2016-2017学年江苏省泰州中学高二(上)期末数学试卷(文科)

2017～2018学年度第一学期期末考试高二数学(文科)试题(考试时间：120分钟；总分：160分)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1. 命题“若，则”的逆命题为______．【答案】若，则【解析】命题“若，则”的逆命题为“若，则”.2. 复数（为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为______．【答案】【解析】复数在复平面上对应的点的坐标为.3. 抛物线的准线方程为______．【答案】【解析】由题意可得p=4,所以准线方程为,填4. 函数在处的切线的斜率为______．【答案】【解析】因为，且，即函数在处的切线的斜率为.5. 双曲线的渐近线的方程为______．【答案】【解析】令，即，即双曲线的渐近线的方程为.6. 椭圆在其上一点处的切线方程为．类比上述结论，双曲线在其上一点处的切线方程为______．【答案】【解析】由类比，得双曲线在其上一点处的切线方程为.7. 若“”是“不等式” 成立的充分条件，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】因为，且“”是“不等式” 成立的充分条件，所以，则，解得，即实数的取值范围是. 点睛：本题考查充分条件和必要条件的判定；在处理涉及数集的充分条件或必要条件的判定时，往往将问题转化为集合间的包含关系处理，已知命题，若，则是的充分条件，是的必要条件.8. 抛物线上一点到其焦点的距离为，则______．【答案】【解析】因为抛物线上一点到其焦点的距离为，所以，解得. 点睛：本题考查抛物线的定义；在求抛物线上的点到焦点的距离时，往往利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，但要注意抛物线是哪一种标准方程，如抛物线上一点到其焦点的距离为,抛物线上一点到其焦点的距离为，等等.9. 已知，若（），则______．【答案】【解析】由归纳，得，即，即.10. 已知双曲线左支上一点到左焦点的距离为16，则点到右准线的距离为______．【答案】【解析】因为双曲线左支上一点到左焦点的距离为16，所以该点到右焦点的距离为，且离心率为，设点到右准线的距离为，则由双曲线的第二定义，得，解得，即点到右准线的距离为10.点睛：本题考查双曲线的第一定义和第二定义的应用；椭圆和双曲线均有两个定义，第一定义是到两个定点的和（或差的绝对值）为定值的动点的轨迹，但要注意定值和两个定点间的距离的大小关系，第二定义是圆锥曲线的统一定义，是到定点到定直线的距离的比值为常数的动点的轨迹，但要注意定点不在定直线上.11. 为椭圆上一点，，则线段长度的最小值为______．【答案】【解析】设，则，，即线段长度的最小值为.12. 若函数在处取得极小值，则的取值范围是______．【答案】【解析】由题意，得，若时，令，得，令，得，即函数在处取得极大值（舍）；当时，恒成立，即函数不存在极值；若时，令，得，令，得，即若函数在处取得极小值，此时.点睛：本题考查利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的极值时，要注意可导函数在时存在极值，则，且两侧的导函数异号，若时，，时，，则在时取得极小值，往往忽视验证两侧的导函数是否异号.13. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，则当时，椭圆的离心率的取值范围为______．【答案】【解析】因为，所以可设，由，得，即，因为在椭圆上，所以，即，即，即，即在区间上为增函数，所以，即椭圆的离心率的取值范围为.点睛：本题考查椭圆的几何性质、平面向量的共线和垂直的判定；在研究椭圆中过焦点的弦时，要注意与对称轴垂直的情形，即椭圆和双曲线的通径，如过椭圆的左焦点与对称轴垂直的弦称为椭圆的通径，长度为，记住结论可减少运算量.14. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为______．【答案】【解析】当时，在上递增，显然成立；当时，，在恒成立，即，即；当时，的对称轴为，当，即时，，可得，显然成立；当，即时，，可得，即，解得，综上所述，，即的取值范围为.点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性；已知函数在某区间上单调递增求有关参数，往往有两种思路：（1）先求出该函数的单调递增区间，再利用所给区间和单调递增区间的关系进行求解；（2）将函数在某区间上单调递增转化为（但不恒为0）在该区间上恒成立.二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15. 已知复数．⑴求；⑵若复数满足为实数，求．【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）利用复数的除法法则进行求解；（2）先利用复数的加法法则得到，再利用复数的概念确定值，再利用模长公式进行求解.试题解析：⑴⑵∵∴∵为实数∴∴∴∴16. 已知：，；：方程表示双曲线．⑴若为真命题时，求实数的取值范围；⑵当为假命题，且为真命题，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式恒成立和判别式为负进行求解；（2）先利用双曲线的标准方程的特点求出的范围，再利用真值表判定两简单命题的真假，再利用集合的运算进行求解.试题解析：⑴∵，∴，解得⑵∵方程表示双曲线∴，解得∵为假命题，且为真命题∴∴17. ⑴当时，求证：；⑵已知，．试证明至少有一个不小于．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：⑴由，当时，可得，即可证明结论；⑵可用反证法：假设都小于，即，可得，进而，即可得到矛盾，即可作出证明．试题解析：⑴∵∴∴⑵假设都小于，即则有①而②①与②矛盾故至少有一个不小于．18. 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离的关系为：．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为万元，工厂一次性补贴职工交通费万元.设为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和．⑴求的表达式；⑵宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．【答案】(1)，；(2)宿舍应建在离工厂处，可使总费用最小，最小值为万元．【解析】试题分析：（1）利用题意提取有关知识，利用函数模型建立表达式；（2）利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最小值.试题解析：⑴整理得，⑵由得所以在上单调递减，在上单调递增故当时，取得最小值答：⑴⑵宿舍应建在离工厂处，可使总费用最小，最小值为万元．19. 已知椭圆的离心率为，左顶点为，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，其中点在第二象限，过点作轴的垂线交于点．⑴求椭圆的标准方程；⑵当直线的斜率为时，求的面积；⑶试比较与大小．【答案】(1);(2)；(3)答案见解析...................试题解析：⑴因为左顶点为，所以因为椭圆的离心率为，所以，解得又因为，所以故所求椭圆的标准方程为⑵因为直线过原点，且斜率为所以直线的方程为代入椭圆方程解得因为，所以直线的方程为从而有故的面积等于⑶方法一：设直线的方程为，代入椭圆方程得设，则有，解得从而由椭圆对称性可得所以于是故从而所以因为点在第二象限，所以，于是有方法二：设点，则点因为，所以直线的方程为所以从而从而有20. 已知函数的最小值为．⑴设，求证：在上单调递增；⑵求证：；⑶求函数的最小值．【答案】(1)在上单调递增；(2)证明见解析；(3)0.试题解析：⑴∵∴在上单调递增⑵由⑴可知在上单调递增∵∴存在唯一的零点，设为，则且当时，；当时，从而在上单调递增，在上单调递减所以的最小值∵∴∴∴（当且仅当时取等号）∵∴（第二问也可证明，从而得到）⑶同⑴方法可证得在上单调递增∵∴∴存在唯一的零点，设为，则且所以的最小值为∵∴∴，即由⑵可知∴=∵在上单调递增∴所以的最小值为。

2016-2017学年江苏省泰州中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是．2．（5分）如果复数为纯虚数，则a=．3．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标为．4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是．5．（5分）函数f（x）=x2﹣2ln x的单调减区间是．6．（5分）已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的条件．7．（5分）下列图形中，若黑色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为.8．（5分）若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于．9．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O距离大于1的概率为．10．（5分）若P0（x0，y0）在椭圆外，则过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线方程是．那么对于双曲线则有如下命题：若P0（x0，y0）在双曲线外，则过P0作双曲线的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2的所在直线方程是．11．（5分）若曲线y=与直线y=a恰有一个公共点，则实数a的取值范围为．12．（5分）函数f（x）=﹣的最大值是．13．（5分）椭圆E：+=1的右焦点F，直线l与曲线x2+y2=4（x＞0）相切，且交椭圆E于A，B两点，记△F AB的周长为m，则实数m的所有可能取值所成的集合为．14．（5分）已知曲线在x=﹣1处的切线和它在x=x0（x0＞0）处的切线互相垂直，设，则m=．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）（1）计算（2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，并且经过点P（3，）和Q（，5）的双曲线方程．16．（14分）已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．17．（14分）已知函数f（x）=x﹣a ln x，g（x）=﹣（a＞0）（1）若a=l，求f（x）的极值；（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．18．（16分）某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE，DF是两根支杆，其中AB=2米，∠EOA=∠FOB=2x（0＜x＜）．现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k（k＞0），假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．（1）试将y表示为x的函数；（2）试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为．（1）求椭圆C的方程；（2）若点E的坐标为（，0），点A在第一象限且横坐标为，连结点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求△P AB的面积；（3）是否存在点E，使得+为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=a ln x+ax2+bx，（a，b∈R）．（1）设a=1，f（x）在x=1处的切线过点（2，6），求b的值；（2）设b=a2+2，求函数f（x）在区间[1，4]上的最大值；（3）定义：一般的，设函数g（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使g（x0）=x0成立，则称x0为函数g（x）的不动点．设a＞0，试问当函数f（x）有两个不同的不动点时，这两个不动点能否同时也是函数f（x）的极值点？参考答案一、填空题1．“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”【解析】∵“x2＜1”的否定为“x2≥1”．“﹣1＜x＜1”的否定是“x≤﹣1或x≥1”．∴命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是：“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”．故答案：若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1．2．﹣2【解析】∵为纯虚数，∴，即a=﹣2．故答案为：﹣2．3．（1，0）【解析】∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2，∴焦点坐标为：（1，0），故答案为：（1，0）4．【解析】集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各任意取一个数有2×3=6种，其两数之和为4的情况有两种：2+2，1+3，∴这两数之和等于4的概率p==．故答案为：．5．（0，1）【解析】∵f（x）=x2﹣2ln x（x＞0），∴f′（x）=2x﹣==，令f′（x）＜0由图得：0＜x＜1．∴函数f（x）=x2﹣2ln x的单调减区间是（0，1）．故答案为（0，1）．6．必要不充分【解析】充分性，因为c＞d，所以﹣d＞﹣c，当a＞b时可得a﹣d＞b﹣c．不一定能得到a﹣c＞b﹣d，故充分性不成立；必要性，当a﹣c＞b﹣d成立时，两边都加上c得a＞b+（c﹣d），因为c＞d，得（c﹣d）＞0，所以b+（c﹣d）＞b，由不等式的传递性，得a＞b成立，故必要性成立，故答案为：必要不充分7．a n=3n﹣1【解析】由图形得：第2个图形中有3个三角形，第3个图形中有3×3个三角形，第4个图形中有3×9个三角形，以此类推：第n个图形中有3n﹣1个三角形．故答案为：a n=3n﹣18．6【解析】双曲线的渐近线为y=±bx，不妨设为y=﹣bx，即bx+y=0，焦点坐标为F（c，0），则焦点到其渐近线的距离d===b=2，则c====3，则双曲线的焦距等于2c=6，故答案为：69．1﹣【解析】本题是几何概型问题，与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积为：V1=×π×13=“点P与点O距离大于1的概率”事件对应的区域体积为23﹣，则点P与点O距离大于1的概率是=1﹣．故答案为：1﹣．10．【解析】若P0（x0，y0）在椭圆外，则过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线方程是．那么对于双曲线则有如下命题：若P0（x0，y0）在双曲线外，则过P0作双曲线的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2的所在直线方程是，故答案为：．11．a=﹣e或a＞0【解析】∵y=，定义域为：（0，1）∪（1，+∞），∴y′=，①当＞0时，即0，②当＜0时，即＜x＜1，x＞1，③当=0时，即x=，∴f（x）在（0，）的单调递增，在（1，），（1，+∞）的单调递减，f（）=﹣e，∵曲线y=与直线y=a恰有一个公共点，∴a=﹣e或a＞0，12．【解析】f（x）=﹣=表示点P（x，x2）与A（3，2）的距离及B（0，1）的距离的差∵点P（x，x2）的轨迹是抛物线y=x2，B在抛物线内，A在抛物线外∴当P、B、A三点共线且B在AP之间时|P A|﹣|PB|最大，为|AB|（P、A、B不共线时三点可构成三角形，两边之差小于第三边）∵|AB|=，∴函数f（x）=﹣的最大值是，故答案为．13．{2}【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），切点为Q，则同理可求得：由椭圆第二定义：故答案为：{2}．14．2【解析】由=，得y′=．∴y′|x=﹣1=﹣2e，，则，∴（1﹣x0）1e x﹣0=，设t=1﹣x0，即有t e t=，令g（t）=t e t﹣，g′（t）=（1+t）e t，当m=0时，x0∈（0，），t∈（，1）；当m=1时，x0∈（，），t∈（，）；当m=2时，x0∈（，），t∈（，）；由g（）=﹣＜0，g（）=﹣＞0，g（）=﹣＞0，g（1）=e﹣＞0，且g（t）在（，1）递增，可得g（t）在（，）内只有一解，故m=2成立．故答案为：2．二、解答题15．解：（1）==；（2）由题意设双曲线方程为，∵双曲线经过点P（3，）和Q（，5），∴，解得．∴双曲线方程为：．16．解：（1）∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可，也就是1﹣a≥0，解得a≤1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，△=4a2﹣4×2≥0，解得a≤﹣或a≥．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与命题q必然一真一假，当命题p为真，命题q为假时，．当命题p为假，命题q为真时，综上：a或﹣＜a≤117．解：（1）a=1时，f（x）=x﹣ln x，函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=1﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故f（x）的极小值是f（1）=1，无极大值；（2）存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，等价于[f（x）﹣g（x）]min＜0，（x∈[1，e]）成立，设h（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣a ln x+，则h′（x）=，令h′（x）=0，解得：x=﹣1（舍），x=1+a；①当1+a≥e，h（x）在[1，e]递减，∴h（x）min=h（e）=e2﹣e a+1+a，令h（x）min＜0，解得：a＞；②当1+a＜e时，h（x）在（1，a+1）递减，在（a+1，e）递增，∴h（x）min=h（1+a）=a[1﹣ln（a+1）]+2＞2与h（x）min＜0矛盾，综上，a＞．18．解：（1）∵∠EOA=∠FOB=2x，∴弧EF、AE、BF的长分别为π﹣4x，2x，2x连接OD，则由OD=OE=OF=1，∴，∴=；（2）∵由，解得，即，又当时，y'＞0，此时y在上单调递增；当时，y'＜0，此时y在上单调递减．故当时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．19．解：（1）由，设a=3k（k＞0），则，b2=3k2，∴椭圆C的方程为，∵直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，即，代入椭圆方程，解得y=±k，于是，即，∴椭圆C的方程为．（2）将代入，解得y=±1，∵点A在第一象限，从而，由点E的坐标为，∴，直线AB的方程为，联立，解得，又P A过原点O，于是，|P A|=4，∴直线P A的方程为，∴点B到直线P A的距离，．（3）假设存在点E，使得为定值，设E（x0，0），当直线AB与x轴重合时，有，当直线AB与x轴垂直时，，由，解得，，∴若存在点E，此时，为定值2．根据对称性，只需考虑直线AB过点，设A（x1，y1），B（x2，y2），又设直线AB的方程为，与椭圆C联立方程组，化简得，∴，，又，∴，将上述关系代入，化简可得．综上所述，存在点，使得为定值2．20．解：（1）对f（x）进行求导：f'（x）=+2ax+b，当a=1时，f（x）=ln x+x2+bx，f'（x）=+2x+b，当x=1时，f（1）=1+b，f'（1）=3+b，故切线方程为：y﹣（1+b）=（3+b）（x﹣1），点（2，6）满足切线方程，故b=1．（2）由题意，f（x）=a ln x+ax2+（a2+2）x，x＞0则：f'（x）=+2ax+a2+2=当a=0时，f（x）=2x，f'（x）=2＞0，f（x）在[1，4]上为增函数，故最大值为f（4）=8；当a＞0时，f'（x）＞0，f（x）在x＞0上为增函数，故最大值为f（4）=4a2+（16+ln4）a+8；当a＜0时，令f'（x）=0，则导函数有两个零点：x1=﹣，x2=﹣．（i）当a＜时，∵，∴x1＜x2，f（x）在（0，﹣），（﹣，+∞）上单调递减，在（﹣，﹣）上单调递增；①当﹣＜＜1＜4≤﹣时，即a≤﹣8，此时最大值为f（4）=4a2+（16+ln4）a+8；②当﹣＜＜1＜﹣≤4时，即﹣8≤a＜﹣2，此时最大值为f（﹣）=a ln（﹣）﹣﹣a；③当＜＜≤1＜4时，即﹣2≤a＜﹣，此时最大值为f（1）=a2+a+2；（ii）当a=﹣时，，f'（x）≤0，f（x）在[1，4]上单调递减，最大值为f（1）=4﹣；（iii）当﹣＜a＜0时，，∴x1＞x2f（x）在（0，﹣），（﹣，+∞）上单调递减，（﹣，﹣）上单调递增；①当时，即≤a＜0，最大值为f（4）=4a2+（16+ln4）a+8；②当﹣＜＜1＜﹣≤4时，即﹣1＜a≤，最大值为f（﹣）=a ln（﹣）﹣a﹣；③当﹣＜＜﹣≤1＜4时，即﹣＜a≤﹣1，最大值为f（1）=a2+a+2；（3）由题意知：f（x）=⇒由①②化简后：a ln x﹣a﹣ax2=x⇒则说明a（ln x﹣x2﹣1）=x有两个根；∵a＞0，x＞0∴=即y=与y=h（x）=在（0，+∞）上有两个不同交点．h'（x）=，令F（x）=2﹣x2﹣ln x⇒F'（x）=﹣2x﹣＜0；∴F（x）在x＞0上单调递减；∵F（1）＞0，F（）＜0∴F（x）的零点为x0∈（1，），故F（x0）=0，即2﹣﹣ln x0=0⇒ln x0=2﹣③；所以，h（x）在（0，x0）单调递减，（x0，+∞）上单调递增；h（x0）===，h（x0）∈（﹣，﹣1）；故h（x）的图形如图：当＜0时即a＜0，h（x）图形与y=图形有两个交点，与题设a＞0，相互矛盾，故a不存在．。

2017～2018学年度第一学期期末考试高二数学(文科)试题(考试时间：120分钟；总分：160分)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1. 命题“若，则”的逆命题为______．【答案】若，则【解析】命题“若，则”的逆命题为“若，则”.2. 复数（为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为______．【答案】【解析】复数在复平面上对应的点的坐标为.3. 抛物线的准线方程为______．【答案】【解析】由题意可得p=4,所以准线方程为,填4. 函数在处的切线的斜率为______．【答案】【解析】因为，且，即函数在处的切线的斜率为.5. 双曲线的渐近线的方程为______．【答案】【解析】令，即，即双曲线的渐近线的方程为.6. 椭圆在其上一点处的切线方程为．类比上述结论，双曲线在其上一点处的切线方程为______．【答案】【解析】由类比，得双曲线在其上一点处的切线方程为.7. 若“”是“不等式” 成立的充分条件，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】因为，且“”是“不等式” 成立的充分条件，所以，则，解得，即实数的取值范围是.点睛：本题考查充分条件和必要条件的判定；在处理涉及数集的充分条件或必要条件的判定时，往往将问题转化为集合间的包含关系处理，已知命题，若，则是的充分条件，是的必要条件.8. 抛物线上一点到其焦点的距离为，则______．【答案】【解析】因为抛物线上一点到其焦点的距离为，所以，解得.点睛：本题考查抛物线的定义；在求抛物线上的点到焦点的距离时，往往利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，但要注意抛物线是哪一种标准方程，如抛物线上一点到其焦点的距离为,抛物线上一点到其焦点的距离为，等等.9. 已知，若（），则______．【答案】【解析】由归纳，得，即，即.10. 已知双曲线左支上一点到左焦点的距离为16，则点到右准线的距离为______．【答案】【解析】因为双曲线左支上一点到左焦点的距离为16，所以该点到右焦点的距离为，且离心率为，设点到右准线的距离为，则由双曲线的第二定义，得，解得，即点到右准线的距离为10.点睛：本题考查双曲线的第一定义和第二定义的应用；椭圆和双曲线均有两个定义，第一定义是到两个定点的和（或差的绝对值）为定值的动点的轨迹，但要注意定值和两个定点间的距离的大小关系，第二定义是圆锥曲线的统一定义，是到定点到定直线的距离的比值为常数的动点的轨迹，但要注意定点不在定直线上.11. 为椭圆上一点，，则线段长度的最小值为______．【答案】【解析】设，则，，即线段长度的最小值为.12. 若函数在处取得极小值，则的取值范围是______．【答案】【解析】由题意，得，若时，令，得，令，得，即函数在处取得极大值（舍）；当时，恒成立，即函数不存在极值；若时，令，得，令，得，即若函数在处取得极小值，此时.点睛：本题考查利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的极值时，要注意可导函数在时存在极值，则，且两侧的导函数异号，若时，，时，，则在时取得极小值，往往忽视验证两侧的导函数是否异号.13. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，则当时，椭圆的离心率的取值范围为______．【答案】【解析】因为，所以可设，由，得，即，因为在椭圆上，所以，即，即，即，即在区间上为增函数，所以，即椭圆的离心率的取值范围为.点睛：本题考查椭圆的几何性质、平面向量的共线和垂直的判定；在研究椭圆中过焦点的弦时，要注意与对称轴垂直的情形，即椭圆和双曲线的通径，如过椭圆的左焦点与对称轴垂直的弦称为椭圆的通径，长度为，记住结论可减少运算量. 14. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为______．【答案】【解析】当时，在上递增，显然成立；当时，，在恒成立，即，即；当时，的对称轴为，当，即时，，可得，显然成立；当，即时，，可得，即，解得，综上所述，，即的取值范围为.点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性；已知函数在某区间上单调递增求有关参数，往往有两种思路：（1）先求出该函数的单调递增区间，再利用所给区间和单调递增区间的关系进行求解；（2）将函数在某区间上单调递增转化为（但不恒为0）在该区间上恒成立.二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15. 已知复数．⑴求；⑵若复数满足为实数，求．【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）利用复数的除法法则进行求解；（2）先利用复数的加法法则得到，再利用复数的概念确定值，再利用模长公式进行求解.试题解析：⑴⑵∵∴∵为实数∴∴∴∴16. 已知：，；：方程表示双曲线．⑴若为真命题时，求实数的取值范围；⑵当为假命题，且为真命题，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式恒成立和判别式为负进行求解；（2）先利用双曲线的标准方程的特点求出的范围，再利用真值表判定两简单命题的真假，再利用集合的运算进行求解.试题解析：⑴∵，∴，解得⑵∵方程表示双曲线∴，解得∵为假命题，且为真命题∴∴17. ⑴当时，求证：；⑵已知，．试证明至少有一个不小于．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：⑴由，当时，可得，即可证明结论；⑵可用反证法：假设都小于，即，可得，进而，即可得到矛盾，即可作出证明．试题解析：⑴∵∴∴⑵假设都小于，即则有①而②①与②矛盾故至少有一个不小于．18. 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离的关系为：．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为万元，工厂一次性补贴职工交通费万元.设为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和．⑴求的表达式；⑵宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．【答案】(1)，；(2)宿舍应建在离工厂处，可使总费用最小，最小值为万元．【解析】试题分析：（1）利用题意提取有关知识，利用函数模型建立表达式；（2）利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最小值.试题解析：⑴整理得，⑵由得所以在上单调递减，在上单调递增故当时，取得最小值答：⑴⑵宿舍应建在离工厂处，可使总费用最小，最小值为万元．19. 已知椭圆的离心率为，左顶点为，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，其中点在第二象限，过点作轴的垂线交于点．⑴求椭圆的标准方程；⑵当直线的斜率为时，求的面积；⑶试比较与大小．【答案】(1);(2)；(3)答案见解析...................试题解析：⑴因为左顶点为，所以因为椭圆的离心率为，所以，解得又因为，所以故所求椭圆的标准方程为⑵因为直线过原点，且斜率为所以直线的方程为代入椭圆方程解得因为，所以直线的方程为从而有故的面积等于⑶方法一：设直线的方程为，代入椭圆方程得设，则有，解得从而由椭圆对称性可得所以于是故从而所以因为点在第二象限，所以，于是有方法二：设点，则点因为，所以直线的方程为所以从而从而有20. 已知函数的最小值为．⑴设，求证：在上单调递增；⑵求证：；⑶求函数的最小值．【答案】(1)在上单调递增；(2)证明见解析；(3)0.试题解析：⑴∵∴在上单调递增⑵由⑴可知在上单调递增∵∴存在唯一的零点，设为，则且当时，；当时，从而在上单调递增，在上单调递减所以的最小值∵∴∴∴（当且仅当时取等号）∵∴（第二问也可证明，从而得到）⑶同⑴方法可证得在上单调递增∵∴∴存在唯一的零点，设为，则且精品所以的最小值为∵∴∴，即由⑵可知∴=∵在上单调递增∴所以的最小值为。

2017-2018学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）命题“若x＞0，则x2＞0”的逆命题为．2．（5分）复数（1+i）2（i为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为．3．（5分）抛物线x2=8y的准线方程为．4．（5分）函数f（x）=sinx在处的切线的斜率为．5．（5分）双曲线的渐近线的方程为．6．（5分）椭圆=1（a＞b＞0）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程为=1．类比上述结论，双曲线=1（a＞0，b＞0）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程为．7．（5分）若“﹣1≤x≤1”是“不等式|x﹣m|≤2”成立的充分条件，则实数m的取值范围是．8．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）上一点P（2，m）到其焦点F的距离为4，则p=．9．（5分）已知，若（a ∈N*），则a=．10．（5分）已知双曲线左支上一点P到左焦点的距离为16，则点P 到右准线的距离为．11．（5分）P为椭圆上一点，Q（2，0），则线段PQ长度的最小值为．12．（5分）若函数y=lnx+ax2﹣（2a+1）x（a＞0）在x=1处取得极小值，则a的取值范围是．13．（5分）已知椭圆Γ：的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆Γ上，且，则当λ∈[2，3]时，椭圆的离心率的取值范围为．14．（5分）已知函数在[1，2]上单调递增，则a的取值范围为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知复数z1=1﹣i，z2=4+6i．（1）求；（2）若复数z=1+bi（b∈R）满足z+z1为实数，求|z|．16．（14分）已知p：∀x∈R，x2﹣ax+a＞0；q：方程﹣=1表示双曲线．（1）若p为真命题时，求实数a的取值范围；（2）当p为假命题，且q为真命题，求实数a的取值范围．17．（14分）（1）当x＞1时，求证：；（2）已知x∈R，a=x2﹣x+1，b=4﹣x，c=x2﹣2x．试证明a，b，c至少有一个不小于1．18．（16分）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系为：．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为5万元，工厂一次性补贴职工交通费万元．设f（x）为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和．（1）求f（x）的表达式；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．19．（16分）已知椭圆的离心率为，左顶点为A（﹣2，0），过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于B，C两点，其中点B在第二象限，过点B作x轴的垂线交AC于点D．（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线BC的斜率为时，求△ABD的面积；（3）试比较AB2与AD•AC大小．20．（16分）已知函数f（x）=e x﹣lnx（x＞0）的最小值为m．（1）设g（x）=f'（x），求证：g（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）求证：m＞2；（3）求函数h（x）=e x﹣e m lnx的最小值．2017-2018学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）命题“若x＞0，则x2＞0”的逆命题为若x2＞0，则x＞0．【解答】解：由逆命题的定义得逆命题为：若x2＞0，则x＞0；故答案为：若x2＞0，则x＞0；2．（5分）复数（1+i）2（i为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为（0，2）．【解答】解：∵（1+i）2=1+2i+i2=2i，∴复数（1+i）2在复平面上对应的点的坐标为（0，2），故答案为：（0，2）．3．（5分）抛物线x2=8y的准线方程为y=﹣2．【解答】解：∵抛物线的方程为x2=8y，∴抛物线开口向上，2p=8，可得=2．因此抛物线的焦点为（0，2），准线方程为y=﹣2．故答案为：y=﹣24．（5分）函数f（x）=sinx在处的切线的斜率为．【解答】解：函数f（x）=sinx的导数为f′（x）=cosx，可得函数f（x）=sinx在处的切线的斜率为cos=，故答案为：．5．（5分）双曲线的渐近线的方程为．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，其中a=4，b=3，其焦点在x轴上，其双曲线的渐近线方程为：；故答案为：．6．（5分）椭圆=1（a＞b＞0）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程为=1．类比上述结论，双曲线=1（a＞0，b＞0）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程为．【解答】解：∵椭圆=1（a＞b＞0）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程为=1．∴类比上述结论，双曲线=1（a＞0，b＞0）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程为．故答案为：．7．（5分）若“﹣1≤x≤1”是“不等式|x﹣m|≤2”成立的充分条件，则实数m的取值范围是[﹣1，1] ．【解答】解：由|x﹣m|≤2得﹣2≤x﹣m≤2，得m﹣2≤x≤m+2，∵“﹣1≤x≤1”是“不等式|x﹣m|≤2”成立的充分条件，∴[﹣1，1]⊆[m﹣2，m+2]，即，即，即﹣1≤m≤1，故答案为：[﹣1，1]8．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）上一点P（2，m）到其焦点F的距离为4，则p=4．【解答】解：根据题意，抛物线y2=2px的准线为x=﹣，若抛物线上一点P（2，m）到其焦点F的距离为4，则P到准线的距离也为4；则有2﹣（﹣）=4，解可得p=4，故答案为：49．（5分）已知，若（a ∈N*），则a=63．【解答】解：根据题意，对于第一个式子=2，有=2，对于第二个式子=3，有=3，对于第三个式子=4，有=4，分析可得：有=n，若，则a=82﹣1=63；则a=63；故答案为：63；10．（5分）已知双曲线左支上一点P到左焦点的距离为16，则点P 到右准线的距离为10．【解答】解：根据题意，设双曲线左支上一点P到右焦点的距离为d′，点P到右准线的距离为d；双曲线的方程为，其中a=5，b=12，则c==13，则双曲线的离心率e==，若双曲线左支上一点P到左焦点的距离为16，则P到右焦点的距离d′=16+2a=26，又由双曲线的离心率e==，则有=，解可得：d=10，即点P到右准线的距离为10；故答案为：10．11．（5分）P为椭圆上一点，Q（2，0），则线段PQ长度的最小值为．【解答】解：设P（4cosθ，2sinθ），θ∈[0，2π]，则|PQ|2=（4cosθ﹣2）2+（2sinθ）2，=16cos2θ﹣16cosθ+4+4sin2θ，=4（3cos2θ﹣4cosθ+2），令cosθ=t，t∈[﹣1，1]，|PQ|2=4（3t2﹣4t+2）=12（x﹣）2+，∴当t=时，|PQ|取最小值，最小值为，故答案为：．12．（5分）若函数y=lnx+ax2﹣（2a+1）x（a＞0）在x=1处取得极小值，则a的取值范围是（，+∞）．【解答】解：y′=+2ax﹣（2a+1）=，（a＞0），令y′=0，得x=1或．∵函数y=lnx+ax2﹣（2a+1）x（a＞0）在x=1处取得极小值，∴，解得；故答案为：（，+∞）13．（5分）已知椭圆Γ：的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆Γ上，且，则当λ∈[2，3]时，椭圆的离心率的取值范围为．【解答】解：由，则AF1⊥F1F2，则A（﹣c，），设B（x，y），，则（2c，﹣）=λ（x﹣c，y），∴，解得：，则B（，﹣），将B代入椭圆方程：+=1，整理得：c2（λ2+4λ+3）=a2（λ2﹣1），由e=，则==1+4×，由λ∈[2，3]，则2≤≤4，则3≤≤5，e∈（0，1]，则≤e≤，故答案为：．14．（5分）已知函数在[1，2]上单调递增，则a的取值范围为．【解答】解：当a=0时，f（x）=x3﹣4在[1，2]递增，显然成立；当a＞0时，f（x）=x3﹣4﹣2ax，导数为f′（x）=x2﹣2a≥0，在[1，2]恒成立，可得2a≤1，即有0＜a≤；当a＜0时，y=|2ax+4|的对称轴为x=﹣，当2ax+4≥0时，即为x≤﹣，f′（x）=x2﹣2a≥0，可得2a≤x2，显然成立；当2ax+4＜0时，即为x＞﹣，f′（x）=x2+2a≥0，可得2a≥﹣x2，可得2a≥﹣，解得a≥﹣，综上可得﹣≤a≤．故答案为：．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知复数z1=1﹣i，z2=4+6i．（1）求；（2）若复数z=1+bi（b∈R）满足z+z1为实数，求|z|．【解答】解：（1）∵z1=1﹣i，z2=4+6i，∴；（2）∵z=1+bi（b∈R），∴z+z1=2+（b﹣1）i，又∵z+z1为实数，∴b﹣1=0，得b=1．∴z=1+i，则．16．（14分）已知p：∀x∈R，x2﹣ax+a＞0；q：方程﹣=1表示双曲线．（1）若p为真命题时，求实数a的取值范围；（2）当p为假命题，且q为真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵∀x∈R，x2﹣ax+a＞0∴△=a2﹣4a＜0，解得0＜a＜4（2）∵方程﹣=1表示双曲线∴4﹣a2＞0，解得﹣2＜a＜2∵p为假命题，且q为真命题∴，∴﹣2＜a≤0．17．（14分）（1）当x＞1时，求证：；（2）已知x∈R，a=x2﹣x+1，b=4﹣x，c=x2﹣2x．试证明a，b，c至少有一个不小于1．【解答】证明：（1）∵x＞1，∴（x﹣1）2＞0，x2＞0，x2+x+1＞0∴（2）假设a，b，c都小于1，即a＜1，b＜1，c＜1则有a+b+c＜3①而a+b+c=2x2﹣4x+5=2（x﹣1）2+3≥3②①与②矛盾故a，b，c至少有一个不小于1．18．（16分）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系为：．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为5万元，工厂一次性补贴职工交通费万元．设f（x）为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和．（1）求f（x）的表达式；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．【解答】解：（1）根据题意，f（x）为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和，则有，整理得，（2≤x≤8）（2）由f'（x）≥0得x≥5所以f（x）在[2，5]上单调递减，在[5，8]上单调递增故当x=5时，f（x）取得最小值150．答：（1）（2）宿舍应建在离工厂5km处，可使总费用f（x）最小，最小值为150万元．19．（16分）已知椭圆的离心率为，左顶点为A（﹣2，0），过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于B，C两点，其中点B在第二象限，过点B作x轴的垂线交AC于点D．（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线BC的斜率为时，求△ABD的面积；（3）试比较AB2与AD•AC大小．【解答】解：（1）因为左顶点为A（﹣2，0），所以a=2，因为椭圆的离心率为e=，解得，又因为b2=a2﹣c2，所以b2=1，故所求椭圆的标准方程为（2）因为直线BC过原点，且斜率为所以直线BC的方程为，代入椭圆方程，解得，因为A（﹣2，0），所以直线AC的方程为，从而有，故△ABD的面积等于；（3）方法一：设直线AB的方程为y=k（x+2），k＞0，整理得（4k2+1）x2+16k2x+16k2﹣4=0，设B（x1，y1），则有，解得从而|AB|=|﹣（﹣2）|=，由椭圆对称性可得C（﹣x1，﹣y1），所以，于是，故，，从而所以因为点B在第二象限，所以，于是有AB2＜AD•AC；方法二：设点B（x0，y0），则点C（﹣x0，﹣y0），因为A（﹣2，0），所以直线AC的方程为，所以从而，，=，，，从而有AB2＜AD•AC．20．（16分）已知函数f（x）=e x﹣lnx（x＞0）的最小值为m．（1）设g（x）=f'（x），求证：g（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）求证：m＞2；（3）求函数h（x）=e x﹣e m lnx的最小值．【解答】解：（1）∵∴g（x）在（0，+∞）上单调递增（2）由（1）可知f'（x）在（0，+∞）上单调递增∵∴f'（x）存在唯一的零点，设为x0，则x0且当x∈（0，x0）时，f'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0从而f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减所以f（x）的最小值∵∴∴x0=﹣lnx0∴（当且仅当x0=1时取等号）∵x0∴m＞2（第二问也可证明e x≥x+1，lnx≤x﹣1，从而得到m＞2）（3）同（1）方法可证得h'（x）在（0，+∞）上单调递增∵m＞2∴∴h'（x）存在唯一的零点，设为x1，则x1∈（1，m）且所以h（x）的最小值为∵∴∴x1=m﹣lnx1，即m=x1+lnx1由（2）可知∴x1+lnx1=∵y=x+lnx在（0，+∞）上单调递增∴所以h （x ）的最小值为．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

泰州市2016～2017学年度第二学期期末考试高二数学（文科）试题(考试时间：120分钟 总分：160分)命题人：张圣官 吴春胜 审核人：杨鹤云 唐咸胜注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．（参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．）一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合}{1,0,1A =-，{}0,1,2B =，则A B =U ▲． 2．函数()f x =的定义域为 ▲． 3．命题“x ∀∈R ，21x ≥”的否定是 ▲．4．已知幂函数()f x 的图象过点(2,4)，则(3)f 的值是 ▲．5．用系统抽样的方法从某校600名高二学生中抽取容量为20的样本，将600名学生随机编号为1～600，按编号顺序平均分为20个组（1～30号，31～60号，……，571～600号）， 若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为2，则第4组抽取的号 码为 ▲．6．根据如图所示的伪代码，可知输出的S 的值是 ▲． 7．已知某学生准备利用暑假时间到北京研学旅游，其乘火车、汽车、飞机去的概率分别为0.5，0.2，0.3，则这名学生不乘汽车的概率为 ▲．8．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，若(2)(0)(3)2f f f -++=，则(2)(3)f f -的值是 ▲． 9．为了了解某校高二年级300名男生的健康状况，随机抽测了其中50 名学生的身高（单位：cm ），所得数据均在区间[155,185]上，其频率分布直方图（部分图形）如图所示，则估计该校高二年级身高在180 cm 以上的男生人数为 ▲．10．已知某市2016年6月26日到6月30日的最高气温依次为28 C ︒，29 C ︒，25 C ︒，25 C ︒，28 C ︒，那么这5天最高气温的方差为 ▲．（单位：2(C)︒） 11．已知定义在R 上的函数3()21f x x x =-+，若方程()10f x a x --=恰有4个互不相等的实数根，则所有满足条件的实数a 组成的集合为 ▲．12．已知0a >，函数322114, 1,323()1(1)ln , 1,2a x x ax x f x a x x ax x -⎧-++-≤⎪⎪=⎨⎪-+->⎪⎩若()f x 在区间(,2)a a -上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲．二、解答题（本大题共8小题，共100分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 13．（本小题满分12分）已知集合}{13A x x =≤≤，}{1B x =≥. （1）求A B I ；（2）若A B I 是集合{}x x a ≥的子集，求实数a 的取值范围．14．（本小题满分12分）一根直木棍长为6 m ，现将其锯为2段．（1）若两段木棍的长度均为正整数，求恰有一段长度为2 m 的概率； （2）求锯成的两段木棍的长度均大于2 m 的概率．15．（本小题满分12分）已知:p 11x -≤≤， :q e x a b ≤≤，其中a ，b 为实数． （1）若p 是q 的充要条件，求ab 的值；（2）若1a =，2e b =，且p ，q 中恰有一个为真命题，求实数x 的范围．16．（本小题满分12分） （1）求lg4lg50lg2+-的值；（2）若实数a ，b 满足2361log 2log log ()a b a b +=+=+，求11a b+的值．17．（本小题满分12分）已知1是函数3()3f x ax x =-的一个极值点，其中a 为实数． （1）求实数a 的值；（2）求函数()f x 在区间[2,2]-上的最大值．18．（本小题满分12分）某公司科技小组研发一个新项目，预计能获得不少于1万元且不多于5万元的投资收益，公司拟对研发小组实施奖励，奖励金额y （单位：万元）和投资收益x （单位：万元）近似满足函数()y f x =，奖励方案满足如下两个标准：①()f x 为单调递增函数，②0()f x kx ≤≤，其中0k >．（1）若12k =，试判断函数()f x =是否符合奖励方案，并说明理由； （2）若函数()ln f x x =符合奖励方案，求实数k 的最小值．19.（本题满分14分）已知函数2()f x x ax =-，x ∈R ，其中0a >． （1）若函数()f x 在R 上的最小值是1-，求实数a 的值；（2）若存在两个不同的点(,)m n ，(,)n m 同时在曲线()f x 上，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知函数()e ln x f x a x b =-+，0x >，其中0a >，b ∈R ． （1）若1a b ==，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）证明：存在唯一的正实数0x ，使函数()f x 在0x 处取得极小值；（3）若0a b +=，且函数()f x 有2个互不相同的零点，求实数a 的取值范围．2016～2017学年度第二学期期末考试高二数学（文科）答案一、填空题1．}{1,0,1,2- 2．[1,1]- 3．x ∃∈R ，21x < 4．9 5．92 6．35 7．0.8 8．2- 9．30 10．14511．51,4⎧⎫⎨⎬⎭⎩ 12．10(0,]9二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）13．解：（1）∵{ 1 }B x =，∴{ 2 }B x x =≥， …………3分∵{ 1 3 }A x x =≤≤，∴{ 2 3 }A B x x =≤≤I ． …………7分 （2）由（１）得：{ 2 3 }A B x x =≤≤I ， ∴集合{ 2 3 }x x ≤≤是集合{}x x a ≥的子集，∴2a ≤． …………12分 14．解：（1）∵两段木棍的长度均为正整数，∴两段木棍的长度分别为1 m 和5 m ，2 m 和4 m ，3 m 和3 m ，4 m 和2 m ，5 m 和1 m ，共计5种可能的情况， …………2分 其中恰有一段长度为2 m 的情况共计2种， …………4分 记“若两段木棍的长度均为正整数，恰有一段长度为2 m ”为事件A ， ∴2()5P A =， …………6分 答：若两段木棍的长度均为正整数，恰有一段长度为2 m 的概率为25． …………7分（2）记“锯成的两段木棍的长度均大于2 m ”为事件B ， ∴21()63P B ==， …………11分 答：锯成的两段木棍的长度均大于2 m 的概率为13． …………12分15．解：（1）∵:p 11x -≤≤，且p 是q 的充要条件，∴q 等价于11e e e x -≤≤， …………3分 ∴1e a -=，1e b =，∴1ab =． …………6分 （2）由题意得:q 21e e x ≤≤，即:q 02x ≤≤，∵p ，q 中恰有一个为真命题， …………7分 当p 真，q 假时，∴11, 02,x x x -≤≤⎧⎨<>⎩或 即10x -≤<， …………9分当p 假，q 真时，∴11, 02, x x x <->⎧⎨≤≤⎩或即12x <≤， (11)分综上所述：实数x 的范围为[1,0)(1,2]-U ． …………12分16．解：（1）原式=2lg2lg51lg22++-=， …………6分（2）设2361log 2log log ()a b a b k +=+=+=， ∴122,3,6k k k a b a b --==+=，∴121161823k k k a b a b ab --++===⋅． …………12分17．解：（1）∵3()3f x ax x =-，∴2()33f x ax '=-， …………2分 ∵1是函数3()3f x ax x =-的一个极值点，∴(1)0f '=， …………3分 ∴330a -=，∴1a =， …………5分 当1a =时，2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+，满足题意． …………6分 （2）由（1）得：2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+， 令()0f x '=，∴11x =-，21x =， …………8分10分∵(1)2f -=，(2)2f =，∴()f x 在区间[2,2]-上的最大值是2． …………12分18．解：（1）∵()f x =， ∴()0f x '=>，∴函数()f x =[1,5]上的单调递增函数，满足标准①， …………2分当[1,4)x ∈时，1()2f x x x ==>，不满足标准②，综上所述：()f x 不符合奖励方案． …………4分 （2）∵函数()ln f x x =符合奖励标准， ∴()f x kx ≤，即ln x kx ≤， ∴ln xk x≥， …………6分 ∴设ln ()xg x x=，[1,5]x ∈， ∴21ln ()xg x x -'=， 令()0g x '=，∴x e =，…………8分∴ln ()x g x x =的极大值是1(e)eg =，且为最大值， ∴1ek ≥， …………10分又∵函数()ln f x x =，[1,5]x ∈， ∴1()0f x x'=>，∴函数()f x 在区间[1,5]上单调递增，满足标准①，∵[1,5]x ∈，∴()ln 0f x x =≥，综上所述：实数k 的最小值是1e． (12)分19．解：（1）∵22()()24a a f x x ax x =-=--，x ∈R ，∴当2ax =时，2min ()14a f x =-=-， (2)分∵0a >，∴2a =． …………4分（2）∵(,)m n ，(,)n m 同时在函数()f x 的图象上，∴22,,m am n n an m ⎧-=⎨-=⎩ (6)分∴22()()m n a m n n m ---=-， …………7分 ∵m n ≠，∴1m n a +-=-，且12a m -≠， ∴1n a m =--， …………9分∴21m am a m -=--，∴方程2(1)10m a m a +-+-=有解，12a m -≠， …………11分∴2(1)4(1)0a a ---≥，且211()(1)()1022a a a a --+-+-≠ ∴14a -≥或10a -≤，且3,1a ≠-， …………13分 ∵0a >，∴1a >． …………14分（注：若没有考虑12a m -≠，得到1a ≥，扣2分） 20．解：∵()e ln x f x a x b =-+， ∴()e x a f x x'=-， （1）∵1a b ==，∴()e ln 1x f x x =-+，1()e x f x x'=-， …………2分∴切点为(1,(1))f ，即(1,e 1)+，切线的斜率为(1)f '，即切线的斜率为e 1-， ∴函数()f x 在1x =处的切线方程为(e 1)(e 1)(1)y x -+=--，即(e 1)2y x =-+． …………4分（2）令()0f x '=，得e 0x x a -=， 设()e x h x x a =-，0x >，∴()(1)e 0x h x x '=+>，∴()h x 在区间(0,)+∞上单调递增， ∵(0)0h a =-<，()(e 1)0a h a a =->，∴(0)()0h h a <，且()h x 在区间(0,)+∞上的图象不间断，∴存在唯一的0(0,)x a ∈，使0()0h x =， …………6分 ∴存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使函数()f x 在处取得极小x x =值． …………8分（3）∵0a b +=，∴()e ln xf x a x a =--，0x >， ∴e ()e x xa x af x x x-'=-=，由（2）可得：函数()f x 的极小值为0()f x ，且00e 0x x a -=， ∴0000000()e ln e (1ln )x x f x a x a x x x =--=--， 设()1ln r x x x x =--，0x >，∴()ln 2r x x '=--，∴当20e x -<<时，()0r x '>，当2e x ->时，()0r x '<， …………10分由（2）可得：函数()e x h x x a =-在区间(0,)+∞上单调递增， （ⅰ）当0e a <≤时，∵00e x a x e =≤，∴0()(1)h x h ≤，∴001x <≤， ∴00000()e [(1)(ln )]0x f x x x x =-->，∴当0x >，()0f x >，无零点， …………12分 （ⅱ）当e a >时，∵00e e x a x =>，∴0()(1)h x h >，∴01x >， ∵()1ln r x x x x =--在区间(1,)+∞上单调递减， ∴0()(1)0r x r <=， ∴000()e ()0x f x r x =<，∵1111()e ln e (ln 1)0aa f a a a a a a =--=+->，其中010x a<<，∴01()()0f f x a<，且函数()f x 在区间上0(0,)x 单调递减，图象不间断，∴()f x 在区间上0(0,)x 上有唯一的零点， 又∵()e ln a f a a a a =--，e a >，设()e ln a t a a a a =--，e a >，∴()e ln 2a t a a '=--， ∵e 11(e ln 2)e e 0ea a a a '--=->->，∴()e ln 2at a a '=--在区间(e,)+∞上单调递增， ∴e ()(e)e 30t a t ''>=->，∴()e ln a t a a a a =--在区间(e,)+∞上单调递增， ∴e ()(e)e 20t a t e >=->，即()0f a >， 又∵000e x a x x =>，∵0()()0f x f a <，且函数()f x 在区间上0(,)x +∞单调递增，图象不间断， ∴()f x 在区间上0(,)x +∞上有唯一的零点，综上所述：函数()f x 有2个互不相同的零点时，实数a 的取值范围为(e,)+∞．……16分。

江苏省泰州市2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题文（扫描
版，无答案)
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。

This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.。

2016-2017学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为．2．（5分）设复数z=i（1+i）（i为虚数单位），则复数z的实部为．3．（5分）双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为．4．（5分）抛物线y2=12x的焦点坐标是．5．（5分）命题“若x＞1，则x＞2”的逆命题为．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若点P在椭圆上，且PF1=2，则PF2的值是．7．（5分）已知函数f（x）=2e x+1，则f'（0）的值是．8．（5分）已知p：x=1，q：x3﹣2x+1=0，则p是q的条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出适当的一种填空）．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的一条准线与抛物线y2=2px （p＞0）的准线重合，则实数p的值是．10．（5分）设S n是公差为d的等差数列{a n}的前n项和，则数列S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9是等差数列，且其公差为9d．通过类比推理，可以得到结论：设T n是公比为2的等比数列{b n}的前n项积，则数列，，是等比数列，且其公比的值是．11．（5分）若复数z满足|z|=1（i为虚数单位），则|z﹣2i|的最小值是．12．（5分）如图，将全体正奇数排成一个三角形数阵，根据以上排列规律，数阵中第8行（从上向下数）第3个数（从左向右数）是．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆（a＞b＞0）的左焦点，点P在椭圆上，直线PF与以OF为直径的圆相交于点M（异于点F），若点M为PF的中点，且直线PF的斜率为，则椭圆的离心率为．14．（5分）已知a＞0，函数若f（x）在区间（﹣a，2a）上单调递增，则实数a的取值范围是．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知p：x（x﹣2）≥0，q：|x﹣2|＜1，其中x是实数．（1）若命题“￢p”为真，求x的取值范围；（2）若命题p，命题q都为真，求x的取值范围．16．（14分）设复数z=a﹣i，其中i为虚数单位，a∈R．（1）若z2=﹣2i，求实数a的值；（2）若a=2，求复平面内与对应的点的坐标．17．（14分）已知函数f（x）=x3﹣ax在x=1处取得极小值，其中a是实数．（1）求实数a的值；（2）用反证法证明：当x＞0时，，中至少有一个不小于．18．（16分）运动员小王在一个如图所示的半圆形水域（O为圆心，AB是半圆的直径）进行体育训练，小王先从点A出发，沿着线段AP游泳至半圆上某点P处，再从点P沿着弧PB跑步至点B处，最后沿着线段BA骑自行车回到点A处，本次训练结束．已知OA=1500m，小王游泳、跑步、骑自行车的平均速度分别为2m/s，4m/s，10m/s，设∠PAO=θrad．（1）若，求弧PB的长度；（2）试将小王本次训练的时间t表示为θ的函数t（θ），并写出θ的范围；（3）请判断小王本次训练时间能否超过40分钟，并说明理由．（参考公式：弧长l=rα，其中r为扇形半径，α为扇形圆心角．）19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点和动点Q（m，n）都在离心率为的椭圆（a＞b＞0）上，其中m＜0，n＞0．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l的方程为3mx+4ny=0，点R（点R在第一象限）为直线l与椭圆的一个交点，点T在线段OR上，且QT=2．①若m=﹣1，求点T的坐标；②求证：直线QT过定点S，并求出定点S的坐标．20．（16分）已知函数f（x）=lnx+ax2（x＞0），g（x）=bx，其中a，b是实数．（1）若，求f（x）的最大值；（2）若b=2，且直线是曲线y=f（x）的一条切线，求实数a的值；（3）若a＜0，且，函数h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有两个不同的零点，求实数a的取值范围．2016-2017学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为∀x∈R，x2＞0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为：∀x∈R，x2＞0．故答案为：∀x∈R，x2＞0．2．（5分）设复数z=i（1+i）（i为虚数单位），则复数z的实部为﹣1．【解答】解：∵z=i（1+i）=﹣1+i，∴复数z的实部为﹣1．故答案为：﹣1．3．（5分）双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x．【解答】解：由双曲线=1的渐近线方程为y=x，则双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x．故答案为：y=±x．4．（5分）抛物线y2=12x的焦点坐标是（3，0）．【解答】解：抛物线y2=12x的焦点在x轴上，且p=6，∴=3，∴抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）．故答案为：（3，0）．5．（5分）命题“若x＞1，则x＞2”的逆命题为若x＞2，则x＞1．【解答】解：命题“若x＞1，则x＞2”的逆命题为命题“若x＞2，则x＞1”，故答案为：若x＞2，则x＞16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若点P在椭圆上，且PF1=2，则PF2的值是4．【解答】解：由题意可知：椭圆焦点在x轴上，a=3，b=2，c=，由椭圆的定义可知：丨PF1丨+丨PF2丨=2a=6，由丨PF1丨=2，则丨PF2丨=4，∴丨PF2丨的值为4，故答案为：4．7．（5分）已知函数f（x）=2e x+1，则f'（0）的值是2．【解答】解：函数的导数f′（x）=2e x，则f′（0）=2e0=2，故答案为：2；8．（5分）已知p：x=1，q：x3﹣2x+1=0，则p是q的充分不必要条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出适当的一种填空）．【解答】解：当x=1时，x3﹣2x+1=1﹣2+1=0，设f（x）=x3﹣2x+1，∵f（﹣2）=﹣8+4+1=﹣3＜0，f（﹣1）=﹣1+2+1=2＞0，即在区间（﹣2，﹣1）内至少存在一个x，使f（x）=0，即p是q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要；9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的一条准线与抛物线y2=2px （p＞0）的准线重合，则实数p的值是3．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣．由双曲线得a2=3，b2=1，c=2．取此双曲线的一条准线x=﹣．由题意可得﹣=﹣，∴p=3．故答案为：3．10．（5分）设S n是公差为d的等差数列{a n}的前n项和，则数列S6﹣S3，S9﹣S6，S 12﹣S9是等差数列，且其公差为9d．通过类比推理，可以得到结论：设T n是公比为2的等比数列{b n}的前n项积，则数列，，是等比数列，且其公比的值是512．【解答】解：由题意，类比可得数列，，是等比数列，且其公比的值是29=512，故答案为512．11．（5分）若复数z满足|z|=1（i为虚数单位），则|z﹣2i|的最小值是1．【解答】解：∵复数z满足|z|=1（i为虚数单位），设z=cosθ+isinθ，θ∈[0，2π）．则|z﹣2i|=|cosθ+i（sinθ﹣2）|==≥1，当且仅当sinθ=1时取等号．故答案为：1．12．（5分）如图，将全体正奇数排成一个三角形数阵，根据以上排列规律，数阵中第8行（从上向下数）第3个数（从左向右数）是95．【解答】解：根据三角形数阵可知，斜着看，第n斜行奇数的个数为n个，则前n﹣1斜行奇数的总个数为1+2+3+…+（n﹣1）=，则斜着看，第10行（n≥3）从左向右的第3个数为第+3=48个奇数，所以数阵中第8行（从上向下数）第3个数（从左向右数）是2×48﹣1=95．故答案为95．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆（a＞b＞0）的左焦点，点P在椭圆上，直线PF与以OF为直径的圆相交于点M（异于点F），若点M为PF的中点，且直线PF的斜率为，则椭圆的离心率为﹣1．【解答】解：由题意可知：C为OF的中点，则OM为△FOP的中位线，丨OP丨=2丨OM丨=2丨OC丨=丨OF丨=c，且直线PF的斜率为，则∠PFO=60°，∴△FPO为等边三角形，边长为c，则P（﹣c，c），代入椭圆方程：+=1，由b2=a2﹣c2，e=，则e4﹣8e2+4=0，解得：e2=4±2，由0＜e＜1，解得：e=﹣1，椭圆的离心率﹣1，故答案为：﹣1．14．（5分）已知a＞0，函数若f（x）在区间（﹣a，2a）上单调递增，则实数a的取值范围是（0，] ．【解答】解：当x≤1时，f（x）=﹣x3+x2+ax﹣的导数为f′（x）=﹣x2+（1﹣a）x+a，若f（x）在区间（﹣a，2a）上单调递增，且2a≤1，则f′（x）≥0在区间（﹣a，2a）上恒成立，即有x2﹣（1﹣a）x﹣a≤0，可得（﹣a）2﹣（1﹣a）（﹣a）﹣a≤0，且（2a）2﹣2（1﹣a）a﹣a≤0，解得0＜a≤；①若f（x）在（﹣∞，+∞）递增，即有f（x）在（1，+∞）递增，即有f（x）=（a﹣1）lnx+x2﹣ax的导数+x﹣a≥0在（1，+∞）恒成立．即有（x﹣1）（x﹣a+1）≥0在（1，+∞）恒成立．即有a﹣1≤1，即a≤2；②又﹣++a﹣≤（a﹣1）ln1+﹣a，解得a≤．③由①②③可得0＜a≤．故答案为：（0，]．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知p：x（x﹣2）≥0，q：|x﹣2|＜1，其中x是实数．（1）若命题“￢p”为真，求x的取值范围；（2）若命题p，命题q都为真，求x的取值范围．【解答】解：（1）∵命题“¬p”为真，∴x（x﹣2）＜0，∴0＜x＜2．…（7分）（2）∵命题“p且q”为真，∴“p真”且“q真”，…（9分）即∴∴2≤x＜3．…（14分）16．（14分）设复数z=a﹣i，其中i为虚数单位，a∈R．（1）若z2=﹣2i，求实数a的值；（2）若a=2，求复平面内与对应的点的坐标．【解答】解：（1）∵z2=（a﹣i）2=a2﹣1﹣2ai，由题意，a2﹣1﹣2ai=﹣2i，∴，解得a=1．（2）由题意，z=2﹣i，∴，∴复数在复平面内所对应的点坐标为．17．（14分）已知函数f（x）=x3﹣ax在x=1处取得极小值，其中a是实数．（1）求实数a的值；（2）用反证法证明：当x＞0时，，中至少有一个不小于．【解答】解：（1）∵f（x）=x3﹣ax，∴f'（x）=3x2﹣a，…（2分）∵函数f（x）=x3﹣ax在x=1处取得极小值，∴f'（1）=0，…（5分）即3﹣a=0，∴a=3．…（7分）证明：（2）假设，都小于即…（9分）∴∴，…（11分）即，当x＞0时，，当且仅当，即时等号成立，∴假设不成立，∴，中至少有一个不小于…（14分）18．（16分）运动员小王在一个如图所示的半圆形水域（O为圆心，AB是半圆的直径）进行体育训练，小王先从点A出发，沿着线段AP游泳至半圆上某点P处，再从点P沿着弧PB跑步至点B处，最后沿着线段BA骑自行车回到点A处，本次训练结束．已知OA=1500m，小王游泳、跑步、骑自行车的平均速度分别为2m/s，4m/s，10m/s，设∠PAO=θrad．（1）若，求弧PB的长度；（2）试将小王本次训练的时间t表示为θ的函数t（θ），并写出θ的范围；（3）请判断小王本次训练时间能否超过40分钟，并说明理由．（参考公式：弧长l=rα，其中r为扇形半径，α为扇形圆心角．）【解答】解：（1）∵，∴m．（2）在OAP中，AP=2OAcosθ=3000cosθ，在扇形OPB中，，又BA=2OA=3000，∴小王本次训练的总时间：=，，（3）由（2）得：，令t'（θ）=0，得，∴，列表如下，从上表可知，当时，t（θ）取得极大值，且是最大值，∴t（θ）的最大值是，（3）∵，π＜3.2，∴，∵2200＜40×60，∴小王本次训练时间不能超到40分钟．19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点和动点Q（m，n）都在离心率为的椭圆（a＞b＞0）上，其中m＜0，n＞0．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l的方程为3mx+4ny=0，点R（点R在第一象限）为直线l与椭圆的一个交点，点T在线段OR上，且QT=2．①若m=﹣1，求点T的坐标；②求证：直线QT过定点S，并求出定点S的坐标．【解答】解：（1）由题意，椭圆（a＞b＞0）焦点在x轴上，离心率，∴a=2c，，∵点在椭圆上，∴，解得：c=1，∴，∴椭圆C的标准方程为；…（5分）（2）①设，其中0＜t＜2，∵|QT|=2，∴，即，（*）…（7分）∵点Q（m，n）在椭圆上，∴，则，代入（*）式，得，，∴或，∵0＜t＜2，∴，…（9分）∴，由题意，m=﹣1，∴，∵n＞0，∴，则T点坐标，…（11分）②证明：由①可知，，∴直线QT的斜率，…（13分）∴直线QT的方程为，即，∴直线QT过定点S（1，0）．…（16分）20．（16分）已知函数f（x）=lnx+ax2（x＞0），g（x）=bx，其中a，b是实数．（1）若，求f（x）的最大值；（2）若b=2，且直线是曲线y=f（x）的一条切线，求实数a的值；（3）若a＜0，且，函数h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有两个不同的零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意，，x＞0，∴，令f'（x）=0，x=1，…（2分）从上表可知，当x=1时，f（x）取得极大值，且是最大值，∴f（x）的最大值是．…（4分）（2）由题意，直线是曲线y=lnx+ax2的一条切线，设切点，∴切线的斜率为，∴切线的方程为，即，∴…（6分）∴lnx0﹣x0+1=0，设t（x）=lnx﹣x+1，x＞0，∴，当x∈（0，1）时，t'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，t'（x）＜0，∴t（x）在x=1处取得极大值，且是最大值，∴t（x）max=t（1）=0，∵t（x0）=0，∴x0=1，此时．…（10分）（3）∵，∴，x＞0，∴，（ⅰ）当﹣1≤a≤0时，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，当x＞1时，h'（x）＜0，∴函数h（x）在x=1处取得极大值，且是最大值，∴h（x）≤h（1）=﹣1，函数h（x）在区间（0，+∞）上无零点，…（12分）（ⅱ）当a＜﹣1时，令h'（x）=0，得，x2=1，由（2）可知，t（x）≤0，即lnx≤x﹣1，∴，其中，又h（1）=﹣a﹣1＞0，且函数h（x）在（0，1）上不间断，∴函数h（x）在（0，1）上存在零点，另外，当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，故函数h（x）在（0，1）上是单调减函数，∴函数h（x）在（0，1）上只有一个零点，∵h（2）=ln2+a×22﹣（2a+1）×2=ln2﹣2＜0，又h（1）=﹣a﹣1＞0，且函数h（x）在（1，+∞）上不间断，∴函数h（x）在（1，+∞）上存在零点，另外，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，故函数h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，∴函数h（x）在（1，+∞）上只有一个零点，∴当﹣1≤a ≤0时，h （x ）在区间（0，+∞）上无零点，当a ＜﹣1时，h （x ）在区间（0，+∞）上恰有2个不同的零点，综上所述，实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣1）． …（16分）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为MFEB2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。

2016-2017学年江苏省泰州中学高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题纸上.1．函数y=的定义域为．2．函数的最小正周期为．3．已知函数，f（1）+f（﹣1）=．4．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，8），则f（2）=．5．把函数y=sinx的图象向左平移个单位长度，所得到的图象的函数表达式为．6．9=．7．函数y=sinx+cosx的单调递增区间为．8．若函数y=sin（πx+φ）过点，则f（0）=．9．若的夹角为60°，，，则=．10．在△ABC中，D为边BC上一点，且AD⊥BC，若AD=1，BD=2，CD=3，则∠BAC的度数为．11．若，则sin2θ=．12．若锐角α，β满足cos2α+cos2β=1，则=．13．若方程||x|﹣a2|﹣a=0有四个不同的实根，则实数a的取值范围为．14．已知函数f（x）=x3+x+1，若对任意的x，都有f（x2+a）+f（ax）＞2，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知集合A={x|2x≥16}，B={x|log2x≥a}．（1）当a=1时，求A∩B；（2）若A是B的子集，求实数a的取值范围．16．已知向量，．（1）若，求x的值；（2）当x∈[0，2]时，求的取值范围．17．如图，某儿童公园设计一个直角三角形游乐滑梯，AO为滑道，∠OBA为直角，OB=20米，设∠AOB=θrad，一个小朋友从点A沿滑道往下滑，记小朋友下滑的时间为t秒，已知小朋友下滑的长度s与t2和sinθ的积成正比，当时，小朋友下滑2秒时的长度恰好为10米．（1）求s关于时间t的函数的表达式；（2）请确定θ的值，使小朋友从点A滑到O所需的时间最短．18．已知函数，x∈R．（1）求函数f（x）的最大值；（2）若，θ∈R，求的值．19．如图，在△ABC中，，．（1）用，表示；（2）若，，求证：；（3）若，求的值．20．已知函数f（x）=﹣x2+2|x﹣a|，x∈R．（1）若函数f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）当x=﹣1时，函数f（x）在x=﹣1取得最大值，求实数a的取值范围．（3）若函数f（x）有三个零点，求实数a的取值范围．2016-2017学年江苏省泰州中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题纸上.1．函数y=的定义域为{x|x≥1} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由函数的解析式和偶次根号下被开方数大于等于0，列出不等式求出x 即可．【解答】解：要是函数有意义，须x﹣1≥0，解得x≥1，故函数的定义域为{x|x≥1}．故答案为：{x|x≥1}．2．函数的最小正周期为．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据题意，由函数的解析式可得ω=4，将ω的值代入周期计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数中，ω=4，则其周期T==；故答案为：3．已知函数，f（1）+f（﹣1）=1．【考点】函数的值．【分析】利用函数性质分别求出f（1），f（﹣1），由此能求出f（1）+f（﹣1）．【解答】解：∵函数，∴f（1）=2，f（﹣1）=﹣1，∴f（1）+f（﹣1）=2﹣1=1．故答案为：1．4．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，8），则f（2）=．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】幂函数y=f（x）=x a的图象过点（，8），推导出f（x）=x﹣3，由此能求出f（2）．【解答】解：∵幂函数y=f（x）=x a的图象过点（，8），∴（）a=8，解得a=﹣3，∴f（x）=x﹣3，∴f（2）=2﹣3=．故答案为：．5．把函数y=sinx的图象向左平移个单位长度，所得到的图象的函数表达式为y=sin（x+）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把函数y=sinx的图象向左平移个单位长度，所得到的图象的函数表达式为y=sin（x+），故答案为：．6．9=4．【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数与对数的运算性质即可得出．【解答】解：原式=2+=2+2=4．故答案为：4．7．函数y=sinx+cosx的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】先根据两角和公式对函数解析式进行化简，再根据正弦函数的性质得出答案．【解答】解：∵y=sinx+cosx=（sinx+cosx）=（sinxcos+cosxsin）=sin（x+），∴对于函数y=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，（k∈Z）可得：函数y=sinx+cosx，x∈R的单调递增区间是[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z），故答案为[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）．8．若函数y=sin（πx+φ）过点，则f（0）=．【考点】正弦函数的图象．【分析】将坐标代入求解φ，可得函数y=sin（πx+φ）的解析式，再求解f（0）即可．【解答】解：∵函数y=sin（πx+φ）过点，∴1=sin（φ）得：φ=，（k∈Z）φ=．那么：函数y=sin（），当x=0时，可得y=sin（）=sin=．故f（0）=．故答案为：．9．若的夹角为60°，，，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的模和向量的数量积公式计算即可．【解答】解：的夹角为60°，，，则=++2||•||•cos60°=1+4+2×1×2×=7，∴=，故答案为：10．在△ABC中，D为边BC上一点，且AD⊥BC，若AD=1，BD=2，CD=3，则∠BAC的度数为135°．【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意，AB=，AC=，BC=5，由余弦定理可得∠BAC的度数．【解答】解：由题意，AB=，AC=，BC=5，由余弦定理可得cos∠BAC==﹣，∵0°＜∠BAC＜180°∴∠BAC=135°，故答案为135°．11．若，则sin2θ=．【考点】二倍角的正弦．【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，把要求的式子化为，可得结果．【解答】解：若，∴sin2θ=====，故答案为：．12．若锐角α，β满足cos2α+cos2β=1，则=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用sin2α+cos2α=1，cos2α+cos2β=1，可得sin2α=cos2β，α，β是锐角，可得sinα=cosβ，即β+α=代入可求的值．【解答】解：∵sin2α+cos2α=1，cos2α+cos2β=1，∴sin2α=cos2β，又∵α，β是锐角，可得sinα=cosβ，即β+α=那么：=cos=．故答案为：13．若方程||x|﹣a2|﹣a=0有四个不同的实根，则实数a的取值范围为（1，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据绝对值的意义，结合方程||x|﹣a2|﹣a=0有四个不同的实根，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：方程||x|﹣a2|﹣a=0，可得方程||x|﹣a2|=a，∴a＞0，∴|x|=a2±a，∵方程||x|﹣a2|﹣a=0有四个不同的实根，∴a2+a＞0且a2﹣a＞0，∴a＞1，故答案为（1，+∞）．14．已知函数f（x）=x3+x+1，若对任意的x，都有f（x2+a）+f（ax）＞2，则实数a的取值范围是0＜a＜4．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣1=x3+x，则函数是奇函数，在R上单调递增，f（x2+a）+f（ax）＞2，等价于g（x2+a）+g（ax）＞0，即可得出结论．【解答】解：构造函数g（x）=f（x）﹣1=x3+x，则函数是奇函数，在R上单调递增，f（x2+a）+f（ax）＞2，等价于g（x2+a）+g（ax）＞0，∴x2+a＞﹣ax，∴x2+ax+a＞0，∴△=a2﹣4a＜0∴0＜a＜4，故答案为0＜a＜4．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知集合A={x|2x≥16}，B={x|log2x≥a}．（1）当a=1时，求A∩B；（2）若A是B的子集，求实数a的取值范围．【考点】子集与真子集；交集及其运算．【分析】分别求出关于A、B的x的范围，（1）将a=1带入求出A、B的补集即可；（2）根据集合的包含关系求出a的范围即可．【解答】解：集合A={x|2x≥16}={x|x≥4}，B={x|log2x≥a}={x|x≥2a}．（1）当a=1时，B={x|x≥2}，故A∩B={x|x≥4}；（2）若A是B的子集，则4≥2a，解得：a≤2．16．已知向量，．（1）若，求x的值；（2）当x∈[0，2]时，求的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）运用向量共线的坐标表示，可得x的方程，解方程即可；（2）运用向量的坐标运算和数量积的坐标表示，结合二次函数的最值求法，即可得到所求范围．【解答】解：（1）因为向量，，，所以（2﹣x）（1+x）=1×2，即为x2﹣x=0解得x=0或x=1；（2）因为，，所以，所以，因为x∈[0，2]，当x=时取得最小值﹣，当x=0时，x2﹣3x=0；当x=2时，x2﹣3x=﹣2，可得最大值为0，所以的取值范围．17．如图，某儿童公园设计一个直角三角形游乐滑梯，AO为滑道，∠OBA为直角，OB=20米，设∠AOB=θrad，一个小朋友从点A沿滑道往下滑，记小朋友下滑的时间为t秒，已知小朋友下滑的长度s与t2和sinθ的积成正比，当时，小朋友下滑2秒时的长度恰好为10米．（1）求s关于时间t的函数的表达式；（2）请确定θ的值，使小朋友从点A滑到O所需的时间最短．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）由题意，设出设S=kt2sinθ的表达式，当时，S=10，求解k，可得s关于时间t的函数的表达式；（2）把OA用θ表示出来，建立关系，化简，利用三角函数的有界限求解即可．【解答】解：（1）由题意，设S=kt2sinθ，t＞0，当时，S=10，∴，解得：k=5，∴故得S关于时间t的函数的表达式；S=5t2sinθ，t＞0；（2）由题意，∠OBA为直角，∠AOB=θrad，可得：，∴，化简可得：，∴当时，时间t最短．18．已知函数，x∈R．（1）求函数f（x）的最大值；（2）若，θ∈R，求的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大值（2）利用，建立关系，构造思想，求的值即可．【解答】解：（1）函数，x∈R．化简可得：=，∴当时，；（2）由（1）可得f（x）=，∵，∴，即，∴=．19．如图，在△ABC中，，．（1）用，表示；（2）若，，求证：；（3）若，求的值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【分析】（1）根据向量的加减的几何意义即可求出，（2）根据向量的模和向量的垂直的条件即可判断，（3）根据向量的加减的几何意义和向量的数量积的运算即可求出【解答】解：（1）因为，所以，所以，证明：（2）因为，所以，即，即，又因为，所以，即．所以，所以，（3）因为，所以，即，因此，同理，又，所以，因为，所以，即①又因为，，所以，所以，即②由①②得．20．已知函数f（x）=﹣x2+2|x﹣a|，x∈R．（1）若函数f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）当x=﹣1时，函数f（x）在x=﹣1取得最大值，求实数a的取值范围．（3）若函数f（x）有三个零点，求实数a的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．【分析】（1）由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），化简整理可得a=0；（2）去绝对值，运用分段函数的形式，写出f（x），讨论当a≥1时，当﹣1＜a ＜1时，当a≤﹣1时，考虑最大值，解不等式即可得到a的范围；（3）去绝对值，运用分段函数的形式，写出f（x），讨论两个二次函数的判别式，等于0或大于0，解方程（或不等式）即可得到a的值．【解答】解：（1）任取x∈R，则f（﹣x）=f（x）恒成立，即﹣（﹣x）2+2|﹣x﹣a|=﹣x2+2|x﹣a|恒成立，∴|x﹣a|=|x+a|恒成立，两边平方得：x2﹣2ax+a2=x2+2ax+a2，∴a=0；（2），因为函数y=f（x）在x=﹣1时取得最大值，当a≥1时，必须f（﹣1）≥f（a），即1+2a≥﹣a2+2a﹣2a，即（a+1）2≥0，所以a≥1适合题意；当﹣1＜a＜1时，必须f（﹣1）≥f（1），即1+2a≥1﹣2a，即a≥0，所以0≤a ＜1适合题意；当a≤﹣1时，因为f（﹣1）＜f（1），不合题意，综上，实数a的取值范围是[0，+∞）．（3），，，当△1=0时，，此时函数有三个零点1，；当△2=0时，，此时函数有三个零点；当△1＞0，△2＞0时，即时，方程﹣x2+2x﹣2a=0的两根为，方程﹣x2﹣2x+2a=0的两根为，因为，所以且，解得a=0，或者且，此时无解，综上得或0．2017年3月13日。

江苏省泰州中学2016-2017学年度第一学期期末考试高二数学试卷（理）一、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共70分。

1.命题：“若X 2<1，则-1<X<1”的逆否命题是 ▲ 。

2.如果复数)(12R a iai∈++为纯虚数， 则a= ▲ 。

3.抛物线y 2= 4x 的焦点为 ▲ 。

4.4人站成一排，其中甲乙相邻则共有 ▲ 种不同的排法。

5.函数f(x) = x 2-21nx 的单调递减区间是 ▲。

6.已知a ，b ，c ，d 为实数，且 c>d 。

则 “a>b ” 是 “a - c>b-d ” 的 ▲ 。

(填“ 充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”）7.如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为a n = ▲ 。

8.若双曲线1222=-by x 的一个焦点到其渐近线距离为22，则该双曲线焦距等于 ▲ 。

9.2016年泰州铁人三项组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事拥译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只熊从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 ▲ 。

10.若0P （0x ，0y )在椭圆12222=+by a x (a>b>0)外，过0P 作椭圆的两条切线的切点为1P 、2P ，则切点弦1P 2P 所在的直线方程是12200=+b y y a x x ，那么对于双曲线则有如下命题：若0P （0x ，0y )在双曲线12222=-by a x (a> 0，b>0)外，过0P 作双曲线的两条切线，切点为1P ，2P ,则切点弦1P 2P 所在直线的方程是 ▲ 。

11.若曲线xx y ln 1=与直线a y =恰有一个公共点，则实数a 的取值范围为 ▲ 。

12.函数113632424+--+--=x x x x x y 的最大值为 ▲ 。