人教A版高中数学必修四人教两角和与差的正弦、余弦和正切公式(4)

两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β)) ②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β)) ③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β)) ④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β)) ⑤tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))⑥tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β))(2)公式变形①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．二倍角公式 (1)公式①sin 2α＝2sin_αcos_α，②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， ③tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(2)公式变形①cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(πα±.3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×)(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×)(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(×) (6)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(√) (7)若α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.(√)(8)不存在实数α，β，使得cos(α＋β)＝sin α＋cos β.(×) (9)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(√) (10)y ＝1－2cos 2x 的x 无意义．(×)考点一 三角函数式的给角求值命题点1.已知非特殊角求函数式的值2.已知含参数的角化简函数或求值[例1] (1)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°)5tan 5tan 1(0-； 解：原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°)5cos 5sin 5sin 5cos (0000- ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32. (2)化简：sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β. 解：法一：(复角→单角，从“角”入手)原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(4cos 2α·cos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12 ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12 ＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12. 法二：(从“名”入手，异名化同名)原式＝sin 2α·sin 2β＋(1－sin 2α)·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－cos 2β·)2cos 21(sin 2αα+＝1＋cos 2β2－cos 2β·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2α＋12(1－2sin 2α) ＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12.法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次) 原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β ＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12·cos 2α·cos 2β＝12.[方法引航] 给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分.(2)观察名，尽可能使函数统一名称.(3)观察结构，利用公式，整体化简.1．求值sin 50°(1＋3tan 10°)．解：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°) ＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.2．在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为________．解析：因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C 2＝3， 所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2 ＝tan )22(C A +)2tan 2tan 1(CA -＋3tan A 2tan C 2 ＝3)2tan 2tan1(CA -＋3tan A 2tan C 2＝ 3. 考点二 三角函数式的给值求值[例2] (1)(2016·高考全国丙卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－15 C.15 D.45解析：法一：cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.故选D. 法二：由tan θ＝－13，可得sin θ＝±110，因而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝45.答案：D(2)已知tan )4(πα+＝12，且－π2＜α＜0，则)4cos(2sin sin 22πααα-+等于( )A ．－255B ．－3510C ．－31010 D.255 解析：由tan )4(πα+＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2＜α＜0，所以sin α＝－1010. 故)4cos(2sin sin 22πααα-+＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.答案：A(3)已知α∈)2,0(π，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝________.解析：2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0， 由于α∈)2,0(π，sin α＋cos α≠0， 则2sin α＝3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213， ∴12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(－sin 2α＋cos 2α)＝268.答案：268[方法引航] 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系.(3)已知三角函数时，先化简三角函数式，再利用整体代入求值.1．在本例(1)中，已知条件不变，求tan )6(θπ+的值．解：tan )6(θπ+＝tan π6＋tan θ1－tan π6tan θ＝33－131＋33×13＝53－613.2．在本例(1)中，已知条件不变，求2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θ的值． 解：原式＝2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan 2θ－tan θ－3tan 2θ＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋13－3⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋1＝－115.3．已知cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，则cos )32(πα+＝________.解析：由cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，得sin α＋sin 2π3cos α－cos 23πsin α＝235∴32sin α＋32cos α＝235， 即3sin )6(πα+＝235，∴sin )6(πα+＝25，因此cos )32(πα+＝1－2sin 2)6(πα+＝1－2×2)52(＝1725.答案：1725考点三 已知三角函数式的值求角[例3] (1)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，0＜β＜α＜π2，则β＝________. 解析：∵cos α＝17，0＜α＜π2.∴sin α＝437.又cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2.∴0＜α－β＜π2，则sin(α－β)＝3314. 则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝497×14＝12，由于0＜β＜π2，所以β＝π3.答案：π3(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13＞0，∴0＜α＜π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2)31(1312-⨯＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－34π. 答案：－34π[方法引航] 1.解决给值求角问题应遵循的原则 (1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且①若角的范围是)2,0(π，选正、余弦皆可；②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；③若角的范围是)2,2(ππ-，选正弦较好． 2．解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值． (2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．1．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π4 解析：选C.∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22＞0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈)2,23(ππ，∴α＋β＝7π4. 2．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈)2,0(π，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，∴π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝5π4.[方法探究]三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用三角恒等变换要重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[典例] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； (2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解] (Ⅰ)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (Ⅱ)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.[高考真题体验]1．(2016·高考全国甲卷)若cos )4(απ-＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725解析：选D.因为cos )4(απ-＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D. 2．(2016·高考全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625 解析：选A.法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. 3．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：选D.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.4．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈)2,0(π，β∈)2,0(π，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：选 B.由条件得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin )2(απ-，因为－π2＜α－β＜π2，0＜π2－α＜π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.5．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1.答案：－16．(2016·高考四川卷)cos 2π8－sin 2π8＝________.解析：由二倍角公式，得cos 2π8－sin 2π8＝cos )82(π⨯＝22.答案：22课时规范训练 A 组 基础演练1．tan 15°＋1tan 15°＝( )A ．2B ．2＋3C ．4 D.433 解析：选C.法一：tan 15°＋1tan 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15° ＝1cos 15°sin 15°＝2sin 30°＝4.法二：tan 15°＋1tan 15°＝1－cos 30°sin 30°＋1sin 30°1＋cos 30°＝1－cos 30°sin 30°＋1＋cos 30°sin 30°＝2sin 30°＝4.2.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3 D. 2解析：选C.原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.3．已知θ∈(0，π)，且sin )4(πθ-＝210，则tan 2θ＝( ) A.43 B.34 C ．－247 D.247解析：选C.由sin )4(πθ-＝210，得22(sin θ－cos θ)＝210，所以sin θ－cos θ＝15. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ－cos θ＝15sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝45cos θ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－247，故选C. 4．若θ∈]2,4[ππ，sin 2θ＝378，则sin θ等于( ) A.35 B.45 C.74 D.34解析：选D.由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝2)473(+，又θ∈]2,4[ππ，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.5．已知sin 2(α＋γ)＝n sin 2β，则tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)的值为( ) A.n －1n ＋1 B.n n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n －1解析：选D.由已知可得sin[(α＋β＋γ)＋(α－β＋γ)]＝n sin[(α＋β＋γ)－(α－β＋γ)]，则sin(α＋β＋γ)·cos(α－β＋γ)＋cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝n [sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)－cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)]，即(n ＋1)cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝(n －1)sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)，所以tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)＝n ＋1n －1，故选D. 6．若sin )2(θπ+＝35，则cos 2θ＝________. 解析：∵sin )2(θπ+＝cos θ＝35，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×2)53(－1＝－725. 答案：－7257．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝________.解析：∵点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上∴sin α＝－2cos α，于是sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.答案：－28．设sin 2α＝－sin α，α∈),2(ππ，则tan 2α的值是________． 解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈),2(ππ，sin α≠0，∴cos α＝－12.又∵α∈),2(ππ，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan )3(ππ+＝tan π3＝ 3. 答案： 39．化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)． 解：由θ∈(0，π)，得0＜θ2＜π2，∴cos θ2＞0， ∴2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ))2cos 2(sin θθ-＝)2cos 2)(sin 2cos 22cos 2sin 2(2θθθθθ-+ ＝2cos θ2)2cos 2(sin 22θθ- ＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cos θ2＝－cos θ. 10．已知α∈),2(ππ，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈),2(ππ，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32.(2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×)53(-＝－43＋310. B 组 能力突破 1．已知sin α＋cos α＝22，则1－2sin 2)4(απ-＝( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32解析：选C.由sin α＋cos α＝22，得1＋2sin αcos α＝12，∴sin 2α＝－12.因此1－2sin 2)4(απ-＝cos2)4(απ-＝sin 2α＝－12. 2．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f )12(π的值为( )A ．43 B.833 C ．4 D ．8解析：选D.∵f (x )＝2)sin cos cos sin (2)sin cos (tan xx x x x x x +⨯=+＝2×1cos x ·sin x ＝4sin 2x ， ∴f )12(π＝4sin π6＝8. 3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，∴cos α＝255，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×)1010(-＝22. ∴β＝π4.4．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为________．解析：tan α＋tan β＝lg(10a )＋lg 1a ＝lg 10＝1，∵α＋β＝π4，所以tan π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝11－tan αtan β， ∴tan αtan β＝0，则有tan α＝lg(10a )＝0或tan β＝lg 1a ＝0.所以10a ＝1或1a ＝1，即a ＝110或1.答案：110或15．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)∵tan(π＋α)＝－13，∴tan α＝－13.∵tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-＝sin 2α＋4cos2α10cos2α－sin 2α＝2sin αcos α＋4cos2α10cos2α－2sin αcos α＝2cosα(sin α＋2cos α)2cos α(5cos α－sin α)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎪⎫－13＝516.(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)tan α＝516＋131－516×13＝3143.。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、 重点、难点教学重点：以两角和与差的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 二、课堂教学首先回顾两角和与差的正弦、余弦和正切公式，βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-sin()sin cos sin cos αβαββα+=+ sin()sin cos sin cos αβαββα-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（把上述公式中β看成α即可），()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 变型： 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--． 注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈。

三、例题讲解 例1、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<．又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-．于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯=⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-． 例2、 在△ABC 中,cosA=54,tanB=2,求tan(2A+2B)的值. 解：在△ABC 中,由cosA=54,0<A<π,得:sinA=.53)54(1cos 122=-=-A所以tanA=A A cos sin =53×45=43,tan2A=724)43(1432tan 1tan 222=-⨯=-AA 又tanB=2, 所以tan2B=.342122tan 1tan 222-=-⨯=-B B于是tan(2A+2B)=.17744)34(7241347242tan 2tan 12tan 2tan =-⨯--=-+B A B A 例3、求cos36°cos72°.的值．解：原式= 36sin 472cos 72sin 236sin 272cos 36cos 36sin 2=∙=41.例4.已知cos α=71,cos(α-β)=1413,且0<β<α<2π,(1)求tan2α的值; (2)求β.解:(1)由cos α=71,0<α<2π,得sin α=a 2cos 1-=.734)71(12=- ∴tan α=aa cos sin =17734⨯=43.于是tan2α=.4738tan 1342tan 1tan 222-=-⨯--a a a(2)由0<α<β<2π,得0<α-β<2π. 又∵cos(α-β)=1413,∴sin(α-β)=.1433)1413(1)(cos 122=-=--βa 由β=α-(α-β),得 cos β=cos ［α-(α-β)］=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=71×1413+1433734⨯=21. ∴β=3π. 例5 化简x x sin cos 3- 解：原式=)3sin(2)sin 3cos cos 3(sin 2)sin 21cos 23(2x x x x x -=-=-πππ 或解：原式=)6cos(2)sin 6sin cos 6(cos 2x x x +=-πππ例6 已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，求函数)125cos()12cos(x x y +--=ππ的值域 解： )3cos(2)125cos()12cos(x x x y -=+--=πππ∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ∴336πππ≤-≤-x∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-1,21)3cos(x π ∴函数y 的值域是⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡2,22例7 已知135)4sin(=-x π，40π<<x 求)4cos(2cos x x +π的值解：∵135)4sin(=-x π135)4sin()4(2cos =-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x x πππ 即：135)4cos(=+x π∵40π<<x ∴244πππ<+<x从而1312)4(=+x si π而16912013513121351312)4cos()4(cos 2cos =⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=x x x ππ∴1324135169120)4cos(2cos ==+x x π 例8已知0sin 2)2sin(=++ββα 求证tan α=3tan(α+β) 证：由题设：)](sin[2])sin[(βαααβα+-=++即)sin(cos 2)cos(sin 2sin )cos(cos )sin(βααβαααβααβα+-+=+++ ∴)cos(sin cos )sin(3βαααβα+=+ ∴tan α=3tan(α+β) 例9 已知432παβπ<<<，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，求sin2α的值 解：∵01312)cos(>=-βα 432παβπ<<< ∴40πβα<-< ∴135)sin(=-βα ∴23πβαπ<+<又53)sin(-=+βα ∴54)cos(-=+βα∴sin2α=)sin()(0)cos()sin()]()sin[(βαβαβαβαβαβα-++-+=-++s c=655613554131253-=⨯-⨯-例10求证：tan20°tan30°＋tan30°tan40°＋tan40°tan20°＝1选题意图：考查两角和与差的正切变形公式的应用证明：左端＝︒⋅︒+︒+︒20tan 40tan )40tan 20(tan 33右端==︒︒+︒︒-=︒︒+︒︒-︒=120tan 40tan 40tan 20tan 120tan 40tan )40tan 20tan 1(60tan 33说明：可在△ABC 中证明2tan2tan2tan2tan2tan2tan=++A C C B B A课时对点练一、选择题1．函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数 2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°·tan 50°＝( )A. 3B.33C ．－33D ．－ 33．若3sin x －3cos x ＝23sin(x －φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝ ( )A ．－π6B.π6C.5π6D ．－5π64．(2010·烟台调研)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( )A.725B.1625C.1425D.19255．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α的值是 ( )A.2＋33B ．－2＋33C.2－33D.－2＋33二、填空题6．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________． 7．(2010·汕头二模)若0＜α＜π2＜β＜π，且cos β＝－13，sin(α＋β)＝13，则cos α＝________.8．已知α、β为锐角，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则β的值为________．三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分) 9．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值；(2)求sin 2α－cos2α1＋cos 2α的值．10．(2010·湖南卷)已知函数2()sin 22sin f x x x =-(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x 的集合．11．如图在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐 角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已 知A 、B 两点的横坐标分别为210、255. (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的大小．12．(2010·珠海质量检测)已知函数44cos 2cos 21()2cos 2x x f x x--=.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1112π的值；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4时，求g(x)＝f(x)＋sin 2x 的最大值和最小值．答案1 解析：y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ∴周期为π的奇函数．答案：A2 解析：tan 70°＋tan 50°－3tan 70°·tan 50° ＝tan 120°(1－tan 70°·tan 50°)－3tan 70°·tan 50° ＝－ 3. 答案：D3 解析：23sin(x －φ)＝23(sin xcos φ－cos xsin φ) ＝3sin x －3cos x ，∴cos φ＝32，sin φ＝12. 又φ∈(－π，π)， ∴φ＝π6. 答案：B 4 解析：sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725. 答案：A5 解析：sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α ＝1－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝2＋33.答案：A6 解析：y ＝(2cos 2x －1)＋sin 2x ＋1＝cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1 ∴y 的最小值为1－ 2. 答案：1－ 27 解析：∵0＜α＜π2＜β＜π，∴π2＜α＋β＜3π2， ∴sin β＝223， cos(α＋β)＝－223， ∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋13×223 ＝49 2. 答案：4298 解析：cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝17×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114＋437×5314＝12. ∴β＝π3. 答案：π39 解：(1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝12. 解得tan α＝－13.(2)sin 2α－cos2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos2α2cos2α ＝tan α－12＝－56.10 解：(1)因为f(x)＝sin 2x －(1－cos 2x) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－1.所以函数f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知，当2x ＋π4＝2k π＋π2， 即x ＝k π＋π8(k ∈Z)时，f(x)取最大值2－1.因此函数f(x)取最大值时x 的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π8，k ∈Z.11、解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cos α＝210，cos β ＝255.因为α为锐角，故sin α>0，从而sin α＝1－cos2α＝7210，同理可得sin β＝55，因此tan α＝7，tan β＝12.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－－12＝－1.又0<α<π2，0<β<π2，故0<α＋2β<3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝3π4.12解：f(x)＝－＋－2cos2xcos 2x＝＋－2cos 2xcos 2x＝2cos 2x ＋1－2＝2cos 2x －1＝cos 2x.(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π12＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫－11π12＝cos 11π6＝cos π6＝32.(2)g(x)＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由0≤x＜π4，故π4≤2x＋π4＜3π4，∴22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1,1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤ 2.即g(x)的最小值是1，最大值是 2.。

互动课堂疏导引导1.两角和的余弦公式比较cos(α-β)与cos(α+β),并且注意到α+β与α-β之间的关系:α+β=α-(-β),则由两角差的公式得 cos(α+β)=cos ［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(C (α+β))2.两角和与差的正弦公式sin(α-β)=cos(2π-α+β)=cos ［(2π-α)+β］ =cos(2π-α)cosβ-sin(2π-α)sinβ =sinαcosβ-cosαsinβ,即sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.(S (α-β))在上式中,以-β代β可得sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.(S (α+β))3.正确理解和差角的正弦公式(1)公式对于任意的角α、β都成立.(2)搞清sin(α±β)的意义.例如sin(α+β)是两角α与β的和的正弦,它表示角α+β终边上任意一点的纵坐标与原点到这点的距离之比.在一般情况下,sin(α+β)≠sinα+sinβ,如α=3π,β=6π时,sin(3π+6π)=sin 2π=1, sin 3π+sin 6π=23+21=213+≠1. ∴sin(3π+6π)≠sin 3π+sin 6π. 只有在某些特殊情况下,sin(α+β)=sinα+sinβ,例如,当α=0,β=6π时, sin(0+6π)=sin 6π=21,sin0+sin 6π=0+21=21, ∴sin(0+6π)=sin0+sin 6π. 在学习时一定要注意:不能把sin(α+β)按分配律展开.(3)牢记公式并能熟练左、右两边互化.例如化简sin20°cos50°-sin70°cos40°,要能观察出此式等于sin(20°-50°)=-sin30°=-21. (4)灵活运用和(差)角公式.例如化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ,不要将sin(α+β),cos(α+β)展开,而应就整个式子,直接运用公式sin ［(α+β)-β］=sinα,这也是公式的逆用.4.两角和与差的正切公式的推导当cos(α+β)≠0时,将公式S (α+β),C (α+β)的两边分别相除,有tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++.当cosα·cosβ≠0时,将上式的分子、分母分别除以cosα·cosβ,得 tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+(T (α+β)). 由于tan(-β)=ββββcos sin )cos()sin(-=-=-tanβ. 在T (α+β)中以-β代β,可得tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-(T (α-β)). 5.关于两角和与差的正切公式要注意几个问题(1)公式适用范围.因为y=tanx 的定义域为x≠2π+kπ,k ∈Z . 所以T (α±β)只有在α≠2π+kπ,β≠2π+kπ,α±β≠2π+kπ时才成立,否则不成立,这是由任意角的正切函数的定义域所决定的.当tanα、tanβ或tan(α±β)的值不存在时,不能使用T (α±β)处理某些有关问题,但可改用诱导公式或其他方法.例如,化简tan(2π-β),因为tan 2π的值不存在,不能利用公式T (α-β),所以改用诱导公式.(2)注意公式的逆向运用 ββαββαtan )tan(1tan )tan(++-+=tan ［(α+β)-β］=tanα, ααααtan 45tan 1tan 45tan tan 1tan 1︒-+︒=-+=tan(45°+α). (3)变形应用tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ),如tanα+tanβ+tanαtanβtan(α+β)=tan(α+β),tan(α+β)-tanα-tan β=tanαtanβtan(α+β).活学巧用1.在△ABC 中,若sinAsinB ＜cosAcosB,则此三角形的外心位于它的( )A.内部B.外部C.一边上D.不确定 解析:cosAcosB-sinAsinB ＞0,即cos(A+B)＞0,∴-cosC ＞0.∴cosC ＜0.∴C 为钝角.∴△ABC 为钝角三角形.∴三角形的外心位于它的外部.答案:B2.化简下列各式:(1)cos(80°+3α)cos(35°+3α)+sin(80°+3α)cos(55°-3α); (2)sin(x+3π)+2sin(x-3π)-3cos(32π-x); (3))cos(cos cos 2sin cos 2)sin βαβαβαβα+--+(. 解析:(1)原式=cos(80°+3α)cos(35°+3α)+sin(80°+3α)sin(35°+3α)=cos ［(80°+3α)-(35°+3α)］=cos45°=22. (2)原式=sinxcos 3π+cosxsin 3π+2sinxcos 3π-2cosxsin 3π-3cos 32πcosx-3sin 32πsinx =23sinx-23cosx+23cosx-23sinx=0. (3)原式=βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos cos cos 2sin cos 2sin cos cos sin +-=+--+ =)cos()sin(βαβα--=tan(α-β). 答案:(1)22;(2)0;(3)tan(α-β). 3.已知cos(α+β)=-31,cos2α=-135,α、β均为钝角,求sin(α-β). 解析:∵α、β∈(90°,180°),∴α+β,2α∈(180°,360°).∵cos(α+β)=- 31＜0,cos2α=-135＜0. ∴α+β,2α∈(180°,270°).∴sin(α+β)=322)31(1)(cos 122-=---=+--βα,sin2α=1312)135(12cos 122-=---=--α. ∴sin (α-β)=sin ［2α-(α+β)］=sin2αcos(α+β)-cos2α·sin(α+β) =(-1312)×(-31)-(-135)(322-)=3921012-. 答案:3921012-. 4.求下列各式的值. (1)︒︒+︒-︒15tan 75tan 115tan 75tan(2))25tan()305tan(1385tan 55tan ︒-︒--︒-︒ (3)︒+︒-15tan 3115tan 3.解:(1)原式=tan(75°-15°)=tan60°=3.(2)原式=)25tan )(36055tan(1)36025tan(55tan ︒-︒-︒-︒+︒-︒=︒︒+︒-︒25tan 55tan 125tan 55tan =tan(55°-25°)=tan30°=33. (3 ︒+︒-15tan 3115tan 3=︒︒+︒-︒15tan 60tan 115tan 60tan =tan(60°-15°)=tan45°=1. 答案:(1)3;(2) 33;(3)1. 5.化简求值:(3+tan30°tan40°+tan40°tan50°+tan50°tan60°)·tan10°.解:原式=(1+tan30°tan40°+1+tan40°tan50°+1+tan50°tan60°)·tan10°,因为tan10°=tan(40°-30°)=︒︒+︒-︒30tan 40tan 130tan 40tan 所以1+tan40°tan30°=︒︒-︒10tan 30tan 40tan . 同理,1+tan40°tan50°=︒︒-︒10tan 40tan 50tan , 1+tan50°tan60°=︒︒-︒10tan 50tan 60tan . 所以原式=(︒︒-︒10tan 30tan 40tan +︒︒-︒10tan 40tan 50tan +︒︒-︒10tan 50tan 60tan )·tan10° =tan40°-tan30°+tan50°-tan40°+tan60°-tan50°=-tan30°+tan60° =332333=+-. 6.tan12°+tan33°+tan12°tan33°的值为_______________.解析:因为tan45°=tan(12°+33°)=︒︒-︒+︒33tan 12tan 133tan 12tan =1, 所以原式=tan12°tan33°+1-tan12°tan33°=1.答案:1。