第1课时不等关系1.了解现实世界和日常生活中存在的不等关系.2.了解不等式的意义,会列不等式表示数量关系.3.会用实数的大体理论来比较两个代数式的大小.4.掌握作差比较大小的大体步骤,而且能灵活应用来解决一些实际问题.咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯别离用奶粉9 g,咖啡4 g,糖3 g;乙种饮料每杯别离用奶粉4 g,咖啡5 g,糖10 g.已知天天利用原料限额为奶粉3600 g,咖啡2000 g,糖3000 g,设天天应配制甲种饮料x杯,乙种饮料y杯,你能写出知足上述条件的所有不等式吗?问题1:上述情境中的x,y知足的不等式别离为:,,,x≥0,y≥0.问题2:作差法比较大小的依据是什么?(1)a>b⇔;(2)a=b⇔;(3)a<b⇔.要肯定任意两个正实数a,b的大小关系,只需肯定它们的与的大小关系即可.问题3:作商法比较大小的依据是什么?设a,b∈R,且a>0,b>0.(1)a>b⇔;(2)a=b⇔;(3)a<b⇔.要肯定任意两个正实数a,b的大小关系,只需肯定它们的与的大小关系即可.问题4:比较大小的步骤和关键点(1)步骤:作差→→→.(2)关键点:变形是比较大小的关键,变形的目的在于,而没必要考虑差的值是多少.常常利用方式有、、、等.作商法类似作差法.1.某工厂在招标会上,购得甲材料x吨,乙材料y吨,若维持工厂正常生产,甲、乙两种材料总量至少需要120吨,则x、y应知足的不等关系是().+y>120+y<120 +y≥120+y≤1202.设a=3x2-x+1,b=2x2+x,x∈R,则().>b <b ≥b ≤b3.若a>0,b>0,则√a+√b√a+b(填上适当的等号或不等号).4.比较x2+3与3x的大小,其中x∈R.用作差法比较大小比较a4-b4与4a3(a-b)的大小.用作商法比较大小已知a>b>0,比较a a b b与a b b a的大小.用不等关系解决实际问题六一节日期间,某商场儿童柜台打出广告:儿童商品按标价的80%出售;同时,当顾客在该商场内消费满必然金额后,按如下方案取得相应金额的奖券:(如表所示) 消费金额(元) [200,400] [400,500] [500,700] [700,900] …获奖券的金额(元) 30 60 100 130 …依据上述方式,顾客可以取得双重优惠.(优惠率=(优惠金额+奖券金额)÷总标价) 试问:(1)若购买一件标价为1000元的商品,顾客取得的优惠率是多少?(2)对于标价在的优惠率?[500,800]内的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可取得不小于13(1)试比较(x+1)(x+5)与(x+3)2的大小;(2)已知0<a<b,试比较a3-b3与ab2-a2b的大小.已知a≥1,试比较M=√a+1-√a和N=√a-√a-1的大小.某单位组织职工去某地参观学习需包车前去.甲车队说:“如领队买全票一张,其余人可享受折优惠”.乙车队说:“你们属集体票,按原价的8折优惠”.这两车队的原价、车型都是一样的,试按照单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠.1.某夏令营有48人,动身前要从A,B两种型号的帐篷当选择一种.A型号的帐篷比B型号的帐篷少5顶,若只选A型号的,每顶帐篷住4人,则帐篷不够;每顶帐篷住5人,则有一顶帐篷没住满.若只选B型号的,每顶帐篷住3人,则帐篷不够;每顶帐篷住4人,则有帐篷多余.设A 型号的帐篷有x顶,则下列选项中,不需要x知足的条件是().<5x-48<5(x+5)<48 (x+5)<48 <482.设P=√2,Q=√7-√3,R=√6-√2,则P、Q、R的大小顺序是().>Q>R>R>Q>P>R>R>P3.已知a<0且a≠-1,则比较大小:(a+1)2(a+1)3.(用“>”或“<”填空),Q=a2-a+1,比较P、Q的大小.4.已知P=1a2+a+1(2013年·新课标全国Ⅱ卷)设a=log36,b=log510,c=log714,则().>b>a>c>a>c>b>b>c考题变式(我来改编):第一章数列第1课时数列的概念与简单表示法知识体系梳理问题1:必然顺序数列的项a n=f(n)问题2:(1)有穷数列无穷数列(2)递增数列递减数列常数列(3)摆动数列问题3:肯定的肯定的重复不能重复有顺序无顺序数不是数问题4:列表法图像法通项公式法递推公式法a1+a2+…+a n基础学习交流依照数列概念得出答案D .将n=1,2,3,4代入通项公式可知,应选A .3.2 a 2=12,a 3=-1,a 4=2. 4.解:∵a 1=3,a n+1=2a n +1,∴a 2=7,a 3=15,a 4=31,a 5=63,注意到:3=22-1,7=23-1,15=24-1,31=25-1,∴猜得a n =2n+1-1.重点难点探讨探讨一:【解析】(1)这是一个常常利用的摆动数列,奇数项为正,偶数项为负,所以它的通项可以是a n =(-1)n+1(n ∈N +)或a n =cos(n+1)π(n ∈N +)或a n =sin 2n -12π(n ∈N +). (2)观察发现每项减1即为2的n 次方,所以a n =2n+1(n ∈N +). (3)统一写成份母为2的分数,发现分子是n 的平方,故a n =n 22(n ∈N +).【小结】已知数列的前几项,写出数列的通项公式,主要从以下几个方面来考虑: (1)对于正负交织出现的数列,符号用(-1)n与(-1)n+1来调节,这是因为n 和n+1奇偶交织.(2)此类问题虽无固定模式,但也有其规律可循,主要用观察、比较、归纳、转化等方式. (3)对于分数形式的数列,分子、分母可别离找通项,并充分借助分子、分母的关系. 探讨二:【解析】(1)设a n =kn+b ,则{k +b =3,10k +b =21,解得{k =2,b =1.∴a n =2n+1(n ∈N +),∴a 2015=4031.(2)又∵a 2,a 4,a 6,a 8,…即为5,9,13,17,…,∴b n =4n+1(n ∈N +).【小结】数列的通项公式a n 是关于n (n ∈N +)的函数,即a n =f (n ).待定系数法是求通项公式的一种常常利用方式.探讨三:【解析】∵(n ,a n )(n ∈N +)是函数f (x )=x 2+λx 图像上的点,且数列{a n }为递增数列,只需-λ2≤1,即λ≥-2,∴λ的取值范围是[-2,+∞). [问题]递增数列是单调递增函数吗?[结论]利用二次函数的单调性时,轻忽了数列的离散型特征.数列{a n }为递增数列,只要求知足a 1<a 2<…<a n <…于是,正确解答为:∵数列{a n }是递增数列,且a n =n 2+λn ,其对称轴x=-λ2既可以x ≤1,也可以在 1<x<32之间,故-λ2<32,即λ>-3,∴λ的取值范围是(-3,+∞). 【答案】(3,+∞)【小结】此题极易犯错,考虑问题要全面. 思维拓展应用应用一:(1)从原数列不能看出通项公式,但可改写为11,02,-13,04,15,06,….分母依次为1,2,3,4,…,分子依次为1,0,-1,0,…,呈周期性转变,可以用sin n 2π表示,也可用cos n -12π表示,故a n =sin nπ2n(n ∈N +)或a n =cos n -12πn (n ∈N +).(2)∵,,,…的通项公式为a n =1-110n (n ∈N +),∴,,,…的通项公式为a n =79(1-110n )(n ∈N +). 应用二:由{a 1=x +y =-1,a 2=4x +2y =0,可得x=1,y=-2.∴a n =n 2-2n (n ∈N +).应用三:(1)由a n =n 2-5n+4<0得1<n<4,又n ∈N +,∴n=2,3,即数列中有2项是负数.(2)a n =(n-52)2-94(n ∈N +),∴n=2,3时a n 最小,此时a 2=a 3=-2.(3)由(1)(2)知a 1=a 4=0,a 2=a 3=-2,当n ≥4时,a n >0,∴S 3,S 4最小,且S 3=S 4=-4. 基础智能检测由n 2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去).令n=1,2,3,4,代入A 、B 、C 、D 查验即可.排除A 、B 、D,从而答案是C .∵1n(n+2)=1120,∴n (n+2)=10×12,∴n=10. 4.解:(1)a 10=1093,a n+1=n 2+3n+13.(2)设a n =7923,即n 2+n -13=2393,解得n=15或n=-16(舍去),即7923是数列中的第15项. 全新视角拓展1 0 a 2009=a 4×503-3=1,a 2014=a 1007=a 4×252-1=0. 思维导图构建有序性 集合无序性。
