2019年高考数学一轮训练含答案(理科)： 课时分层训练63 排列与组合北师大版

高考数学一轮复习排列与组合专题练习及答案高考数学一轮复习排列与组合专题练习及答案一、填空题1.市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是________.[解析] 由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共322=12种;如果是第二种偶奇奇的情况，个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0,1种情况)，共321=6种，因此总共12+6=18种情况.[答案] 182.若从1,2,3，，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种.[解析] 满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C=5(种);二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有CC=60(种);三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的`取法共有5+60+1=66(种).[答案] 663.(2014福州调研)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称这个数为伞数.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中取3个数，组成无重复数字的三位数，其中伞数有________个.[解析] 分类讨论：若十位数为6时，有A=20(个);若十位数为5时，有A=12(个);若十位数为4时，有A=6(个);若十位数为3时，有A=2(个).因此一共有40个.[答案] 404.一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多确定的圆的个数为________.[解析] 从8个点中任选3个点有选法C种，因为有4点共圆所以减去C种再加1种，共有圆C-C+1=53个.[答案] 535.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________种.[解析] 分两种情况：选2本画册，2本集邮册送给4位朋友有C=6(种)方法;选1本画册，3本集邮册送给4位朋友有C=4(种)方法，不同的赠送方法共有6+4=10(种).[答案] 106.用数字1,2,3,4,5,6六个数字组成一个六位数，要求数字1,2都不与数字3相邻，且该数字能被5整除，则这样的五位数有________个.[解析] 由题可知，数字5一定在个位上，先排数字4和6，排法有2种，再往排好的数字4和6形成的3个空位中插入数字1和3，插法有6种，最后再插入数字2，插法有3种，根据分步乘法计数原理，可得这样的六位数有263=36个.[答案] 367.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法有________种.[解析] 第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法CC=264(种);第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C-3C=220-12=208(种).由分类计数原理知不同的取法有264+208=472(种).[答案] 4728.在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的三位数共有________个.[解析] 在1,2,3,4,5这五个数字中有3个奇数，2个偶数，要求三位数各位数字之和为偶数，则两个奇数一个偶数，符合条件的三位数共有CCA=36(个).[答案] 36二、解答题9.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是多少?(用数字作答).[解] 分三类：选1名骨科医生，则有C(CC+CC+CC)=360(种);选2名骨科医生，则有C(CC+CC)=210(种);选3名骨科医生，则有CCC=20(种).骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360+210+20=590种.10.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.(1)若每个盒子放一球，则有多少种不同的放法?(2)恰有一个空盒的放法共有多少种?[解] (1)每个盒子放一球，共有A=24(种)不同的放法;(2)法一先选后排，分三步完成.第一步：四个盒子中选一只为空盒，有4种选法;第二步：选两球为一个元素，有C种选法;第三步：三个元素放入三个盒中，有A种放法.故共有4CA=144(种)放法.法二先分组后排列，看作分配问题.第一步：在四个盒子中选三个，有C种选法;第二步：将四个球分成2,1,1三组，有C种放法;第三步：将三组分到选定的三个盒子中，有A种放法.故共有CCA=144种放法.。

2019年高考数学（理）一轮复习精品课时练习课时达标检测（五十二）排列、组合[小题对点练——点点落实]对点练(一)两个计数原理1．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一个有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A．9B．14C．15 D．21解析：选B当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7个．当x≠2时，由P⊆Q，∴x＝y，∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法，因此满足条件的点的个数是7＋7＝14.2．(2018·云南调研)设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是()A．7 B．10C．25D．52解析：选B因为集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，所以x有2种取法，y有5种取法，所以根据分步乘法计数原理得有2×5＝10(个)．3．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种解析：选B赠送1本画册，3本集邮册．需从4人中选取1人赠送画册，其余赠送集邮册，有4种方法．赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人赠送画册，其余2人赠送集邮册，有6种方法．由分类加法计数原理，不同的赠送方法有4＋6＝10(种)．4．(2018·绍兴模拟)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为() A．243 B．252C．261 D．279解析：选B0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900个三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648个，∴有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.5．有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式种数为()C．10 D．9解析：选B第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有4×3＝12种方式；第二类：选2套连衣裙中的一套服装有2种选法，由分类加法计数原理，共有12＋2＝14种选择方式．6.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为________．解析：先染顶点S，有5种染法，再染顶点A有4种染法，染顶点B有3种染法，顶点C的染法有两类：若C与A同色，则顶点D有3种染法；若C与A不同色，则C有2种染法，D有2种染法，所以共有5×4×3×3＋5×4×3×2×2＝420种染色方法．答案：420对点练(二)排列、组合问题1．(2018·福建漳州八校联考)有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有()A．34种B．48种C．96种D．144种解析：选C特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有C12种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余三个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有C12·A44·A22＝96种排法，故选C.2．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为()A．10 B．20C．30 D．40解析：选B将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C35C22A22＝20(种)．3．“住房”“医疗”“教育”“养老”“就业”成为现今社会关注的五个焦点．小赵想利用国庆节假期调查一下社会对这些热点的关注度．若小赵准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“住房”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为()A．13 B．24解析：选D可分三步：第一步，先从“医疗”“教育”“养老”“就业”这4个热点中选出3个，有C34种不同的选法；第二步，在调查时，“住房”安排的顺序有A13种可能情况；第三步，其余3个热点调查的顺序有A33种排法．根据分步乘法计数原理可得，不同调查顺序的种数为C34A13A33＝72.4．(2017·舟山二模)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．18种B．24种C．36种D．72种解析：选C1个路口3人，其余路口各1人的分配方法有C13A33种.1个路口1人，2个路口各2人的分配方法有C23A33种，由分类加法计数原理知，甲、乙在同一路口的分配方案为C13A33＋C23A33＝36(种)．5．(2018·豫南九校联考)某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有()A．72种B．36种C．24种D．18种解析：选B A12(C23C13＋C13C23)＝36(种)．6．7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有________种排法．解析：先排最中间位置有1种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C36种排法，再排剩下右边三个位置，共1种排法，所以排法种数为C36＝20.答案：207．把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为________(用数字作答)．解析：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人每人一张，一人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C34＝4种情况，再对应到4个人，有A44＝24种情况，则共有4×24＝96种情况．答案：968．若把英语单调“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误种数共有________种．解析：把g，o，o，d 4个字母排一行，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为A24＝12种．其中正确的有一种，所以错误的共A24－1＝12－1＝11(种)．答案：11[大题综合练——迁移贯通]1．从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一排．(1)共有多少种不同的排法？(2)若选出的2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法？(用数字表示)解：(1)从4名男生中选出2人，有C24种选法，从6名女生中选出3人，有C36种选法，根据分步乘法计数原理知选出5人，再把这5个人进行排列共有C24C36A55＝14 400(种)．(2)在选出的5个人中，若2名男生不相邻，则第一步先排3名女生，第二步再让男生插空，根据分步乘法计数原理知共有C24C36A33A24＝8 640(种)．2．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．解：(1)先选后排，可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有C35C23＋C45C13种情况，后排有A55种情况，则符合条件的选法数为(C35C23＋C45C13)·A55＝5 400.(2)除去该女生后，先选后排，则符合条件的选法数为C47·A44＝840.(3)先选后排，但先安排该男生，则符合条件的选法数为C47·C14·A44＝3 360.(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C36种情况，再安排该男生有C13种情况，选出的3人全排有A33种情况，则符合条件的选法数为C36·C13·A33＝360.3．有编号分别为1,2,3,4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？解：(1)∵1号球可放入任意一个盒子内，有4种放法．同理，2,3,4号小球也各有4种放法，∴共有44＝256种放法．(2)恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1,1,2. 先从4个小球中任选2个放在一起，有C 24种方法，然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个盒子中，有A 34种放法．∴由分步乘法计数原理知共有C 24A 34＝144种不同的放法．(3)恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法： ①一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球．先把小球分为两组，一组1个，另一组3个，有C 14种分法，再放到2个盒子内，有A 24种放法，共有C 14A 24种放法；②把4个小球平均分成2组，每组2个，有C 242种分法，放入2个盒子内，有A 24种放法，共有12C 24A 24种放法． ∴由分类加法计数原理知共有C 14A 24＋12C 24A 24＝84种不同的放法．。

专题突破练（五）平面解析几何中的高考热点问题（对应学生用书笫309页）X V1•设凡 尺分别是椭圆G 了+7=1@＞方＞0）的左、右焦点，〃是C 上一点且处与X 轴垂 直，直线•肪;与Q 的另一个交点为用（1） 若直线㈱的斜率为才，求Q 的离心率；（2） 若直线細在y 轴上的截距为2,且|测=5|用M ，求臼，b.［解］ ⑴根据c=f_S 及题设知.，（c,勺，^=-|, 2b=3ac. 将仔=臼2一孑代入2甘= 3ac, 解得专詁彳=一2（舍去）. 故C 的离心率为g（2）由题意，原点0为斤尺的中点，，处〃y 轴，所以直线朋与y 轴的交点〃（0, 2）是线段MF\的中点，j2故一=4,即庁=4日•①由|必V|=5|凡V ］得丨莎|=2|£別.设N{x\, yi ）,由题意知yKO ，则9c I代入C 的方程，得荷+了=1.② 将①及二？代入②得W+右=1.解得曰=7, I ）=4^=28,故臼=7,方=2⑴.2 22. （2018 •海口调研）己知椭圆E ： $+令=1（日＞力＞0）经过点 a b点。

为坐标原点•2 （― c —為）=c 9.Ki = — 1.⑴求椭圆〃的标准方程;(2)如图2,过椭圆厂的左焦点壬作一条不垂直于坐标轴的直线厶交椭圆/于只 0两点，记弦〃的中点为胚 过厂作％的垂线刖交直线初于点"，证明：点川在 一条定直线上. 所以c=2,所以椭圆E 的方程为丁+#=1.(2)证明：设直线/的方程为 y=W(x+2)(&H0),戶(丽，/1), Qjx“ 乃)，2联立y=k(x+2)与右+声=1，可得(l+5#)#+20/v+20#-5 = 0,所以 %1 + %2—- 20卩 20护一51 + 5护'恥2 — ］+5护• 设直线月V 的方程为y= —*(/+2)，爪xa, yo),rblX1 + X2 则必一 2 - 10# 2k '1+5护'必一心＞+2)—1+5&2,所以 koy=-=-1 —議所以直线。

课时分层训练(六十三)　排列与组合(对应学生用书第324页)A 组　基础达标一、选择题1．(2016·四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A ．24 B ．48C ．60D ．72D [第一步，先排个位，有C 种选择；13第二步，排前4位，有A 种选择．4由分步乘法计数原理，知有C ·A ＝72(个)．]1342．把6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A ．144B ．120C ．72D ．24D [先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A ＝24种坐法．]343．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A ．85B ．56C ．49D ．28C [分两类：甲、乙中只有1人入选且丙没有入选；甲、乙均入选且丙没有入选，计算可得所求选法种数为C C ＋C C ＝49.]12272174．(2018·广州综合测试(二))从1,2,3,4,5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为( )【导学号：79140344】A. B.1525C.D.1235B [从这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数共有A ＝6035个，其中是偶数的有C A ＝24个，所以所求概率P ＝＝，故选B.]12242460255．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对C [正方体六个面的对角线共有12条，则有C ＝66对，而相对的两个面212中的对角线其夹角都不是60°，则共有3×C ＝18对，而其余的都符合题意，24因此满足条件的对角线共有66－18＝48对．]6．(2017·青岛二模)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A ．18种B ．24种 C ．36种D ．72种C [1个路口3人，其余路口各1人的分配方法有C C A 种.1个路口1人，13232个路口各2人的分配方法有C C A 种，由分类加法计数原理知，甲、乙2323在同一路口的分配方案为C C A ＋C C A ＝36种．]132323237．若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是( )A ．540B ．480C ．360D ．200D [由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有C C A ＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有15152C ＝4种满足题意的选法，故满足题意的三位数共有C ×C C A ＝200(个)141415152．]二、填空题8．如图10­2­1，用五种不同颜色给A 、B 、C 、D 涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域涂色不同，共有________种涂法．A B CD图10­2­1260　[共有5×4×1×4＋5×4×3×3＝260种．]9．若C >3C ，则m ＝________. m －18m 8【导学号：79140345】7或8　[原不等式可化为>，8！(m －1)！(9－m )！3×8！m ！(8－m )！解得m >.274∵0≤m －1≤8，且0≤m ≤8，∴1≤m ≤8.又m 是整数，∴m ＝7或m ＝8.]10．(2017·天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)1080　[①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C ·C ·A ＝960.35144②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A ＝120.45故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．]B 组　能力提升11．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有( )A ．900种B ．600种C ．300种D ．150种B [甲去支教，则乙不去支教，丙去支教，故满足题意的选派方案有C ·A ＝240种；甲不去支教，则丙不去支教，故满足题意的选派方案有254A ＝360种．因此，满足题意的选派方案共有240＋360＝600种．故选B.]4612．在∠AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共m ＋n ＋1个点，现任取其中3个点为顶点作三角形，可作的三角形的个数为( )A ．C C ＋C CB ．C C ＋C C 1m ＋12n 1n ＋12m 1m 2n 1n 2m C ．C C ＋C C ＋C C D ．C C ＋C C 1m2n 1n 2m 1m 1n 1m2n 2m ＋11m C [作出的三角形可以分成两类，一类是含有O 点的，另一类是不含O 点的．(1)含有O 点的，则在OA ，OB 上各取1个点，共有C C 个；(2)不含1m1n有O点的，则在OA上取一点，OB上取两点，或者在OA上取两点，OB上1m2n1n2m取一点，共有C C＋C C个．所以可作的三角形个数为1m2n1n2m1m1nC C＋C C＋C C，故选C.]13．某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为( )A．1 860B．1 320C．1 140D．1 02012364C　[当A，B节目中只选一个时，共有C C A＝960种演出顺序；当A，B26223节目都被选中时，由插空法得共有C A A＝180种演出顺序．所以一共有1 140种演出顺序．]14．(2017·佛山质检)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为( ) A．60B．90C．120D．130D　[因为x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5，且1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3，所以x i中至少两个为0，至多四个为0.15(1)x i(i＝1,2,3,4,5)中有4个0,1个－1或1.A有2C＝10个元素．25(2)x i中有3个0,2个－1或1，A有C×2×2＝40个元素．35(3)x i中有2个0,3个－1或1，A有C×2×2×2＝80个元素．从而，集合A中共有10＋40＋80＝130个元素．]15．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种.【导学号：79140346】60　[法一(直接法)：若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市34一项，共A种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城2324市一项、一个城市两项共C A种方法．由分类加法计数原理知共342324A＋C A＝60种方法．法二(间接法)：先任意安排3个项目，每个项目各有4种安排方法，共43＝64种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求共4种，所以总投资方案共43－4＝64－4＝60种．]16．摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________．(用数字作答)20　[先从5位小朋友中选取2位，让他们位置不变，其余3位都改变自己251211的位置，即3人不在其位，共有方案种数为N＝C·C·C·C＝20种．]。

专题突破练(一)函数与导数中的高考热点问题(对应学生用书笫231页)1.已矢口函数=x +^rsin x+ cos x.(1)若曲线y= f{x)在点(臼，f(Q)处与直线y=b相切，求臼与方的值;(2)若曲线y=f3与直线方有两个不同交点，求b的取值范围.［解］由f\x) =/+^rsin x+cos 尢得f (x)=x(2+cos x).(1)因为曲线y= f{x)在点(臼，f(Q)处与直线y=〃相切，所以尸(臼)=$(2 + cos a) =0, b= f{a).解得白=0, b=f(0)=l.⑵令尸(力=0,得x=0.当/变化时，f(力与尸(0的变化情况如下：所以函数代方在区间0)上单调递减，在区间(0, +«)上单调递增，A0)= 1是f(0的最小值.当方W1时，曲线y= f{x)与直线y=b最多只有一个交点；当b>l时，fl—26)=fQ®M48—2b—\>4b—2b—\>b,f(0)=l<b,所以存在為£(一2也0),疋^(0,2切，使得f(xj=f(x$=b.由于函数fd)在区间0)和(0, +<-)上均单调，所以当b>\时，曲线y=f{x)与直线y=〃有且仅有两个不同交点.综上可知，如果曲线与直线有两个不同交点，那么b的取值范围是(1, + °°).2.设曰为实数，函数f{x) =e x—2x+2a f x^R.(1)求fd)的单调区间与极值；(2)求证：当曰>ln 2 — 1 且/>0 时，e'>x—2ax+l.［解］⑴由f(x) =e'—2*+2曰，X WR,知尸(x)=e"-2, %ER.令尸(0=0,得x=ln 2.于是当无变化时，F 3, fd)的变化情况如下表：故f&)的单调递减区间是(一8, In 2),单调递增区间是(In 2, +-),f(x)在%=ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)=e ln2-21 n 2 + 2臼=2—21n 2 + 2纽(2)证明：设=e x—x +2ax—\, A^R,于是(^r) =e—2x+2a, xWR.由(1)知当a>ln 2 — 1时，g' (x)取最小值为g' (In 2)=2 (1 — In 2 +a) >0.于是对任意xWR,都有0 (x)>0,所以呂(方在R内单调递增.于是当臼>ln 2 — 1时，对任意(0, +8),都有gd) >g(0) •而g(0)=0,从而对任意xE (0, +8),都有g(x) >0.即e'—/+2a^—1>0,故当日>ln 2—1 且x>0 时，e>x~2ax+\.3.(2018・兰州模拟)已知函数心)的导函数为尸 3,且f\x)⑴+lnx.(1)求函数f(x)的极值；(2)若WWZ,且A-v) >k{x— 1)对任意的xE. (1, +8)都成立，求斤的最大值.【导学号：79140098］［解］(1)尸3=討(1) +l + ln x(x>0),所以尸(l)=|r (1)+1,即f' (1)=2,所以f{x) =x+x\n x, f f (%) = 2 +In x、令f (0=2 + ln /VO,解得0VxVe S即当胆(0,昇)时，r 3V0,当(e-2, +◎时，F 3>0,所以函数fd)在(0, L彳)上单调递减，在(「，+8)上单调递增，所以函数fd)在^=e-2处取得极小值Ae_2)=-e-2,没有极大值.Y) v-|- Y\ n x(2)rh( 1)及题意，知斤<—=—对任意的仃，+8)都成立，卄/ln /x—\匕>1),则”(方=In x~2令h{x) =x~ln x—2(x>l),1则夕C0=1—△=—>0, x x所以函数力(劝在(1, +8)上为增函数，因为/?(3)=l-ln 3<0,力(4) =2 — In 4>0,所以方程力(x) =0存在唯一实根xo,即In %o = Ab-2, AbW (3, 4).所以当1V X V X()吋，力(方V0,即(x) <0,当 />必吋，h(x) >0,即(x) >0,所以函数g(0在(1,躺上单调递减，在(总，+8)上单调递增，所以&(劝山=呂(必)=土土斗1Ao— 1所以k<g3mw = Xo,必£(3, 4),又因为乙故斤的最大值为3.4.(2017 •山东高考)已知函数f(x) =^x—\ax ,曰WR.(1)当日=2时，求曲线y=f(x)在点(3, f(3))处的切线方程；(2)设函数g(x) =f(x) + (x—臼)cos x—sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值, 有极值时求出极值.［解］(1)由题意尸所以当自=2 时，f(3)=0, F (A^)=X~2X,所以尸⑶=3,因此，曲线y=f\x)在点(3, f(3))处的切线方程是y=3(x—3),即3x—y—9=0.(2)因为g{x) = f{x) + (z—a)cos x—sin x,所以” (A F)=f' (%) +cos x— (x~a) sin x—cos x= x{x~a) — (x—a) sin x=(/— a) (A— sin x).令/?(x) =x~s\n x,则力'(%) = 1 — cos xMO,所以力(劝在R上单调递增.因为力(0) =0,所以当Q0时，力(力>0；当*0 时，h{x) <0.①当臼<0 吋，g' (x) =(A~a) (%—sin x),当—8,刃时，x—X0, g (A)>0, g(x)单调递增;当(a, 0)时，x—a>09 g f (x)<0, g(x)单调递减;当x^. (0, +8)时，日>0, g' (劝>0, g(x)单调递增.所以当/=日时，g(x)取到极大值，极大值是g(日)=—£/—sin ax当x=0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)= —乩②当臼=0 时，g'(%)=X(A—sin x),当xW(—8, +8)时，g' (x) >0, gd)单调递增；所以gd)在(一g, +s)上单调递增，g(0无极大值也无极小值.③当曰〉0 时，g' (x) = (x—a) (x—si n x),当—8, 0)时，a<0, g (^)>0, g(x)单调递增；当(0,日)时,x—a<0, g‘(x)〈0, g(x)单调递减;当xW (日，+8)时，X— a>0, g‘ (%)>0, g(x)单调递增.所以当x=0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)=—方；当x—a时,g(x)取到极小值, 极小值是g(臼)=—討一sin a.综上所述：当水0时,函数g(力在(一 8,可和(0, +8)上单调递增,在(勺0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(R =—和一sin自，极小值是g(0)=—岔当日=0时，函数gd)在(一8, +«>)上单调递增，无极值；当日>0时，函数gCv)在(一8, 0)和(日，+8)上单调递增，在(0,日)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(o)= —日，极小值是g@)=—和一sin日.专题突破练(二)三角函数与解三角形中的高考热点问题(对应学生用书笫246页)1.(2017 •全国卷III)/XABC的内角力，B, C的对边分别为乩b, c,已知sin J+^cos A =0, a=2y［7tb=2.⑴求c；(2)设〃为比边上一点，且AD丄AC,求肋的面积.［解］(1)由已知可得tan人=—£,所以A=^~.在中，由余弦定理得28=4 + d—4ccos牛，即(?2 + 2 c—24 = 0,解得c=—6(舍去)，c=4.(2)由题设可得ZCAD=*JI所以Z BAD= Z BAC- Z CAD=—6故加面积与△/!仞面积的比值为^AC • AD又△血疋的面积为*X4X2sinZ旳C=2羽，所以〃的面积为2.(2017 •天津高考)在屮，内角儿B, Q所对的边分别为0 b, c.已知臼＞方，a=5,3sin 〃==•o(1)求力和sin畀的值；(2)求sin(2S+T的值.［解］(1)在△力应'中，因为3 4所以由sin B=g,得cos 〃=亍由已知及余弦定理，得I)= a+c~2dccos〃=13,所以b=y［H.由正弦定理」得sin A sin B4 sin B 3A /T3sin A=a ~~:—=■ 二 • b 13所以方的值为倾，sin /!的值为響.(2)由⑴及水g 得cos /!=生厚，cos 2J= 1 —2sin 2J=—• … K . c … 71 7迈 = sin 2^cos _+cos 2As in 〒= c ：、・ 4 4 263. (2018 •杭州质检)设函数 f{x) =2cos x(cos x+yf^si n x) (x^R).(1) 求函数y=f®的最小正周期和单调递增区I'可； (2) 当;vu 0,彳时，求函数f(0的最大值.【导学号：79140143］［解］(1) T f(/) =2cos /(cos /+羽sin x) =2sin (2/+石)+1,=,2兀・：取小正周期T=—^~=兀,JIJIJI z•：2kR ~—^2x+—^2kn +y(A-eZ),,、JIJT JI 0 JI(2)・・X 0, y , A2x+ye y,—=2sin^2x+—j+1 的最大值是 3.4. (2018 •东北三省四市模拟(二))已知点卩(羽，1), 0(cos x, sin x), 0为坐标原点,函数 f(x) =0P • QP.(1) 求函数fd)的解析式及最小正周期；(2) 若/为的内角，fU)=4, BC=3, △/〃C 、的面积为羊，求△血农的周长.>si nf 2^r+~所以 sin 2J=2sin Jcos A=12 13,所以 sin (2/f+y.\kn兀 兀存点巾+石(©)・・・・函数y=f(x)的单调递增区间为kn兀JI厂 kn+- aez).【导学号：79140144］［解］ ⑴因为 04(羽，1),(羽一cos / 1 —si nx),所以 f\x) =3—\/3cosx+1 —sin x=4 —2sin(x+T ，所以f (力的最小正周期为2n. (2)因为 f{A) =4,所以 sin(/+冷j=0,兀2 n因为0<A< Ji ,所以力+丁=兀，所以力=〒，所以Z?c=3,根据余弦定理得a=l )+d —2%cos^—= (Z?+c)2—2 比+ 比=9, 所以b+c=2羽，所以三角形的周长为3 + 2^3.因为 S^ARc=~bcsin A=~bcsin 2 Ji 3^/3 ~=4。

第2讲排列与组合A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2018·全国)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )．A．12种B．18种C．24种D．36种解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A33·A12·1＝12(种)不同的排列方法．答案 A2．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有( )．A.24种B.60种C.90种D.120种解析可先排C、D、E三人，共A35种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法共A35＝60(种)．答案 B3．如果n是正偶数，则C0n＋C2n＋…＋C n－2n＋C nn＝( )．A．2n B．2n－1C．2n－2D．(n－1)2n－1解析(特例法)当n＝2时，代入得C02＋C22＝2，排除答案A、C；当n＝4时，代入得C04＋C24＋C44＝8，排除答案D.故选B.答案 B4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )．A.42B.30C.20D.12解析可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有A22A16＝12种排法；若两个节目不相邻，则有A26＝30种排法．由分类计数原理共有12＋30＝42种排法(或A27＝42)．答案二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2018·汕头调研)如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，因电阻断路的可能性共有________种情况．解析每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a、b、c，支线a，b 中至少有一个电阻断路情况都有22－1＝3种；支线c中至少有一个电阻断路的情况有23－1＝7种，每条支线至少有一个电阻断路，灯A就不亮，因此灯A不亮的情况共有3×3×7＝63种情况．答案636．(2018·郑州模拟)从－3，－2，－1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c 的系数a，b，c的取值，问共能组成________个不同的二次函数．解析a，b，c中不含0时，有A37个；a，b，c中含有0时，有2A27个．故共有A37＋2A27＝294个不同的二次函数．答案294三、解答题(共25分)7．(12分)7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种．(1)A，B必须当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B不全当选；(4)至少有2名女生当选；(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．解(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有C310＝120种选法．(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，故有C510＝252种选法．(3)全部选法有C512种，A，B全当选有C310种，故A，B不全当选有C512－C310＝672种选法．(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行．所以有C512－C15·C47－C57＝596种选法．(5)分三步进行；第1步，选1男1女分别担任两个职务有C17·C15种选法．第2步，选2男1女补足5人有C26·C14种选法．第3步，为这3人安排工作有A33方法．由分步乘法计数原理，共有C17C15·C26C14·A33＝12 600种选法．8．(13分)直线x＝1，y＝x，将圆x2＋y2＝4分成A，B，C，D四个区域，如图用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？解法一第1步，涂A区域有C15种方法；第2步，涂B区域有C 14种方法；第3步，涂C区域和D区域：若C区域涂A区域已填过颜色，则D区域有4种涂法；若C区域涂A、B剩余3种颜色之一，即有C13种涂法，则D区域有C13种涂法．故共有C15·C14·(4＋C13·C13)＝260种不同的涂色方法．法二共可分为三类：第1类，用五色中两种色，共有C25A22种涂法；第2类，用五色中三种色，共有C35C13C12A22种涂法；第3类，用五色中四种色，共有C45A44种涂法．由分类加法计数原理，共有C25A22＋C35C13C12A22＋C45A44＝260种不同的涂色方法．B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式共有( )．A．576种B．720种C．864种D．1 152种解析由题意，先排1,3,5,7，有A44种排法；再排6，由于6不能和3相邻，故6有3种排法；最后排2和4，在不与6相邻的4个空中排上2和4，有A24种排法，所以共有A44×3×A24＝864种排法．答案 C2．(2018·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )．A．232 B．252 C．472 D．484解析若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C14×C14×C14＝64种，若2张同色，则有C23×C12×C24×C14＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C14×C23×C14×C14＝192种，乘余2张同色，则有C14×C13×C24＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．故选C.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2018·深圳模拟)某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人不同的出牌方法共有________种．解析出牌的方法可分为以下几类：(1)5张牌全部分开出，有A55种方法；(2)2张2一起出，3张A一起出，有A25种方法；(3)2张2一起出，3张A分3次出，有A45种方法；(4)2张2一起出，3张A分两次出，有C23A35种方法；(5)2张2分开出，3张A一起出，有A35种方法；(6)2张2分开出，3张A分两次出，有C23A45种方法．因此，共有不同的出牌方法A55＋A25＋A45＋C23A35＋A35＋C23A45＝860(种)．答案8604．小王在练习电脑编程，其中有一道程序题的要求如下：它由A，B，C，D，E，F六个子程序构成，且程序B 必须在程序A之后，程序C必须在程序B之后，执行程序C后须立即执行程序D，按此要求，小王的编程方法有__________种．解析对于位置有特殊要求的元素可采用插空法排列，把CD看成整体，A，B，C，D产生四个空，所以E有4种不同编程方法，然后四个程序又产生5个空，所以F有5种不同编程方法，所以小王有20种不同编程方法． 答案 20 三、解答题(共25分)5．(12分)某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？ 解 (1)只需从其他18人中选3人即可，共有C 318＝816(种)； (2)只需从其他18人中选5人即可，共有C 518＝8 568(种)； (3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加， 共有C 12C 418＋C 318＝6 936(种)； (4)方法一 (直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类： 一内四外；二内三外；三内二外；四内一外， 所以共有C 112C 48＋C 212C 38＋C 312C 28＋C 412C 18＝14 656(种)． 方法二 (间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C 520－(C 512＋C 58)＝14 656(种)． 6．(13分)在m(m≥2)个不同数的排列p 1p 2…p m 中，若1≤i＜j≤m 时p i ＞p j (即前面某数大于后面某数)，则称p i与p j 构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列(n ＋1)n(n －1)…321的逆序数为a n .如排列21的逆序数a 1＝1，排列321的逆序数a 2＝3，排列4 321的逆序数a 3＝6. (1)求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；(2)令b n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n ，证明：2n ＜b 1＋b 2＋…＋b n ＜2n ＋3，n ＝1,2，….(1)解 由已知条件a 4＝C 25＝10，a 5＝C 26＝15， 则a n ＝C 2n ＋1＝＋2.(2)证明 b n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n ＝n n ＋2＋n ＋2n ＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2∴b 1＋b 2＋…＋b n＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2，∴2n ＜b 1＋b 2＋…＋b n ＜2n ＋3.。

第五章排列问题与组合问题课后练习卷数学北师大版〔2021〕选择性必修1一、单项选择题1.A32＝〔〕A. 1B. 2C. 3D. 62.从5名同学中选出正、副组长各一名，有多少种不同的选法〔〕A. 24B. 20C. 10D. 93.将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，假设有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，那么不同的放法种数为〔〕A. 315B. 640C. 840D. 50404.学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。

现从该小组中选出3位同学分别到A，B，C三地进行社会调查，假设选出的同学中男女均有，那么不同安排方法有〔〕A. 70种B. 140种C. 420种D. 840种5.在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分.现有四名学生分别统计全部选手的总得分为131分，132分，133分，134分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，那么参赛选手共有〔〕A. 11位B. 12位C. 13位D. 14位6.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．假设要求两类课程中各至少选一门，那么不同的选法共有〔〕A. 30种B. 35种C. 42种D. 48种7.假设2A n2=3C n3，那么n=〔〕A. 9B. 8C. 7D. 68.“中国梦〞的英文翻译为“ Cℎina Dream〞，其中Cℎina又可以简写为CN，从“ CN Dream〞中取6个不同的字母排成一排，含有“ ea〞字母组合〔顺序不变〕的不同排列共有〔〕A. 360种B. 480种C. 600种D. 720种9.某天某校的校园卫生清扫轮到高二(5)班，该班劳动委员把班级同学分为5个劳动小组，该校共有A、B、C、D四个区域要清扫，其中A、B、C三个区域各安排一个小组，D区域安排2个小组，那么不同的安排方法共有〔〕A. 240种B. 150种C. 120种D. 60种10.直线l：mx+ny=0，m,n∈{1,2,3,4,5,6}，所得到的不同直线条数是〔〕A. 22B. 23C. 24D.2511.有两排座，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就坐，规定前排中间的3个坐位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是〔〕A. 234B. 346C. 350D. 36 312.如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D四块区域涂色分开,假设相邻区域不能涂同一种颜色,那么不同涂法的种数为( )A. 400B. 460C. 480D. 49 6二、填空题13.如图，用五种不同的颜色涂在图中不同的区域内，要求每个区域只能涂一种颜色，且相邻〔有公共边〕区域涂的颜色不同，那么不同的涂色方案一共有种．〔用数字作答〕．14.现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有种.15.假设C n2+C n3=10，那么A n2=．16.四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，那么不同排法的种数是________.〔结果用数字作答〕17.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为________．18.从1,2,3，…，9一共九个数中，任意取出三个数，那么这三个数互不相邻的取法有种．〔用数字作答〕三、解答题19.A市某机构为了调查该市市民对我国申办2034年足球世界杯的态度，随机选取了140位市民进行调查，调查结果统计如下：，其中n=a+b+c+d附：K2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)〔2〕.利用〔1〕完成的表格数据答复以下问题：〔ⅰ〕能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与支持申办足球世界杯有关；〔ⅱ〕在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有5位退休老人，其中2位是教师，现从这5位退休老人中随机抽取3人，求至多有1位老师的概率。

课时分层训练(六十三) 排列与组合A 组 基础达标一、选择题1．(2016·四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A ．24B ．48C ．60D ．72D [第一步，先排个位，有C 13种选择；第二步，排前4位，有A 44种选择．由分步乘法计数原理，知有C 13·A 44＝72(个)．]2．把6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A ．144B ．120C ．72D ．24D [先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A 34＝24种坐法．]3．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A ．85B ．56C ．49D ．28 C [分两类：甲、乙中只有1人入选且丙没有入选；甲、乙均入选且丙没有入选，计算可得所求选法种数为C 12C 27＋C 22C 17＝49.]4．(2018·广州综合测试(二))从1,2,3,4,5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为( )【导学号：79140344】A.15B.25C.12D.35B [从这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数共有A 35＝60个，其中是偶数的有C 12A 24＝24个，所以所求概率P ＝2460＝25，故选B.] 5．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对C [正方体六个面的对角线共有12条，则有C 212＝66对，而相对的两个面中的对角线其夹角都不是60°，则共有3×C 24＝18对，而其余的都符合题意，因此满足条件的对角线共有66－18＝48对．]6．(2017·青岛二模)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种C [1个路口3人，其余路口各1人的分配方法有C 13C 22A 33种.1个路口1人，2个路口各2人的分配方法有C 23C 22A 33种，由分类加法计数原理知，甲、乙在同一路口的分配方案为C 13C 22A 33＋C 23C 22A 33＝36种．]7．若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是( )A ．540B ．480C ．360D ．200D [由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有C 15C 15A 22＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C 14＝4种满足题意的选法，故满足题意的三位数共有C 14×C 15C 15A 22＝200(个)．]二、填空题8．如图10­2­1，用五种不同颜色给A 、B 、C 、D 涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域涂色不同，共有________种涂法．260 [共有5×4×1×4＋5×4×3×3＝260种．]9．若C m －18>3C m8，则m ＝________.【导学号：79140345】7或8 [原不等式可化为 8！(m －1)！(9－m )！>3×8！m ！(8－m )！， 解得m >274. ∵0≤m －1≤8，且0≤m ≤8，∴1≤m ≤8.又m 是整数，∴m ＝7或m ＝8.]10．(2017·天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)1 080 [①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C 35·C 14·A 44＝960.②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A45＝120.故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．]B组能力提升11．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有( )A．900种B．600种C．300种D．150种B[甲去支教，则乙不去支教，丙去支教，故满足题意的选派方案有C25·A44＝240种；甲不去支教，则丙不去支教，故满足题意的选派方案有A46＝360种．因此，满足题意的选派方案共有240＋360＝600种．故选B.]12．在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m＋n＋1个点，现任取其中3个点为顶点作三角形，可作的三角形的个数为( )A．C1m＋1C2n＋C1n＋1C2m B．C1m C2n＋C1n C2mC．C1m C2n＋C1n C2m＋C1m C1n D．C1m C2n＋C2m＋1C1mC[作出的三角形可以分成两类，一类是含有O点的，另一类是不含O点的．(1)含有O 点的，则在OA，OB上各取1个点，共有C1m C1n个；(2)不含有O点的，则在OA上取一点，OB上取两点，或者在OA上取两点，OB上取一点，共有C1m C2n＋C1n C2m个．所以可作的三角形个数为C1m C2n＋C1n C2m＋C1m C1n，故选C.]13．某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为( )A．1 860 B．1 320C．1 140 D．1 020C[当A，B节目中只选一个时，共有C12C36A44＝960种演出顺序；当A，B节目都被选中时，由插空法得共有C26A22A23＝180种演出顺序．所以一共有1 140种演出顺序．] 14．(2017·佛山质检)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为( ) A．60 B．90C．120 D．130D[因为x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5，且1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3，所以x i中至少两个为0，至多四个为0.(1)x i(i＝1,2,3,4,5)中有4个0,1个－1或1.A有2C15＝10个元素．(2)x i中有3个0,2个－1或1，A有C25×2×2＝40个元素．(3)x i中有2个0,3个－1或1，A有C35×2×2×2＝80个元素．从而，集合A中共有10＋40＋80＝130个元素．]15．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种.【导学号：79140346】60[法一(直接法)：若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A34种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共C23A24种方法．由分类加法计数原理知共A34＋C23A24＝60种方法．法二(间接法)：先任意安排3个项目，每个项目各有4种安排方法，共43＝64种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求共4种，所以总投资方案共43－4＝64－4＝60种．]16．摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________．(用数字作答)20 [先从5位小朋友中选取2位，让他们位置不变，其余3位都改变自己的位置，即3人不在其位，共有方案种数为N＝C25·C12·C11·C11＝20种．]。

第二节排列与组合[考纲传真](教师用书独具)1.理解排列与组合的概念.2.理解排列数公式、组合数公式.3.能利用公式解决一些简单的实际问题．(对应学生用书第170页)[基础知识填充]1．排列、组合的定义2.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(3)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．().()(4)k C k n＝n C k－1n－1[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．(教材改编)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言()A．1 560条B．780条C．1 600条D．800条A[由题意，得毕业留言共A240＝1 560条．]3．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种D[由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C13·C24·A22＝36(种)，或列式为C13·C24·C12＝3×4×32×2＝36(种)．故选D．]4．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56C．49 D．28C[法一(直接法)：甲、乙两人均入选，有C17C22种方法，甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种方法，由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49种选法．法二(间接法)：从9人中选3人有C39种方法，其中甲、乙均不入选有C37种方法，所以满足条件的选排方法有C39－C37＝84－35＝49种．]5．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有________种．60[5人的全排列，B站在A的右边与A站在B的右边各占一半，所以满足条件的不同排法共12A55＝60种．](对应学生用书第171页)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻．[解](1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种)．(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种)．法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种)．(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种)．(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种)．[规律方法]求解排列应用问题的六种常用方法[跟踪训练](1)在航天员进行的一项太空试验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问试验顺序的编排方法共有()A．34种B．48种C．96种D．144种(2)(2017·北京西城区质检)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．(1)C(2)36[(1)程序A的顺序有A12＝2种结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的元素排列有A22A44＝48种结果，由分步乘法计数原理，试验编排共有2×48＝96种方法．(2)记其余两种产品为D，E，A，B相邻视为一个元素，先与D，E排列，有A22A33种方法．再将C插入，仅有3个空位可选，共有A22A33C13＝2×6×3＝36种不同的摆法．]某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生当选；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选．[解](1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选．故共有C15·C48＝350种．(2)两队长当选，共有C22·C311＝165种．(3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选，有两名队长当选．故共有C12·C411＋C22·C311＝825种．(或采用排除法：C513－C511＝825(种))．(4)至多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选．故选法共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966种．语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生选考方法种数共有()【导学号：79140342】A．6 B．12C．18 D．24(2)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种(1)C(2)D[(1)法一：所有选考方法可分两类：第一类可分两步，第一步，考生从物理、化学、生物三科中任选一科有C13种不同的选法，第二步，考生从政治、历史、地理三科中任选二科有C23种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有C13C23种不同的选法；第二类可分两步，第一步，考生从物理、化学、生物三科中任选二科有C23种不同的选法，第二步，从政治、历史、地理三科中任选一科有C13种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有C23C13种不同的选法．根据分类加法计数原理，考生共有C13C23＋C23C13＝18种不同的选考方法，故选C．法二：依题意，考生共有C36－2C33＝18种不同的选考方法，故选C．(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，所以不同的取法共有C45＋C44＋C25C24＝66种．](1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()A．300 B．216C．180 D．162(2)(2017·江南名校联考)将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有()A．240种B．180种C．150种D．540种(1)C(2)C[(1)分两类：第1类，不取0，即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C23C22A44＝72个没有重复数字的四位数；第2类，取0，此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C12C23(A44－A33)＝108个没有重复数字的四位数．根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72＋108＝180(个)．(2)5名学生可分为2,2,1和3,1,1两组方式．当5名学生分成2,2,1时，共有12C25C23A33＝90种方法；当5名学生分成3,1,1时，共有C35A33＝60种方法．由分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法．]在校大学生来该公司实习．要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为()【导学号：79140343】A．40 B．60C．120 D．240(2)(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)(1)B(2)660[从五个不同部门选取两个部门有C25种选法，将4名大学生分别安排在这两个部门有C24C22种方法，所以不同的安排方案有C25C24C22＝60种，故选B．(2)法一：只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C12C36A24＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C26A24＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．法二：不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．]。

第一节 集 合1．元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a ∈A ；若b 不属于集合A ，记作b ∉A . (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)常用数集的记法2．A B 或B A∅B且B≠∅提醒：(1)若集合A含有n个元素，则其子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n －2个．(2)在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．(3)集合的运算性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；③A∪A＝A，A∪∅＝A；④A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.(4)Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)集合{x2＋x,0}中实数x可取任意值．()(2)任何集合都至少有两个子集．()(3)若A＝{0,1}，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，则A⊆B.()(4)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材习题改编)若集合A＝{x∈N＋|x≤8}，a＝22，则下面结论中正确的是() A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A解析：选D因为22不是正整数，所以a∉A.3．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为() A．1 B．2C．3 D．4解析：选B∵A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，∴A∩B＝{2,4}．∴A∩B中元素的个数为2.故选B.4．(2016·全国卷Ⅲ)设集合A＝{0,2, 4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁A B＝()A．{4,8}B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}解析：选C∁A B＝{0,2,6,10}．5．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝()A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}解析：选D因为A∪B＝{1,2,3}，U＝{1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{4}．集合及集合间的关系[明技法](1)与集合中的元素有关问题的求解策略一看元素，二看限制条件，三列式求参数的值或确定集合中元素的个数．注意检验集合是否满足元素的互异性．(2)判断两集合的关系常有两种方法①化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系．②用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．[提能力]【典例】(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为()A．3B．4C．5 D．6(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为__________.解析：(1)∵a∈A，b∈B，∴x＝a＋b为1＋4＝5,1＋5＝2＋4＝6,2＋5＝3＋4＝7,3＋5＝8.共4个元素．(2)∵B ⊆A ，∴若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2.① 若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.②由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]． 答案：(1)B (2)(－∞，3][母题变式] 在本例(2)中，若A ⊆B ，如何求解？解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3.所以m 的取值范围为∅. [刷好题]1．(金榜原创)已知集合A ＝{x |y ＝ln(x ＋3)}，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A ⊆BD ．B ⊆A解析：选D 因为A ＝{x |x >－3}，B ＝{x |x ≥2}，所以结合数轴可得B ⊆A .2．(2018·莱州模拟)已知集合A ＝{x ∈N |x 2＋2x －3≤0}，B ＝{C |C ⊆A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C A ＝{x ∈N |(x ＋3)(x －1)≤0}＝{x ∈N |－3≤x ≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B 中元素的个数为4，选C ．集合的运算 [析考情]集合的基本运算是历年高考的热点．高考中主要考查求集合的交、并、补运算，常与解不等式、求函数定义域和值域等知识相结合．考查题型以选择题为主，属容易题，分值5分．[提能力]命题点1：求交集或并集【典例1】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}解析：选C∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．(2)(2017·浙江卷)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，那么P∪Q＝()A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)解析：选A∵P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，∴P∪Q＝{x|－1＜x＜2}，故选A．命题点2：交、并、补的综合运算【典例2】(1)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝() A．[2,3]B．(－2,3]C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B∵Q＝{x∈R|x2≥4}，∴∁R Q＝{x∈R|x2＜4}＝{x∈R|－2＜x＜2}．∵P＝{x ∈R|1≤x≤3}，∴P∪(∁R Q)＝{x∈R|－2＜x≤3}＝(－2,3]．(2)(2018·柳州模拟)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁A)∩B＝__________.U解析：由题意U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，则∁U A＝{4,6,7,9,10}，∴(∁U A)∩B＝{7,9}．答案：{7,9}命题点3：集合的新定义问题【典例3】设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝__________.x|x≥0，A∩B＝{x|0<x<2}，故由新定义结合数轴得A⊗B＝{0}解析：由已知，A∪B＝{}∪[2，＋∞)．答案：{0}∪[2，＋∞)[悟技法]解决集合运算问题的四个关注点(1)看元素构成：集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．(2)对集合化简：有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)应用数形：常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．(4)创新性问题：以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决．[刷好题]1．(2018·兰州一模)已知集合M＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}，N＝{x|－2≤x≤2}，则M∩N＝()A．[－2，－1]B．[－1,2]C．[－1,1]D．[1,2]解析：选A由(x－3)(x＋1)≥0，解得：x≤－1或x≥3，∴M＝{x|x≤－1或x≥3}，∵N＝{x|－2≤x≤2}，则M∩N＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]．2．(2018·晋中一模)设U＝R，A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁U B)＝() A．{1,2} B．{－1,0,1}C．{－2，－1,0} D．{－2，－1,0,1}解析：选C因为全集U＝R，集合B＝{x|x≥1}，所以∁U B＝{x|x＜1}＝(－∞，1)，且集合A＝{－2，－1,0,1,2}，所以A∩(∁U B)＝{－2，－1,0}，故选C．3．设A、B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|y ＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A×B＝__________.解析：由题意得A＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}．所以A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(1,2]，所以A×B＝[0,1]∪(2，＋∞)．答案：[0,1]∪(2，＋∞)课时作业提升(一)集合A组夯实基础1．(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝()A．(－1,3)B．(－1,0)C．(0,2) D．(2,3)解析：选A将集合A与B在数轴上画出(如图)．由图可知A∪B＝(－1,3)，故选A．2．(2018·南平一模)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|y＝3－x}，则A∩B＝()A．{1,2} B．{1,2,3}C．{4,5} D．{3,4,5}解析：选B由3－x≥0得x≤3，则B＝{x|y＝3－x}＝{x|x≤3}，又集合A＝{1,2,3,4}，则A∩B＝{1,2,3}．3．(2018·宁德一模)已知全集U ＝{－2,0,1,2}，集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，则∁U A ＝( ) A ．{－2,1} B ．{－2,0,2} C ．{0,2}D ．{0,1}解析：选A 根据题意，A ＝{x |x 2－2x ＝0}＝{0,2}，又由全集U ＝{－2,0,1,2}，则∁U A ＝{－2,1}．4．若集合A ＝{x |x 2＋3x －4＜0}，B ＝{x |－2＜x ≤3}，且M ＝A ∩B ，则有( ) A ．(∁R B )⊆A B ．M ⊆A C ．2∈MD ．1∈M解析：选B 集合A ＝{x |x 2＋3x －4＜0}＝{x |－4＜x ＜1}，集合B ＝{x |－2＜x ≤3}，则M ＝A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}，即有M ⊆A .5．已知集合A ＝{x ||x －2|≤1}，且A ∩B ＝∅，则集合B 可能是( ) A ．{2,5} B ．{x |x 2≤1} C ．(1,2)D ．(－∞，－1)解析：选D ∵集合A ＝{x ||x －2|≤1}＝[1,3]，由A ∩B ＝∅，则B ⊆(－∞，1)∪(3，＋∞)． 6．若集合A ＝{x |x ≥0}，且A ∩B ＝B ，则集合B 可能是( ) A ．{1,2} B ．{x |x ≤1} C ．{－1,0,1}D ．R解析：选A 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，因为{1,2}⊆A ，故选A ．7．集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}，则下列关系正确的是( ) A ．A ⊆∁R B B ．B ⊆∁R A C ．∁R A ⊆∁R BD ．A ∪B ＝R解析：选C 依题意得B ＝{y |0≤y ≤2}，因此B ⊆A ，∁R A ⊆∁R B ，选C ．8．(2018·河南一模)已知集合A ＝{(x ，y )|y －x ＝0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，C ＝A ∩B ，则C 的子集的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C ∵集合A ＝{(x ，y )|y －x ＝0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}， ∴C ＝A ∩B ＝⎩⎨⎧(x ，y )|⎩⎨⎧ y －x ＝0x 2＋y 2＝1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，－1＋52， ∴C 的子集的个数是21＝2.9．(2018·邵阳模拟)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x 2＋4x －12)}，B ＝{x |－3＜x ＜4}，则A ∩B ＝__________.解析：集合A ＝{x |y ＝lg(x 2＋4x －12)}＝{x |x 2＋4x －12＞0}＝{x |x ＜－6或x ＞2}，B ＝{x |－3＜x＜4}，则A∩B＝{x|2＜x＜4}＝(2,4)．答案：(2,4)10．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B ＝__________.解析：经验证，点(0,1)，(－1,2)在直线x＋y－1＝0上．故A∩B＝{(0,1)，(－1,2)}．答案：{(0,1)，(－1,2)}B组能力提升1．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3}，B＝{2,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是()A．{2,4,6} B．{1,3,5}C．{2,6} D．{1,6}解析：选D图中阴影部分表示的集合为∁U(A∪B)．因为A∪B＝{2,3,4,5}，U＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U(A∪B)＝{1,6}．2．(2017·西安一模)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M，且a≠b}，则集合M与集合N的关系是()A．M＝N B．M∩N＝NC．M∪N＝N D．M∩N＝∅解析：选B因为集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M，且a≠b}，所以N＝{－1,0}，则集合M∩N＝N.故选B.3．(2018·清远一模)设集合A＝{x|y＝x－1}，集合B＝{x|2x－x2＞0}，则(∁R A)∩B等于()A．(0,2) B．[1,2)C．(0,1) D．∅解析：选C集合A＝{x|y＝x－1}＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，集合B＝{x|2x－x2＞0}＝{x|x(x－2)＜0}＝{x|0＜x＜2}，则∁R A＝{x|x＜1}，∴(∁R A)∩B＝{x|0＜x＜1}＝(0,1)．故选C．4．设全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg x}，B＝{－1,1}，则下列结论中正确的是() A．A∩B＝{－1} B．(∁R A)∪B＝(－∞，0)C．A∪B＝(0，＋∞) D．(∁R A)∩B＝{－1}解析：选D由题意知，集合A＝{x|x>0}，则∁R A＝{x|x≤0}．又B＝{－1,1}，所以A∩B ＝{1}，(∁R A)∪B＝(－∞，0]∪{1}，A∪B＝{－1}∪(0，＋∞)，(∁R A)∩B＝{－1}．5．(2018·湘潭模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x||x|＜1}，N＝{x|x＝2y，y∈R}，则集合∁U (M ∪N )等于( )A ．(－∞，－1]B ．(－1,2)C ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A ∵M ＝{x ||x |＜1}＝{x |－1＜x ＜1}，N ＝{x |x ＝2y ，y ∈R }＝{x |x ＞0}，∴M ∪N ＝{x |x ＞－1}．又∵U ＝R ，∴∁U (M ∪N )＝(－∞，－1]．6．(2018·淮北模拟)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋2a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)＜1}，若集合M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，那么a 的取值为( )A ．a ＝12B ．a ≤12C ．a ＝－12D ．a ≥12解析：选C ∵log 2(x －1)＜1，∴x －1＞0且x －1＜2，即1＜x ＜3，则N ＝{x |1＜x ＜3}，∵U ＝R ，∴∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}，又∵M ＝{x |x ＋2a ≥0}＝{x |x ≥－2a }，M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，∴－2a ＝1，得a ＝－12.故选C ．7．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＜0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(0,1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选B 化简得A ＝{x |0＜x ＜3}，∵A ∩B 有4个子集，∴A ∩B 中有2个元素，∴a ∈A ，得0＜a ＜3且a ≠1，故选B. 8．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，那么P －Q ＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3} 解析：选B 由log 2x <1，得0<x <2，所以P ＝{x |0<x <2}．由|x －2|<1，得1<x <3，所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．9．(2018·潍坊检测)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}， B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝__________.解析：A ＝{－1,2}，若B ＝∅，则m ＝0；若B ＝{－1}，则m ＝1；若B ＝{2}，则m ＝－12. 答案：0,1，－1210．已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.则集合A ＝__________.(用列举法表示)解析：假设a1∈A，则a2∈A，由若a3∉A，则a2∉A可知，a3∈A，故假设不成立；假设a4∈A，则a3∉A，a2∉A，a1∉A，故假设不成立．故集合A＝{a2，a3}．答案：{a2，a3}。