高中数学 1.2.2同角三角函数的基本关系课时作业 新人教A版必修4(1)

1．2.2 同角三角函数的基本关系课时目标 1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：____________________.(2)商数关系：____________(α≠k π＋π2，k ∈Z )． 2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝________；cos 2α＝________；(sin α＋cos α)2＝____________________；(sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝______；sin α·cos α＝______________________＝________________________.(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝________________；cos α＝______________.一、选择题1．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是( )A.14B.12 C ．1 D.322．若sin α＋sin 2α＝1，则cos 2α＋cos 4α等于( )A ．0B ．1C ．2D ．33．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±434．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．86．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α等于( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2二、填空题7．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝________. 8．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________.9．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝____. 10．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．三、解答题 11．化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.12．求证：1－2sin 2x cos 2x cos 2 2x －sin 2 2x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x.能力提升13．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．14．已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根(a ∈R )．(1)求sin 3θ＋cos 3θ的值；(2)求tan θ＋1tan θ的值．1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系变形的出发点．1．2.2 同角三角函数的基本关系答案知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α2．(1)1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α 1－2sin αcos α 2sin α＋cos α2－12 1－sin α－cos α22 (2)cos αtan α sin αtan α作业设计1．C 2.B 3.A4．C [1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α＋cos αsin α＋cos αsin α－cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13.] 5．C [tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin αcos α＝1－sin α－cos α22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8.] 6．B [方法一 由⎩⎨⎧ cos α＋2sin α＝－5cos 2α＋sin 2α＝1联立消去cos α后得(－5－2sin α)2＋sin 2α＝1.化简得5sin 2α＋45sin α＋4＝0∴(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255. ∴cos α＝－5－2sin α＝－55. ∴tan α＝sin αcos α＝2. 方法二 ∵cos α＋2sin α＝－5，∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2α＝5，∴cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2αcos 2α＋sin 2α＝5，∴1＋4tan α＋4tan 2α1＋tan 2α＝5， ∴tan 2α－4tan α＋4＝0，∴(tan α－2)2＝0，∴tan α＝2.]7．－5138.45解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45. 9．－32解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34， ∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32. 10.34解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k －32＝1， ∴k 2＋6k －7＝0，∴k 1＝1或k 2＝－7.当k ＝1时，cos θ不符合，舍去．当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34. 11．解 原式＝1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α＝1－cos 2α1＋cos 2α－sin 4α1－cos 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α＝sin 2α1＋cos 2α－sin 4αsin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α＋sin 2αcos 2α－sin 2α＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 12．证明 左边＝cos 2 2x ＋sin 2 2x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x＝cos 2x －sin 2x 2cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x＝右边．∴原等式成立．13．证明 (1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1 ＝sin 2 αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α＋cos αsin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α＝sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋2sin 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α，右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝1＋2tan 2α＋cos 2α＋2sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α∴左边＝右边，∴原式成立．14．解 (1)由韦达定理知：sin θ＋cos θ＝a ，sin θ·cos θ＝a .∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a 2＝1＋2a .解得：a ＝1－2或a ＝1＋ 2∵sin θ≤1，cos θ≤1，∴sin θcos θ≤1，即a ≤1，∴a ＝1＋2舍去．∴sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ)＝a (1－a )＝2－2.(2)tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝1sin θcos θ＝1a ＝11－2＝－1－ 2.。

必修四第一章 三角函数1.2.2 同角三角函数关系1.设MP 和OM 分别是角1817π的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①0<<OM MP ；②0OM MP <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0， 其中正确的是_____________________________2.已知角α的余弦线是单位长度的有向线段;那么角的终边（ ）A ．在x 轴上B ．在直线y x = 上C ．在y 轴上D ．在直线y x =或y x =-上3. 若tan x 3π≤（2-）1则该不等式的解集为______4.观察正切函数线，满足条件tan 1x ≤的x 的取值范围是（其中k Z ∈）( ) A.2244k k ππππ-+（，） B.4k k πππ+（，） C.44k k ππππ-+（，） D.344k k ππππ++（，） 5. 下列不等式中，成立的是( )A ．sin1>sin2B ．cos1<cos2C ．tan1>tan2D ．cot1<cot26.已知α是第三象限角，则下列等式中可能成立的是( )A ．sinα＋cosα＝1.2B ．sinα＋cosα＝－0.9C ．sinαcosα＝ 3D ．sinα＋cosα＝－1.27.（1）求满足sin 2α>的角α的取值范围。

α（2）求满足sin cos αα>的角α的取值范围。

8. 当02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，求证：sin tan ααα<<。

9.下列四个命题中，不正确的个数是( )①α一定时，单位圆的正弦线一定；②单位圆中，有相同正弦线的角相等；③α和απ+有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上．A ．0B ．1C ．2D ．310.已知集合0{}2|E cos sin θθθθπ<≤<＝，，0{}2|F tan sin θθθθπ<≤<＝，，则E F I ( ) A.2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， B.344ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C.32ππ⎛⎫⎪⎝⎭，D.3544ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，[答案] 1.1717sin0,cos 01818MP OM ππ=>=< 2.A 3. ()7,122242k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭4.C5.C[[解析]] 由单位圆中的三角函数线可知，sin1<sin2，cos1>cos2，tan1>tan2，故选C.6. [[答案]] D[[解析]] 由三角函数线知， sin MP α＝，cos OM α＝，sin cos MP OM αα＋＝＋，1MP OM OP >＋＝，又0MP <，0OM <，∴1MP OM <-＋，故选D.7.解：（1）如图可知： ()22233k k k Z πππαπ+<<+∈（2）如图可知： ()52244k k k Z πππαπ+<<+∈8.证明：如图，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于点P ，α的正弦线、正切线分别为MP 、AT ，则sin MP α=，tan AT α=。

第5课时同角三角函数的基本关系(1)1.2．能够利用同角三角函数的基本关系进行简单的化简、求值与恒等证明．1．同角三角函数的基本关系式包括：①平方关系：sin2α＋cos2α＝1②商数关系：tanα＝sinαcosα.2．商数关系tanα＝sinαcosα成立的角α的范围是α≠kπ＋π2(k∈Z)．3．sin2α＋cos2α＝1的变形有sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α等．tanα＝sinαcosα的变形有sinα＝tanα·cosα，cosα＝sinαtanα等．一、选择题1．已知sinα＝45，且α是第二象限角，那么tanα的值是( )A．－43B．－34C.34D.43 答案：A解析：cos α＝－1－sin 2α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝－43.2.11＋tan23π5化简结果为( )A ．cos 3π5B ．－cos 3π5C ．±cos 3π5D ．－cos 2π5答案：B3．已知sin θ＋cos θ＝1，则sin θ－cos θ的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．0 答案：C解析：将sin θ＋cos θ＝1两边平方得sin θcos θ＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝0cos θ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝0sin θ＝1， 故sin θ－cos θ＝±1.4．已知α、β均为锐角，2tan α＋3sin β＝7，tan α－6sin β＝1，则sin α的值是( ) A.3 55 B.377C.31010D.13答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2tan α＋3sin β＝7，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3.∴sin αcos α＝3，又sin2α＋cos2α＝1，且α为锐角，∴sinα＝31010.故选C.5．如果sinα|sinα|＋cosα|cosα|＝－1，那么角α是( ) A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：C解析：∵－sin2α＋(－cos2α)＝－1，∴只有|sinα|＝－sinα，|cosα|＝－cosα时，sinα|sinα|＋cosα|cosα|＝－1才能成立．sinα、cosα同时小于零，所以α是第三象限角．6．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则sinα1－sin2α＋1－cos2αcosα的值为( )A．－2 B．2C．－2或2 D．0答案：D解析：∵角α的终边在x＋y＝0上，∴当α在第二象限时，sinα＝－cosα＝2 2；当α在第四象限时，sinα＝－cosα＝－2 2，∴原式＝sinα|cosα|＋|sinα|cosα＝0.二、填空题7．若sinα＋cosααα＝1，则tanα＝________.答案：－3解析：sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝12，∴tanα＝－3.8．化简：1－2sin20°cos20°＝________. 答案：cos20°－sin20°解析：原式＝sin 220°＋cos 220°－2sin20°cos20° ＝－2＝|cos20°－sin20°|＝cos20°－sin20°.9．如果tan α＝13，π＜α＜32π，则sin αcos α＝________.答案：310解析：sin αcos α＝sin αcos α1＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin αcos αcos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝tan α1＋tan 2α＝131＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝310. 三、解答题10．已知sin α＝45，求cos α，tan α的值．解：因为sin α>0，sin α≠1，所以α是第一或第二象限角． 由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝1－sin 2α＝925.若α是第一象限角，那么cos α>0， 于是cos α＝35，从而tan α＝sin αcos α＝43；若α是第二象限角，那么cos α＝－35，tan α＝－43.11．已知0<α<π，sin α＋cos α＝15，求tan α的值．解：由sin α＋cos α＝15两边平方，得sin αcos α＝－1225<0，由0<α<π可知：sin α>0，cos α<0，故π2<α<π，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.由π2<α<π知：sin α－cos α>0，所以sin α－cos α＝75，联立⎩⎨⎧sin α＋cos α＝15sin α－cos α＝75得sin α＝45，cos α＝－35，所以，tan α＝sin αcos α＝－43.12．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 答案：D解析：等式sin α＋cos α＝23，两边平方得：1＋2sin αcos α＝49，∴sin αcos α＝－518，而α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0，即α是钝角．13．已知方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个实根是sin θ和cos θ. (1)求k 的值；(2)求tan θ的值(其中sin θ＞cos θ)． 解：(1)由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 2－k ＋， ①sin θ＋cos θ＝－3k 4， ②sin θ·cos θ＝2k ＋18. ③∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，即(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1.∴将②、③代入后，得9k 216－2k ＋14＝1，即9k 2－8k －20＝0，解之，得k ＝－10或k ＝2.∵k ＝2不满足①式，故舍去，∴k ＝－109.(2)把k ＝－109，代入②、③得⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝56，sin θ·cos θ＝－1172，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝5＋4712，cos θ＝5－4712，(sin θ＞cos θ)∴tan θ＝sin θcos θ＝5＋475－47＝－72＋104722＝－36＋54711.。

必修四第一章 三角函数1.2.2 同角三角函数关系1．=ο2205sin ( )A ．21B ．21- C ．22D ．22-2．角()02ααπ<<的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．那么α的值为（） A ．4πB ．34πC ．74πD ．34π 或 74π3．若0<α<2π，且sin α<23, cosα>12.利用三角函数线，得到α的取值范围是（ ）A ．33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， B ．03π⎛⎫⎪⎝⎭， C ．523ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．50233πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，4．若42ππθ<<，则下列不等式中成立的是（ ）A ．sin cos tan θθθ>>B ．cos tan sin θθθ>>C ． tan sin cos θθθ>>D ．sin tan cos θθθ>>5．函数|tan |tan cos |cos ||sin |sin x xx x x xy ++=的值域是（ ）A ．{1}B ．{1，3}C ．{-1}D ．{-1，3}6．依据三角函数线，作出如下四个判断： ①7sin sin 66ππ= ；②cos cos 44ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； ③3tan tan 88ππ> ；④34sin sin 55ππ> ．其中判断正确的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．若236ππθ-≤≤，利用三角函数线，可得sin θ的取值范围是 ．8．若cos sin αα∣∣＜∣∣，则∈α ． 9．利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合．⑴ sin x ≥ 1cos 2x ≤；⑶ 1tanx ≥－；（4）21sin ->x 且21cos >x ．[答案]1—6 CDDCDB 7.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,1； 8. Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++,43,4ππππ。

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课时提升作业(五)同角三角函数的基本关系(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.sin α=√55，则sin 2α-cos 2α的值为( )A.-15B.-35C.15D.35【解析】选B.由于sin α=√55，所以cos 2α=1-sin 2α=45，则原式=15-45=-35.【延长探究】本题条件下，求sin 4α-cos 4α的值. 【解析】由sin 4α-cos 4α=(sin 2α+cos 2α)(sin 2α-cos 2α)=sin 2α-cos 2α =-35.2.(2021·福建高考)若sin α=-513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125B.-125C.512D.-512【解题指南】利用同角三角函数关系，“知一求二”.【解析】选D.由sin α=-513，且α为第四象限角可知cos α=1213，故tan α=sinαcosα=-512.3.(2021·葫芦岛高一检测)已知α是其次象限角，cos α=-13，则3sin α+tan α=( )A.-√2B.√2C.-1D.0 【解析】选D.由于cos α=-13，α是其次象限角，所以sin α=√1−cos 2α=√1−(−13)2=2√23. 所以tan α=sinαcosα=2√23−13=-2√2.所以3sin α+tan α=3×2√23-2√2=0. 4.(2021·重庆高一检测)已知角θ为第四象限角，且tan θ=-34，则sin θ- cos θ=( )A.15B.75C.-15D.-75【解析】选D.由已知得{sinθcosθ=−34,sin 2θ+cos 2θ=1,所以(−34cosθ)2+cos 2θ=1，cos 2θ=1625，又角θ为第四象限角，所以cos θ=45.所以sin θ=-34cos θ=-34×45=-35. 所以sin θ-cos θ=-35-45=-75.5.已知sin α-cos α=-√52，则tan α+1tanα的值为( )A.-4B.4C.-8D.8【解析】选C.tan α+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=1sinαcosα.由于sin αcos α=1−(sinα−cosα)22=-18，所以tan α+1tanα=-8.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2021·北京高一检测)已知α是其次象限的角，且sin α=513，则cos α=________.【解析】由于α是其次象限的角，且sin α=513，所以cos α=-√1−sin 2α=-√1−(513)2=-1213.答案：-12137.若sin θ=k+1k−3，cos θ=k−1k−3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________.【解析】由于sin 2θ+cos 2θ=(k+1k−3)2+(k−1k−3)2=1，所以k 2+6k-7=0，所以k 1=1或k 2=-7.当k=1时，cos θ不符合，舍去. 当k=-7时，sin θ=35，cos θ=45，tan θ=34.答案：348.已知sinx=3cosx ，则sinxcosx 的值是________. 【解析】将sinx=3cosx 代入sin 2x+cos 2x=1中得9cos 2x+cos 2x=1，即cos 2x=110， 所以sin 2x=1-cos 2x=910， 由于sinx 与cosx 同号，所以sinxcosx>0， 则sinxcosx=√sin 2xcos 2x =310.答案：310三、解答题(每小题10分，共20分) 9.(2021·武汉高一检测)已知tan 2α1+2tanα=13，α∈(π2,π). (1)求tan α的值. (2)求sinα+2cosα5cosα−sinα的值.【解析】(1)由tan 2α1+2tanα=13，得3tan 2α-2tan α-1=0，即(3tan α+1)(tan α-1)=0，解得tan α=-13或tan α=1.由于α∈(π2,π)，所以tan α<0，所以tan α=-13.(2)由(1)，得tan α=-13，所以sinα+2cosα5cosα−sinα=tanα+25−tanα=−13+25−(−13)=516.【延长探究】本例条件下，计算sin 2α+sin αcos α的值.【解析】sin 2α+sin αcos α=sin 2α+sinαcosαsin 2α+cos 2α=tan 2α+tanαtan 2α+1=(−13)2+(−13)(−13)2+1=-15.10.求证：3-2cos 2α=3tan 2α+1tan 2α+1.【证明】右边=3(tan 2α+1)−2tan 2α+1=3-2tan 2α+1=3-2sin 2αcos 2α+1=3-2cos 2αsin 2α+cos 2α=3-2cos 2α=左边，所以原式得证. 【一题多解】左边=3(sin 2α+cos 2α)−2cos 2αsin 2α+cos 2α=3sin 2α+cos 2αsin 2α+cos 2α=3tan 2α+1tan 2α+1=右边，所以原式得证.(20分钟 40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.化简sin 2α+cos 4α+sin 2αcos 2α的结果是( ) A.14B.12C.1D.32【解析】选C.原式=sin 2α+cos 2α(cos 2α+sin 2α)=sin 2α+cos 2α=1.【补偿训练】若sin α+sin 2α=1，则cos 2α+cos 4α等于________.【解析】由于sin α+sin 2α=1，sin 2α+cos 2α=1，所以sin α=cos 2α，所以cos 2α+cos 4α=sin α+sin 2α=1. 答案：12.(2021·宣城高一检测)已知sin θ=2cos θ，则sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ等于( )A.-43B.54C.-34D.45【解题指南】关于sin θ，cos θ的齐次式，可用1的代换、化弦为切求值. 【解析】选D.由于sin θ=2cos θ，所以tan θ=sinθcosθ=2， sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ =sin 2θ+sinθcosθ−2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tanθ−2tan 2θ+1=22+2−222+1=45.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2021·龙岩高一检测)化简：α为其次象限角，则cosα√1+tan 2α+√1+sinα1−sinα-√1−sinα1+sinα=__________.【解析】原式=cosα√1+2cos 2α+√(1+sinα)21−sin 2α-√(1−sinα)21−sin 2α=cosα·√1cos 2α+|1+sinαcosα|-|1−sinαcosα|.又由于α为其次象限角，所以cos α<0，1+sin α>0，1-sin α>0， 所以原式=1cosα·1−cosα-1+sinαcosα-(−1−sinαcosα)=-1-1+sinαcosα+1−sinαcosα=-1+−2sinαcosα=-1-2tan α.答案：-1-2tan α 【补偿训练】√1−2sin70°cos70°sin70°−√1−sin 270°=________.【解析】原式=√sin 270°+cos 270°−2sin70°cos70°sin70°−√cos 270°=√(sin70°−cos70°)2sin70°−|cos70°|=|sin70°−cos70°|sin70°−|cos70°|由于sin 70°>cos 70°>0， 所以原式=sin70°−cos70°sin70°−cos70°=1.答案：14.已知关于x 的方程4x 2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦，则实数m 的值为________. 【解析】设直角三角形中的该锐角为β， 由于方程4x 2-2(m+1)x+m=0中， Δ=4(m+1)2-4·4m=4(m-1)2≥0， 所以当m ∈R 时，方程恒有两实根. 又由于sin β+cos β=m+12，sin βcos β=m4，所以由以上两式及sin 2β+cos 2β=1， 得1+2·m4=(m+12)2，解得m=±√3.当m=√3时，sin β+cos β=√3+12>0，sin β·cos β=√34>0，满足题意， 当m=-√3时，sin β+cos β=1−√32<0，这与β是锐角冲突，舍去. 综上，m=√3. 答案：√3三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2021·盐城高一检测)已知sin α+cos α=12(0<α<π)，(1)求sin αcos α.(2)求sin α-cos α.【解析】(1)平方得1+2sin αcos α=14，所以sin αcos α=-38.(2)由(1)式知sin αcos α<0，0<α<π，所以π2<α<π，所以sin α-cos α>0，由于(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=74，所以sin α-cos α=√72.【补偿训练】在△ABC 中，sinA+cosA=15，求(1)sinA ·cosA. (2)tanA. 【解析】(1)由于sinA+cosA=15，所以(sinA+cosA)2=125，即1+2sinAcosA=125，所以sinAcosA=-1225.(2)由于sinA+cosA=15，①A ∈(0，π)，所以A ∈(π2,π)，所以sinA-cosA>0，又由于(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA =1-2×(−1225)=4925，所以sinA-cosA=75②联立①②解得，sinA=45，cosA=-35，所以tanA=sinAcosA=45−35=-43.6.已知sin θ=asin φ，tan θ=btan φ，其中θ为锐角，求证：cos θ=√a 2−1b 2−1.【证明】由sin θ=asin φ，tan θ=btan φ，得sinθtanθ=asinφbtanφ，即acos φ=bcos θ，而asin φ=sin θ，得a 2=b 2cos 2θ+sin 2θ，即a 2=b 2cos 2θ+1-cos 2θ， 得cos 2θ=a 2−1b 2−1，而θ为锐角，所以cos θ=√a 2−1b 2−1.关闭Word 文档返回原板块。

1.2.2 同角三角函数的基本关系1．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos 160° B ．±|cos 160°| C ．±cos 160° D ．－cos 160°[解析]1－sin 2160°＝cos 2160°＝|cos 160°|＝－cos 160°． [答案] D2．已知sin α－cos α＝－54，则sin α·cos α等于( )A ．74B ．－916C ．－932D ．932[解析] 因为sin α－cos α＝－54，平方可得1－2sin αcos α＝2516，所以2sin αcos α＝－916，即sin αcos α＝－932．[答案] C3．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A ．－43B ．54C ．－34D ．45[解析] sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45．[答案] D4．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝________． [解析] 由tan A ＝23>0且角A 是△ABC 的内角可得0<A <π2，又⎩⎪⎨⎪⎧sin 2A ＋cos 2A ＝1，sin A cos A ＝23，解得sin A ＝2211． [答案]22115．已知A 为锐角，lg(1＋cos A )＝m ，lg11－cos A＝n ，则lg sin A 的值为________．[解析] 由lg(1＋cos A )＝m ，得1＋cos A ＝10m ， 由lg 11－cos A ＝n ，得1－cos A ＝10－n ，故(1＋cos A )(1－cos A )＝10m －n ， 即1－cos 2A ＝10m －n ，即sin 2A ＝10m －n ， sin A ＝1012(m －n )，所以lg sin A ＝12(m －n )．[答案] 12(m －n )6．已知tan α＝2，求下列代数式的值：(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α．解 (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611．(2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1 ＝14×4＋13×2＋125＝1330． 7．求证：2sin x cos x －1cos 2x －sin 2x ＝tan x －1tan x ＋1．证明 方法一 ∵左边＝2sin x cos x －(sin 2x ＋cos 2x )cos 2x －sin 2x＝－(sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x )cos 2x －sin 2x ＝(sin x －cos x )2sin 2x －cos 2x＝(sin x －cos x )2(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )＝sin x －cos x sin x ＋cos x ＝tan x －1tan x ＋1＝右边． ∴原等式成立．方法二 ∵右边＝sin xcos x－1sin x cos x ＋1＝sin x －cos x sin x ＋cos x ；左边＝1－2sin x cos x sin 2x －cos 2x ＝(sin x －cos x )2sin 2x －cos 2x＝(sin x －cos x )2(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x )＝sin x －cos xsin x ＋cos x．∴左边＝右边，原等式成立．能力提升8．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos x sin x －1的值是( )A ．12B ．－12C ．2D ．－2[解析] 因1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1，故cos x sin x －1＝12．[答案] A9．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是( ) A ．14B ．12C ．1D ．32[解析] 原式＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝sin 2α＋cos 2α＝1． [答案] C10．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则tan θ＝________．[解析] 由sin 2θ＋cos 2θ＝(m －3m ＋5)2＋(4－2mm ＋5)2＝1，解得m ＝0或m ＝8． 当m ＝0时，sin θ＝－35，cos θ＝45，故tan θ＝－34；当m ＝8时，sin θ＝513，cos θ＝－1213，故tan θ＝－512．[答案] －34或－51211．已知关于x 的方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正弦、余弦，则实数m 的值为________．[解析] 由题意知Δ＝4(m ＋1)2－16m ≥0， 解得m ∈R ．不妨设sin A ＝x 1，cos A ＝x 2， 则x 1＋x 2＝12(m ＋1)，x 1·x 2＝14m ，即sin A ＋cos A ＝12(m ＋1)，sin A cos A ＝14m ，所以1＋2×14m ＝14(m ＋1)2，解得m ＝3或m ＝－3． 当m ＝－3时，sin A cos A ＝－34<0，不合题意，舍去，故m ＝3． [答案]312．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根．求： (1)sin 3θ＋cos 3θ； (2)tan θ＋1tan θ．解 根据题意，方程判别式Δ≥0， 即(－a )2－4a ≥0，所以a ≤0或a ≥4，且⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a .因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 即a 2－2a －1＝0，所以a ＝1－2(1＋2舍去)．所以sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－2．(1)sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2．(2)因为tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝11－2＝－2－1．13．(选做题)化简下列各式： (1)1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°； (2)1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α． 解 (1)原式＝(cos 10°－sin 10°)2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1．(2)方法一 原式＝(cos 2α＋sin 2α)2－cos 4α－sin 4α(cos 2α＋sin 2α)3－cos 6α－sin 6α＝2cos 2α·sin 2α3cos 2α·sin 2α(cos 2α＋sin 2α)＝23． 方法二 原式＝1－(cos 4α＋sin 4α)1－(cos 6α＋sin 6α)＝1－[(cos 2α＋sin 2α)2－2sin 2αcos 2α]1－(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α)＝1－1＋2cos 2αsin 2α1－[(cos 2α＋sin 2α)2－3cos 2αsin 2α]＝2cos 2αsin 2α3cos 2αsin 2α＝23． 方法三 原式＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α－sin 2α)sin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23．。

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1．2.2 同角三角函数的基本关系预习课本P18～20,思考并完成以下问题（1）同角三角函数的基本关系式有哪两种?（2）已知sin α，cos α和tan α其中的一个值，如何求其余两个值？[新知初探]同角三角函数的基本关系式（1)平方关系:sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tan_α＝错误!错误!。

这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切错误!.［点睛] 同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义:一是“角相同"，二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关,如sin23α＋cos23α＝1。

[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）对任意角α,sin2α3＋cos2错误!＝1都成立．( )（2)对任意角α，sin 2αcos 2α＝tan 2α都成立．（）（3)若cos α＝0,则sin α＝1.（)答案：(1）√（2)×(3)×2．已知α∈错误!，sin α＝错误!,则cos α＝( ）A．错误! B．－错误!C．－错误!D．错误!答案：A3．已知cos α＝错误!,且α是第四象限角,则sin α＝（）A．±错误!B．±错误!C．－错误!D．－错误!答案:C4．已知sin α＝错误!，α∈错误!，则tan α＝________。