北师大版数学必修五《数列的概念与简单表示法》导学案(含答案)
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第1课时数列的概念与简单表示法
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(通项公式、列表、递推公式、图像法).
2.通过对简单数列的观察与分析归纳,认识数列是反映自然的基本数学模型.
3.能简单地总结数列的规律与表示方法,理解数列与函数的关系.
(1)国际象棋的传说:在一张棋盘的第一个小格内放一粒麦子,在第二个小格内放两粒,在第三个小格内放四粒,照这样下去,每一小格都比前一小格加一倍.
(2)古语:一尺之棰,日取其半,万世不竭.
(3)童谣:一只青蛙,一张嘴,两只眼睛,四条腿;两只青蛙,两张嘴,四只眼睛,八条腿;三只青蛙,三张嘴,六只眼睛,十二条腿.
问题1:数列的定义:按排列的一列数叫作数列.数列的项:数列中的每一个数都叫作这个,各项依次叫作这个数列的第1项(或首项),第2项……第n 项……
通项公式:如果数列{a n}的第n项a n与n之间的函数关系可以用一个式子表示成,那么这个式子就叫作这个数列的通项公式.
问题2:数列的分类:(1)按项数分类:和.
(2)按数列的单调性分类:、及.
(3)一个数列,如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫.
问题3:数列中的项与集合中的元素相比较异同如下:
相同点:数列中的每一项都是、集合中的每一个元素都是.
不同点:
重复性:数列中的某些项可以、集合中的每一个元素都.
有序性:数列中的项、集合中的元素.
范围:数列中的每一项都是、集合中的元素可以.
问题4:数列的表示方法:、、及.数列的前n项和记作S n=.
1.把自然数的前五个数:①排成1,2,3,4,5;②排成5,4,3,2,1;③排成3,1,4,2,5;④排成2,3,1,4,5,那么
可以叫作数列的有()个.
A.1
B.2
C.3
D.4
2.已知数列{a n}的通项公式为a n=,则该数列的前4项依次为().
A.1,0,1,0
B.0,1,0,1
C.,0,,0
D.2,0,2,0
3.设数列{a n}满足:a1=2,a n+1=1,则a4=.
4.已知{a n}满足a1=3,a n+1=2a n+1,试写出该数列的前5项,并用观察法写出这个数列的一个通项公式.
根据数列的前几项写出通项公式
写出下列数列的一个通项公式:
(1)1,1,1,1,…;
(2)3,5,9,17,33,…;
(3),2,,8,,….
待定系数法求通项公式
已知数列{a n}中,a1=3,a10=21,通项a n是项数n的一次函数.
(1)求{a n}的通项公式,并求a2015;
(2)若{b n}是由a2,a4,a6,a8,…组成,试归纳{b n}的一个通项公式.已知数列的单调性求参数
若a n=n2+λn,且数列{a n}为递增数列,则实数λ的取值范围是.
写出下列数列的一个通项公式:
(1)1,0,,0,,0,,0,…;
(2)0.7,0.77,0.777,….
已知数列{a n}中,a1=1,a2=0且a n=xn2+yn,求a n.
已知数列{a n}的通项公式为a n=n25n+4.
(1)数列中有多少项是负数?
(2)n为何值时,a n有最小值?并求出最小值.
(3)设数列{a n}的前n项和S n,求S n的最小值.
1.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2n50,则8是该数列的().
A.第5项
B.第6项
C.第7项
D.非任何一项
2.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是().
A.a n=n2n+1
B.a n=
C.a n=
D.a n=n2+1
3.已知数列{a n}的通项公式为a n=(n∈N+),那么是这个数列的第项.
4.数列{a n}中,已知a n=(n∈N+).
(1)写出a10,a n+1;
(2)79是否是数列中的项?如果是,是第几项?
(2009年·北京卷)已知数列{a n}满足:a4n3=1,a4n1=0,a2n=a n,n∈N+,则a2009=,a2014=.
考题变式(我来改编):
第一章数列
第1课时数列的概念与简单表示法
知识体系梳理
问题1:一定次序数列的项a n=f(n)
问题2:(1)有穷数列无穷数列(2)递增数列递减数列常数列(3)摆动数列
问题3:确定的确定的重复不能重复有顺序无顺序数不是数
问题4:列表法图像法通项公式法递推公式法a1+a2+…+a n
基础学习交流
1.D按照数列定义得出答案D.
2.A将n=1,2,3,4代入通项公式可知,应选A.
3.2a2=,a3=1,a4=2.
4.解:∵a1=3,a n+1=2a n+1,∴a2=7,a3=15,a4=31,a5=63,注意到:3=221,7=231,15=241,31=251,
∴猜得a n=2n+11.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)这是一个常用的摆动数列,奇数项为正,偶数项为负,所以它的通项可以是a n=(1)n+1(n∈N+)或a n=cos(n+1)π(n∈N+)或a n=sinπ(n∈N+).
(2)观察发现每项减1即为2的n次方,所以a n=2n+1(n∈N+).
(3)统一写成分母为2的分数,发现分子是n的平方,故a n=(n∈N+).
【小结】已知数列的前几项,写出数列的通项公式,主要从以下几个方面来考虑:
(1)对于正负交错出现的数列,符号用(1)n与(1)n+1来调节,这是因为n和n+1奇偶交错.
(2)此类问题虽无固定模式,但也有其规律可循,主要用观察、比较、归纳、转化等方法.
(3)对于分数形式的数列,分子、分母可分别找通项,并充分借助分子、分母的关系.
探究二:【解析】(1)设a n=kn+b,
则解得
∴a n=2n+1(n∈N+),∴a2015=4031.
(2)又∵a2,a4,a6,a8,…即为5,9,13,17,…,∴b n=4n+1(n∈N+).
【小结】数列的通项公式a n是关于n(n∈N+)的函数,即a n=f(n).待定系数法是求通项公式的一种常用方法.
探究三:【解析】∵(n,a n)(n∈N+)是函数f(x)=x2+λx图像上的点,且数列{a n}为递增数列,只需≤1,即λ≥2,∴λ的取值范围是[2,+∞).
[问题]递增数列是单调递增函数吗?
[结论]利用二次函数的单调性时,忽视了数列的离散型特征.数列{a n}为递增数列,只要求满足a1<a2<…<a n<…
于是,正确解答为:∵数列{a n}是递增数列,且a n=n2+λn,其对称轴x=既可以x≤1,也可以在1<x<之间,故<,即λ>3,∴λ的取值范围是(3,+∞).
【答案】(3,+∞)
【小结】此题极易出错,考虑问题要全面.
思维拓展应用
应用一:(1)从原数列不能看出通项公式,但可改写为,,,,,,….分母依次为1,2,3,4,…,分子依次为1,0,1,0,…,呈周期性变化,可以用sinπ表示,也可用cosπ表示,故a n=(n∈N+)或
a n=(n∈N+).
(2)∵0.9,0.99,0.999,…的通项公式为a n=1(n∈N+),∴0.7,0.77,0.777,…的通项公式为
a n=(1)(n∈N+).
应用二:由
可得x=1,y=2.
∴a n=n22n(n∈N+).
应用三:(1)由a n=n25n+4<0得1<n<4,又n∈N+,
∴n=2,3,即数列中有2项是负数.
(2)a n=(n)2(n∈N+),∴n=2,3时a n最小,此时a2=a3=2.
(3)由(1)(2)知a1=a4=0,a2=a3=2,当n≥4时,a n>0,∴S3,S4最小,且S3=S4=4.
基础智能检测
1.C由n2n50=8,得n=7或n=6(舍去).
2.C令n=1,2,3,4,代入A、B、C、D检验即可.排除A、B、D,从而答案是C.
3.10∵=,∴n(n+2)=10×12,∴n=10.
4.解:(1)a10=,a n+1=.
(2)设a n=79,即=,解得n=15或n=16(舍去),即79是数列中的第15项.
全新视角拓展
10a2009=a4×5033=1,a2014=a1007=a4×2521=0.
思维导图构建
有序性集合无序性。
