下载文档原格式
导数的计算【知识要点】一．导数概念：(1)平均变化率：对于函数y ＝f (x )，定义1212)()(x x x f x f --为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率．换言之，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，那么函数f (x )相应地有增量f (x 0＋∆x )－f (x 0)，则比值xx f x x f ∆-∆+)()(00就叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋∆x 之间的平均变化率． (2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0000. (3)函数y ＝f (x )的导函数(导数)：当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，我们称它为函数y ＝f (x )的导函数(简称导数)，即xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0.二 ．导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f '(x 0)．三．导数的运算：(1)几种常见函数的导数：①(C )′＝0(C 为常数)；②(x n )′＝nx n －1(x ＞0，n ∈Q *)；③(sin x )′＝cos x ；④(cos x )′＝－sin x ；⑤(e x )′＝e x ；⑥(a x )′＝a x ln a (a ＞0，且a ≠1)； ⑦xx 1)(ln =； ⑧e x x a a log 1)(log =(a ＞0，且a ≠1)． (2)导数的运算法则：①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )；②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③)0)(()()()()()(])()([2=/'-'='⋅x v x v x v x u x v x u x v x u .(3)简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b ))的导数：设函数y ＝f (u )，u ＝g (x )，则函数y ＝f (u )＝f [g (x )]称为复合函数．其求导步骤是：x y '＝u f '·x g '，其中u f '表示f 对u 求导，x g '表示g 对x 求导．f 对u 求导后应把u 换成g (x )．【典型例题】例1 求曲线122+=x x y 在点)1,1(处的切线方程. 回顾导数的几何意义:函数)(x f y =在0x 处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率. 解: 略例2 曲线运动方程为2221t tt s +-=,求3=t 时的速度. 回顾导数的物理意义:瞬时速度是位移函数)(t s 对时间t 的导数:)(')(t s t v =.解: 略例3已知抛物线c bx ax y ++=2通过点)1,1(,且在点)1,2(-处与直线3-=x y 相切,求c b a ,,的值.【随堂练习】1 求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)(x 2－1)； (2)11+-=x x y ；(3)y ＝sin2x ； (4)y ＝e x ·ln x ．2．求下列函数的导数：(1)y ＝x －e x ；(2)y ＝x 3＋cos x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (4)⋅=x x y ln3．(tan x )′等于( ) (A)x 2sin 1 (B)x 2sin 1- (C)x 2cos 1 (D)x2cos 1-4．设f (x )＝x ln x ，若f '(x 0)＝2，则x 0等于( )(A)e 2(B)e (C)22ln (D)ln25．f '(x )是1231)(3++=x x x f 的导函数，则f '(－1)＝______．6．若函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f '(1)＝______．7．过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为______；切线的斜率为______．8．设函数f (x )＝xe kx (k ≠0)，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是______．9设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f '(x )的最小值为－12．求a ，b ，c 的值．10．曲线x y 21e在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) (A)2e 29 (B)4e 2 (C)2e 2 (D)e 2 6 (1)求曲线y ＝x 2在点(1，1)处的切线方程.(2)过点(1，－3)作曲线y ＝x 2的切线，求切线的方程．10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (1，1)，B (2，－1)，且该曲线在点B 处的切线方程为y ＝x －3，求a 、b 、c 的值。
数学精品32导数的计算教案二(新人教A版选修1-1)3.2.1几个常用函数的导数教案教学目标：1.能够用导数的定义求几个常用函数的导数；2.利用公式解决简单的问题。
教学重点和难点1．重点：推导几个常用函数的导数；2．难点：推导几个常用函数的导数。
教学方法：自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆。
教学过程：一复习1、函数在一点处导数的定义；2、导数的几何意义；3、导函数的定义；4、求函数的导数的步骤。
二新课例1．推导下列函数的导数f(某)cyf(某某)f(某)cc0，解：某某某yf'(某)limlim00某0某某0（1）1.求f(某)某的导数。
yf(某某)f(某)某某某1，某某某y'lim11。
f(某)lim某0某某0解：y'1表示函数y某图象上每一点处的切线的斜率都为1.若y某表示路程关于时间的函数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。
思考：(1).从求y某，y2某，y3某，y4某的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？(2).函数yk某(k0)增的快慢与什么有关？可以看出，当k>0时，导数越大，递增越快；当k<0时，导数越小，递减越快.2.求函数yf(某)某的导数。
2'yf(某某)f(某)(某某)2某22某某，解：某某某y'f'(某)limylim(2某某)2某。
某0某某0y'2某表示函数y某2图象上每点（某,y）处的切线的斜率为2某，说明随着某的变化，切线的斜率也在变化：(1)当某<0时，随着某的增加，y某2减少得越来越慢；（2）当某>0时，随着某的增加，y某2增加得越来越快。
3.求函数yf(某)1的导数。
某11yf(某某)f(某)某(某某)12解：，某某某某(某某)某某某某y'f'(某)limy11lim(2)2某0某某0某某某某思考：(1)如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？kf'(1)1，所以其切线方程为y某2。
3.2导数的计算3．2.1 几个常用函数的导数3．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)熟练掌握基本初等函数的导数公式；(2)掌握导数的四则运算法则．2．过程与方法能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．3．情感、态度与价值观通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力．由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了几个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则．学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用，在训练中也有加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣．●重点、难点重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则．难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用．(教师用书独具)●教学建议本节内容是应用导数公式和四则运算法则解决求导数问题，记住公式和法则是应用的前提，通过出示不同类型的例题与习题，进行反复的训练与强化是突破重点、难点的关键．●教学流程创设问题情境，引出问题：有没有更简洁的求导方法？⇒引导学生通过导数的定义推导出几个常用函数的导数公式.⇒通过引导学生回答所提问题导出导数的运算法则.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握用求导公式求初等函数的导数.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用求导公式和导数的运算法则求导.⇒复习回顾导数的几何意义，完成例3及其变式训练，解决导数的应用问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第52页)课标解读1.了解导数公式的推导过程、理解导数的四则运算法则．(难点)2．掌握几种常见函数的导数公式．(重点) 3．能够运用导数公式和求导法则进行求导运算．(重点)基本初等函数的导数公式【问题导思】1．用导数的定义求导数的步骤是怎样的？ 【提示】 ①求函数值的变化量； ②求平均变化率； ③取极值，得导数．2．我们发现，用导数的定义求导数很复杂，能不能总结出常用函数的求导公式呢？ 【提示】 能．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝α·x α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos xf ′(x )＝－sin_x续表原函数导函数f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a >0且a ≠1)f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a(a >0且a ≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝1x导数的运算法则一个函数可以求其导数，那么两个函数加、减、乘、除能求导吗？【提示】 能．设两个函数f (x )，g (x )可导，则 和的导数 [f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )差的导数 [f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )积的导数 [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0) (对应学生用书第53页)用求导公式求函数的导数求下列函数的导数 (1)y ＝x 8(2)y ＝1x4 (3)y ＝3x(4)y ＝2x(5)y ＝log 2x (6)y ＝cos x【思路探究】 (1)以上函数分别是什么类型的函数？ (2)这种函数的求导公式是怎样的？ 【自主解答】 (1)y ′＝(x 8)′＝8x8－1＝8x 7.(2)y ′＝(1x4)′＝(x －4)′＝－4x －5.(3)y ′＝(3x )′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x －23.(4)y ′＝(2x)′＝2xln 2. (5)y ′＝(log 2x )′＝1x ln 2. (6)y ′＝(cos x )′＝－sin x .1．基本初等函数的求导公式是求导数基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导． 2．对于形如y ＝1xp ，y ＝nx 的函数一般先转化为幂函数的形式，再用幂函数的求导公式求导．3．要区分指数函数、对数函数的求导公式，以免在运用时混淆． 求下列函数的导数； (1)y ＝10；(2)y ＝x 10；(3)y ＝3x 2；(4)y ＝13x2；(5)y ＝3x；(6)y ＝log 3x . 【解】 (1)y ′＝(10)′＝0 (2)y ′＝(x 10)′＝10x10－1＝10x 9.(3)y ′＝(x 23)′＝23x 23－1＝23x －13＝233x.(4)y ′＝(x －23)′＝－23x －23－1＝－23x －53＝－233x 5.(5)y ′＝(3x)′＝3xln 3. (6)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.用求导公式和导数运算法则求导求下列函数的导数：(1)f (x )＝(x ＋2)(x －3)；(2)f (x )＝lg x －3x； (3)f (x )＝11－x ＋11＋x ；(4)f (x )＝sin x1＋sin x .【思路探究】【自主解答】 (1)∵f (x )＝x 2－x －6， ∴f ′(x )＝(x 2－x －6)′＝2x －1. (2)f ′(x )＝(lg x )′－(3x)′＝1x ·ln 10－3xln 3.(3)y ＝11－x ＋11＋x ＝1＋x ＋1－x1－x 1＋x ＝21－x， ∴y ′＝(21－x )′＝－21－x ′1－x 2＝21－x 2.(4)∵f (x )＝sin x 1＋sin x ＝1－11＋sin x ，∴f ′(x )＝1′－(11＋sin x )′＝－－1＋sin x ′1＋sin x2＝cos x 1＋sin x2.1．应用导数运算法则求函数的导数的技巧：(1)求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错．(2)利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导．(3)在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导．2．应用导数运算法则求函数的导数的原则：结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除运算，再套运算法则．求下列函数的导数：(1)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6； (2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (3)y ＝x －1x ＋1； (4)y ＝－sin x 2(1－2cos 2x 4)． 【解】 (1)y ′＝(x 5－3x 3－5x 2＋6)′ ＝(x 5)′－(3x 3)′－(5x 2)′＋6′ ＝5x 4－9x 2－10x .(2)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′ ＝4x (3x －2)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－8x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2＋9x －6， ∴y ′＝18x 2－8x ＋9. (3)法一 y ′＝(x －1x ＋1)′＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12.法二 ∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′ ＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.(4)y ＝－sin x 2(1－2cos 2x 4)＝－sin x 2(－cos x 2)＝12sin x ，y ′＝(12sin x )′＝12(sin x )′＝12cos x .导数的应用在抛物线y ＝－x 2上求一点，使之到直线4x ＋3y －8＝0的距离最小． 【思路探究】 (1)平行于直线4x ＋3y －8＝0且与抛物线相切的直线与抛物线y ＝－x 2的切点是否满足题意？(2)该切点的坐标如何求出？【自主解答】 如图所示，由题意知作与4x ＋3y －8＝0平行的直线l ，当l 与y ＝－x 2相切时，切点P 到直线4x ＋3y －8＝0的距离最小．设切点为(x 0，－x 20)，又y ′＝(－x 2)′＝－2x ， ∴－2x 0＝－43，∴x 0＝23，y 0＝－x 20＝－49，∴点P (23，－49)，即抛物线y ＝－x 2上的点(23，－49)到直线的距离最小．利用导数的四则运算法则和基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义，可以求解一些与距离、面积有关的几何问题，解题的关键是正确运用曲线的切线．已知点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上一点，求点P 到直线y ＝x －2的最小距离． 【解】 过p 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切，设P (x 0，x 20－ln x 0)，则k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)，∴p 的坐标为(1,1)，∴d min ＝|1－1－2|1＋1＝ 2. (对应学生用书第54页) 因公式记忆不准确致误求函数y ＝sin x －cos x 的导数．【错解】 y ′＝(sin x )′－(cos x )′＝cos x －sin x 【错因分析】 (cos x )′＝－sin x ，错解中因漏掉负号致误．【防范措施】 应熟记基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，以防因记忆不牢而致误．【正解】 y ′＝(sin x )′－(cos x )′＝cos x ＋sin x .本堂课的主要内容是利用基本初等函数的求导公式和导数的运算法则求导数的运算．在运算中，熟记有关的求导公式是关键，但对运算法则更应熟练掌握，特别是对商的运算，应与积的运算予以区别记忆，同时也要注意它们之间的联系.(对应学生用书第54页)1．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－3)等于( )A ．4 B.19 C ．－14 D ．－19【解析】 ∵(1x )′＝－1x2，∴f ′(－3)＝－1－32＝－19. 【答案】 D2．下列各式中正确的是( ) A ．(ln x )′＝x B ．(cos x )′＝sin x C ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－15x －6【解析】 ∵(ln x )′＝1x ，(cos x )′＝－sin x ，(x －5)′＝－5x －5－1＝－5x6，∴A 、B 、D 均不正确；C 正确．【答案】 C3．下列求导正确的是( ) A ．(x ＋1x )′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x ＋ln 3)′＝3x·ln 3＋13D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1－1x2，A 不正确．(3x ＋ln 3)′＝(3x )′＋(ln 3)′＝3xln 3，C 不正确． (x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，D 不正确． 【答案】 B 4．求曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程．【解】 y ′＝(xx －2)′＝－2x －22.∴k ＝y ′|x ＝1＝－2∴切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0.(对应学生用书第107页)一、选择题1．(2013·普宁高二检测)设函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2【解析】 ∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2. ∴ln x 0＝1，x 0＝e. 【答案】 B2．(2013·广元高二检测)曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －3＝0 B ．3x －y ＋1＝0 C ．3x ＋y －1＝0D ．x －3y ＋3＝0【解析】 y ′＝e x＋x e x＋2，∴y ′|x ＝0＝3＝k .∴曲线在点(0,1)处的切线方程为y －1＝3x ，即3x －y ＋1＝0. 【答案】 B3．设曲线y ＝ax 2在(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1【解析】 y ′＝2ax ，∴在点(1，a )处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝2a . 由题意可得2a ＝2，∴a ＝1.故选A. 【答案】 A4．函数y ＝x1－cos x 的导数是( ) A.1－cos x －sin x 1－cos x B.1－cos x －x sin x1－cos x 2C.1－cos x －sin x 1－cos x 2 D.1－cos x ＋x sin x1－cos x2【解析】 y ′＝x ′1－cos x －x 1－cos x ′1－cos x 2＝1－cos x －x sin x1－cos x2. 【答案】 B5．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]【解析】 f ′(x )＝x 2sin θ＋3x cos θ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋π3)，∵θ∈[0，5π12]，∴sin(θ＋π3)∈[22，1]，∴f ′(1)∈[2，2]． 【答案】 D二、填空题6．设函数f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(1)＝3×12－4×1＋1＝0. 【答案】 07．(2013·张家港高二检测)设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则af ′a＋bf ′b＋cf ′c＝________.【解析】 ∵f ′(x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，代入即得a f ′a＋b f ′b ＋cf ′c＝a a －ba －c＋b b －cb －a＋c c －ac －b＝－a b －c －b c －a －c a －ba －b b －c c －a＝－ab ＋ac －bc ＋ab －ac ＋bca －b b －c c －a ＝0.【答案】 08．(2013·重庆高二检测)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．【解析】 ∵f ′(1)＝n ＋1，∴y ＝x n ＋1在点(1,1)处的切线方程为y ＝(n ＋1)(x －1)＋1.令y ＝0，得x n ＝nn ＋1，∴a n ＝lg n －lg(n ＋1)，∴a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg 1－lg 100＝－2. 【答案】 －2 三、解答题9．求下列函数的导数． (1)y ＝x －sin x 2·cos x2；(2)y ＝1x·cos x .【解】 (1)∵y ＝x －sin x 2·cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·cos x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′cos x ＋1x(cos x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12′cos x －1x sin x ＝－12x －32cos x －1x sin x＝－cos x 2x 3－1x sin x ＝－cos x ＋2x sin x2x x . 10．已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，求a ，b 的值．【解】 (1)f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x x ＋12－bx2.由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1，f ′1＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.所以a ＝1，b ＝1.11．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)求证曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【解】 (1)7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)【证明】 设点P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2可知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 围成的三角形的面积为定值，此定值为6.(教师用书独具)设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 011(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x【解析】 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4.∴f 2 011(x )＝f 3(x )＝－cos x .【答案】 D已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n∈N *，n ≥2)，则f 1(π2)＋f 2(π2)＋…＋f 2 011(π2)＝________. 【解析】 f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )．又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1(π2)＋f 2(π2)＋…＋f 2 011(π2) ＝f 1(π2)＋f 2(π2)＋f 3(π2)＝－f 4(π2) ＝cos π2－sin π2＝－1. 【答案】 －1。
高中数学《导数的计算》学案1 新人教A版选修3、2 导数的计算【成功细节】张玥谈导数的计算的方法（xx年，北京文9)已知是的导函数，则的值是＿＿＿＿、本节内容公式和法则比较多，以公式的推导、记忆以及应用为主，重点是基本初等函数导数公式以及导数的四则运算法则的灵活运用，公式的形式多样，容易引起混淆，并且公式中往往会有一些条件容易忽略，导致遗漏错误、所以在学习时，我认为应注意以下几个方面：（1）要牢记常数函数和幂函数的求导公式，能用定义法求这些函数的导数的方法，注意四种常见函数实际上就是四种特殊的幂函数；（2）要熟记基本初等函数的导数公式，特别是对数函数和指数函数的导函数的形式，；（3）熟练掌握导数的四则运算法则，注意公式的形式以及前提条件，两个函数的和与差的导数与两个函数积的导数的形式是不同的；（4）和（或差）、积的函数的导数运算法则可以推广到两个以上函数的和（差）、积的求导；（5）在求函数的导数时，一定要先化简函数的表达式，尽量不使用积的函数的导数的法则；（6）若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导。
如，这个题主要考查基本初等函数的导数公式以及函数和的导数的计算法则，是一个简单的小题，但计算时要细心，可先求出导函数，然后再求导数值，显然有公式可得，，所以、【高效预习】（核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。
叶圣陶【关注、思考】1、阅读课本第8182页，总结四个常用函数的导数公式，认真阅读导数公式的推导过程，这四个常用函数有什么共同的特征，其导数有什么意义？细节提示：利用导数的定义求解四种函数的导数，对照函数图象，把握住导数的物理意义和几何意义；四种常用函数实际上都是幂函数，探讨规律时，应把导函数的系数与幂指数与原函数进行对比、【领会、感悟】1、这四种函数实质上都是特殊的幂函数，它们的导函数的系数为幂函数的指数，指数为幂函数的指数减去1所的数值；函数的导数的几何意义是函数图象在该点处的切线的斜率【领会感悟】2、基本初等函数的导数公式是我们求解函数导数的基础，要记准确，记牢，才可能在运算过程中不出现错误。
高中数学新人教A 版选修1_1：3.2 导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式自主预习·探新知情景引入在17世纪60年代，牛顿就已经发现利用导数能解决数学和物理学科的许多问题．但是运用定义法求解导数运算太复杂，有时甚至无法完成．是否有更简单的求导方法呢？新知导学1．几个常用函数的导数 函数导数函数导数f (x )＝c f ′(x )＝__0__ f (x )＝x f ′(x )＝__1__ f (x )＝x 2f ′(x )＝__2x __f (x )＝1xf ′(x )＝__－1x2__2.基本初等函数的导数公式函数导数函数导数f (x )＝c f ′(x )＝__0__ f (x )＝a x f ′(x )＝__a x ln_a __(a >0)f (x )＝x α(α∈Q *)f ′(x )＝__αx α－1__f (x )＝e x f ′(x )＝__e x __ f (x )＝sin x f ′(x )＝__cos_x __ f (x )＝log a xf ′(x )＝__1x ln a__(a >0且a ≠1) f (x )＝cos x f ′(x )＝__－sin_x __f (x )＝ln xf ′(x )＝__1x__预习自测1．下列结论不正确的是( D ) A ．若y ＝0，则y ′＝0 B ．若y ＝5x ，则y ′＝5 C ．若y ＝x －1，则y ′＝－x －2D ．若y ＝x 12 ，则y ′＝12x 12[解析] 当y ＝x 12 时，y ′＝(x 12 )′＝(x )′＝12x ＝12x －12 .D 不正确．故应选D ．2．(2020·山东临沂高二检测)已知函数f (x )＝x ，则f ′(3)＝( A ) A ．36B ．0C ．12xD ．32[解析] ∵f ′(x )＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36. 3．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－2)＝( D )A ．4B ．14C ．－4D ．－14[解析] ∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′＝－1x2，∴f ′(－2)＝－1x 2|x ＝－2＝－14.4．已知函数f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝__1e__.[解析] ∵函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)， ∵f ′(1)＝－1，∴f ′(x )＝1x ·ln a，∴1ln a＝－1， ∴ln a ＝－1， ∴a ＝e －1＝1e.5．求下列函数的导数：(1)y ＝a 2(a 为常数)； (2)y ＝x 12； (3)y ＝x －4； (4)y ＝lg x .[解析] (1)∵a 为常数， ∴a 2为常数， ∴y ′＝(a 2)′＝0. (2)y ′＝(x 12)′＝12x 11. (3)y ′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x5.(4)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶求基本初等函数的导数典例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 13；(2)y ＝1x 3；(3)y ＝4x ；(4)y ＝15x2.[解析] (1)y ′＝(x 13)′＝13x 12. (2)y ′＝(1x3)′＝(x －3)′＝－3x －4.(3)y ′＝(4x )′＝(x 14 )′＝14x －34 .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15x 2′＝(x －25 )′＝－25x －75 . 『规律方法』 1.用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁．利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度．2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构进行调整．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．┃┃跟踪练习1__■求下列函数的导数(1)y ＝1x2；(2)y ＝3x ；(3)y ＝2x；(4)y ＝log 3x .[解析] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3.(2)y ′＝(3x )′＝(x 13 )′＝13x －23 .(3)y ′＝(2x)′＝2xln 2. (4)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. 命题方向❷求某一点处的导数典例2 求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数．[解析] f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －12 －1＝－12x －32＝－12x 3， ∴f ′(1)＝－121＝－12，∴函数f (x )在x ＝1处的导数为－12.『规律方法』 求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是： (1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值． ┃┃跟踪练习2__■ 已知f (x )＝1n x，且f ′(1)＝－13，求n .[解析] f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n x ′＝(x －1n )′＝－1n x －1n －1＝－1nx －n ＋1n ，∴f ′(1)＝－1n，由f ′(1)＝－13得－1n ＝－13，得n ＝3.命题方向❸利用导数公式求切线方程典例3 求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝⎛⎭⎪⎫π3，12且与在这点的切线垂直的直线方程．[解析] ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ， 曲线在点P ⎝⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线斜率是y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23， ∴所求的直线方程为y －12＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，即2x －3y －2π3＋32＝0. 『规律方法』 1.求切线方程的步骤： (1)利用导数公式求导数． (2)求斜率． (3)写出切线方程．注意导数为0和导数不存在的情形．2．(1)在应用(sin x )′＝cos x 与(cos x )′＝－sin x 时，一要注意函数的变化；二要注意符号的变化．(2)对于公式(a x)′＝a xln a 与(log a x )′＝1x ln a记忆较难，又易混淆，要注意区分公式的结构特征，既要从纵的方面(ln x )′与(log a x )′和(e x)′与(a x)′区分，又要从横的方面(log a x )′与(a x)′区分，找出差异记忆公式．┃┃跟踪练习3__■曲线y ＝ln x 在点(1,0)处的切线方程为__y ＝x －1__.[解析] 由y ＝ln x 得y ′＝1x，令x ＝1得y ′＝1即切线斜率为1，∴切线方程为y ＝x－1.学科核心素养导数的应用典例4 已知曲线方程y＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．[思路分析]由条件知B点不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程．[解析]由于点B(3,5)不在曲线上，所以点B不是切点，设切点坐标为(x0，y0)．∵y＝x2，∴y′＝2x，∴切线斜率为k＝2x0，∴切线方程为：y－x20＝2x0(x－x0)．∵B(3,5)在切线上，∴5－x20＝2x0(3－x0)，解之，得x0＝1或x0＝5.所以所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.『规律方法』求过点P与曲线相切的直线方程的步骤：①设出切点坐标为(x0，y0)；②写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)；③代入点P的坐标，求出x0、y0.┃┃跟踪练习4__■已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．[解析]由f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，令(2－x)取代x，得f(2－x)＝2f(x)－(2－x)2＋8(2－x)－8，即2f(x)－f(2－x)＝x2＋4x－4，联立f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，得f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，f′(2)＝4，即所求切线斜率为4，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.易混易错警示准确应用公式典例5 求函数y＝2x在x＝1处的切线方程．[错解]∵y′＝(2x)′＝x·2x－1，∴y′|x＝1＝1，又x＝1时，y＝2，∴切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.[错解分析]y＝2x是指数函数，而不是幂函数，错解将幂函数y＝xα(α∈Q)与指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的导数公式记混用错．[正解]∵y′＝(2x)′＝2x ln 2，∴y′|x＝1＝2ln 2，又x＝1时，y＝2，∴切线方程为y－2＝2ln2 (x－1)，即2x ln 2－y－2ln 2＋2＝0.。
2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A 版选修1-1能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 重点：导数的四则运算法则及其运用． 难点：导数的四则运算法则的理解运用． 方 法：合作探究 一新知导学 思维导航我们已经会求幂函数、指数函数、对数函数及y ＝sinx ，y ＝cosx 的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？ 1．设函数f (x )、g (x )是可导函数，则：(f (x )±g (x ))′＝________________； (f (x )·g (x ))′＝______________________．2．设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫f (x )g (x )′＝____________________________.牛刀小试1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B ． 2 C ．－1 D ．0 2．函数y ＝x4＋sinx 的导数为( ) A ．y ′＝4x3 B ．y ′＝cosx C ．y ′＝4x3＋sinxD ．y ′＝4x3＋cosx3．下列运算中正确的是( )A ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′ B ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋bx ′ C ．(sin x x 2)′＝(sin x )′－(x 2)′x2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x 4．求下列函数的导数(1)y ＝2x2－3x ＋1，y ′＝__________. (2)y ＝(x ＋2)2，y ′＝__________.课堂随笔:(3)y ＝sinx ＋cosx ，y ′＝__________. (4)y ＝tanx ，y ′＝__________.(5)y ＝(x ＋2)(3x －1)，y ′＝__________. 二．例题分析例1函数的下列导数求： (1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝1x ＋2x 2＋3x3；(4)y ＝x tan x －2cos x .（5）y ＝sin2x练习：求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (2)y ＝x －sin x 2·cos x2.例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx ＋e 的图象过点P(0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f(x)的解析式．练习：已知抛物线y ＝ax2＋bx －7经过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x －y －3＝0，求a 、b 的值．例3已知直线l1为曲线y ＝x2＋x －2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x 轴所围成的三角形的面积．练习：已知函数f(x)＝2x3＋ax 与g(x)＝bx2＋c 的图象都过点P(2,0)，且在点P 处有公共切线，求f(x)，g(x)的表达式． 三．作业 基础题一、选择题1．曲线y ＝－x 2＋3x 在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x ＋3 C ．y ＝x ＋3 D ．y ＝2x 2．函数y ＝x ·ln x 的导数是( )A ．y ′＝xB ．y ′＝1xC ．y ′＝ln x ＋1D ．y ′＝ln x ＋x3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A ．193 B ．163 C ．133 D ．1034．曲线运动方程为s ＝1－t t2＋2t 2，则t ＝2时的速度为( )A ．4B ．8C ．10D ．12 5．函数y ＝cos xx的导数是( )A ．y ′＝－sin xx2B ．y ′＝－sin xC ．y ′＝－x sin x ＋cos xx 2D ．y ′＝－x cos x ＋cos xx 26．若函数f (x )＝f ′(1)x 3－2x 2＋3，则f ′(1)的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 二、填空题7．函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(x )＝________.8．若函数f (x )＝1－sin xx，则f ′(π)＝________________.9．(2015·天津文)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．三、解答题10．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图象上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB ．提高题一、选择题1．(2015·长安一中质检)设a ∈R ，函数f (x )＝e x＋a ·e －x的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln2B ．－ln2C ．ln22D ．－ln222．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A ．π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －24．(2015·山西六校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，则f ′(e )( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e 二、填空题后记与感悟:5．直线y ＝4x ＋b 是曲线y ＝13x 3＋2x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.6．设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________. 三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，求函数f (x )的解析式． 8.已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．答案基础题acdbcd 7.1－1x28.π－1π2 9.310.[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)， 即3a 2－2a －1＝－1， 解得a ＝23.提高题acac 5.－4236.y ＝－3x7.[解析] 由f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，所以f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2.f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .因为在M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，可知－6－f (－1)＋7＝0， 即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. 8.[解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为13x －y －32＝0. (2)解法一：设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16， 又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解之得，x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－18.∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14.。
导数教案导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法是人类智慧的骄傲.一、教材分析导数的概念是高中新教材人教A版选修1-1第三章3的内容,是在学生学习了平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。
新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。
问题1气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率问题2高台跳水的平均速度--→瞬时速度根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点二、教学目标1、知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。
2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从非凡到一般的数学思想方法3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生把握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的爱好.三、重点、难点重点：导数概念的形成，导数内涵的理解难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点四、教学设想（具体如下表）教学环节教学内容师生互动设计思路创设情境引入新课幻灯片这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？首先回顾上节课留下的思考题：在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。
为什么会产生这样的情况呢？引起学生的好奇，意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。
2019-2020年高中数学《导数的概念与基本运算》教案 1新人教A 版选修1-11 .导数的概念设函数y = f (x )在x o 附近有定义，自变量 x 在点x o 有增量△ x ,函数y = f (x )相应有增 量 △ y = f (X o +A x ) — f ( x o )，比值 二2 =丄!^°———x)——f (xo)是函数 y = f (x )在 x o 至U X o + A xL XL X的平均变化率。
如果当时， 有极限，则称函数 y = f (x )在点x o 处有导数(又称可导)，而这个极限值就叫做函数 y = f (x )在点x o 处的导数(或变化率)，记作f ' ( x o )或y'|，即= - 。
2•导数概念的某些实际背景瞬时速度是导数概念的一个物理背景，切线的斜率是导数概念的一个几何背景。
3.求导数的方法导数应用很广泛，经常需要求导，如果都用定义求一遍，不胜其烦，人们就用定义推 导出一些常见函数的导函数， 并作为公式加以应用。
教科书上只介绍了两个求导公式：C'=o ,及=(n 为正整数)；两个法则：[f(x) ± g(x)]'=(x) ± (x) , [Cf (x ) ]'=C(x)。
根据 定义不难证明上述两个法则：L/U + &)士士 詛)][f(x) ± g(x)]'=二厅(賈+3-/(初士仗("&)飞⑴]= =± =・— ?=。
有了这些工具，我们就能求出一切多项式函数的导数了。
另外，••• =~,• ••当厶x 很小时，可把它作为一个简单易记的近似计算公式。
(1)几种常用函数的导数公式如下：C' =o ( C 为常数)；( x m ) ' =m )(l-1(m ^ Q)； (sin x )' =cos x ;(cosx ) ' = -sin x ；xx(e ) = e ； (xxa ) = a In a(In x )'=；(lo ga x ) ' =log a e(2) 两个函数四则运算的导数 (U +V )，=u ' +v '； ( uv )，=；。
课题：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学目的：1. 记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则，理解导数运算法则是把一个复杂函数求导数转化为两个或多个简单函数的求导问题；能通过运算法则求出导数后解决实际问题.2. 能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数; 教学重点：会使用导数公式求函数的导数教学难点：会使用导数公式求函数的导数教学过程：一、讲解新课：1、基本初等函数的导数公式*11.(),()0;2.()(),();3.()sin ,()cos ;4.()cos ,()sin ;5.(),()ln ;6.(),();17.()log ,();ln 18.()ln ,().n n x x x x a f x c f x f x x n Q f x x f x x f x x f x x f x x f x a f x a x f x e f x e f x x f x x af x x f x x-'=='=∈='=='==-'=='=='=='==若则若则若则若则若则若则若则若则 2、讲解例题 P83 例1 练习1、求下列函数的导数。
(1) y= 5 (2) y= x 4 (3) y= x -2 (4)y= 2 x (5) y=log3x3、导数运算法则4、讲解例题 例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数323y x x =-+的导数.解: 332(23)()(2)(3) 3 2.y x x x x x '''''=-+=-+=-32233 2.y x x y x '∴=-+=-函数的导数是[][][]21.()()()();2.()()()();()()()()()3..()()f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x '''±=±'''⋅=⋅'''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦练习： 求下列函数的导数（1）x x x y -+=23sin （2）)23)(12(++=x x y （3）x y tan =（4）x e y x ln =（5）1+=x x y 例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为).10080(1005284)(<<-=x xx c 求净化到下列纯度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）%90；（2）%98.例4 已知函数.ln x x y =（1） 求这个函数的导数；（2）这个函数在点1=x 处的切线方程.二、小结 ：1、基本初等函数的导数公式*11.(),()0;2.()(),();3.()sin ,()cos ;4.()cos ,()sin ;5.(),()ln ;6.(),();17.()log ,();ln 18.()ln ,().n n x x x x a f x c f x f x x n Q f x x f x x f x x f x x f x x f x a f x a x f x e f x e f x x f x x a f x x f x x-'=='=∈='=='==-'=='=='=='==若则若则若则若则若则若则若则若则 2、导数运算法则三、课后作业： [][][]21.()()()();2.()()()();()()()()()3..()()f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x '''±=±'''⋅=⋅'''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦。
2019-2020年高中数学 3.2导数的计算学案 新人教A 版选修1-1►基础梳理1．基本初等函数的导数公式． (1)若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0；(2)若f (x )＝x n (n ∈Q *)，则f ′(x )＝nx n －1； (3)若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos_x ； (4)若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin_x ；(5)若f (x )＝a x ，则f ′(x )＝a xln_a (a ＞0且a ≠1)；(6)若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x；(7)若f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝1x ln a (a ＞0，且a ≠1)；(8)若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x．2．导数运算法则．(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2[g (x )≠0]．,►自测自评 1．下列各式中正确的是(C )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(cos x )′＝sin xC ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－15x －62．函数y ＝x 2的导数是2x ．3．已知函数f (x )＝1x ，则f ′(－3)等于－19．解析：∵f ′(x )＝－1x2，∴f ′(－3)＝－1（－3）2＝－19.1．已知f (x )＝e xcos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为(C )A ．e πB ．－e πC ．－e π2 D ．以上均不对 2．曲线y ＝xx ＋1在x ＝－2处的切线方程为(B )A ．x ＋y ＋4＝0B ．x －y ＋4＝0C ．x －y ＝0D ．x －y －4＝0解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＋1′＝x ＋1－x （x ＋1）2＝1（x ＋1）2，k ＝1（－2＋1）2＝1，y ＝－2－2＋1＝2，故切点坐标为(－2，2)．切线方程为x －y ＋4＝0，故选B.3．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t＋1n t －1(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t＝3时的速度为________．解析：∵s ′(t )＝2t －3t 2＋1t，∴s ′(3)＝6.答案：64．已知函数y ＝cos xx.(1)求函数的导数；(2)求函数在x ＝π处的切线方程．解析：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝（cos x ）′·x －cos x ·x ′x2＝－x sin x －cos xx2. (2)y ′|x ＝π＝－πsin π－cos ππ2＝1π2， 又当x ＝π时，y ＝cos ππ＝－1π，∴切线方程为y ＋1π＝1π2(x －π)，即x －π2y －2π＝0.5．(1)已知函数f (x )＝x 2(x －1)，当x ＝x 0时，有f ′(x 0)＝f (x 0)，求x 0；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 2－x ＋x 2，求f (x )的导数f ′(x )．解析：(1)直接求导后，代入已知，即可得方程，解方程得到x 0＝0，或x 0＝2±2； (2)先用换元法求出f (x )＝x2x 2－x ＋1，于是得到，f ′(x )＝（x ）′（2x 2－x ＋1）－x （2x 2－x ＋1）′（2x 2－x ＋1）2＝ 1－2x 2（2x 2－x ＋1）2.1．函数y ＝1x的导数y ′＝(D )A.12x x B ．－12x C.12x D ．－12x x2．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1，3)处的切线的倾斜角为(B ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°解析：本题主要考查了导数的几何意义及求导数，y ′＝3x 2－2，∴k ＝1，∴倾斜角为45°.3．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程是(A ) A ．3x －y －11＝0 B ．3x －y －17＝0 C ．3x ＋y －17＝0 D ．3x ＋y －11＝0解析：求导得斜率为k ＝y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3≥3，所以k min ＝3，相应地，x ＝－1，y ＝－14.从而得切线方程是3x －y －11＝0.4．曲线y ＝x 3在点(1，1)处切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为(B ) A.112 B.16 C.13 D.12解析：本题主要考查导数的几何意义．曲线y ＝x 3在点(1，1)处切线的斜率为： k ＝y ′|x ＝1＝3.利用点斜式可求得切线方程为：3x －y －2＝0.结合图象，可知所求三角形面积为：12×13×1＝16.5．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则(A ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 解析：∵y ′＝2x ＋a |x ＝0＝a ，∴a ＝1. (0，b )在切线x －y ＋1＝0，∴b ＝1.6．已知点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是(D )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：∵y ′＝3x 2－1≥－1.∴tan α＝3x 2－1≥－1，∴a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ＞0，cos x ，x ≤0，f ′(1)f (0)＝________．解析：当x ＞0时，f ′(x )＝12x，故f ′(1)f (0)＝12.答案：128．在同一平面直角坐标系中，已知函数y ＝f (x )的图象与y ＝e x的图象关于直线y ＝x 对称，则函数y ＝f (x )的解析式为__________；其对应的曲线在点(e ，f (e))处的切线方程为________．解析：依题意知f (x )＝ln x ，f ′(x )＝1x ，故所求的切线方程为：y ＝1ex .答案：f (x )＝ln x y ＝1e x9．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________． 解析：∵f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，∴f (x )＝－sin x ＋cos x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos π4－sin π4＝0.答案：010．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n (x )＝f ′n－1(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 011⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________． 解析：f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x －sin x ；f 3(x )＝f ′2(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ； f 4(x )＝f ′3(x )＝(－sin x －cos x )′＝－cos x ＋sin x ； f 5(x )＝f ′4(x )＝(－cos x ＋sin x )′＝sin x ＋cos x ； 依次类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )，又∵f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0， ∴f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 011⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－sin π2＋cos π2＝－1.答案：－111．在曲线y ＝1x(x ＜0)上求一点P ，使P 到直线x ＋2y －4＝0的距离最小．分析：把直线x ＋2y －4＝0平行移动，当与曲线y ＝1x(x ＜0)相切时，切点即为所求．解析：由题意知，平行于直线x ＋2y －4＝0与y ＝1x(x ＜0)相切的切点即为所求．设切点P (x 0，y 0)，由y ′＝－1x2，得k ＝y ′|x ＝x 0＝－1x 20，又x ＋2y －4＝0的斜率为－12，∴－1x 20＝－12，∴x 0＝2，或x 0＝－2，∵x ＜0，∴x 0＝－2，y 0＝－12＝－22， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－22为所求． 12．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0，1)，在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式．解析：∵f (x )的图象过点P (0，1)，∴e ＝1.又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e . ∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2， ∴可得切点为(1，－1)． ∴a ＋c ＋1＝－1.①∵f ′(x )＝4ax 3＋2cx ，∴f ′(1)＝4a ＋2c . ∴4a ＋2c ＝1.②由①②得a ＝52，c ＝－92.∴f (x )＝52x 4－92x 2＋1.►体验高考1．(xx·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．解析：y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x 2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.答案：－32．(xx·江西卷)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________．解析：因为y ′＝α·x α－1，所以在点(1，2)处的切线斜率k ＝α，则切线方程为y －2＝α(x －1)．又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2.答案：23．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，则a ＝________，b ＝________．解析：由函数f (x )的图象过原点，得b ＝0，又f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)， f (x )在原点处的切线斜率是－3， 则－a (a ＋2)＝－3， 所以a ＝－3，或a ＝1. 答案：－3或1 04．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝(B)A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2解析：∵f ()x ＝x ln x ，∴f ′()x ＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1.∴由f ′()x 0＝2得ln x 0＋1＝2， ∴x 0＝e ，故选B.5．曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1，1)处的切线方程为________________． 解析：∵y ＝x (3ln x ＋1)，∴y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x＝3ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3. 答案：y ＝4x －36．设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax＋b (a >0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．解析：(1)f (x )＝ax ＋1ax＋b ≥2ax ·1ax＋b ＝b ＋2，当且仅当ax ＝1，即x ＝1a时，f (x )的最小值为b ＋2.(2)由题意得：f (1)＝32⇔a ＋1a ＋b ＝32，①f ′(x )＝a －1ax 2⇒f ′(1)＝a －1a ＝32，②由①②得：a ＝2，b ＝－1.2019-2020年高中数学 3.2独立性检验的基本思想及其初步应用学案 新人教A 版选修2-3基础梳理1．分类变量的概念．变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．2．2×2列联表．一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)如下：构造随机变量K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量．3．独立性检验．利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验． 临界值表：自测自评 1．下面说法正确的是(B )A ．统计方法的特点是统计推断准确、有效B ．独立性检验的基本思想类似于数学上的反证法C ．任何两个分类变量有关系的可信度都可以通过查表得到D ．不能从等高条形图中看出两个分类变量是否相关 解析：根据独立性检验的概念知，选项B 正确．故选B.2．对于分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k ，下列说法正确的是(B ) A ．k 越大，推断“X 与Y 有关系”，犯错误的概率越大 B ．k 越小，推断“X 与Y 有关系”，犯错误的概率越大 C ．k 越接近于0，推断“X 与Y 无关”，犯错误的概率越大 D ．k 越大，推断“X 与Y 无关”，犯错误的概率越小3．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是(C )A ．若K 2的观测值为k ＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B ．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C ．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误D ．以上三种说法都不正确解析：根据独立性检验的概念知，选项C 正确．故选C.不用独立性检验而凭经验下结论致错 【典例】 调查者通过询问男女大学生在购买食品时是否看营养说明得到的数据如下表所示．请估计看营养说明是否与性别有关系.看营养说明不看营养说明总计 男大学生 10 45 55 女大学生 8 27 35 总计187290解析：由表中数据得K 2的观测值为： k ＝90（10×27－8×45）255×35×18×72≈0.292<0.455，所以我们没有充分的证据认为看营养说明与男女性别有关．【易错剖析】本题若不用独立性检验，会有如下错解：由表中数据可知，55名男大学生中有10名看营养说明，而35名女大学生中有8名看营养说明，显然男性看营养说明的比例1055比女性的835要低，因此看营养说明与性别有关．基础巩固1.下列关于K 2的说法正确的是(C )A ．K 2在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关B ．K 2的值越大，两个事件的相关性越大C ．K 2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合D ．K 2的观测值的计算公式为K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解析：A 中K 2的使用范围是四个数据中每个数据都必须大于5，故A 错；B 中过于确定，不正确；C 正确；D 中公式有错．2．在2×2列联表中，两个比值________相差越大，两个分类变量之间的关系越强 (A)A.a a ＋b 与c c ＋d B.a c ＋d 与c a ＋b C.aa ＋d 与cb ＋cD.ab ＋d 与ca ＋c解析：aa ＋b 与cc ＋d相差越大，说明ad 与bc 相差越大，两个分类变量之间的关系越强．3．下面是2×2列联表：y 1 y 2 总计 x 1 a 21 73 x 22 2527 总计 b46则表中a 、b 的值分别为(C ) A ．94、96 B ．52、50 C ．52、54 D ．54、52解析：∵a ＋21＝73，∴a ＝52. 又∵a ＋2＝b ，∴b ＝54.4．某大学在研究性别与职称(分正教授，副教授)之间是否有关系，你认为应该收集的数据是男正教授人数，男副教授人数，女正教授人数，女副教授人数．能力提升5.考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表数据：种子处理 种子未处理总计 得病 32 101 133 不得病 61 213 274 总计93314407根据以上数据，则(A )A ．没有充分的理由说明种子经过处理跟是否生病有关B ．种子经过处理跟是否生病有关C ．种子是否经过处理决定是否生病D ．以上都是错误的解析：由公式得K 2的观测值为k ＝407×（32×213－61×101）2133×274×93×314≈0.164<0.455.6．有两个分类变量x ，y ，其2×2列联表如下表．其中a ，15－a 均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“x 与y 之间有关系”，则a 的取值应为 (D )y 1 y 2 x 1 a 20－a x 2 15－a 30＋aA.5或6B. 6或7 C ．7 或8 D ．8或9解析：查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为K 2之间有关系，则K 2>2.706，而K 2＝65[a （30＋a ）－（20－a ）（15－a ）]220×45×15×50＝13（65a －300）260×45×50＝13（13a －60）260×90，要使K 2>2.706得a >7.19或a <2.04.又因为a >5且15－a >5，a ∈Z ，所以a ＝8或9，故当a 取8或9时在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“x 与y 之间有关系”．7．某高校统计初步课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如下表：专业性别 非统计专业统计专业 男生 13 10 女生720为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据得到随机变量K 2的观测值为k ＝50×（13×20－10×7）223×27×20×30≈4.844.因为k >3.841，所以确认“主修统计专业与性别有关系”，这种判断出现错误的可能性为________．解析：因为随机变量K 2的观测值k >3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“主修统计专业与性别有关系”．故这种判断出现错误的可能性为5%.答案：5%8. 对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：又发作过 心脏病 未发作过 心脏病 合计 心脏搭桥手术 39 157 196 血管清障手术29 167 196 合计68324392试根据上述数据计算K 2＝________，比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 解析：提出假设H 0：两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别．根据列联表中的数据，可以求得K 2的观测值k ＝392×（39×167－29×157）268×324×196×196＝1.78.当H 0成立时，K 2＝1.78，而K 2＜2.072的概率为0.85.所以，不能否定假设H 0.也就是不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．答案：1.78 不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论9．为了解决初二平面几何入门难的问题，某校在初中一年级代数教学中加强概念和推理教学，并设有对照班，下表是初中二年级平面几何期中测验成绩统计表的一部分，试分析研究实验结果．70分以上70及70分以下合计 实验班 32 18 50 对照班 12 38 50 合计4456100解析：∵k ＝100×（32×38－18×12）250×50×44×56≈16.234＞10.828，故有99.9%的把握认为“在初一加强概念和推理教学，对初二平面几何的测试成绩”有关系．10. 甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸x (单位：cm)及个数y ，如下表：零件 尺寸x 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 零件 个数y 甲 3 7 8 9 3乙7444a由表中数据得y 关于x 的线性回归方程为y ＝－91＋100x (1.01≤x ≤1.05)，其中合格零件尺寸为1.03±0.01(cm)．完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关.合格零件数不合格零件数合计 甲 乙 合计解析：(1)x －＝1.03，y －＝a ＋495，由y ＝－91＋100x 知，a ＋495＝－91＋100×1.03，所以，a ＝11，由于合格零件尺寸为1.03±0.01 cm ，故甲、乙加工的合格与不合格零件的数据表为：合格零件数不合格零件数合计 甲 24 6 30 乙 12 18 30 合计362460所以，K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝60×（24×18－6×12）230×30×36×24＝10，因K 2＝10>6.635，故有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关．。
