A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③8.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △A B G =S △F G H ；④AG+DF=FG ．其中正确的是．9.如图，长方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于点F ，连接EF ．若AB=6，BC=8，则DF 的长为( )10.如图，在矩形ABCD 中，AD=5，AB=8，点E 为射线DC 上一个动点，把△ADE 沿直线AE 折叠，当点D 的对应点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，则DE 的长为多少？【四.折叠综合证明类型题】FEDB CA1.综合与实践：折纸中的数学数学活动课上，老师组织各学习小组同学动手操作，大胆猜想并加以验证．动手操作：如图，将长与宽的比是2：1 的矩形纸片ABCD 对折，使得点B 与点A 重合，点C 与点D 重合，然后展开，得到折痕EF，BC 边上存在一点G，将角B 沿GH 折叠，点B落到AD 边上的点B′处，点B 在AB 边上；将角C 沿GD 折叠，点C 恰好落到B′G 上的点C′处，HG 和DG 分别交EF 于点M 和点N，B′G 交EF 于点O，连接B′M，B′N．提出猜想：①“希望”小组猜想：HG⊥DG；②“奋斗”小组猜想：B′N⊥DG；③“创新”小组猜想：四边形B′MGN 是矩形．独立思考：（1）请你验证上述学习小组猜想的三个结论；（写出解答过程）（2）假如你是该课堂的一名成员，请你在现有图形中，找出一个和四边形B′MGN 面积相等的四边形．（直接写出其名称，不必证明）2.探究学习：矩形折纸中的数学动手操作：如图1，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AB=3cm，AD=4cm，点E,F 分别在AD，BC 边上，连接BE,DF,且BE∥DF。

折千纸鹤的数学原理
折千纸鹤的数学原理涉及到几何学和数学推理。

在传统的日本纸折术（折纸）中，折千纸鹤是其中最著名的一种。

数学原理主要包括以下几个方面：
1. 等角三角形：折千纸鹤的基本形状是一个等腰三角形，其中两个角相等。

通过确定两个角的大小和位置，可以合理地折叠出相应的纸鹤。

2. 数学比例：折千纸鹤需要根据一定的比例来确定各部分的长度。

比如，鹤脑部分与鹤颈的长度比例、鹤的身体长度与翅膀长度的比例等。

通过数学计算，可以确定这些长度比例，从而折出比例合适的纸鹤。

3. 对称性：折千纸鹤时需要保持一定的对称性。

以折纸鹤的头部为例，通过将纸张分成两部分，然后按照对称线进行对折，可以确保折出的纸鹤头部两侧对称。

4. 折纸技巧：在折千纸鹤的过程中，还需要一些数学推理和几何技巧。

比如，如何利用对角线、垂直线等来确定折线的位置和角度。

这涉及到几何学中的角度和线段的相关性质。

总之，折千纸鹤的数学原理主要包括等角三角形、数学比例、对称性以及折纸技巧等。

这些原理为折纸制作提供了合理的几何基础和数学基础。