2022年《函数的平均变化率》导学案

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《3.1.1函数的平均变化率》导学案学习目标:(一)知识目标感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义.理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.(二)能力目标体会平均变化率的思想及内涵(三)情感态度与价值观使学生拥有豁达的科学态度，互相合作的风格，勇于探究，积极思考的学习精神 学习重点:平均变化率的实际意义与数学意义学习难点:对生活现象作出数学解释自主学习:一､问题情境(1)情境某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示:(2)问题1:“从A 到B 的位移是多少？从B 到C 的位移是多少？”问题2:“AB 段与BC 段哪一段速度较快？”二､师生活动(1)速度快慢是生活用语，怎样将它数学化？(2)曲线上BC 之间一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？(3)由点B 上升到C 点必须考察C B y y -的大小，但仅注意到C B y y -的大小能否精确量化BC 段陡峭的程度？为什么？(4)在考察C B y y -的同时必须考察C B x x -，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变而言.三､建构数学(1)通过比较位移在区间[]1,32上的平均变化率0.5与位移在区间[]32,34上的平均变化率7.4，感知曲线陡峭程度的量化.(2)一般地，给出函数()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率()()2121f x f x x x -- (3)回到位移曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构(4)用平均变化率来量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当21x x -很小时，这种量化便由“粗糙”逼迫“精确”.四､例题讲解 例1.求2x y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率.解:当自变量从0x 变到x x ∆+0时，函数的平均变化率为x x xx x x x x f x x f ∆+=∆-∆+=∆-∆+02020002)()()(.当x ∆取定值，0x 取不同数值时，该函数的平均变化率也不一样.可以由图看出变化.例2.求xy 1=在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率. 解:当自变量从0x 变到x x ∆+0时，函数的平均变化率为000000)(111)()(x x x x x x x x x f x x f ∆+-=∆-∆+=∆-∆+五､回顾小结由平均变化率的实际意义到数学意义，体现了实际问题数学化的过程，建立的数学模型具有抽象的特征，也蕴含着数学应用的广阔性.由于平均变化率只是一种粗略的刻画，从而有待于进一步精确化，随之而来的便是新的数学模型的建立.。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 《3.1.1函数的平均变化率》教学案1 《《3. .1. .1 函数的平均变化率》教学案教学目标：1、知识目标：通过生活实例使学生理解函数增量、函数的平均变化率的概念；掌握求简单函数平均变化率的方法，会求函数的平均变化率；理解函数的平均变化率的含义，引出函数的瞬时变化率概念，简单应用为下一节导数概念的学习打好基础. 2、能力目标：使学生在研究过程中熟悉数学研究的途径：背景数学表示应用，培养学生独立思考，解决问题的能力和在生活中建立数学模型，用数学理论解释生活问题、应用数学的能力. 3、情感目标：使学生通过学习，了解简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法，鼓励学生主动探究、不惧困难，勇于挑战自我的思想品质.并养成学生探究总结型的学习习惯. 教学重点：函数自变量的增量、函数值的增量的理解教学难点：函数平均变化率的理解. 教学过程：一、引入：1、情境设置：(图片)巍峨的珠穆朗玛峰、攀登珠峰的队员两幅陡峭程度不同的图片 2、问题：当陡峭程度不同时，登山队员的感受是不一样的，如何用数学来1 / 5反映山势的陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考呢？3、引入：让我们用函数变化的观点来研讨这个问题. 二、例举分析：(一)登山问题例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点，H是山顶，登山路线用y=f(x)表示 HD1 D Fy 问题：当自变量x表示登山者的水平位置，函数值y表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？分析：1、选取平直山路AB放大研究若 ) , ( ), , (1 1 0 0y x B y xA 自变量x的改变量：0 1x x x = 函数值y的改变量：0 1y y y = 直线AB的斜率：xyx xy yk==0 10 1 说明：当登山者移动的水平距离变化量一定( x 为定值)时，垂直距离变化量( y )越大，则这段山路越陡峭； 2、选取弯曲山路CD放大研究方法：可将其分成若干小段进行分析：如CD 1 的陡峭程度可用直线CD 1 的斜率表示.(图略) 结论：函数值变化量( y )与自变量变化量 ) ( x 的比值xy反映了山坡的陡峭程度.各段的xy不同反映了山坡的陡峭程度不同，也就是登山高度在这段山路上的平均变化量不同.当xy越大，说明山坡高度的平均变化量越大，所以山坡就越陡；当xy越小，说明山坡高度的平---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------均变化量小，所以山坡就越缓.所以，k kk kx xx f x fxy=++11) ( ) (高度的平均变化成为度量山的陡峭程度的量，叫做函数f(x)的平均变化率. 三、函数的平均变化率与应用. 1、定义：已知函数 ) ( x f y = 在点0x x = 及其附近有定义，令0x x x = ；B ) , (1 1y x A( ) ,0 0y x 0x0y1x1yO y x ) ( ) ( ) ( ) (0 0 0 0x f x x f x f x f y y y + = = = .则当 0 x 时，比值xyxx f x x f= + ) ( ) (0 0叫做函数 ) ( x f y = 在0x 到x x +0之间的平均变化率. 2、例题解析例1.求2x y = 在0x 到x x +0之间的平均变化率. 解：当自变量从0x 变到 x x +0时，函数的平均变化率为x xxx x xxxf x x f + = += +02020 0 02) ( ) ( ) (.当 x 取定值，0x 取不同数值时，该函数的平均变化率也不一样.可以由图看出变化. 例2.求xy1= 在0x 到 x x +0之间的平均变化率. 解：当自变量从0x 变到 x x +0时，函数的平均变化率为0 00 0 0 0) (11 1) ( ) (x x x xx x xxx f x x f + = += + 变式：某市2004年4月20日最高气温为33.4℃，而此前的两天，4月19日和4月18日最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃，闷热中的人们无不感叹：天气热得太快了！但是，如果我们将该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较，我们发现两者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃．而人们却不会发出上述感叹.这3 / 5是什么原因呢？原来前者变化得太快，而后者变化得缓慢. 问题：当自变量t表示由3月18日开始计算的天数，T表示气温，记函数 ) (t g T = 表示温度随时间变化的函数，那么气温变化的快慢情况应当怎样表示？分析：如图：1、选择该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较， C T t01 . 15 5 . 3 6 . 18 , 30 = = = ，由此可知 5033 . 0 tT； 2、选择该市2004年4月18日最高气温18.6 0 C与4月20日33.4 0 C进行比较 C T t08 . 14 6 . 18 4 .33 , 2 = = = ，由此可知 4 . 7 tT 结论：函数值的平均变化率tT反映了温度变化的剧烈程度. 各段的tT不同反映了温度变化的剧烈程度不同，也就是气温在这段时间内的平均变化量不同.当tT越大，说明气温的平均变化量越大，所以升温就越快；当tT越小，说明气温的平均变化量小，所以升温就越缓. 四、课堂练习：甲乙二人跑步路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图 (1)(2)所示，试问：(1)甲乙二人哪一个跑得快？ (2)甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快甲乙路程 y 甲乙100m 2030 342102030A(1,3.5) B(32, 18.6) 0C(34, 33.4) T(℃) t(天)2 10 五、课堂小结：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ (1) (2)5 / 5。

3.1变化率与导数的导学案《函数的平均变化率》导学案恩施市第一高级中学高二年级理科数学严新国执笔【课程学习目标】1、知识与技能：（1）通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；（2）理解导数概念和几何意义，能用定义求解简单函数的导函数，会求曲线在某点处的切线。

2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。

3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣。

二、重点、难点:重点：导数概念的形成，导数内涵的理解；难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点【知识体系探究】探究（一）平均变化率问题1：有关气球膨胀率我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程。

开始可以轻松的吹进气体，并且气球半径增加的较快；随着气球的变大，吹进一口气往往要使出吃奶的力气，气球大小变化却不明显。

也就是说随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.思考1.你能用所学的数学知识解释这个现象吗？我们先研究当气球的体积增加1L时，气球半径半径的变化情况。

思考2.当气球的容量V1增加到V2时，气球的半径增大的幅度是如何变化的？气球的平均膨胀率是多少?问题2：有关高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.思考1：如何用运动员在5.0≤t时的平均速v度粗略地描述其运1≤0≤≤t和2动状态?思考2：上面计算了两个时间段运动员的平均速度，下面在计算49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内是静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？知识归纳：1.把上述问题进行推广，对于函数()y f x =中的变化率问题可以用式子 来表示。

1.1.1函数的平均变化率（学案）一． 学习目标：了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分二．【使用说明及学法指导】1.先精读一遍教材，用红色笔进行勾画，再针对导学案问题导学部分二次阅读并回答提出的问题；2.限时完成导学案合作探究部分，书写规范，A 层完成所有题目，对于选做部分BC 层可以不做；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑； 三．自学指导：（1）如果()()F x f x '=，且)(x f 在],[b a 上____________,则=⎰dx x f b a )(_____________即：)x (F '从a 到b 的积分等于_____________________其中__________叫做)(x f 的原函数。

由于_________________=)(x f ，故______________也是)(x f 的原函数，其中______________为常数。

（2）一般的，原函数在],[b a 上的改变量()()F b F a -简记作__________________因此，微积分基本定理可以写成如下形式：=⎰dx x f ba)(___________=___________。

（3）常用公式● 若=')(x F n x ，则)(x F =_________________ ● 若=')(x F x cos ，则)(x F =_________________ ● 若=')(x F x sin ，则)(x F =_________________， ● 若=')(x F x e ，则)(x F =_________________ ● 若=')(x F x1（x>0），则)(x F =_________________ ● 若=')(x F x a ，则)(x F =_________________【预习自测】计算定积分xdx 530⎰ dx x 441⎰【我的疑惑】课中案一.【教学重点与难点】：重点：运用定理求解简单的定积分 难点： 理解定积分的几何意义二．合作、探究、展示例1 求x y sin =在],0[π上阴影部分的面积S 。

函数的平均变化率制作时间：使用时间：学习目标：1.理解函数的平均变化率2.能利用函数的平均变化率解决问题新知探究怎样从数学的角度反映山坡的平缓和陡峭程度呢？小结：1.函数的平均变化率：2．求函数平均变化率的步骤：新知应用例1求函数在区间的平均变化率小结：函数平均变化率应用注意：练习1〔1〕求函数在区间的平均变化率〔2〕在曲线＝2＋1的图象上取一点1,2及邻近一点1＋Δ,2＋Δ，那么错误!为A．Δ＋错误!＋2 B．Δ－错误!－2C．Δ＋2D．2＋Δ－错误!例2过曲线上两点和1＋Δ，1＋Δ作曲线的割线，求当时割线的斜率小结：函数的平均变化率的几何意义：例3物体做自由落体运动方程为为重力加速度〕求：〔1〕物体在到这段时间内的平均速度；〔2〕物体在到这段时间内的平均速度小结：函数的平均变化率的物理意义：备选练习1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δ满足A．Δ＜0B．Δ＞0C．Δ＝0 D．Δ≠0 2．函数＝f，当自变量由0改变到0＋Δ时，Δ＝A．f0＋ΔB．f0＋ΔC．f0·Δ D．f0＋Δ－f0＝22－1的图象上一点1,1及邻近一点1＋Δ,1＋Δ，那么错误!等于A．4 B．4C．4＋2Δ D．4＋2Δ2新知检测在＝1附近，取Δ＝，在四个函数①＝；②＝2；③＝3；④＝错误!中，平均变化率最大的是A．④B．③C．②D．①我的收获：课后稳固案1．函数f＝8－6在区间[m，n]上的平均变化率为________．2．函数f＝2＋1，g＝－2，分别计算在以下区间上f及g的平均变化率：1[－3，－1]；2[0,5]．3．求函数＝2在＝1,2,3附近的平均变化率，取Δ都为错误!，那么在哪一点附近的平均变化率最大？4指出在区间和的平均变化率哪一个较大？。

第2课时 函数的平均变化率必备知识·探新知基础知识1．直线的斜率 (1)直线斜率的定义平面直角坐标系中的任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当x 1≠x 2时，称y 2－y 1x 2－x 1为直线的斜率，记作ΔyΔx；__②当x 1＝x 2时，称直线的斜率不存在．__ (2)直线的斜率与函数单调性的关系．__①函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大于0.__ __②函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于0.__ 2．函数的平均变化率及增减性(1)当x 1≠x 2时，称ΔfΔx ＝__f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1__为函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2](x 1＜x 2时)或[x 2，x 1](x 1＞x 2时)上的平均变化率．(2)若I 是函数y ＝f (x )的定义域的子集，对任意x 1，x 2∈I 且x 1≠x 2，记y 1＝f (x 1)，y 2＝f (x 2)，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫即Δf Δx＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，则： ①y ＝f (x )在I 上是增函数的充要条件是__ΔyΔx ＞0在I 上恒成立；__②y ＝f (x )在I 上是减函数的充要条件是__ΔyΔx＜0在I 上恒成立．__思考1：函数图像上任意两点连线的斜率大于0时，函数图像从左向右的变换趋势是什么？提示：函数图像从左向右逐渐上升． 3．函数的最值 前提 函数f (x )的定义域为D ，且x 0∈D ，对任意x ∈D 条件都有f (x )≤f (x 0)都有f (x )≥f (x 0)结论最大值为f (x 0)，__x 0为最大值点__最小值为f (x 0)，__x 0为最小值点__最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点提示：不是，是实数值，是函数取得最值时的自变量x 的值．基础自测1．如果过点P (－2，m )和Q (m,4)的直线的斜率等于1，那么m 的值为( A ) A ．1 B ．4 C ．1或3D ．1或4解析：由题意4－mm ＋2＝1，解得m ＝1.2．已知函数f (x )＝2x 2－4的图像上两点A ，B ，且x A ＝1，x B ＝1.1，则函数f (x )从A 点到B 点的平均变化率为( C )A ．4B ．4xC ．4.2D ．4.02 解析：Δy Δx ＝f (1.1)－f (1)1.1－1＝2×(1.1)2－2×10.1＝4.23．函数y ＝f (x )在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是__－1__，__2__.4．函数f (x )＝2x ，x ∈[2,4]，则f (x )的最大值为__1__，最小值为__12__.解析：∵f (x )＝2x 在[2,4]上单调递减，∴当x ＝2时f (x )max ＝1， 当x ＝4时，f (x )min ＝12.关键能力·攻重难类型 函数的平均变化率与单调性、最值 ┃┃典例剖析__■典例1 已知函数f (x )＝2x －3x ＋1.(1)判断函数f (x )在区间[0，＋∞)上的单调性，并用平均变化率证明其结论． (2)求函数f (x )在区间[2,9]上的最大值与最小值．思路探究：(1)利用函数的平均变化率ΔyΔx 与0的关系判断函数的单调性；(2)利用单调性求最值．解析：(1)f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数． 证明如下：任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≠x 2， f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－3x 2＋1－2x 1－3x 1＋1＝(2x 2－3)(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)－(2x 1－3)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝5(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1).所以Δf Δx ＝5(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)x 2－x 1＝5(x 1＋1)(x 2＋1).因为x 1，x 2∈[0，＋∞)，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，所以ΔfΔx＞0，所以函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)知函数f (x )在区间[2,9]上是增函数，故函数f (x )在区间[2,9]上的最大值为 f (9)＝2×9－39＋1＝32，最小值为f (2)＝2×2－32＋1＝13.归纳提升：利用函数的平均变化率证明单调性的步骤 (1)任取x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2. (2)计算Δf ＝f (x 2)－f (x 1)，ΔfΔx.(3)根据x 1，x 2的范围判断ΔfΔx 的符号，确定函数的单调性．┃┃对点训练__■1．已知函数f (x )＝x ＋1x －2，x ∈[3,7]．(1)判断函数f (x )的单调性，并用平均变化率加以证明； (2)求函数f (x )的最大值和最小值．解析：(1)函数f (x )在区间[3,7]内单调递减，证明如下： 在[3,7]上任意取两个数x 1和x 2，且x 1≠x 2，因为f (x 1)＝x 1＋1x 1－2，f (x 2)＝x 2＋1x 2－2，所以f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋1x 2－2－x 1＋1x 1－2＝3(x 1－x 2)(x 1－2)(x 2－2).所以Δf Δx ＝3(x1－x 2)(x 1－2)(x 2－2)x 2－x 1＝－3(x 1－2)(x 2－2)，因为x 1，x 2∈[3,7]，所以x 1－2＞0，x 2－2＞0， 所以ΔfΔx＜0，函数f (x )为[3,7]上的减函数．(2)由单调函数的定义可得f (x )max ＝f (3)＝4，f (x )min ＝f (7)＝85.类型 利用函数的图像求最值 ┃┃典例剖析__■典例2 (1)已知函数f (x )在区间[－2,5]上的图像如图所示，则此函数的最小值点，最大值分别为( D )A ．－3,5B ．－3，f (5)C ．－2,5D ．－2，f (5)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].①如图所示，在给定的直角坐标系内画出f (x )的图像；②由图像指出函数f (x )的最值点，求出最值．思路探究：分段函数求最值，先作出各段内函数图像，然后由图像求出函数的最值． 解析：(1)由函数f (x )的图像可知最小值点为－2，最大值为f (5)． (2)①由题意，当x ∈[－1,2]时，f (x )＝－x 2＋3，为二次函数的一部分； 当x ∈(2,5]时，f (x )＝x －3，为一次函数的一部分； 所以，函数f (x )的图像如图所示：②由图像可知，最大值点为0，最大值3；最小值点为2，最小值为－1. 归纳提升：图像法求最值、最值点的步骤┃┃对点训练__■2．函数f (x )的图像如图，则其最大值、最小值点分别为( D )A ．f ⎝⎛⎭⎫32，－32B ．f (0)，f ⎝⎛⎭⎫32 C ．f ⎝⎛⎭⎫－32，f (0) D ．f (0)，32解析：观察函数图像，f (x )最大值、最小值点分别为f (0)，32.类型 常见的函数最值问题 1．不含参数的最值问题┃┃典例剖析__■典例3 求f (x )＝x ＋x －1的最小值．思路探究：求函数f (x )＝x ＋x －1的最小值，可先利用单调函数的定义判断其在定义域上的单调性，再利用单调性求出最值．解析：f (x )＝x ＋x －1的定义域为[1，＋∞)，任取x 1、x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，Δx ＝x 2－x 1>0， 则Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(x 2＋x 2－1)－(x 1＋x 1－1)＝(x 2－x 1)＋(x 2－1－x 1－1) ＝(x 2－x 1)＋x 2－x 1x 2－1＋x 1－1＝(x 2－x 1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1＋x 2－1.∵Δx ＝x 2－x 1>0,1＋1x 1－1＋x 2－1>0，∴f (x 2)－f (x 1)>0.∴f (x )在[1，＋∞)上为增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝1.归纳提升：研究函数最值时，先求定义域，再判断其单调性，最后根据单调性求其最值． 2．含参数的最值问题 ┃┃典例剖析__■典例4 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－1,1]，求函数f (x )的最小值．思路探究：抛物线开口方向确定，对称轴不确定，需根据对称轴的不同情况分类讨论．可画出二次函数相关部分的简图，用数形结合法解决问题．解析：函数f (x )＝x 2－2ax ＋2＝(x －a )2＋2－a 2图像的开口向上，且对称轴为直线x ＝a . 当a ≥1时，函数图像如图(1)所示，函数f (x )在区间[－1,1]上是减函数，最小值为f (1)＝3－2a ；当－1＜a ＜1时，函数图像如图(2)所示，函数f (x )在区间[－1,1]上是先减后增，最小值为f (a )＝2－a 2；当a ≤－1时，函数图像如图(3)所示，函数f (x )在区间[－1,1]上是增函数，最小值为f (－1)＝3＋2a .综上可得，f(x)min＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a，a≤－1，2－a2，－1＜a＜1，3－2a，a≥1.归纳提升：求二次函数最值的常见类型及解法求二次函数的最大(小)值有两种类型：一是函数定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间上，在区间左侧，在区间右侧)来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，还需要进行分类讨论．┃┃对点训练__■3．设a为实数，函数f(x)＝x2－|x－a|＋1，x∈R.(1)当a＝0时，求f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值．(2)当0＜a＜12时，求函数f(x)的最小值．解析：(1)当a＝0，x∈[0,2]时函数f(x)＝x2－x＋1，因为f(x)的图像抛物线开口向上，对称轴为x＝12，所以，当x＝12时f(x)值最小，最小值为34，当x＝2时，f(x)值最大，最大值为3.(2)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－x＋a＋1，x≥a，x2＋x－a＋1，x＜a.①当x≥a时，f(x)＝x2－x＋a＋1＝⎝⎛⎭⎫x－122＋a＋34.因为0＜a＜12，所以12＞a，则f(x)在[a，＋∞)上的最小值为f⎝⎛⎭⎫12＝34＋a；②当x ＜a 时，函数f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－a ＋34. 因为0＜a ＜12，所以－12＜a ，则f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－12＝34－a . 综上，当x ≥a 时，f (x )的最小值为34＋a ；当x <a 时，f (x )的最小值为34－a .易混易错警示 误用均值不等式致错 ┃┃典例剖析__■典例5 函数f (x )＝x 2＋3x 2＋2＋1的最小值为__322＋1__.错因探究：很多同学在处理此题时，易犯如下错误：由f (x )＝x 2＋3x 2＋2＋1＝x 2＋2＋1x 2＋2＋1＝x 2＋2＋1x 2＋2＋1，得f (x )≥2＋1＝3，故函数f (x )的最小值为3.事实上，上述等号成立的条件为x 2＋2＝1x 2＋2，即x 2＋2＝1，这是不可能成立的，即等号无法取到，最小值为3是不正确的．解析：f (x )＝x 2＋3x 2＋2＋1＝x 2＋2＋1x 2＋2＋1＝x 2＋2＋1x 2＋2＋1.令t ＝x 2＋2，则t ∈[2，＋∞)．令f (t )＝t ＋1t＋1，t ∈[2，＋∞)．令u (t )＝t ＋1t (t ≥2)，则由u (t )在[2，＋∞)上单调递增可知，u (t )≥2＋12＝322，则f (t )≥322＋1.故函数f (x )的最小值为322＋1.误区警示：对于函数f (x )＝x ＋px 型函数求最值时，当定义域或题设条件中的限制条件使等号不能成立时，应转换为其他形式解答，如利用函数的单调性解题等．学科核心素养 复合函数单调性的判断方法一般地，如果f (x )、g (x )在给定区间上具有单调性，则可以得到如下结论： (1)f (x )、g (x )的单调性相同时，f (x )＋g (x )的单调性与f (x )、g (x )的单调性相同． (2)f (x )、g (x )的单调性相反时，f (x )－g (x )的单调性与f (x )的单调性相同．(3)y ＝f (x )在区间I 上是递增(减)的，c 、d 都是常数，则y ＝cf (x )＋d 在I 上是单调函数．若c >0，y ＝cf (x )＋d 在I 上是递增(减)的；若c <0，y ＝cf (x )＋d 在I 上是递减(增)的．(4)f (x )恒为正或恒为负时，y ＝1f (x )与y ＝f (x )单调性相反．(5)若f (x )>0，则函数y ＝f (x )与y ＝f (x )具有相同的单调性． (6)复合函数y ＝f [g (x )]的单调区间求解步骤： ①将复合函数分解成基本初等函数y ＝f (u )，u ＝g (x )； ②分别确定各个函数的定义域；③分别确定分解成的两个函数的单调区间；④若两个函数在对应区间上的单调性相同，则y ＝f [g (x )]为增函数；若不同，则y ＝f [g (x )]为减函数．该法可简记为“同增异减”．值得注意的是：在解选择题、填空题时我们可直接运用此法，但在解答题中不能利用它作为论证的依据，必须利用定义证明．┃┃典例剖析__■典例6 求y ＝12x 2＋2x －3的单调区间，并指明在该区间上的单调性．思路探究：这是一个复合函数，应先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断法则确定其单调性．解析：要使函数y ＝12x 2＋2x －3有意义，需满足x 2＋2x －3≥0， 即(x －1)(x ＋3)≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0x ＋3≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤0x ＋3≤0， ∴x ≥1，或x ≤－3. ∴函数y ＝12x 2＋2x －3的定义域为{x |x ≥1，或x ≤－3}．令u ＝x 2＋2x －3，则y ＝12u ，易知u ＝(x ＋1)2－4，其中开口向上，对称轴为x ＝－1.∴当x ≥1时，u 是x 的增函数，y 是u 的增函数，从而y 是x 的增函数； 当x ≤－3时，u 是x 的减函数，y 是u 的增函数，从而y 是x 的减函数． ∴y ＝12x 2＋2x －3的递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(－∞，－3]．课堂检测·固双基1．已知函数f (x )在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( C )A ．f (－2)，0B ．0,2C ．f (－2)，2D ．f (2)，2解析：由函数最值的几何意义知，当x ＝－2时，有最小值f (－2)；当x ＝1时，有最大值2.2．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a (x ∈[0,2])有最小值－2，则f (x )的最大值为( B ) A ．4 B ．6 C ．1D ．2解析：f (x )＝x 2＋2x ＋a (x ∈[0,2])为增函数，所以最小值为f (0)＝a ＝－2，最大值f (2)＝8＋a ＝6.3．函数f (x )＝1x 在[1，b ](b ＞1)上的最小值是14，则b ＝__4__.解析：因为f (x )在[1，b ]上是减函数，所以f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14，所以b ＝4.4．函数f (x )＝x x ＋2在区间[2,4]上的最大值为__23__，最小值为__12__.解析：f (x )＝x x ＋2＝x ＋2－2x ＋2＝1－2x ＋2，∵函数f (x )在[2,4]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝22＋2＝12， f (x )max ＝f (4)＝44＋2＝23. 5．已知f (x )＝1x －1，x ∈[2,6]．(1)证明：f (x )是定义域上的减函数； (2)求函数f (x )的最大值和最小值．解析：(1)设任意实数x 1∈[2,6]，x 2∈[2,6]，且x 1<x 2， ∴Δx ＝x 2－x 1>0.∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝1x 2－1－1x 1－1＝x 1－1－x 2＋1(x 2－1)(x 1－1)＝x 1－x 2(x 2－1)(x 1－1)， ∵x 1－x 2＝－Δx <0，x 2－1>0，x 1－1>0，∴x 1－x 2(x 2－1)(x 1－1)<0，∴Δy <0. 故函数f (x )是定义域上的减函数．(2)由(1)知f (x )是定义域上的减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝1, f (x )min ＝f (6)＝15.。

教案投我以桃，报之以李。

《诗经·大雅·抑》原创不容易，【关注】，不迷路！青海一中李清下面是一个曲线的一个局部图形，你能判断它是直的还是弯曲的吗？如果显示出网格线，能否判断呢？这个图的全貌其实是这样的：如果我们用一个“高倍显微镜”来看曲线的一个局部，都可以近似地把它看成直线段．所以，我们也可以把弯曲的山路看成许多平直的小段组成．（四）构数学模型表示山坡陡峭程度 假设下图是一座山的剖面示意图．爬山者上升的高度y 可以看成水平行进距离x 的函数，这座山的山坡剖面图则可以看作函数y =f (x )的图象，建立平面直角坐标系如图所示．我们把山路分成许多近似平直的小段．对于AB 这一段平直的山路，放大如下图：Oyx D 1x 3坡度为：1010tan y y yx x xθ-∆==-∆. 对于CD 这一段弯曲的山路，可以分成许多段，比如一小段CD 1可以近似地看成直线段，于是这一段山路的陡峭程度可表示为：32323232()()y y f x f x y x x x x x --∆==-∆-． 一般地，任何一小段山路的陡峭程度可以表示为：11()()k k k kf x f x y x x x ++-∆=∆-．（五）函数平均变化率的概念已知函数y =f (x )在点x =x 0及其附近有定义，令 △x ＝x －x ；△y ＝y －y 0＝f (x )－f (x 0)＝f (x 0+△x )－f (x 0． 则当∆x ≠0时，比值00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆ 叫做函数y =f (x )在x 0到x 0+x 之间的平均变化率．函数在某一段的平均变化率f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0，在数值上等于连接这一段的始点与终点的直线的斜率，即点11(())x f x ，与点00(())x f x ，连线的斜率，亦即曲线()f x 的割线的斜率．这是函数平均变化率的几何意义，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势．AB k ＝yB －yA xB －xA ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝Δy Δx ＝tan θ.化率的大小关系为：②＞①＞③．【思考】（请同学们自行思考）（1）如果10-<∆<，它们的大小关系如何？你x能结合函数的图象来解释吗？（2）与y x=的平均变化率比较，它们的大小关系如何呢？例两工厂经过治理，污水的排放流量(W)与时间(t)的关系，如图所示．试指出哪一个厂治污效果较好？分析：这是一个应用问题．读图的关键点是“治污效果”用什么量来刻画——考查函数的平均变化率的应用．解：甲、乙两厂在相同的时间内都将污水排放流量治理到标准要求．甲厂原来的排放流量较大，因而平均变化率较大，所以甲厂的治污效果较好．本节课学习的主要内容是函数的平均变化率．学习过程从生活情境到数学情境，再到数学概念以及几何意义，初步体会了“以直代曲”的思想和数【素材积累】1、一个房产经纪人死后和上帝的对话一个房产经纪人死后，和上帝喝茶。

函数的平均变化率教案教案：函数的平均变化率一、教学目标1.了解函数的平均变化率的概念和意义。

2.掌握计算函数在给定区间内的平均变化率的方法。

3.掌握函数的平均变化率在实际问题中的应用。

二、教学准备1.准备一些能够让学生实际体验函数的平均变化率的例子。

2.准备一些函数图像，以帮助学生理解平均变化率的概念。

3.检查计算函数平均变化率的方法和公式。

三、教学过程第一部分：引入概念1.导入问题：首先，向学生提出以下问题：如果我们关注一些物体的运动，我们如何描述它的平均速度？请学生回答。

引导学生思考速度的概念：速度是距离关于时间的变化率，即速度等于位移与时间的比值。

3.定义平均变化率：引导学生思考平均变化率的定义：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数在这个区间的平均变化率为：平均变化率=(f(b)-f(a))/(b-a)解释上述定义的含义。

引导学生通过举例来解释平均变化率的意义和计算方法。

第二部分：计算平均变化率1.案例讲解：通过一个实际问题来计算平均变化率。

例如，一辆汽车在段时间内的行驶距离。

假设汽车在0到5秒之间的行驶距离由函数f(t)=2t^2表示。

按照平均变化率的定义，可以计算出从0到5秒的平均变化率为：平均变化率=(f(5)-f(0))/(5-0)2.练习训练：让学生计算以下函数在给定区间内的平均变化率：a)f(x)=3x-1,在区间[1,5]上的平均变化率。

b)g(t)=t^2+2,在区间[-2,3]上的平均变化率。

第三部分：平均变化率的应用1.实际问题应用：给学生提供一些实际问题的例子，并要求他们计算相应的平均变化率。

例如：一个婴儿的身高和年龄的关系由函数h(t)=0.05t^2+0.5t表示（其中t表示年龄，单位为岁，h(t)表示身高，单位为米）。

学生需要计算出从1到5岁之间身高的平均变化率。

2.探究问题：让学生思考平均变化率的物理和经济含义，并展示一些相关问题的实际应用。

例如，学生可以考虑一张成绩单上各门功课的平均变化率，或者市场上其中一种商品的价格随时间的变化率。

1.1.1 平均变化率一、学习目标1．通过大量的实例分析，了解平均变化率.2. 理解平均变化率的意义，会求函数在指定区间的平均变化率二、教学难点、重点平均变化率的实际意义和数学意义三、课前预习1．函数()f x 在区间[x 1 、x 2]上的平均变化率为 .2．某市2018年6月20日的最高温度为28℃，6月22日的最高温度为37℃，则这三天的最高温度的变化率为（ ）A ．5B ．6C ．3D ．43．五·一黄金周期间，本市某大型商场的日营业额从1500万元，增加到4300万元，则该商场黄金周期间日营业额的平均变化率是____________．4．甲年收入为3.6万元，乙月收入为0.35万元，你如何比较和评价甲、乙两人的收入状况？5．甲、乙两汽车在10s 内，速度从0/km h 分别加速到h km /100和h km /80，如何评判两车的性能？6．已知函数13)(+=x x f ，分别计算在区间]9.0,1[],2,1[---上)(x f 的平均变化率.四、教学过程（一）问题情境1.观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：（理解图中问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面）问题2：如何量化曲线的陡峭程度？2. 学生活动① 曲线上BC 之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度.② 由点B 上升到C 点，必须考察C B y y -的大小，但仅仅注意C B y y -的大小能否精确量化BC 段陡峭程度，(d)20为什么？③ 在考察C B y y -的同时必须考察C B x x -，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变.1212)()(x x x f x f x f --=∆∆. （二）例题分析例1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.例2.水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积V(t)=5×2-0.1t （单位：cm 3），计算 第一个10s 内V 的平均变化率.例3. 已知函数f(x)=x 2，分别计算函数f(x)在区间[1,3],[1,2],[1,1.1],[1,1.001]上的平均变化率.例4. 已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算函数f(x)及g(x)在区间[-3，-1]，[0，5]上的平均变化率。

《3.1.1函数的平均变化率》教学案
教学目标：
1.知识与技能
理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；
2.过程与方法
通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型；
3.情感、态度与价值观
感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力.
教学重点：
平均变化率的模型建立与对平均变化率的实际意义和数学意义的理解
教学难点：
平均变化率的概念与生活现象中模型的形成过程并对此做出数学解释
教学关键：
将学生头脑中的感性认知，通过多个事例，在不同的情境下，进行相同的计算程序.由此学生抽象建构出函数平均变化率的概念.并突出知识产生过程中蕴含的数学思想方法，特别是数形结合的数学能力和“以直代曲”的转化能力.
教学过程：
的方法，可以用比值
引导学生先分析平直山路OA段的斜率表示
山路的陡峭程度；再进一步研究曲线的如何表
①从图象上看，
图象，那一段更“陡峭”？
②如何量化曲线在
结论：平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势(变化快慢)，或说在某个区间上
问题1：那个企业的治污效果好一些？
结论：曲线越“陡峭”
化率的绝对值越大
例3：如图所示，已知函数在区间[-1，1]上的平均变化率
问题：结合图象分析用
曲线段的陡峭程度是否准确？。