从商高到毕达哥拉斯定理

数学经典问题·商高定理（毕达哥拉斯定理、勾股定理）若一直角形的两股为a，b斜边为c，则有a2+b2=c2。

我们都很熟悉这个性质，人们相信是毕达格拉斯〈约公元前560年~公元前480发现的，因此把它叫做毕氏定理。

毕氏定理也可以用几何的形式来解释，那就是直角三角形直角边上的两个正方形的面积和等於斜边上正方形的面积。

如下图所示：传闻这个定理有一个绰号叫“新娘图”，又有人称为“新娘的椅子”，可能是从其几何图形得到的敏感吧！中国在商高时代(公元前1100年)就已经知道“勾三股四弦五”的关系，远早於毕达格拉斯，因此有人主张毕氏定理应该称呼为商高定理，但普遍性的定理则在陈子时代(公元前6﹑7世纪)，而提出定理的证明则首推赵君卿(见周髀的赵君卿注)。

赵氏是三世纪的人，现在这个定理普通称为勾股弦定理或勾股定理。

毕达格拉斯曾提一组勾股数的正数数解：a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1，其特点是斜边与其中一股的差为1。

柏拉图也给了另一组公式：a=2n，b=n2-1，c=n2+1，此时斜边与其中一股之差为2。

但他们都不是方程式a2+b2=c2的所有解，全部解的公式是a=2mn，y=m2-n2，z=m2+n2其中m，n（m>n）是互质且一奇一偶的任意正整数。

数学经典问题·蜂窝猜想加拿大科学记者德富林在《环球邮报》上撰文称，经过1600年努力，数学家终于证明蜜蜂是世界上工作效率最高的建筑者。

四世纪古希腊数学家佩波斯提出，蜂窝的优美形状，是自然界最有效劳动的代表。

他猜想，人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝，是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的。

他的这一猜想称为“蜂窝猜想”，但这一猜想一直没有人能证明。

美密执安大学数学家黑尔宣称，他已破解这一猜想。

蜂窝是一座十分精密的建筑工程。

蜜蜂建巢时，青壮年工蜂负责分泌片状新鲜蜂蜡，每片只有针头大校而另一些工蜂则负责将这些蜂蜡仔细摆放到一定的位置，以形成竖直六面柱体。

“商高定理”与“毕达哥拉斯定理”勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”．为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人．当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期．在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话．商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五．”什么是“勾、股”呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”．商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5．以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”．由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作“商高定理”．毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年．希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了．关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说：“故禹之所以治天下者，此数之所由生也．”“此数”指的是“勾三股四弦五”，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的．勾股定理的应用非常广泛．我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载：“禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也．”这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果．勾股定理的价值勾股定理有着悠久的历史，古代中国人和古巴比伦人看出了这个关系；古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系，很多具有古老文化的民族和国家都会说：我们首先认识的数学定理是勾股定理．勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象--数与形的第一个定理，说明人们开始用数去研究图形的几何性质，也是数形结合思想的最初体现．勾股定理在现实世界中有很广的应用，我们用之来求点到直线的距离、长方形（体）对角线的长等．应用它的逆定理可以判断你家的办公桌是不是长方形．我国古代数学家善于利用勾股定理，他们所取得的许多数学成就都与之有关联，这同时也说明勾股定理在数学上有着极其重要的地位．勾股定理的运用导致了无理数的发现，这使我们对数的认识从有理数这个小圈子走向实数的大世界．勾股定理中的公式是数学史上的第一个不定方程，也是最早得出完全解答的不定方程．17世纪的法国数学家费马也研究了勾股数组的问题，并在这个问题的启发下想出了一个更一般的问题，也就是1637年他提出的数学史上的一个著名的猜想--费马大定理：n＞2(n为自然数)时，x 2+y 2=z 2没有正整数解．这引起各国数学家的关注，都试图来证明它，可直到1995年才由英国数学家怀尔斯最终证明了它，从而解开了这个困惑世间无数智者300多年的迷．利用勾股定理的图形，人们造出了非常美丽的勾股树，而且图形的不同摆放会形成姿态各异的给人以美感的勾股树，体现了数学给人带来的美．人类一直想要弄清楚其他星球上是否存在着“人”，并试图与“他们”取得联系，数学家曾建议用勾股定理的图形来作为与“外星人”联系的信号．由以上可知，自从人类发现勾股定理后，它对数学和科学的发展产生了巨大的促进力和深远的影响．我们不仅为之自豪，更要切实学好它，充分运用它．。

毕达哥拉斯定理证明毕达哥拉斯定理，也被称为三角形的定理，是古希腊几何学家毕达哥拉斯在其《几何书》中提出的定理，定理的内容是：一个三角形的内角加起来等于 180°。

毕达哥拉斯定理从古至今都是数学最基本也是最重要的定理之一，它使三角函数和解三角形等都成为可能。

在古希腊，毕达哥拉斯第一次提出并证明了“毕达哥拉斯定理”，他的证明基于面积的概念，认为一个三角形的总面积必须是180°。

这一概念基于以下原理：任何两个角的夹角的面积加起来应该等于整个三角形的面积。

那么，我们可以将一个三角形分为内角所在的三角形，他们之和必然应该等于180°。

在证明中，毕达哥拉斯先假设两个内角A、B加起来小于180°，然后在三角形外切圆，令外角C=180°-A-B，这样可以得到两个相似的三角形，而它们的面积相等，对于每个三角形，它的总面积应该是180°，那么外角C的面积也就是180°-A-B，显然A也就是180°-B-C，可以解释为两个三角形夹角的面积是相等的，这证明了毕达哥拉斯定理成立。

毕达哥拉斯定理的证明显然是间接证明，它的正确性源于一个简单的面积比较，这提醒我们在科学研究中要继续发掘和利用好这些简单的推理和原理，来给人们提供更多有用的科学知识。

从上面的证明中可以知道，毕达哥拉斯定理的真正推导不仅具有一定的几何概念，更是联系了物理和几何知识。

例如，其中引用到圆的概念，这也是物理概念中的概念，而它的施用使毕达哥拉斯的几何知识获得了更深的证明。

此外，毕达哥拉斯定理又提供了许多数学解决实际问题的有用建议。

例如，解决三角形有关问题所需的最基本条件就是毕达哥拉斯定理，要求三条边确定一个三角形，而三个角则可以用毕达哥拉斯定理来求解。

毕达哥拉斯定理不仅是数学家所熟悉的，它经常用于解决很多现实问题，如工程设计、测绘、航海学等。

毕达哥拉斯定理的发现，不仅有效地提高了人类的数学能力，更给人类提供了解决复杂问题的强有力的数学方法。

重读历史转折中的光辉文献解放思想,实事求是,团结一致向前看》的历史启示一、本文概述《重读历史转折中的光辉文献：解放思想，实事求是，团结一致向前看》这篇文章，是对邓小平同志在1978年12月中共中央工作会议上所做的《解放思想，实事求是，团结一致向前看》的重要讲话的深入解读和重新审视。

这篇文章不仅回顾了改革开放初期的历史背景，还详细阐述了这一重要讲话的精神内涵和深远影响。

通过重读这篇光辉文献，我们能够深刻领会到解放思想、实事求是的重要性，以及团结一致向前看的坚定信念和决心。

文章首先概述了邓小平同志这一重要讲话的历史背景，即文化大革命结束后，中国面临着百废待兴的局面，需要一种全新的思想指导国家的发展。

然后，文章详细解读了“解放思想、实事求是”的思想内涵，指出这是改革开放的思想基础，是推动中国现代化建设的强大动力。

文章强调了“团结一致向前看”的重要性，认为这是凝聚全国各族人民共同奋斗的精神力量，是实现中华民族伟大复兴的必由之路。

通过本文的概述，我们可以更加深入地理解这篇光辉文献的历史意义和时代价值，从中汲取智慧和力量，为推进中国特色社会主义事业提供强大的思想武器和精神支撑。

二、解放思想的历史启示回顾历史，解放思想不仅是推动社会进步的重要动力，也是我们在面对困难和挑战时应有的态度。

从《解放思想，实事求是，团结一致向前看》这篇光辉文献中，我们可以汲取到深刻的历史启示。

解放思想是顺应时代潮流的必然选择。

在历史的转折点上，往往是思想的解放引领着社会的变革。

只有敢于打破旧有的束缚，才能迎来新的发展机遇。

因此，我们必须时刻保持敏锐的洞察力和前瞻性思维，勇于挑战传统观念，推动思想的解放和社会的进步。

解放思想是推动事业发展的强大动力。

解放思想不仅意味着打破束缚，更意味着创新和发展。

在改革开放的伟大实践中，正是解放思想推动了各项事业的蓬勃发展。

我们要坚持实事求是的原则，不断探索符合时代要求的新思路、新举措，为事业的发展注入强大的动力。

毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。

毕达哥拉斯在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明[2]。

埃及称为埃及三角形。

实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查。

相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的。

可以说真伪难辨。

这个现象的确不太公平，其所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上。

他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了。

至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究。

因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了。

不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，而更普遍地则称为勾股定理。

中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

[3](1)勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。

(2)勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。

(3)勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。

(4)勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。

[3]有关勾股定理的书籍这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。

路明思（Elisha Scott Loomis）的Pythagorean Proposition（《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。

毕达哥拉斯定理的起源与发展
毕达哥拉斯定理是古希腊数学家毕达哥拉斯提出的一个重要几何定理。

它描述了一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方和的关系，可以用公式表示为：c² = a² + b²，其中c是斜边的长度，a和b分别是两个直角边的长度。

虽然毕达哥拉斯并不是第一个发现这一定理的人，但他给予了它系统的证明和广泛的应用，因此被称为毕达哥拉斯定理。

据传，毕达哥拉斯是在约公元前6世纪左右创立了以他名字命名的学派，该学派主要研究数学和哲学。

毕达哥拉斯定理是他们研究几何学时发现的结果之一。

毕达哥拉斯定理的起源和发展具体来说并无确切的记载，因为当时的研究成果大多未能保存下来。

毕达哥拉斯定理的发展主要依赖于毕达哥拉斯学派的传承和后代数学家的研究。

在欧几里得的《几何原本》中，毕达哥拉斯定理被系统地证明和应用，并成为了几何学的重要基础之一。

此后，毕达哥拉斯定理得到了广泛的传播和应用，在数学和物理等领域都发挥着重要作用。

毕达哥拉斯定理的发展与数学的发展密切相关，随着数学的不断发展，人们对于毕达哥拉斯定理的认识也在不断深化和推广。

如今，毕达哥拉斯定理已经成为中学数学中的基本知识，并在各个领域有广泛的应用。

勾股定理的历史及证明勾股定理又叫商高定理、毕氏定理，或称毕达哥拉斯定理：英文译法：Pythagoras' Theorem在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。

如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a²+b²=c²据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过4000 年！中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,就有这条定理的相关内容：周公问：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。

夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高答：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出九九八十一，故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。

既方其外，半之一矩，环而共盘。

得成三、四、五，两矩共长二十有五，是谓积矩。

故禹之所以治天下者，此数之所由生也。

”从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。

在西方有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。

据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。

故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。

遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。

实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例。

除上述两个例子外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。

但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑。

比如说，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。

我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得证实。

”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥板书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数。