福建省厦门外国语学校2018_2019学年高一数学下学期第一次月考试题(含答案)

福建省厦门外国语学校2019届高三上学期第11月月考数学理试题一．选择题（每小题只有一个选项，每小题5分，共计60分） 1．已知集合2{|430}A x x x =-+<，{|21,0}x B y y x ==-≥，则A B ⋂=（）A ．∅B ．[0,1)(3,)+∞C ．A D ．B2．已知a b >，则不等式22a b >，11a b <，11a b a>-中不成立的个数为 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．33．若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）A ．α∥,,βαβ⊂⊂⇒m n m ∥nB ．,αγβγα⊥⊥⇒∥βC ．α∥,βm ∥n ,αβ⊥⇒⊥m nD ．,,αββγ==m n m ∥α⇒n ∥β4．将函数y ＝sin(x ＋4π)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移4π个单位，所得到的图象解析式是（） A ．sin(2)4y x π=-B ．sin 2y x =C ．sin(2)4y x π=+D ．1sin2y x = 5．已知向量a →，b →满足1a →=，2b →=，且a →在b →方向上的投影与b →在a →方向上的投影相等，则a b →→-等于( )A ．1 B. 3 C. 5D ．36．古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（ ） A ．6天 B ．7天 C ．8天 D ．9天7．定义域为{|2}x R x ∈≠的函数()y f x =满足(4)()f x f x -=，(2)()0x f x '-<，若12x x <，且124x x +>，则（）.A ．12()()f x f x > B.12()()f x f x < C.12()()f x f x = D.1()f x 与2()f x 的大小不确定8．数列}{n a 满足12211-=++n n n na a ，且11=a ，若51<na ，则n 的最小值为 ( ) A 3 B 4 C 5 D 69．已知0a >，0b >为3a 与3b 的等比中项，则49aba b+的最大值为（）A ．124B ．125C ．126 D ．12710．一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为 ( ) A. 28π B. 32π C. 36π D. 112π311．向量,,m n p →→→满足：122()()2m n m n m p n p m p n p →→→→→→→→→→→→==⋅=--⋅-=-⋅-，，，则p →最大值为（）A ．2C.1D.412．设函数()(2ln 1)f x x x ax a =--+，其中0a >，若仅存在两个正整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．34ln 223ln 32a -<≤-B.34ln 223ln 32a -≤<- C.4ln 22a >- D.3ln 32a ≤- 二、填空题（共4小题，20分）13．设变量x ，y 满足约束条件236y xx y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S =___________15．已知正方体1111ABCD ABC D -的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于B 、C 两点），点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111ABCD ABC D -所得的截面为四边形，则线段BM 的取值范围为_____________ 16．设数列{}n a 是首项为0的递增数列，()()[]*11sin ,,,n n n n f x x a x a a n N n +=-∈∈，满足：对于 任意的[)()0,1,n b f x b ∈=总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式为_________三、解答题（共6题，70分）17.如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD ⊥平面ABCD ，且FD =（Ⅰ）求证：//EF 平面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=︒，求直线EF 与平面AFB 所成角的正弦值．侧视图俯视图234442244正视图18.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos ,1sin ,x t y t αα⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()221sin 8ρθ+=. （Ⅰ）若曲线C 上一点Q 的极坐标为0,2πρ⎛⎫⎪⎝⎭，且l 过点Q ，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点()1P --，l 与C 的交点为,A B ，求11PAPB+的最大值.19．已知函数()(1)ln 2(1)af x x a x a x=--+++． （I ）若函数()f x 在区间[]2,3上不是单调函数，求实数a 的取值范围；（II ）是否存在实数0a >，使得函数()y f x =图像与直线2y a =有两个交点？若存在，求出所有a 的值；若不存在，请说明理由．20．已知ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,a b c 成等差数列，2C A =. （I ）求cos A ；（II ）设24491m m a m ++=+（0m >），求ABC ∆的面积的最小值.21．若数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 满足1211,2,n n n n b b a b b nb +==+= （I ）求数列{}n a {}n b 的通项公式；（II ）设数列{}n c 满足11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若不等式1(1)2n n n nT λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围.22．已知m R ∈，函数11()ln ,()ln m f x mx x g x x x x-=--=+ （I ）若()()y f x g x =-在[)1,+∞上为单调增函数，求实数m 的取值范围（II ）证明：2*ln 2ln 3ln 4ln ()2342(1)n n n N n n ++++<∈+绝密★启用前厦门外国语学校2018-2019学年高三第二次月考数学（理）试题答案一．选择题（每小题只有一个选项，每小题5分，共计60分）1．1．已知集合2{|430}A x x x =-+<，{|21,0}xB y y x ==-≥，则A B ⋂=（C ） A ．∅B ．[0,1)(3,)+∞C ．A D ．B2．已知a b >，则不等式22a b >，11a b <，11a b a>-中不成立的个数为 ( D ) A ．0B ．1C ．2D ．33．若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ C ）A ．α∥,,βαβ⊂⊂⇒m n m ∥nB ．,αγβγα⊥⊥⇒∥βC ．α∥,βm ∥n ,αβ⊥⇒⊥m nD ．,,αββγ==m n m ∥α⇒n ∥β4．将函数y ＝sin(x ＋4π)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移4π个单位，所得到的图象解析式是（A ） A ．sin(2)4y x π=-B ．sin 2y x =C ．sin(2)4y x π=+D ．1sin2y x = 5．已知向量a →，b →满足1a →=，2b →=，且a →在b →方向上的投影与b →在a →方向上的投影相等，则a b →→-等于( C )A ．1 B. 3 C. 5D ．36．古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（C ） A ．6天 B ．7天 C ．8天 D ．9天7．定义域为{|2}x R x ∈≠的函数()y f x =满足(4)()f x f x -=，(2)()0x f x '-<，若12x x <， 且124x x +>，则 （ A ）.A ．12()()f x f x > B.12()()f x f x < C.12()()f x f x = D.1()f x 与2()f x 的大小不确定8．数列}{n a 满足12211-=++n n n n a a ，且11=a ，若51<n a ，则n 的最小值为 ( C ) A3B4 C5 D69．已知0a >，0b >3a 与3b 的等比中项，则49aba b+的最大值为（ B ）A ．124B ．125C ．126D ．12710．一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为 ( D )A.28πB. 32πC.36πD.112π311．向量,,m n p →→→满足：122()()2m n m n m p n p m p n p →→→→→→→→→→→→==⋅=--⋅-=-⋅-，，，则p →最大值为（ D ）A ．2C.1D.412．设函数()(2ln 1)f x x x ax a =--+，其中0a >，若仅存在两个正整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ A ） A ．34ln 223ln 32a -<≤-B.34ln 223ln 32a -≤<- C.4ln 22a >- D.3ln 32a ≤- 二、填空题（共4小题，20分）13．设变量x ，y 满足约束条件236y xx y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为．314．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S =___________1)23(-n15．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于B 、C 两点），点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形，则线段BM 的取值范围为_______________1(0,]2A ．1(0,]3 B ．1(0,]2C ．2[,1)3D ．1[,1)216．设数列{}n a 是首项为0的递增数列，()()[]*11sin ,,,n n n n f x x a x a a n N n+=-∈∈，满足：对于任意的[)()0,1,n b f x b ∈=总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式为_________侧视图俯视图234442244正视图三、解答题（共6题，70分）17.如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD ⊥平面ABCD ，且FD =（Ⅰ）求证：//EF 平面ABCD ；改编（Ⅱ）若60CBA ∠=︒，求直线EF 与平面AFB 所成角的正弦值． 解：（Ⅰ）如图，过点E 作EH BC ⊥于H ，连接.HDEH ∴=平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊆平面BCE ， 平面ABCD平面BCE 于BC ，∴EH ⊥平面.ABCD又FD ⊥平面ABCD，FD =//.FD EH ∴∴四边形EHDF 为平行四边形. //.EF HD ∴EF ⊄平面ABCD ，HD ⊆平面,ABCD //EF ∴平面.ABCD ………6分B（Ⅱ）连接.HA 由（Ⅰ），得H 为BC 中点，又60CBA ∠=︒，ABC ∆为等边三角形，∴.HA BC ⊥分别以,,HB HA HE 为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -.则(1,0,0),(B F E A -(BF =-，(BA =-，(1BE =-设平面ABF 的法向量为2222(,,)x y z =n .由2200BF BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n得2222230.0x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令21y =，得2,2)=n.sin cos ,28EF n α=<>=18.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos ,1sin ,x t y t αα⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()221sin 8ρθ+=.（1）若曲线C 上一点Q 的极坐标为0,2πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且l 过点Q ，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）设点()1P --，l 与C 的交点为,A B ，求11PA PB+的最大值. 解.（1）把0,2Q πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入曲线C 可得2,2Q π⎛⎫⎪⎝⎭化为直角坐标为()0,2Q ，又l 过点()1P --，得直线l 的普通方程为2y x =+； ()221sin 8ρθ+=可化为()22sin 8ρρθ+=. 由222,sin x y y ρρθ=+=可得()2228x y y ++=，即曲线C 的直角坐标方程为2228x y +=.（2）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得，(()22cos 2sin 18t t αα-+-=，化简得()()22sin 14sin 60t t ααα+-+=，①()()224sin 24sin 1ααα⎡⎤∆=--+⎣⎦可得()1212224sin 6,0sin 1sin 1t t t tαααα+==>++，故1t 与2t 同号12121212121111t t t t PA PB t t t t t t +++=+==4sin 33πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以6πα=时，4sin 33πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭有最大值43. 此时方程①的340∆=>，故11PA PB +有最大值43. 19．已知函数()(1)(2ln )af x x a x x=-++-． （I ）若函数()f x 在区间[]2,3上不是单调函数，求实数a 的取值范围；（II ）是否存在实数0a >，使得函数()y f x =图像与直线2y a =有两个交点？若存在，求出所有a 的值；若不存在，请说明理由． 解（I ）由（I ）得2()(1)()x a x f x x --'=.要使函数()f x 在区间[]2,3上单调递增,即要使2()(1)()0x a x f x x--'=≥在区间[]2,3上恒成立. .（II ）由()2f x a =得(1)ln 20ax a x x--++=有两个实根 令()(1)ln 2a g x x a x x =--++则2()(1)()x a x g x x --'=， （2）当1a =时，22(1)()0x g x x -'=≥∴函数()y g x =在(0,)+∞是增函数，不合题意；（3）当01a <<时，函数()y g x =在(0,),(1,)a +∞上是增函数;在(,1)a 上是减函数(1)3a 0g =-≠要使函数()g x 有两个零点则只需()0g a =解得a e =不合题意；（4）当1a >时，函数()y g x =在(0,1),(,)a +∞上是增函数;在(1,)a 上是减函数 要使函数()g x 有两个零点则只需()0g a =或(1)0g =解得a e =或3a = 综上所述，a e =或3a =.20．已知ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,a b c 成等差数列，2C A =. （1）求cos A ；（2）设24491m m a m ++=+（0m >），求ABC ∆的面积的最小值.21.解：（1）C=2A,B=A 31800-因为c b a ,,成等差数列 所以b c a 2=+得B C A sin 2sin sin =+sin 2sin cos 2sin32sin(2)2sin cos 22cos sin 2A A A A A A A A A A +⋅==+=⋅+⋅=)1cos 4(sin 22-A A 整理得：03cos 2cos 82=--A A解之得：43cos =A 或21cos -=A (舍去) - （2）∵244994(1)4124811m m a m m m ++==++-≥-=++1()2m =当且仅当时取等号 又43cos =A ，47sin =A ,873sin =C Cc A a sin sin =,32c a =-b c a 2=+，54b a =-所以A bc S ABC sin 21=∆2≥即所求的△ABC 面积的最小值为21．若数列是公差为2的等差数列，数列满足b 1＝1，b 2＝2，且a n b n ＋b n ＝nb n ＋1.（1）求数列,的通项公式； （2）设数列满足，数列的前n 项和为，若不等式 对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.(1) ∵数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且a n b n ＋b n ＝nb n ＋1.∴ n ＝1时，a 1＋1＝2，解得a 1＝1.又数列{a n }是公差为2的等差数列，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.∴ 2nb n ＝nb n ＋1，化为2b n ＝b n ＋1，∴数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列.∴b n ＝2n －1.(2)由数列{c n }满足c n ＝＝＝，数列{c n }的前n 项和为 T n ＝1＋＋＋…＋，∴ T n ＝＋＋…＋＋， 两式作差，得 ∴T n ＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－， ∴T n ＝4－.不等式(－1)n λ<T n ＋，化为(－1)n λ<4－， 当n ＝2k (k ∈N *)时，λ<4－，取n ＝2， ∴λ<3.当n ＝2k －1(k ∈N *)时，－λ<4－，取n ＝1，∴λ>－2. 综上可得：实数λ的取值范围是(－2，3).22．已知m R ∈，函数11()ln ,()ln m f x mx x g x x x x-=--=+ （I ）若()()y f x g x =-在[)1,+∞上为单调增函数，求实数m 的取值范围（II ）证明：2*ln 2ln 3ln 4ln ()2342(1)n n n N n n ++++<∈+ 【答案】(1)1. (2). （3）证明见解析.【解析】分析：（1）先求的极值，有唯一的极小值，极小值为最小值。

绝密★启用前厦门外国语学校高二年级（下）3月份月考理科数学试题一、单选题（共12题；共60分）1. 已知复数满足，则Z对应点所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形内随机投一点(该点落在正方形内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是( )A. B.C.D.3.等比数列中，，函数，（）A. B.C.D.4. 已知函数f（x）的导函数的图像如图所示，那么函数的图像最有可能的是（）A. B. C. D.5. 设函数在区间上单调递减，则实数取值范围是（）A.B.C.D.6. 若函数的图象与直线相切，则（）A. B.C.D.7.已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是( )A. B.C.D.8.已知函数，则（）A. 有个零点B. 在上为减函数C. 的图象关于点对称 D. 有个极值点9. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（）A.B.C.D.10.直线分别与直线，曲线交于点，则的最小值（）A. 3B. 2C.D.11. 若函数对任意都有，则实数的取值范围是（）A. B.C.D.12. 若函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（共4题；共20分）13. 是虚数单位，复数 ________．14. 已知函数在处取得极值，则实数 ________．15. （e为自然对数的底数）＝________．16.定义在R上的可导函数，当时，恒成立，，，则a,b,c的大小关系为________三、解答题（共6题；共70分）17.如图，由，，围成的曲边三角形，在曲线弧上有一点 . （1）求以为切点的切线方程；（2）若与，两直线分别交于两点，试确定的位置，使面积最大．18.设函数，若函数在处与直线相切．（1）求实数a，b的值；（2）求实数在上的最大值．19.在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD ⊥平面BCD，如图．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．20.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若恒成立，求的值.21.已知函数，．，e为自然对数的底数．（1）如果函数在(0， )上单调递增，求m的取值范围；（2）设，，且，求证：．22. 已知函数 .（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，，且，证明： .高二月考理科数学答案一、单选题1.【答案】 D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】【解答】由题意设，由，得，，所以，在第四象限，【分析】本题利用复数模的求解公式和复数相等的条件，即实部相等且虚部相等求出复数的实部和虚部，从而根据复数的实部和虚部判断复数对应的点Z的位置，再利用复数与共轭复数实部相等，虚部相反找出共轭复数对应的点的位置，从而判断出共轭复数所对应点所在象限。

12019届福建省厦门外国语学校高三11月月考数学（理)试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.一、单选题1．已知集合2{|430}A x x x =-+<，{|21,0}x B y y x ==-≥，则A B ⋂=( ）A ．∅B ．[)()0,13,⋃+∞C ．AD ．B 2．已知,则不等式,,中不成立的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 3．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法中正确的是A ．∥∥B ．∥C ．∥∥D ．∥∥4．将函数y ＝sin （x ＋）的图象上各点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，所得到的图象解析式是A ．B ．C ．D ．只装订不密封准考证号 考场号 座位号5．已知向量，满足，，且在方向上的投影与在方向上的投影相等,则等于A．1 B ． C ． D．36．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺,问日织几何？"意思是:“一女子善于织布，每天织布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30,该女子所需的天数至少为A．7 B．8 C．9 D．107．定义域为的函数满足，，若,且，则A ．B ．C ．D ．与的大小不确定8．数列满足，且，若,则的最小值为A．3 B．4 C．5 D．69．已知0a>，0b>，且3为3a 与3b的等比中项，则49aba b+的最大值为A．124B ．125C ．126D．12710．一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为A． B ． C ． D．11．向量，,满足：,，，则最大值为A． B． C． D．12．设函数，其中,若仅存在两个正整数使得，则的取值范围是23A ．B ．C ．D ．二、填空题 13．设变量,满足约束条件，则目标函数的最小值为__________ 14．已知数列的前项和为,,，,则______________15．已知正方体1111ABCD A BC D -的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于点B C ，) ，点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111ABCD A BC D -所得的截面为四边形,则线段BM 长的取值范围为__________ ．16．设数列{}n a 是首项为0的递增数列,()()[]*11sin,,,n n n n f x x a x a a n N n+=-∈∈，满足:对于任意的[)()0,1,n b f x b ∈=总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式为_________三、解答题 17．如图,菱形与正三角形的边长均为2，它们所在平面互相垂直，平面，且．(Ⅰ）求证:平面;（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．18．在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数）。

2018-2019学年福建省厦门外国语学校高一下学期第一次月考数学试题一、多选题1．已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（）A．若，则一定是等边三角形B．若，则一定是等腰三角形C．若，则一定是等腰三角形D．若，则一定是锐角三角形【答案】AC【解析】利用正弦定理可得，可判断；由正弦定理可得，可判断；由正弦定理与诱导公式可得，可判断；由余弦定理可得角为锐角，角不一定是锐角，可判断.【详解】由，利用正弦定理可得，即，是等边三角形，正确；由正弦定理可得，或，是等腰或直角三角形，不正确；由正弦定理可得，即，则等腰三角形，正确；由正弦定理可得，角为锐角，角不一定是锐角，不正确，故选AC.【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，以及三角形形状的判断，属于中档题. 判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.2．数列2，6，12，20，的第8项是（）A．56 B．72 C．90 D．110【答案】B【解析】根据数列前四项发现规律：相邻两项的差成等差数列，从而可得结果.【详解】，，，，，，，故选B.【点睛】本题通过观察数列的前四项，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.3．已知，则的等比中项为（）A．2 B．C．D．16【答案】C【解析】直接利用等比中项的定义求解即可.【详解】因为的等比中项是，所以的等比中项为，故选C.【点睛】本题主要考查等比中项的定义与求法，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题. 4．在中，，则（）A．B．C．D．【解析】根据三角形内角和定理求角，再由正弦定理可得结果.【详解】在中，，则，由正弦定理，得，解得，故选A.【点睛】本题主要考查正弦定理及其应用，属于基础题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.5．已知等差数列的前项和，且，则（）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】B【解析】利用等差数列的性质和等差数列前项和公式，即可得结果.【详解】因为,，，故选B.【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前项和公式的应用，属于中档题. 解答有关等差数列问题时，要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系.6．已知数列满足，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由递推公式依次求出，找出数列的项之间规律即周期性，利用周期性求出.【详解】由和得，，，，可得数列是周期为4的周期数列，，故选C.【点睛】本题主要考查利用递推公式求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.7．已知的内角所对的边分别为，若,，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，利用诱导公式以及两角和的正弦公式可得，再利用余弦定理解方程求解即可.【详解】由，得，，得，因为，所以，化为，得，故选D.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式以及余弦定理解三角形，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.8．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意画出图形，由两角差的正切求出的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到和的长度,作差后可得结果.【详解】如图，，，在中，又，，在中，，，，河流的宽度等于，故选C.【点睛】本题主要考查两角差的正切公式、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数,意在考查综合应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.9．已知等比数列的前项和为，且,则( ）A．B．C．D．【答案】D【解析】由等比数列的性质可得仍成等比数列，进而可用表示和,代入化简可得结果.【详解】由等比数列的性质可得，仍成等比数列，，,成等比数列，，解得，,故选D.【点睛】本题主要考查等比数列的性质与应用，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题.10．等差数列的前项和为，若公差，，则A．B．C．D．【答案】D【解析】由公差可得，由可得，可得，，由等差数列的性质可得，，从而可得结论．【详解】公差，，，，，,，，，，，故选D．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与性质以及单调性、不等式的性质，属于中档题．解答等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）.三、解答题11．在等差数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.得数列的通项公式；(2) 由（1）可得，每相邻两项结合求和，从而可得结果.【详解】（1）,,(2).【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.12．如图，在梯形中，，．（1）求；（2）求的长度.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)由正弦定理求出的正弦值，再利用可得结果；（2）求得,利用正弦定理可得结果.【详解】(1)在中，由正弦定理，得，∴,∵，∴，.(2)由（1）可知,,在中，由正弦定理，得.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于中档题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.13．已知是等差数列，是等比数列，且（1）求，的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由，根据等比数列的性质求得、的值，即可得的通项公式，再根据列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）结合（1）可得，根据错位相减法，利用等比数列求和公式可得结果.【详解】（1）等比数列的公比，所以，．设等差数列的公差为．因为，，所以，即．所以．（2）由（1）知，，．因此．从而数列的前项和,,,两式作差可得,,解得.【点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的通项、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.14．在中，角，，所对的边分别为，，，若．（1）求的大小；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）1【解析】试题分析：（1）利用余弦定理，将即可求出，继而得；（2）利用三角形内角和定理将所求表达式表示为关于的三角函数式，结合三角函数的性质求解最大值.试题解析：（1）由题意，余弦定理：，∵，所以.（2）因为，，则．那么：∵，∴，当时，取得最大值为1，即的最大值1.15．某企业2017年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力逐年下降，若不能进行技术改造，预测从2018年起每年比上一年纯利润减少20万元，2018年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第年（以2018年为第一年）的利润为万元（为正整数）.（1）设从今年起的前年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元（须扣除技术改造资金），求，的表达式；（2）依上述预测，从2018年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计利润超过不进行技术改造的累计纯利润？【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）利用等差数列的求和公式可得，由等比数列的求和公式可得的表达式；（2）令,构造函数，根据函数的单调性，利用特殊值验证，从而可得结果.【详解】. . （2）令,设在单调递增,，,所以当时,即经过4年，进行技术改造后的累计利润超过不进行技术改造的累计纯利润.【点睛】本题主要考查等比数列与等差数列的求和公式以及函数单调性的应用，考查的阅读能力与建模能力，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.16．已知数列的满足，且,记.(1)求证：为等差数列，并求的通项公式；(2)设，求的值；(3)是否存在正实数，使得对任意都成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）.【解析】(1)化简，从而可得的通项公式；（2）结合（1）可得,利用裂项相消法可得结果；（3）利用“累乘法”化简左边式子为,从而可得对任意恒成立,构造函数,利用单调性求得，从而可得结果.【详解】(1),所以是以为首项，2为公差的等差数列,.（2）,,.(3) 左边,由题意可知,对任意恒成立,令,则由对钩函数的性质可知在上单调递增，故，综上可以，即正实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查等差数列的定义与通项公式，以及裂项相消法求和、不等式恒成立问题，属于难题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.四、填空题17．在等差数列中，，则________.【答案】【解析】根据列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而根据等差数列的通项公式可得结果.【详解】，，，故答案为.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.18．已知的内角所对的边分别为，若，则_______.【答案】【解析】直接利用正弦定理求解即可.【详解】,,是锐角，由正弦定理可得，，故答案为.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形以及特殊角的三角函数，属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.19．在中，若，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为________.【答案】2【解析】由三角形面积公式求得，由等腰三角形的性质可得的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径的值.【详解】中，，三角形的面积，，故，再由正弦定理可得，三角形外接圆的半径，故答案为2.【点睛】本题主要考查正弦定理以及三角形面积公式的的应用，属于基础题.正弦定理是解三角形的有力工具，如果已知三角形一条边与其对角，可求三角形外接圆半径.20．等比数列中，是关于的方程两个实根，则________.【答案】8【解析】由,根据是关于的方程的两个实根，利用韦达定理可得结果.【详解】因为等比数列中，,是关于的方程的两个实根，则，，则,则有,因为，所以，，故答案为8.【点睛】本题主要考查等比数列的性质，涉及一元二次方程中根与系数的关系，属于基础题. 等比数列最主要的性质是下标性质：解答等比数列问题要注意应用等比数列的性质：若则.21．已知等比数列的前项和为满足，则数列的通项公式________.【答案】【解析】由可得，是以2为公差，以2为首项的等差数列，求得，利用可得结果.【详解】，故，，故是以2为公差，以2为首项的等差数列，，，，综上所述可得，故答案为.【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.22．锐角的三边和面积满足条件，且角既不是的最大角也不是的最小角，则实数的取值范围是________ .【答案】【解析】根据余弦定理和面积公式可得，得，结合的范围确定结果.【详解】，，又，，，锐角三角形不是最大角、也不是最小角，则，，，故荅案为.【点睛】本题主要考查余弦定理和三角形面积公式的应用，属于基础题.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．。

福建省厦门外国语学校2018-2019学年高一数学下学期第一次月考试题（时间：120分钟； 满分：150分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在1-8小题为单选题，9-10小题为多选题，多选、错选不得分，漏选得3分，全部选对得5分，请在答题卡．．．的相应位置填涂． 1.数列2，6，12，20，的第8项是（ ）A ．56 B.72 C.90 D.1102.已知1,4a b ==，则,a b 的等比中项为 （ ）A.2B.25C.±2D.16 3.在ABC ∆中，075,45,4===C B a ，则=b （ ） A ．634 B.24 C.34 D.3324.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且25=100S ，则1214a a +=（ ）A ．16B ．8C ．4D ．2 5.已知数列{}n a 满足111,21n n n a a a a +-==+，则2019a A. 2 B.13 C. 12- D. 3- 6.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin sin (sin cos )0,5,2B A C C a c +-===，则=b （ ）A.6 B. 2 C. 2 D. 17.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸,B C 的俯角分别 为75oo，30，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( ) A ．240(3－1)m B ．180(2－1)m C ．120(3－1)m D ．30(3－1)m 8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且634S S =,则96S S = ( ）A.53 B. 23 C. 94 D. 1349.设等差数列的前项和为 ,且满足 ,则下列说法正确的是（ ）A ．1009S 最大B ．10091010||||a a >C ．10100a >D ．20182019+0S S < 10. 已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列四个命题中正确的命题是（ ） A.若cos cos cos a b cA B C==，则ABC ∆一定是等边三角形 B.若cos cos a A b B =，则ABC ∆一定是等腰三角形 C.若b B c C b =+cos cos ，则ABC ∆一定是等腰三角形 D.若2220a b c +->，则ABC ∆一定是锐角三角形二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡的相应位置．11.在等差数列{}n a 中，58=312a a =-，，则10a =12. 已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,4a b A π===，则=B13.在ABC ∆中，若2,120b A ==o，三角形的面积S =，则三角形外接圆的半径为14.等比数列{}n a 中，48,a a 是关于x 的方程21040x x -+=两个实根，则2610=a a a 15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S 满足*111=,20(2,)2n n n a a S S n n N -+⋅=≥∈，则数列{}n a 的通项公式n a =16.锐角ABC ∆的三边c b a ,,和面积S 满足条件kb ac S 4)(22--=，且角C 既不是ABC ∆的最大角也不是ABC ∆的最小角，则实数k 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共70分.其中第17题10分，其余各题每题12分，请在答题卡相应题号对应的空白处写出必要的文字说明或演算步骤. 17. （本小题满分10分）在等差数列{}n a 中，139+6=17a a a =，. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1b (1)n n n a -=-，求数列{}n b 的前100项和100S .18. （本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，//,90,2,6+2AD BC BAD AB AC ∠>==o ，30,BCA ∠=o 45ADB ∠=o ．(1)求sin BAD ∠； （2）求AD 的长度.19. （本小题满分12分）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且2311144=3=9,,.b b a b a b ==，. （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和. 20. （本小题满分12分）已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222=+2a c b ac +. （1）求B 的大小；（2）求2cos cos A C +的最大值. 21. （本小题满分12分）某企业2017年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力逐年下降，若不能进行技术改造，预测从2018年起每年比上一年纯利润减少20万元，2018年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（以2018年为第一年）的利润为500(10.5)n+万元（n 为正整数）（1）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计．．纯利润为n A 万元，进行技术改造后的累计纯利润为n B 万元（须扣除技术改造资金），求n A ，n B 的表达式；（2）依上述预测，从2018年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计利润超过不进行技术改造的累计纯利润？ 22. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的满足2=2a ，且2*+1=2+2()n n n a a n N +∈,记=2nn n a b . (1)求证：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的通项公式n b ；(2)设12231111n n n T b b b b b b +=++L ，求100T 的值； (3)是否存在正实数k，使得122221+)(1)(1)1nb b b ++≥L （对任意*n N ∈都成立？若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由.厦门外国语学校2018级高一（下）3月阶段性测试数学试题参考答案一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCABCDCDABAC二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）11.22- 12. 6π 13. 2 14. 8 15.1,121,22(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩16. (21,1)-三、解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分） 17.解:（1）13226a a a +==Q 2923,714a d a a ∴==-=2d ∴=2(2)n a a n d ∴=+-3(21)221n n =+-=-(2) 11(1)(1)(21)n n n n b a n --∴=-=--100(13)(57)(911)(197199)S ∴=-+-+-++-L 100250100S ∴=-⨯=-18. 解：(1)在中，由正弦定理，得，∴1(62)sin 622sin 2AC BCAABC AB+∠+∠=== (4)分 ∵，∴，sin sin(180)sin BAD ABC ABC ︒∠=-∠=∠=……………………………………6分(2)由（1）可知cos 4BAD ∠==-:…………………………8分1sin sin(45)cos )22ABD BAD BAD BAD ∠=∠+︒=∠+∠=……10分在中，由正弦定理，得1sin sin 22AB AD ABD ADB =∠⋅==∠12分 19解：（1）等比数列{}n b 的公比32933b q b ===，所以211b b q==，4327b b q ==，1111133n n n n b b q ---=⋅=⋅=．设等差数列{}n a 的公差为d ．因为111a b ==，14427a b ==，所以11327d +=，即2d =． 所以21na n =-． （2）由（1）知，21n a n =-，13n n b -=．因此1213n n n n c a b n -=⋅=-⋅（）． 从而数列{}n c 的前n 项和12n n S c c c =+++L012113+33+53++(2n-1)3n -=⋅⋅⋅⋅L1231313+33+53++(2n-3)3+(2n-1)3n n n S -=⋅⋅⋅⋅⋅L两式作差可得12121+2(33+3)(21)3n n n S n --=+--⋅L13(13)21+2(21)31-3n n n S n ---=⨯--⋅解得(1)3+1nn S n =-⋅20.解：（1）∵222a c b +=+∴222a c b +-=∴222cos 2a c b B ac +-===∴π4B ∠=（2）∵πA B C ++=∴3π4A C += ∴cos A C +()A A A =++A A =πsin()4A =+∵3π4A C +=∴3(0,π)4A ∈∴ππ(,π)44A +∈ ∴当4A π=时，πsin()4A +最大值为1即)maxcos 1A C+=，此时,42A B C A B πππ===--=21.解：(50020)(500202)...(50020n)n A =-+-⨯++-⨯2(1)50020104902n nn n n +=⨯-⨯=-+--2分2500500(10.5)500(10.5)...500(10.5)6005001002n n nB n =+++++-=-- ---------------------4分 （2）令22500501010100010022n n n nB A n n n n >⇔+-->⇔+-->-------------------------------6分 设250()102x f x x x =+--在(0,)+∞单调递增-------------------------------------------------------8分 50(3)931008f =+--<，50(4)16410016f =+-->---------------------------------------------------------------10分所以当4n ≥时n n B A >答：经过4年，进行技术改造后的累计利润超过不进行技术改造的累计纯利润 -------------------------------------12分22.(1)证明：211112222222n n n n nn n n n n n a a a a b b ++++++-=-=-= 所以{}n b 是以1112a b ==为首项，2为公差的等差数列 1(1)221n b n n ∴=+-⨯=-（2）111(21)(21)111()2(21)(21)22121n n n n b b n n n n ++--==--+-+Q11111111[(1)()...()](1)2335212122121n nT n n n n ∴=-+-+-=-=-+++100100201T ∴=(3) 左边121212222222=+)+)+)n n b b b b b b b b b+++=⋅⋅L L (1(1(1 35721=2113521n n n +⋅⋅=+-L 由题意可知,k ≤*n N ∈恒成立令()f n =*n N ∈,则由打钩函数的性质可知()f x =在[1+)∞，上单调递增，故min ()(1)f n f ==综上可以min 0()k f n <≤，即正实数k 的取值范围为(0,3。

厦门外国语学校2018-2019学年高三第三次月考数学（理）试题一、选择题1.已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】，∴，故选A．2.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，故为必要不充分条件.3.数列为等差数列，是其前项的和，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等差数列前项公式，以及等差数列的性质，将转化为的形式，求出，进而求得的值.【详解】依题意，所以，故.故选D.【点睛】本小题主要考查等差数列前项和公式，考查等差数列的性质，以及考查特殊角的三角函数值，属于基础题.4.若，（常数），则点的轨迹是（）A. 椭圆B. 线段C. 椭圆或线段D. 椭圆或直线【答案】C【解析】当a=2时，若F1（﹣2，0），F2（2，0），|PF1|+|PF2|=4，则点P的轨迹是线段，当时>4,这时轨迹是椭圆。

故答案为C。

5.已知实数满足，则的最小值为（）A. 1B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点处取得最小值为.考点：线性规划.6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“ 李白街上走，提壶去买酒。

遇店加一倍，见花喝一斗,三遇店和花，喝光壶中酒。

借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得时，，满足条件，执行循环体；时，，满足条件执行循环体；时，，不满足条件，退出循环体，输出∴∴故选C7.已知函数的最大值为2，且满足，则（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】函数满足，则函数关于直线对称，由函数的解析式可得：，分类讨论：若，则，由函数的对称性可得：，令可得：；若，则，由函数的对称性可得：，令可得：；综上可得：或 .本题选择C选项.8.已知直线与双曲线交于两点，且线段的中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得M，设代入双曲线方程相减得故选B点睛：本题考查了直线与双曲线的位置关系，已知弦AB的中点M坐标，可采用点差法，得出是解决本题的关键.9.已知函数 (为自然对数的底数)，若在上恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：不等式在上恒成立等价于在上恒成立，可利用导数求在上的函数的最小值.详解：因为在上恒成立，故在上不等式总成立，令，则.当时，，故在上为减函数；当时，，故在上为增函数；所以，故，故选D.点睛：含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，注意利用导数来求新函数的最值.10.已知等腰直角中，，斜边，点D是斜边上一点（不同于点A、B），沿线段折起形成一个三棱锥，则三棱锥体积的最大值是（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设，将折起使得平面平面，求得三棱锥体积的表达式，然后利用换元法求得体积的最大值.【详解】设，将折起使得平面平面，在三角形中，由面积公式得（其中到的距离为），则.故三棱锥体积为（）.令，故，由于是递减函数，故当时取得最大值，为. 【点睛】本小题主要考查三棱锥体积的计算，考查函数的单调性，考查换元法求函数的最值，属于中档题.11.给定两个单位向量，，且，点在以为圆心的圆弧上运动，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】给定两个单位向量，，且则，建立如图所示的坐标系，则A（1，0），B（cos150°，sin150°），即设∠AOC=，则因为则，所以=因为，所以有最小值-1.故选B12.已知数列的前项和为，数列为，若，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，其从第二项起，前项和.利用求得所在的位置，并由此求得的值.【详解】设，从第二项起，项和.令即，故当时符合题意.由于从开始，即，而.即，故.故选D.【点睛】本小题主要考查新定义数列的前项和的求法，以及等差数列前项和公式，考查分析和运算求解能力，属于中档题.解题过程中，首先是观察题目所给数列的规律，数列是分组呈现的，第一组的分母是，分子是，第二组分母是，分子从递增，以此类推.找到规律后，先求得每组和的公式，然后求整体的和，列不等式来求的位置.二、填空题13.已知i是虚数单位，若是纯虚数，则实数____【答案】1【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数，根据复数为纯虚数求得的值.【详解】依题意，为纯虚数，故.【点睛】本小题考查复数的除法运算、乘法运算，考查纯虚数的概念，考查运算求解能力，属于基础题.14.过直线与抛物线的两个交点，并且与抛物线准线相切的圆的为__________．【答案】【解析】【分析】求得直线与抛物线交点的坐标.根据圆的对称性得到圆心在轴上，设出圆心坐标，利用圆和准线相切列方程，解方程求得圆心坐标并求出圆的半径.【详解】抛物线的准线方程为，将代入抛物线的方程，求得，故两个交点的坐标为.由于圆和相切，根据圆的对称性可知，圆心在轴上.设圆心的坐标是，故，解得，故圆心为，半径为，所以圆的方程为.【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查圆的方程的确定，考查直线和圆的位置关系.得到一个抛物线的方程，首先确定好抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程等等.直线和抛物线的交点坐标，可以将直线方程代入抛物线方程来求解出来.圆是对称图形，弦的垂直平分线经过圆心，这是一个很重要的性质，主要用来确定圆心的位置.15.如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体是由一个三棱柱切割得到的，则该几何体外接球的表面积为_______【答案】【解析】【分析】画出三视图对应的几何体的直观图，根据几何体的三条相互垂直的棱，确定几何体外接球的半径，从而求得外接球的表面积.【详解】画出三视图对应的几何体的直观图如下图所示的三棱锥，由三视图可知两两垂直，故几何体的外接球是以分别为长、宽、高的长方体的外接球.由于，是以长方体的体对角线也即是外接球的直径为，故外接球的半径为，表面积为.【点睛】本小题主要考查空间几何体的三视图、考查几何体外接球的表面积的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 16.已知直线上与函数的图象交于三点,其横坐标分别是.若对任意的，恒成立,则实数a 的取值范围是________【答案】【解析】 【分析】先找到直线所过的定点，利用导数画出函数在上的图像，在上的图像先明确过的定点，再结合直线和函数图像交点的性质，列不等式组，从而求得的取值范围.【详解】直线方程可化为，故直线过定点.当时，，故函数也过.不妨设.故恒成立.当时，令，解得，故函数在上递减，在上递减.，.画出函数在上的图像，由图可知，当时：在，与直线有且只有两个交点，且一个交点处于轴左侧，另一个交点为.时，和直线有一个交点，则.则当时，令，化简得，解得.当时，由，解得.由于，则，化简得，由于，所以.【点睛】本小题主要考查直线过定点，考查利用导数求函数的单调区间并利用单调区间画出函数图像，考查了数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17.已知数列和对任意的满足，若数列是等比数列，且.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用求出，利用求出，从而求得，由此求得等比数列的首项和公比，进而求得数列的通项公式，代回已知条件求解出的通项公式.（2）利用分组求和法以及裂项相消求和法求得数列的前项和.【详解】（1）由条件可知，得，于是，，解得，又数列是等比数列，则公比为，于是，又，于是，解得.（2）由题意得，.【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的求解，考查分组求和法以及裂项相消求和法，属于中档题.18.在平面直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴的正半轴重合，终边交单位圆于点，且，点的坐标为．（I）若，求点的坐标；（II）若，且在中，角，，的对边分别为，，，，，求的最大值．【答案】(1).(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合平面向量数量积的坐标运算法则结合三角函数的性质可得点的坐标是；(2)由题意结合正弦定理将边长问题转化为三角函数问题，结合辅助角公式可得的最大值是.试题解析：（1）由题意，，，因为，所以，即.又，所以，，，所以点的坐标为.（2）由知，向量，同向平行，易知直线的倾斜角为，所以，即.由正弦定理得]当时，. 19.如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，都是正三角形.（1）证明：直线∥面；（2）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值是，若不存在请说明理由，若存在请求出点所在的位置。

福建省厦门外国语学校2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题（共12题；共60分）1.已知复数满足，则对应点所在的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】由题意设，由，得，，所以，在第四象限，选D。

2.如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形内随机投一点(该点落在正方形内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合定积分计算叶形图的面积，再根据几何概型概率计算公式即可求解【详解】叶形图的面积为：故选【点睛】本题主要考查的是定积分与随机事件的概率，属于基础题3.等比数列中，，函数，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将看成两项相乘的形式，即，根据乘法求导公式，可得，所求，则含x的项均为0，代入数据即可求解。

【详解】由题意知，所以，令，则= ，故选C【点睛】本题考查乘法求导法则，等比数列的性质，属中档题。

4.已知f(x)的导函数f′(x)图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的( )A. B. C. D.【答案】A【解析】x<−2时,f′(x)<0,则f(x)单减；−2<x<0时,f′(x)>0,则f(x)单增；x>0时,f′(x)<0,则f(x)单减。

则符合上述条件的只有选项A.故选A.5.设函数在区间上单调递减，则实数取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出原函数的导函数，由题意得到关于a的不等式组，求解得答案．详解：由，得，所以函数f(x)的减区间为（0,4）∵在区间[a﹣1，a+2]上单调递减，则∴实数a的取值范围是（1，2]．故答案为：D点睛：（1）本题主要考查导数在研究函数单调性中的应用,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2) 已知函数的增（减）区间，等价于≥（≤）0.（3）本题主要a-1＞0，不能取等.如果a=1,区间为[0,3],当取到0时，函数没有意义.6.若函数的图象与直线相切，则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设切点为，由可解得切点坐标与参数的值。

福建省厦门外国语学校2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题（共12题；共60分）1.已知复数满足，则对应点所在的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】由题意设，由，得，，所以，在第四象限，选D。

2.如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形内随机投一点(该点落在正方形内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合定积分计算叶形图的面积，再根据几何概型概率计算公式即可求解【详解】叶形图的面积为：故选【点睛】本题主要考查的是定积分与随机事件的概率，属于基础题3.等比数列中，，函数，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将看成两项相乘的形式，即，根据乘法求导公式，可得，所求，则含x的项均为0，代入数据即可求解。

【详解】由题意知，所以，令，则= ，故选C【点睛】本题考查乘法求导法则，等比数列的性质，属中档题。

4.已知f(x)的导函数f′(x)图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的( )A. B. C. D.【答案】A【解析】x<−2时,f′(x)<0,则f(x)单减；−2<x<0时,f′(x)>0,则f(x)单增；x>0时,f′(x)<0,则f(x)单减。

则符合上述条件的只有选项A.故选A.5.设函数在区间上单调递减，则实数取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出原函数的导函数，由题意得到关于a的不等式组，求解得答案．详解：由，得，所以函数f(x)的减区间为（0,4）∵在区间[a﹣1，a+2]上单调递减，则∴实数a的取值范围是（1，2]．故答案为：D点睛：（1）本题主要考查导数在研究函数单调性中的应用,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2) 已知函数的增（减）区间，等价于≥（≤）0.（3）本题主要a-1＞0，不能取等.如果a=1,区间为[0,3],当取到0时，函数没有意义.6.若函数的图象与直线相切，则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设切点为，由可解得切点坐标与参数的值。