2.2.1一元二次方程的解法

教师寄语：用心思考，就能战胜困难。

学习目标：1．会用开平方法解形如(x 十m)2＝n(n ≥0)的方程．2．理解一元二次方程的解法——配方法．学习过程：一、预备知识：1、复习完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±。

2、二次根式：若a x =2，则a x ±=。

3、形如 的方程叫做一元二次方程。

二、自主学习：1、解方程：(1) 42=x (2) 052=-x (3)2)3(2=+x (4)05)2(2=--x阶段总结：配方法基本思路：将方程左边变成平方项，右边变成常数项，利用二次根式来求解。

2、解方程：（1） 41682=+-x x （2） 142=+x x （3） 11102=-x x阶段总结：方程左面要利用完全平方式才能变成平方项， （2）（3）两题左面只有首平方（二次项）和二倍首尾（一次项），所以要利用等式的性质左右两边同时加上尾平方，才能使左边变成平方项，右边变成常数项，来求解。

练习配方：（1） 22)6(12+=++x x x （2） 22)(4-=+-x x x （3） 22)(8+=++x x x （4） 22)(3+=++x x x阶段总结：配方要领：当二次项系数为1时，所配的尾平方其实就是，一次项系数一半的平方。

3、解方程：（1）0162=-+x x （2）8142=-x x （3）48222+=++x x x阶段总结：利用配方法解方程，关键要将二次项作为首平方，一次项作为尾平方，将含有x 的项变成一个完全平方式。

遇到像（3）不是一元二次方程的一般式时，我们应该先整理（整理成一般式），再配方，再求解。

最终配方成n m x =+2)(，)0(≥n 的形式在求解，解为：n m x +-=1，n m x --=2 练习提高：(1) 1042=+x x (2) 025122=++x x (3) x x x 23)32(22+=+ (4) 04152=++x x教师寄语：用心思考，就能战胜困难。

专题2.2.2 一元二次方程的解法（2）【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题的多样性．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式　一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.20 (0)ax bx c a ++=¹2224()24b b ac x a a -+=240b ac D =->1,2x =240b ac D =-=1,22bx a =-240b ac D =-<【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1 用公式法解方程：22310x x +-=．举一反三：【变式】用公式法解方程：（1）x 2﹣3x ﹣2=0． （2）类型二、判断一元二次方程的解2．关于x 的一元二次方程2(3)10x k x k +-+-=根的情况，下列说法正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定举一反三：【变式】定义新运算a b *，对于任意实数a ，b 满足()()1a b a b a b *=+--，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如43(43)(43)1716*=+--=-=，若x k x *=（k 为实数） 是关于x 的方程，则它的根的情况是（ ）A ．有一个实根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根类型三、因式分解法解一元二次方程3．解方程：（1）24120x x +-=．（2）()()2454x x +=+．举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0（2）2221x x +=3(21)42x x x +=+一元二次方程的解法（2）（专项练习）一、选择题1．已知关于x 的一元二次方程()21210k x x -+-=有解，则k 的取值范围是（ ）A ．0k >B ．2k £C ．2k £且1k ¹D ．0k ≥且1k ¹2．以x =为根的一元二次方程可能是（ ）A ．240x x c --=B ．240x x c +-=C ．240x x c -+=D ．240x x c ++=3．小刚在解关于x 的方程()22200ax bx a -+=¹时，将其抄成了2220ax bx ++=，得到一个解是x =-2，则原方程的根的情况是（ ）A ．不存在实数根B ．有两个实数根C ．有一个根是2x =-D ．不确定4．如图，一次函数y =-3x +4的图象交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），过点P 分别作OA 和OB 的垂线，垂足为C ，D ．若矩形OCPD 的面积为1时，则点P 的坐标为（ ）A ．（13，3）B ．（12，2）C ．（12，2）和（1，1）D ．（13，3）和（1，1）5．在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）A ．x 2+2x ﹣3＝0B ．x 2+2x ﹣20＝0C ．x 2﹣2x ﹣20＝0D ．x 2﹣2x ﹣3＝06．直线y x a =+不经过第二象限，则关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数是（ ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个7．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成a b c d ，并规定a bad bc c d=-，例如2 4234121 3=´-´=，则 33 1x x x =--的根的情况为（ ）A ．只有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根8．关于x 的方程x （x ﹣1）＝3（x ﹣1），下列解法完全正确的是（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D9．已知226A x x n =++，222423B x x n =+++，下列结论正确的个数为( )①若226A x x n =++是完全平方式，则3n =±；②B－A 的最小值是2；③若n 是0A B +=的一个根，则2216549n n +=；④若()()202220192A A --=，则()()22202220194A A -+-=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．对于二次三项式22x mxy x +-（m 为常数），下列结论正确的个数有（ ）①当1m =-时，若220x mxy x +-=，则2x y -=②无论x 取任何实数，等式223x mxy x x +-=都恒成立，则()225x my +=③若226x xy x +-=，228y xy y +-=，则1x y +=④满足()()22220x xy x y xy y +-+--£的整数解(),x y 共有8个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．在数轴上原点两侧两点A 、B ，其中点A 表示的数是a ，点B 表示的数是2a a +，如果A ，B 两数的绝对值相等，那么a 的值是（ ）A ．0或2B ．0C ．2D ．-212．已知两个关于x 的一元二次方程22:0:0M ax bx c N cx bx a ++=++=，，其中0ac a c ¹¹，．下列结论错误的是（ ）A ．若方程M 有两个相等的实数根，则方程N 也有两个相等的实数根B ．若方程M 有一个正根和一个负根，则方程N 也有一个正根和一个负根C ．若5是方程M 的一个根，则15是方程N 的一个根D ．若方程M 和方程N 有一个相同的根，则这个根一定是1x =二、填空题13．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若方程2()20a c x bx a c -+++=有两个相等的实数根，则△ABC 是 _______ 三角形．14．关于x 的方程()2251x m +=+无实数解，则m 的取值范围________．15．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数,a b 同时满足2222,22a a b b b a +=++=+，求代数式b a a b +的值．结合他们的对话，请解答下列问题：（1）当a b =时，a 的值是__________．（2）当a b ¹时，代数式b aa b+的值是__________．16．已知()()2222142x y x y ++-=，则22x y +的值是___________．17．实数a ，n ，m ，b 满足a ＜n ＜m ＜b ，这四个数在数轴上对应的点分别为A ，N ，M ，B ，若2AM BM AB =×，2BN AN AB =×，则称m 为a ，b 的“大黄金数”，n 为a ，b 的“小黄金数”，当b －a ＝4时，m n -=_______．18．已知矩形的长和宽分别为a 和b ，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a ，b 应该满足的条件为 __________．19．若关于x 的一元二次方程210ax bx ++=有两个相等的实数根，则2224ab a a b -+的值为________．20．对于实数m ，n ，先定义一种断运算“Ä”如下：22m m n m n m n n m n m n ì++≥Ä=í++<î，当时，当时，若(2)10x Ä-=，则实数x 的值为_____________．三、解答题21．用适当的方法解下列方程：(1)x 2－x －1＝0；(2)3x (x －2)＝x －2；(3)x 2－＋1＝0；(4)(x ＋8)(x ＋1)＝－12．22．已知关于x 的方程x 2﹣（m +2）x +（2m ﹣1）＝0．(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．23．（1）a ，b 两个实数在数轴上的对应点如图所示．用“<”或“>”填空：a _______b ，ab _______0；（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．①x 2+2x −1=0；②x 2−3x =0；③x 2−4x =4；④x 2−4=0．24．已知关于x 的一元二次方程()()220a c x bx a c +++-=，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．(1)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．25．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由(x ＋p )(x ＋q )＝x 2＋(p ＋q )x ＋pq 得x 2＋(p ＋q )x ＋pq ＝(x ＋p )(x ＋q )．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x 2＋3x ＋2分解因式．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2．所以x 2＋3x ＋2＝x 2＋(1＋2)x ＋1×2．解：x 2＋3x ＋2＝(x ＋1)(x ＋2)．请仿照上面的方法，解答下列问题(1)分解因式：x 2＋5x －24＝________________________；(2)若x 2＋px ＋6可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能值是____________；(3)利用上面因式分解方法解方程：x 2－4x －21=0．26．阅读材料：把代数式267x x --因式分解，可以分解如下：22676997x x x x --=-+--()2316x =--()()3434x x =-+-- ()()17x x =+-(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式287x x -+因式分解．(2)拓展：当代数式22230x xy y +-=时，求xy的值．27．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x 2＋x ＝0是“差1方程”．(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；①x 2﹣5x ﹣6＝0；②x 2＋1＝0；(2)已知关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“差1方程”，求m 的值；(3)若关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）是“差1方程”，设t ＝10a ﹣b 2，求t 的最大值．。

2.2（1）一元二次不等式的解法【教学目标】掌握用二次函数的图像解一元二次不等式的解法。

了解一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的联系，体会数形结合、化归的数学思想。

形成利用一般与特殊的关系来解决数学问题的能力。

【教学重点】一元二次不等式的解法。

【教学难点】利用二次函数的图像解一元二次不等式。

【教学过程】 一、新课引入 1．实例在交通繁忙的路段，交通管理部门出于车辆安全和畅通的考虑，对汽车的行驶速度有一定的限制，超速行驶被视为违规。

因为汽车在遇到紧急情况时，即使司机马上刹车，但由于惯性的作用，刹车后的汽车仍会继续往前滑行一段距离后才会停下，这段距离叫做刹车距离。

车速越快，刹车距离越长，事故发生的可能性越大。

实验表明，某种型号的汽车当速度每小时小于100千米时，若行驶在水泥路面上，则汽车的刹车距离s （米）与汽车的车速x （千米/时）有如下关系：s=0.00526x 2+0.000078x(x ≤100)。

在某次交通事故中，测得一肇事汽车的刹车距离大于45.5米，问这辆汽车的车速每小时至少为多少千米。

根据题意，得0.00526x 2+0.000078x >45.5。

------① 2．提出问题①是一个整式不等式，它只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式。

一元二次不等式的一般形式是：)0(0022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或如何解一元二次不等式？二、解法探究为了得到一元二次不等式的一般解法，不妨先研究一个简单的一元二次不等式0322>--x x的解法。

解法一：原不等式可化为 0)1)(3(>+-x x ，它等价与⎩⎨⎧<+<-⎩⎨⎧>+>-01030103x x x x 或将问题转化为我们学过的一元一次不等式组。

于是可得到原不等式的解集}31|{>-<x x x 或解法二、利用数轴 ， －1、3将数轴分成三个部分，当3>x 时，1,03>+>-x x 所以0)1)(3(>+-x x当31<<-x 时，1,03>+<-x x 所以0)1)(3(<+-x x当1-<x 时，1,03<+<-x x 所以0)1)(3(>+-x x可得原不等式的解集 }31|{>-<x x x 或 还可得到)1)(3(<+-x x 解集为}31|{<<-x x 。

一元二次方程的解法汇总1．直接开方法解一元二次方程(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：（点击图片可放大阅览）要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤:①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、用直接开平方法解一元二次方程（点击图片可放大阅览）【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．举一反三：（点击图片可放大阅览）类型二、因式分解法解一元二次方程（点击图片可放大阅览）【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太烦琐．观察题目结构，可将x+1看作m，将(2-x)看作n，则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解．举一反三：【变式】方程(x-1)(x+2)＝2(x+2)的根是________．【答案】将(x+2)看作一个整体，右边的2(x+2)移到方程的左边也可用提取公因式法因式分解．即(x-1)(x+2)-2(x+2)＝0，(x+2)[(x-1)-2]＝0．∴ (x+2)(x-3)＝0，∴ x+2＝0或x-3＝0．∴ x1＝-2 x2＝3．（点击图片可放大阅览）【总结升华】如果把视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y 的值，然后计算，但实际上如果把看成一个整体，那么原方程便可化简求解。