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D5-1-4 复合函数求导 辽宁专升本,高等数学,树人,导航,2018

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D1-3 连续 辽宁专升本,高等数学,树人,导航,2018

D1-3 连续 辽宁专升本,高等数学,树人,导航,2018
y
y xa a0
lim f ( x ) lim x 0 f (0),
x 0
y xa a0
y xa a0
所以 f 在 x 0 处左连续. 又因为
x 0
y x
o
点击上图动画演示
x
lim f ( x ) lim ( x a ) a,
x 0
y 1 x
y2 x
1
o
x 前页 后页 返回
解
f (1) 1,
x 1
f (1 0) 2,
f (1 0) 2,
lim f ( x ) 2 f (1),
x 0为函数的可去间断点 .
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
前页 后页 返回
定义3 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个右邻域 U ( x0 )
( 左邻域U ( x0 )) 有定义，若
x x0
lim f ( x ) f ( x0 ) ( lim f ( x ) f ( x0 )),
x x0
则称 f ( x ) 在点 x0 右(左)连续.
为狄利克雷函数. 证 因为 f (0) 0, D( x ) 1, lim x 0, 所以
x 0
lim f ( x ) lim xD( x ) 0 f (0).
x 0 x 0
故 f ( x ) 在 x 0 处连续.
注意:上述极限式绝不能写成
lim xD( x ) lim x lim D( x ) 0.
f ( 0 0 ) 0,
x 0, 在x 0处的连续性. x 0,
y

高考数学复合函数求导公式总结

高考数学复合函数求导公式总结

高考数学复合函数求导公式总结复合函数求导公式有哪些1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f(x)=f(u)·g(x);2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f(x)=f(a)·p(u)·g(x);拓展：1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠?，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)。

2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。

3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为T1·T2，任一周期可表示为k·T1·T2(k属于R+).4、单调(增减)性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。

即“增+增=增;减+减=增; 增+减=减;减+增=减”，可以简化为“同增异减”。

复合函数怎么求导复合函数的导数等于原函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。

举个例子来说：F(x)=In(2x+5),这个函数就是个复合函数，设u=2x+5，则u就是中间变量，则F(u)=Inu (1)原函数对中间变量的导就是函数(1)的导，即1/u中间变量对自变量的导就是u对x求导，即2最后原函数的导数等于他们两个的乘积，即2乘以1/u，但千万别忘了把u=2x+5带进去，所以答案就是2/(2x+5)。

其他的不管在复杂的复合函数都是这么求的，要是有多重复合就一层一层的求下去，一般来讲，高三最多要你求3层复合就像：F(x)=log[(2x+5)平方}，这个就是简单的三层复合，设u=v平方，v=2x+5, 再用上面一样的方法把各自的求出来，来乘起来就是. 熟悉了以后根本不用列这么多，直接写就行。

第二章第三讲复合函数求导及求导公式

第二章第三讲复合函数求导及求导公式
x
dy 1 x x [l ncos(e )] [cos( e )] x dx cos(e ) si n ( ex) x (e ) x cos(e ) e x tan (e x )
2018/10/11
泰山医学院信息工程学院刘照军
8
二、基本求导法则与导数公式
1.常数和基本初等函数的导数公式
2018/10/11
三、小节
本将主要讲解了导数的运算法则、反 函数的求导公式、复合函数求导、基本函 数的求导公式，要求熟练掌握求导法则， 熟记常用函数的求导公式，会用法则及常 见函数的导数求一般函数的导数。
2018/10/11
泰山医学院信息工程学院刘照军
15
精品课件！
2018/10/11 泰山医学院信息工程学院刘照军 16
y lnu, u sinx.
dy dy du 1 cos x cos x cot x dx du dx u sin x
2018/10/11
泰山医学院信息工程学院刘照军
4
2x dy y sin , 例9 2 求 1 x dx 2x 2x y sin 解 2 可看作由 y sinu, u 2 复合而成， 1 x 1 x
1
dy 1 1 ( x )] , 或 dx dx f ( y ) dy
2018/10/11
泰山医学院信息工程学院刘照军
11
双曲函数及反双曲函数的求公式
y shx
1 x y ( shx ) [ (e e x )] 2 1 x (e e x ) chx . 2
( lim 0)
u 0
则 y f (u0 )u u
y u u lim lim[ f ( u0 ) ] x 0 x x 0 x x u u f ( u0 ) lim lim lim x 0 x x 0 x 0 x

辽宁专升本函数知识点归纳

辽宁专升本函数知识点归纳

辽宁专升本函数知识点归纳函数是数学中非常重要的概念，它描述了两个集合之间的一种确定性关系，其中一个集合中的每个元素都与另一个集合中的一个元素相对应。

在辽宁专升本的数学考试中，函数是一个重要的考点，以下是对函数知识点的归纳总结。

首先，函数的定义域和值域是函数的两个基本属性。

定义域是指函数中自变量可以取的所有值的集合，而值域则是自变量取值后，函数值可以取的所有值的集合。

其次，函数的单调性是描述函数增减变化趋势的重要性质。

如果函数的值随着自变量的增大而增大或减小，我们就说这个函数是单调增或单调减的。

接着，函数的奇偶性也是函数的一个重要性质。

如果一个函数满足f(-x) = -f(x)，那么这个函数就是奇函数；如果满足f(-x) = f(x)，那么这个函数就是偶函数。

此外，函数的周期性也是常见的性质之一。

如果存在一个非零实数T，使得对于所有自变量x，都有f(x+T) = f(x)，那么这个函数就具有周期性。

在专升本考试中，除了上述基本性质外，还有一些特殊的函数形式需要掌握，如分段函数、复合函数等。

分段函数是由几个简单函数在不同区间上拼接而成的函数，而复合函数则是由两个或多个函数复合而成的函数。

函数的极限和连续性也是专升本数学考试中的重点。

极限描述了函数值在自变量趋于某个特定值时的趋势，而连续性则描述了函数在某点附近的行为。

最后，函数的微分和积分是高等数学中的核心内容。

微分描述了函数在某一点处的变化率，而积分则描述了函数在某个区间上的累积变化。

结束语：通过对函数的这些基本性质和概念的掌握，考生可以在辽宁专升本数学考试中更好地解决相关问题，提高解题效率和准确率。

希望以上的归纳对考生有所帮助。

复合函数的求导运算

复合函数的求导运算

导数的计算方法
第三章
导数的定义与性质
VS
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点附近的小范围内变化的快慢。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如可加性、可减性、可乘性和可除性等。
导数的定义
导数的计算公式
链式法则
基本初等函数的导数公式
对于一些常见的初等函数，如幂函数、指数函数、三角函数等，都有其对应的导数公式。
求解最优化问题
在约束条件下，通过求导数可以找到使目标函数取得最大或最小值的解。
确定最优解
在经济模型中，通过求导数可以分析成本、收益、利润等函数的单调性和极值，从而制定最优策略。
分析经济模型
1
2
3
导数在优化问题中的应用
总结与展望
第五章
复合函数求导是微积分中的重要概念，它涉及到函数的复合关系以及导数的运算规则。通过学习复合函数的求导，我们可以更好地理解函数的连续性和可微性，以及解决实际应用问题。
导数在极值问题中的应用
判断极值类型
通过分析二阶导数的符号，可以判断极值是极大值还是极小值。
确定最值
在闭区间上，函数的最大值和最小值可能出现在端点或极值点，通过求导数可以找到这些点。
寻找极值点
导数为0的点可能是函数的极值点，通过求解导数等于0的方程，可以找到极值点。
通过求导数，可以找到使函数取得最大或最小值的x值，从而解决最优化问题。
乘积法则
总结词
乘积法则是求两个函数的导数的关键，它于乘法法则的导数。
详细描述
乘积法则指出，如果两个函数相乘，那么它们的乘积相对于x的导数等于每个函数的导数乘以另一个函数。具体公式为：(uv)'=u'v+uv'。

复合函数的导数87708

复合函数的导数87708

二、新课——复合函数的导数：
复合函数的概念: 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果 通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这
个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，
记作y=f(g(x)).
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1.2.2 复合函数的导数
新授课
函数 y u2 ，u 3x 2 ， y (3x 2)2 构成间的关系？
( x)x
(e x ) x

1 2
(x
ex
1
)2
1 ex
( x)x

1
(x

ex
1
)2
(1
ex
).
2
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例 9 设 y x ,求 y .法则.
y ( x) 1 x2 x( 1 x2 ) ( 1 x2 )2
fx(( x)) f (u)( x)
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例 3 设 y = (2x + 1)5，求 y .
解 把 2x + 1 看成中间变量 u，将 y = (2x + 1)5
看成是
y = u5，u = 2x + 1
复合而成， 由于
yu (u5 ) 5u4 ,
所以
ux (2x 1) 2.
为了解决上面的问题,我们需要学习新的导
数的运算法则,这就是复合函数的导数. 如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以令
y=u2,u=3x-2,则
yu 2u,ux 3,
从而 yx yu ux 18x .12
结果与用导数的四则运算法则求得的结果一致

辽宁专升本高数知识点归纳

辽宁专升本高数知识点归纳辽宁专升本高数知识点归纳涵盖了高等数学的基本概念、定理、公式以及解题技巧，以下是对这些知识点的详细总结：一、函数与极限- 函数的定义、性质（单调性、奇偶性、周期性）- 极限的概念、性质、运算法则- 无穷小量的比较- 极限存在的条件（夹逼定理、单调有界定理）二、导数与微分- 导数的定义、几何意义、物理意义- 基本初等函数的导数公式- 高阶导数- 隐函数、参数方程的导数- 微分的概念、微分中值定理三、积分学- 不定积分与定积分的概念、性质- 基本积分公式- 换元积分法、分部积分法- 定积分在几何、物理中的应用（面积、体积、弧长）四、级数- 级数的收敛性判断（正项级数、交错级数、比值判别法）- 幂级数、泰勒级数- 函数的幂级数展开五、多元函数微分学- 多元函数的偏导数、全微分- 多元函数的极值问题- 多元函数的几何应用（切平面、法线）六、多元函数积分学- 二重积分、三重积分的概念与计算- 曲线积分、曲面积分- 格林公式、高斯公式、斯托克斯定理七、常微分方程- 一阶微分方程的解法（分离变量法、变量替换法）- 可分离变量的高阶微分方程- 线性微分方程的解法（特征方程法、常数变易法）八、线性代数基础- 矩阵的运算、行列式- 向量的线性相关性、基、维数- 线性方程组的解法（高斯消元法、克拉默法则）九、解析几何- 空间直线与平面的方程- 空间曲线的参数方程- 空间曲面的方程结束语通过以上对辽宁专升本高数知识点的归纳，我们可以看到高等数学是一个涵盖广泛、逻辑严密的学科。

掌握这些知识点不仅有助于通过专升本考试，更能为未来的学习和研究打下坚实的基础。

希望同学们能够通过系统学习和不断练习，深入理解并熟练运用这些知识点。

复合函数求导


1 ( 3) y ; 2 cos x
( 4) y
6x3 x 1 x
2
;
简单复合函数 的导数
复合函数:
由几个函数复合而成的函数，叫复合函数． 由函数 y f (u )与 u
( x) 复合而成
的函数一般形式是
y f [ ( x)]
，其中u称为中间变量．
目前我们所研究的简单复合函数的导数 仅限于形如f（ax+b）的复合函数
数学运用
试) ; (2) y ln(5 x 1) 1 (3) y ; (4) y cos( 1 2 x) 3x 1
3
数学运用
求下列函数的导数：
(1) y (2 x 3) ; (2) y ln(5 x 1) 1 (3) y ; (4) y cos( 1 2 x) 3x 1
3
例写出由下列函数复合而成的函数,并 求它们的导数。 2 y cos u ⑴ u 1 x
；
⑵
．
y ln u
，
u ln x
，
解：⑴
y cos(1 x ) 2 y 2 x sin(1 x ) ⑵ y ln(ln x)
2
y ( x ln x)
1
• 1、求下列函数的导数：
两边同时对x求导得: f ( x T )( x T ) f ( x ), 即 f (x T) f (x). f ( x) 也是以T为周期的周期函数.
例5:设f(x)可导,求下列函数的导数: (1)f(x2);(2)f( 1 x 2 );(3)f(sin2x)+f(cos2x) 2 2 2 ( 1 ) y f ( x ) ( x ) 2 x f ( x ); 解:

复合函数求导法【高等数学PPT课件】


y 2 u
y
u 1 (u u )
x 2
2u x 2

1 2
[(
2u
2

1 2

2u 1)
2
( 2u

1 2
2u
2

1)] 2

1 4
(2u2

2
2u


2u
2
)
x y, x2 y
y
解
求 uxx , uxy , uxz .
ux
f1
1 y

f2 z
f3 0
1 y
f1
zf2
uxx
1( y
f11

1 y

f12 z)
f

z(
f21
1 y

f22 z)
1x
2y 3z

1 y2
f11

2
z y
f12

z2
f

,
f21

2 f vu
,
f22

2 f v 2
例1 z f ( xy, x2 y2 ), f 有二阶连续偏导，
求 z xy . 解 zx f1 y f2 2x
1x
f
2y
f1
1 2
x y
f2
1 2
x y
zxy f1 y( f11 x f12 (2 y)) 2x( f21 x f22 (2 y))
第4节 多元复合函数微分法
一、多元复合函数的求导法则
一元函数：y f (u), u ( x) 都可导，则

复 合 函 数 的 求 导 法 则



1 u

c
1 os2
v

1 2

1
1
1
tan( x ) cos2 ( x ) 2
24
24

2
sin(
x


1 )c
os(x


)

1 sin(x

)

sec
x.
24 24
2
熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心， 由外及里、逐层求导。
(A) 例6 求y (3x 2)5 的导数
所以
yx

yu

u

x

1 u
(2x)

2x x2 1
(A) 例3 求函数 y cos2 x 的导 数
解：设 y u 2 则 u cos x
因为
yu

2u,
u

x


sin
x
所以
yx

yu

u

x
2u(sin x) 2cosxsin x sin 2x
10 x(1
1
x) 3

(5x 2

4) 1
(1
2
x) 3
(1)
3
10x3 1 x 1 (5x2 4) 1 .
3
3 (1 x)2
（2） y (x sin2 x)4 解 ：y 4(x sin 2 x)3 (x sin 2 x)
4(x sin 2 x)3[x (sin 2 x)] 4(x sin 2 x)3[1 2sin x(sin x)] 4(x sin 2 x)3 (1 2sin x cos x) 4(x sin 2 x)3 (1 sin 2x)
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u
x y z
2 x ( 1 2 x sin y ) e
u f f z y y z y
2
x 2 y 2 x 4 sin 2 y
x
x 2 cos y
x 2 y 2 x 4 sin 2 y
y
2 ye
x2 y2 z2
4
2ze
x2 y2 z2
内容小结
1. 复合函数求导的链式法则 例如,
u
1;
2 x y v
x y
分段用乘 单路全导
分叉用加 叉路偏导
作业
机动 目录 上页 下页 返回 结束
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
u (t ) , v (t ) , w (t ) dz z du z dv z dw d t u d t v d t w d t f 3 f1 f 2
z z 例1. 设 z e sin v , u x y , v x y ,求 , . x y z z v 解: x v x
u
e sin v
z y
u
u
e u cos v 1
z
u v yx y
z v v y
x
e sin v
e cos v 1
u
例2. u f ( x , y , z ) e
x2 y2 z2
u f 解: x x
2 xe
x2 y2 z2
u u 求 , , z x sin y , x y
2
2z e
2
x2 y2 z2
2 x sin y
t
t
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
例4. 设2Fra bibliotekf 具有二阶连续偏导数,
w w w , f1 , f 2 求 , . x x z u v 解 : 令u x y z , v x y z , 则 w f ( u, v ) x y zx y z w yz f2 x ( x y z, x yz ) y z f2 2w x y x y f12 f 22 x z 2 2 f f f y ( x z ) f x y z f y f 2 , 11 12 f1 , 22 f12 为简便起见 , 引入记号 u u v
单路全导
叉路偏导
说明: 若定理中
偏导数连续减弱为
偏导数存在, 则定理结论不一定成立. u 2v 2 2 , u v 0 2 2 例如: z f ( u, v ) u v
ut , vt
易知:
0,
u v 0
2
2
但复合函数 z f ( t , t ) t 2 z du z dv dz 1 0 1 0 1 0 u d t v d t dt 2
第四节 复合函数的求导法则
一元复合函数 求导法则 微分法则
一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f ( u, v )
处偏导连续, 则复合函数 在点 t 可导, 且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
z
u v
t
t
分段用乘
分叉用加
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f ( u, v , w ) ,
z
u v w
t t t
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
z f ( u, v ) , u ( x , y ) , v ( x , y )
z z u z v f 2 1 f11 x u x v x z z u z v f 2 2 f1 2 y u y v y
2 ( y x sin y cos y ) e
dz . 例3. 设 z uv sin t , u e , v cos t , 求全导数 dt d z z du z 解: z d t u d t t
t
ve
t
t
cos t
u v t
e (cos t sin t ) cos t
机动 目录
z
u v
x
上页
y x
下页 返回
y
结束
又如, z f ( x , v ) , v ( x , y )
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x
1 f1 f 2 2 f2
x
v
x y
z y
z f 不同, 注意: 这里 与 x x z f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 x x