高中数学培优练习之导数及其应用.板块三.导数的应用2-极值.学生版

2020年高二下数学：导数的应用知识点总结1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．知识拓展1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．题组二 教材改编2．[P32A 组T4]如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在区间(1,3)上f (x )是减函数C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数D ．当x ＝2时，f (x )取到极小值3．[P28例4]设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点4．[P24例2]函数f (x )＝x 3－6x 2的单调递减区间为__________．5．[P30例5]函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是__________．题组三 易错自纠6．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )()A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点。

高中二年级导数的应用和极值问题导数是数学中的一个重要概念，它在高中数学中具有广泛的应用。

本文将介绍导数在实际问题中的应用以及与导数相关的极值问题。

一、导数在实际问题中的应用导数的应用广泛存在于各个领域中，包括物理、经济、工程等等。

下面将以实例来说明导数的应用。

例一：速度和加速度考虑一个质点的运动，假设其位移关于时间的函数为s(t)。

根据导数的定义，我们可以得到速度v(t)为s(t)的导数，即v(t) = s'(t)。

同样地，加速度a(t)为速度v(t)的导数，即a(t) = v'(t)。

这样，我们就可以通过导数计算出速度和加速度的变化情况。

例二：曲线的切线和法线导数还可以用来求曲线上某点的切线和法线。

切线的斜率等于导数的值，而法线的斜率等于导数的相反数的倒数。

通过求导数，我们可以得到曲线在某点的切线和法线的方程，进而研究曲线的性质和变化。

二、导数的极值问题导数的一个重要应用是求解极值问题。

极值问题主要分为最大值和最小值问题，下面将分别介绍这两种问题的求解方法。

1. 最大值问题最大值问题是求函数在某个区间上的最大值点。

首先，我们要找到函数的驻点，即导数等于零或不存在的点。

然后，我们计算这些驻点的函数值，并将最大的函数值作为最大值点。

2. 最小值问题最小值问题是求函数在某个区间上的最小值点。

同样地，我们要找到函数的驻点，并计算这些驻点的函数值。

将其中最小的函数值作为最小值点。

三、导数应用和极值问题的综合例题考虑一个边长为x的正方形，求解该正方形的边长使其面积最大。

解：设正方形的边长为x，则正方形的面积为A(x) = x²。

我们需要求解A(x)在定义域上的最大值。

首先，我们计算A(x)的导数。

根据导数的定义，有A'(x) = 2x。

然后，我们找出A'(x)的驻点。

令A'(x) = 2x = 0，解得x = 0。

接着，我们计算驻点的函数值。

代入x = 0到A(x)中，得到A(0) =0² = 0。

第二章导数及其应用§3导数的计算课后篇巩固提升必备知识基础练1.若f'(x0)=-2,则limk→0f(x0-12k)-f(x0)k等于()B.-1C.2D.1,lim k→0f(x0-12k)-f(x0)k=-12limk→0f(x0-12k)-f(x0)-12k=-12f'(x0)=1,故选D.2.下列各式中正确的个数是()①(x7)'=7x6;②(x-1)'=x-2;③1√x '=-12x-32;④(√x25)'=25x-35;⑤(cos x)'=-sin x;⑥(cos 2)'=-sin 2.B.4C.5D.6(x-1)'=-x-2,⑥(cos2)'=0,∴②⑥不正确.故选B.3.若函数f(x)=cos x,则f'π4+fπ4的值为()B.-1C.1D.2 解析f'(x)=-sin x,所以f'π4+fπ4=-sinπ4+cosπ4=0.4.已知f(x)=x a,若f'(1)=4,则a的值等于()B.-4C.5D.-5f'(x)=ax a-1,f'(1)=a(1)a-1=4,∴a=4.y=f(x)=2x2+4x在x=3处的导数为.(3)=limΔx→0Δy Δx=lim Δx→02(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3)Δx=16.,其位移s与时间t的关系是s=3t-t2,则物体的初速度是.初=s'(0)=limΔt→0s(0+Δt)-s(0)Δt=limΔt→0(3-Δt)=3.7.已知f (x )=1x,g (x )=mx ,且g'(2)=1f '(2),则m=.4,f'(x )=-1x 2,g'(x )=m.∵g'(2)=1f '(2),∴m=-4.8.设直线y=12x+b 是曲线y 1=ln x (x>0)的一条切线,则实数b 的值为.-1y 1'=(ln x )'=1x ,设切点为(x 0,y 0),由题意,得1x 0=12,所以x 0=2,y 0=ln2,代入直线方程y=12x+b ,得b=ln2-1.9.利用导数的定义求函数y=f (x )=x-2x的导数.解由导数定义,得Δy=f (x+Δx )-f (x )=(x+Δx )-2x+Δx-x-2x,∴ΔyΔx =1+2x (x+Δx ),当Δx 趋于0时,得到导数f'(x )=1+2x 2.10.用求导数的公式求下列函数的导数.(1)y=x 8;(2)y=4x ;(3)y=log 3x ;(4)y=sin x+π2;(5)y=e 2. 解(1)y'=(x 8)'=8x 8-1=8x 7.(2)y'=(4x )'=4x ln4.(3)y'=(log 3x )'=1xln3.(4)y'=sin x+π2'=(cos x )'=-sin x.(5)y'=(e 2)'=0.关键能力提升练11.已知函数f (x )在x 0处的导数为f'(x 0),则lim Δx →0f (x 0)-f (x 0-mΔx )Δx等于()A.mf'(x 0) B .-mf'(x 0) C .-1m f'(x 0) D .1m f'(x 0),limΔx →0f (x 0)-f (x 0-mΔx )Δx=m limΔx →0f (x 0)-f (x 0-mΔx )mΔx=mf'(x 0).12.已知曲线f(x)=x3在点(2,8)处的切线方程为y=kx+b,则k-b等于()B.-4C.28D.-28点(2,8)在切线上,∴2k+b=8,①又f'(x)=3x2,f'(2)=3×22=12=k,②由①②可得k=12,b=-16,∴k-b=28.13.设正弦曲线y=sin x上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角α的取值X围是()A.0,π4∪3π4,π B.[0,π)C.π4,3π4D.0,π4∪π2,3π4答案A解析∵(sin x)'=cos x,∴k l=cos x,∴-1≤k l≤1,∴α∈0,π4∪3π4,π.14.(多选题)以下运算正确的是()A.1x '=1x2B.(cos x)'=-sin xC.(2x)'=2x ln 2D.(tan x)'=1cos2x解析1x '=-1x2,所以A不正确;因为(cos x)'=-sin x,故B正确;因为(2x)'=2x ln2,所以C正确;因为(tan x)'=1cos2x,所以D正确.15.(多选题)已知曲线y=x3在点P处的切线斜率为k,则当k=3时的P点坐标为()A.(-1,1)B.(-1,-1)D.(1,-1),y'=3x2,因为k=3,所以3x2=3,所以x=±1,则P点坐标为(-1,-1)或(1,1).16.设函数f(x)在x=x0处可导,当h趋于0时,对于f(x0+ℎ)-f(x0)ℎ的值,以下说法正确的是.(填序号)①与x0,h都有关;②仅与x0有关而与h无关;③仅与h有关而与x0无关;④与x0,h均无关.(x)=sin x,f1(x)=f'0(x),f2(x)=f'1(x),…,f n+1(x)=f'n(x),n∈N,则f2 020(x)=.x,f1(x)=cos x,f2(x)=-sin x,f3(x)=-cos x,f4(x)=sin x,f5(x)=cos x,…,依次类推可得,函数呈周期变化,且周期为4,则f2020(x)=f4(x)=sin x.18.函数y=x 2(x>0)的图象在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k+1,其中k ∈N +,若则a 1+a 3+a 5的值是.y'=2x ,∴y=x 2(x>0)的图象在点(a k ,a k 2)处的切线方程为y-a k 2=2a k (x-a k ).又该切线与x 轴的交点坐标为(a k+1,0),∴a k+1=12a k ,即数列{a k }是首项为a 1=16,公比为q=12的等比数列,∴a 3=4,a 5=1,∴a 1+a 3+a 5=21.19.已知P 为曲线y=ln x 上的一动点,Q 为直线y=x+1上的一动点,则当点P 的坐标为时,PQ 最小,此时最小值为.√2 ,当直线l 与曲线y=ln x 相切且与直线y=x+1平行时,切点到直线y=x+1的距离即为PQ 的最小值.易知(ln x )'=1x ,令1x =1,得x=1,故此时点P 的坐标为(1,0),所以PQ 的最小值为√2=√2.f (x )=x 2,g (x )=x 3,求适合f'(x 0)+2=g'(x 0)的x 0的值.(x 0)=2x 0,g'(x 0)=3x 02.因为f'(x 0)+2=g'(x 0),所以2x 0+2=3x 02,即3x 02-2x 0-2=0,解得x 0=1-√73或x 0=1+√73.学科素养创新练21.设曲线y=x n+1(n ∈N +)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,令a n =lg x n ,求a 1+a 2+…+a 99的值.解由题得y'=(n+1)x n ,故在点(1,1)处的切线斜率k=n+1,所以切线方程为y=(n+1)x-n (n ∈N +),可求得切线与x 轴的交点为nn+1,0,则a n =lg nn+1=lg n-lg(n+1),n ∈N +,所以a 1+a 2+…+a 99=(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+…+(lg99-lg100)=lg1-lg100=-2.。

城东蜊市阳光实验学校江夏一中高三数学导数的应用培优辅导材料二一、教学内容导数的应用 二、学习指导本讲主要集中讲授判断证明函数的单调性，函数的极值和最值。

根据函数单调性的定义，函数在其定义域内某从a 到b(a ＜b)的区间内单调递增，即是对该区间内任意的x1＜x2(不妨记△x=x2－x1＞0).恒有y1＜y2〔记△y=y2－y1＞0〕.于是A 〔x1，y1〕，B 〔x2，y2〕两点间连线斜率k =2121x x y y --＞0.从而x lim→∆2121x x )x (f )x (f --=0x lim →∆x)x (f )x x (f 11∆∆-+=)x (f 1'＞0.由x1的任意性，知〔a ，b 〕内的导函数)x (f '值均正；反之，假设f(x)在该区间单调递减，即是对该区间内任意的x1＜x2(不妨仍记△x=x2－x1＞0).恒有y1＞y2.(记△y=y2－y1＜0).那么A 、B 连线斜率k=2121x x y y --＜0，从而x lim→∆2121x x )x (f )x (f --=0x lim →∆x)x (f )x x (f 11∆∆-+=)x (f 1'＜0.所以，导函数值为正的区间原函数必是单调递增的，导函数值为负的区间，原函数必是单调递减的。

而导函数值为O 的点xo 有可能〔但不一定就是〕是原函数增、减区间的接合点，也就是说，f(xo)有可能〔但不一定就是〕f(x)的一个极大〔小〕值.但到底是不是极值点，还须看导函数)x (f '在xo 的左、右是否异号，如在xo 左边)x (f '＞0，而在xo 右边)x (f '＜0，那么f(xo)为原函数的一个极大值；如在xo 左边)x (f '＜0，而在xo 右边)x (f '＞0，那么f(xo)是原函数的一个极小值；如在xo 左右)x (f '符号一样，那么f(xo)不是原函数的极值.我们原先用定义证明函数在某区间单调，过程相当繁杂〔对较复杂的函数更是如此〕.而判断单调区间的界限，那么无明章可循，如今我们可以使用导数这个利器，过程就显得简单明了多了，今后再遇到类似问题，尽可以使用它。

第16讲导数的应用——导数与函数的极值、最值思维导图知识梳理1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b 附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．题型归纳题型1 利用导数解决函数的极值问题——根据函数图象判断函数极值【例1-1】（2020春•宜宾期末）如图是函数()y f x=的图象，则函数()=的极大值点y f xy f x'=的导函数()的个数为()A ．3B ．2C ．1D ．0【例1-2】（2019秋•未央区校级期末）函数()y f x '=的图象如图所示，则关于函数()y f x =的说法正确的是( )A ．函数()y f x =有3个极值点B ．函数()y f x =在区间(,4)-∞-上是增加的C ．函数()y f x =在区间(2,)-+∞上是增加的D ．当0x =时，函数()y f x =取得极大值【跟踪训练1-1】（2019秋•临渭区期末）已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则关于()f x 的结论正确的是( )A ．在区间(2,2)-上为减函数B ．在2x =-处取得极小值C ．在区间(,2)-∞-，(2,)+∞上为增函数D ．在0x =处取得极大值【跟踪训练1-2】（2019秋•咸阳期末）已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图，则下列叙述正确的是( )A ．函数()f x 在(,4)-∞-上单调递减B ．函数()f x 在1x =-处取得极大值C ．函数()f x 在4x =-处取得极值D ．函数()f x 只有一个极值点【名师指导】由图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点：(1)由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数 y ＝f (x )的可能极值点；(2)由导函数y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的值的正负，从而可得函数y ＝f (x )的单调性．两者结合可得极值点．题型2 利用导数解决函数的极值问题——已知函数求极值或极值点【例2-1】（2020春•顺义区期末）已知函数31()43f x x x =-，则()f x 的极大值点为( ) A ．4x =- B ．4x = C ．2x =- D ．2x =【例2-2】（2020春•海淀区校级期末）函数sin cos y x x x =+的一个极小值点为( )A ．2x π=- B ．2x π= C ．x π= D ．32x π= 【跟踪训练2-1】（2020春•乐山期中）函数3()3f x x x =-的极小值是( )A ．4B ．2C ．4-D ．2-【跟踪训练2-2】（2020春•龙岩期末）函数31()443f x x x =-+的极大值为 ． 【名师指导】求函数的极值或极值点的步骤(1)求导数f ′(x )，不要忘记函数f (x )的定义域；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查在方程的根的左右两侧f ′(x )的符号，确定极值点或函数的极值．题型3 利用导数解决函数的极值问题——已知函数的极值点或极值求参数的值或范围【例3-1】（2020春•赤峰期末）若函数()x f x ae x =-存在极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,)+∞B ．[0，)+∞C ．(,0)-∞D ．(-∞，0]【例3-2】（2020春•荆州期末）若当0x >时，函数2()2x f x e mx =-+有两个极值点，则实数m 的取值范围是( )A ．(2e ，)+∞B ．(0,)2eC ．(0,2)eD ．(2,)e +∞【跟踪训练3-1】（2020春•潍坊期末）已知x m =时，函数3()12f x x x =-取得极大值，则(m = )A ．4-B ．2-C ．4D ．2【跟踪训练3-2】（2020春•南阳期末）已知函数()()f x x lnx ax =-有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是 ．【跟踪训练3-3】（2020•临川区校级一模）已知函数()(x f x xlnx me e =+为自然对数的底数）有两个极值点，则实数m 的取值范围是 ．【名师指导】已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．题型4 利用导数求函数的最值【例4-1】（2020春•克什克腾旗校级月考）（文科普班）已知()1x f x e ax =--，若1a =，求函数()f x 的最小值．【例4-2】（2020春•徐州期中）已知函数()x f x x e =．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在[2-，1]上的最大值和最小值．【跟踪训练4-1】（2020春•十堰期末）函数31()43f x x x a =-+在[0，3]上的最大值为2，则a 的值为( )A ．103-B ．2C ．5D ．223【跟踪训练4-2】（2020春•内江期末）函数()cos f x x x =+在[0，]π上的( )A ．最小值为0，最大值为2π B ．最小值为0，最大值为12π+ C ．最小值为1，最大值为2π D ．最小值为1，最大值为1π-【跟踪训练4-3】（2020春•沭阳县期中）已知函数32()f x x ax =-，a R ∈且f '（1）3=．（1）求a 的值；（2）求函数()f x 在区间[0，3]上的最大值．【名师指导】导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f (x )的导数f ′(x )；(2)求f (x )在给定区间上的单调性和极值；(3)求f (x )在给定区间上的端点值；(4)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值；(5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．题型5 利用导数求解函数极值和最值的综合问题【例5-1】（2020春•朝阳区期末）已知函数322()2f x x ax a x a =-++，a R ∈ （Ⅰ）若0a =，求证：当[1x ∈，)+∞时，()f x x 恒成立；（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在区间[0，2]上的最大值和最小值；（Ⅰ）若函数()f x 存在极大值和极小值，且极大值和极小值的差不超过4，求a 的取值范围．【跟踪训练5-1】（2020春•贵池区校级期中）已知32()1f x x ax=++，a R∈．（1）若()f x在23x=处取极值，求()f x在点(,1)a-处切线方程；（2）若函数()f x在区间[0，1]最小值为1-，求a．【名师指导】解决函数极值、最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论．(3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．。

函数的极值与导数一、要点精讲1、函数极值的定义设函数()x f 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有点，都有()()0x f x f <（或()()0x f x f >），则称()0x f 是函数()x f 的一个极大（小）值，记作()0x f y =极大值（或()0x f y =极小值）．极大值与极小值统称为极值．2、判别()0x f 是极值的方法一般地，当函数()x f 在点0x 处连续时，⑴ 如果在0x 附近的左侧()0>'x f ，右侧()0<'x f ，那么()0x f 是． ⑵ 如果在0x 附近的左侧()0>'x f ，右侧()0<'x f ，那么()0x f 是． 3、求可导函数()x f 极值的步骤：⑴ 确定函数()x f 的定义域；⑵ 求导数()x f '；⑶求方程()0='x f 的根.；⑷检验()x f '在方程()0='x f 的根的左右的符号，如果左正右负，那么函数()x f y =在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数()x f y =在这个根处取得极小值. 说明：1．曲线在极值点处切线的斜率为0，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值 点左侧切线的斜率为负，右侧为正，据此得到可导函数极值的概念．对此概念的几点说明如下：(1)函数()f x 在点0x 及其附近有定义，是指在点0x 及其左右邻域都有意义． (2)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻域而言的．(3)极值总是函数()f x 定义域的某个开区间内的点，因而端点绝不是函数的极值点．(4)连续函数()f x 在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有．函数的极大值与极小值没有必 然的大小关系，函数的一个极小值也不一定比极大值小． 3．极值点与导数为0的点的关系： (1)导数为0的点不一定是极值点．如函数()3f x x =在0x =处的导数是0，但它不是极值点．对于可导函数，极值点的导数必为0. 因此对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要而不充分条件．(2)函数的导数不存在的点也可能是极值点．如函数()f x x =，在0x =处，左侧(0x <时)()10f x '=-<，右侧(0x >时)()10f x '=>， 当0x =时()0f x =是()f x 的极小值点，但()0f '不存在． 二、自主练习1．下列结论中，正确的是( ) A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值C ．如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极小值D ．如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极大值2．函数313y x x =+-有( )A ．极小值－2，极大值2B ．极小值－2，极大值3C ．极小值－1，极大值1D ．极小值－1，极大值33.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点A1个B2个C3个D4个4．若函数()y f x =是定义在R 上的可导函数，则()0=0f x '是x 0为函数()y f x =的极值点的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解：如y ＝x 3，y ′＝3x 2，y ′|x ＝0＝0，但x ＝0不是函数y ＝x 3的极值点． 5．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝________. 解：∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，又f (x )在x ＝－3时取得极值，∴f ′(－3)＝30－6a ＝0，则a ＝5. 6、（2016四川） 已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a = （ ） (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2解：()()()2312322f x x x x '=-=+-，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 极小值为()2f ，由已知得2a =，故选D. 三、典例精析考点一：判断函数极值存在性1、判断函数3y x =在0x =处能否取得极值．解法1：当x ＝0时，f(x)＝0，在x ＝0的附近区域内，f(x)有正有负，不存在f(0)>f(x)(或f(0)<f(x))， 因此y ＝x 3在x ＝0处取不到极值．解法2：y ′＝3x 2，当x ≠0时，y ′>0，当y ＝0时，f(x)＝0，因此y ＝x 3在(－∞，＋∞)上是增函数，因为单调函数没有极值，所以y ＝x 3在x ＝0处取不到极值． 2、判断函数()0y ax b a =->在其定义域内是否存在极值． 解：设()y f x =，则在b xa =附近有()b f x f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以由极值的定义知，()f x 在bx a=处取得极小值0b f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭3.（2012重庆）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为,()f x ，且函数)(')1(x f x y -=的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -（D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f 解：由图象可知当2-<x 时，0)(')1(>-=x f x y ，所以此时0)('>x f ，函数递增.当12<<-x 时，0)(')1(<-=x f x y ，所以此时0)('<x f ，函数递减.当21<<x 时，0)(')1(>-=x f x y ，所以此时0)('<x f ，函数递减.当2>x 时，(1)'()0y x f x =-<，所以此时0)('>x f ，函数递增.所以函数)(x f有极大值)2(-f ，极小值)2(f ,选D.4.（2014新课标2，文3）函数()f x 在0x=x 处导数存在，若p ：f ‘（x 0）=0；q ：x=x 0是()f x 的极值点， 则（A ）p 是q 的充分必要条件（B ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （C ）p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 (D) p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 解：.,.∴0)(,;,0)(0000C q p x f x q p x x f 选所以的必要条件是命题则是极值点若的充分条件不是命题不一定是极值点则若=′∴=′5、（2013新课标2，理10，文11）已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） （A ）0x R ∃∈，0()0f x =（B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 （D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x =【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确。

题型三：函数的极值 【例1】 设函数32()1f x x ax bx =++-，若当1x =时，有极值为1，则函数32()g x x ax bx =++的单调递减区间为 ．【例2】 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【例3】 设a ∈R ，若函数x y e ax x =+∈R ，有大于零的极值点，则（ ） A ．1a <- B ．10a -<< C ．10a e -<< D ．ea 1-<【例4】 函数2()(1)f x x x =-的极大值与极小值分别是___________．【例5】 函数31()443f x x x =-+的极大值是 ；极小值是 ．【例6】 函数3()4f x ax bx =++在12x =-有极大值283，在22x =有极小值是43-，则a = ；b = ．【例7】 曲线3223y x x =-共有____个极值．【例8】 求函数43()4f x x x =-的单调区间与极值点．【例9】 函数31()43f x x ax =++有极大值又有极小值，则a 的取值范围是 ． 【例10】 函数3()3(0)f x x ax b a =-+>的极大值为6，极小值为2，则()f x 的单调递减区间是 ．【例11】 若函数[]32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值又有极小值，则a 的取值范围是______．典例分析板块三.导数的应用【例12】 若函数322y x x mx =-+，当13x =时，函数取得极大值，则m 的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．23【例13】 若函数3()63f x x bx b =-+在(01)，内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ）A ．(01)，B ．(1)-∞，C ．(0)+∞，D ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，【例14】 有下列命题：①0x =是函数3y x =的极值点；②三次函数32()f x ax bx cx d =+++有极值点的充要条件是230b ac ->； ③奇函数32()(1)48(2)f x mx m x m x n =+-+-+在区间(4,4)-上是单调减函数． 其中假命题的序号是 ．【例15】 已知函数32()f x x px qx =++的图象与x 轴切于非原点的一点，且()4f x =-极小，那么p = ，q = ．【例16】 求函数3()3f x x x =-的单调区间与极值．【例17】 求函数32()32f x x x =-+的单调区间与极值．【例18】 求函数42()23f x x x =-+的单调区间与极值．【例19】 用导数法求函数()(0)b f x x b x=+>的单调区间与极值．【例20】 已知函数32()393f x x x x =-++-，⑴求()f x 的单调递减区间与极小值；⑵求()f x 过点(18)，的切线方程．【例21】 求函数22()(0100)1a b f x x a b x x=+<<>>-，，的单调区间与极小值．【例22】 已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． ⑴当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； ⑵当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．【例23】 已知函数()()2223x f x x ax a a e =+-+（x ∈R ），其中a ∈R ．⑴当0a =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线的斜率； ⑵当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．【例24】 设函数32()23(1)1f x x a x =--+，其中1a ≥． ⑴求()f x 的单调区间；⑵讨论()f x 的极值．【例25】 设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠．⑴ 若曲线()y f x =在点()()22f ，处与直线8y =相切，求a b ，的值； ⑵ 求函数()f x 的单调区间与极值点．【例26】 已知函数32()31(0)f x kx x k =-+≥．⑴求函数()f x 的单调区间；⑵若函数()f x 的极小值大于0，求k 的取值范围．【例27】 已知函数()6ln (0)f x x x =>和2()8g x ax x =+（a 为常数）的图象在3x =处有平行切线．⑴求a 的值；⑵求函数()()()F x f x g x =-的极大值和极小值．【例28】 已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点(10)，，(20)，，如图所示，求⑴0x 的值；⑵a b c ，，的值．【例29】 已知函数3221()23(0)3f x x ax a x b a =-++>， ⑴当()y f x =的极小值为1时，求b 的值；⑵若()f x 在区间[12]，上是减函数，求a 的范围．【例30】 设函数32y x ax bx c =+++的图象如图所示，且与0y =在原点相切，若函数的极小值为4-，⑴求a b c ，，的值；⑵求函数的递减区间．【例31】 已知函数32()c f x x bx x d =+++的图象过点(02)P ，，且在点(1(1))M f --，处的切线方程为670x y -+=．⑴求函数()y f x =的解析式．⑵求()f x 的单调递减区间与极小值．【例32】 设1x =和2x =是函数53()1f x x ax bx =+++的两个极值点．⑴求a b 、的值；⑵求()f x 的单调区间．【例33】 已知2a <，函数2()()e x f x x ax a =++．⑴当1a =时，求()f x 的单调递增区间；⑵若()f x 的极大值是26e -⋅，求a 的值．【例34】 设函数322()31(,)f x ax bx a x a b =+-+∈R 在1x x =，2x x =处取得极值，且122x x -=．⑴若1a =，求b 的值，并求()f x 的单调区间；⑵若0a >，求b 的取值范围．【例35】 已知函数2()ax f x x b=+，在1x =处取得极值2． ⑴求函数()f x 的解析式；⑵若函数()f x 在区间(21)m m +，上为增函数，求实数m 的取值范围；⑶若00()P x y ，为2()ax f x x b =+图象上的任意一点，直线l 与2()ax f x x b=+的图象相切于点P ， 求直线l 的斜率的取值范围．【例36】 已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-．⑴ 求函数()f x 的解析式；⑵ 设函数1()()3g x f x mx =+，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值．【例37】 设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠．⑴求证：当0ab >时，函数()f x 没有极值点； ⑵当12a b ==-，时，求()f x 的极值．⑶求证：当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值．【例38】 设函数2()ln()f x x a x =++，⑴若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； ⑵证明：当a 时，()f x 没有极值．⑶若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2．【例39】 已知函数321()33f x ax bx x =+++，其中0a ≠． ⑴当a ，b 满足什么条件时，()f x 取得极值? ⑵已知0a >，且()f x 在区间(01]，上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围．【例40】 已知函数32()f x x bx cx =++的导函数的图象关于直线2x =对称．⑴ 求b 的值；⑵ 若()f x 在x t =处取得极小值，记此极小值为()g t ，求()g t 的定义域和值域．【例41】 已知函数()f x 在R 上有定义，对任何实数0a >和任何实数x ，都有()()f ax af x =⑴证明()00f =；⑵证明()f x =00kx x hx x ⎧⎨<⎩，≥，，其中k 和h 均为常数； ⑶当⑵中的0k >时，设()()()1(0)g x f x x f x =+>，讨论()g x 在()0+∞，内的单调性并求极值．【例42】 已知函数()2()2e ,(,)x f x x ax x a =++∈R ． ⑴ 当0a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1A f 处的切线方程； ⑵ 若()f x 在R 上单调，求a 的取值范围；⑶ 当52a =-时，求函数()f x 的极小值．【例43】 已知函数2()(2)e ax f x ax x =-，其中a 为常数，且0a ≥．⑴若1a =，求函数()f x 的极值点；⑵若函数()f x 在区间2)上单调递减，求实数a 的取值范围．【例44】 设函数1()(2)ln()2f x a x ax x=--++（a ∈R ）． ⑴当0a =时，求()f x 的极值； ⑵当0a ≠时，求()f x 的单调区间．【例45】 已知函数()(1)e x f x ax =-，a ∈R ，⑴当1a =时，求函数()f x 的极值； ⑵若函数()f x 在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a 的取值范围．【例46】 已知函数()()1ln 1x f x x x a-=+++，其中实数1a ≠． ⑴若2a =-，求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； ⑵若()f x 在1x =处取得极值，试讨论()f x 的单调性．【例47】 设()323()1312f x x a x ax =-+++． ⑴若函数()f x 在区间()1,4内单调递减，求a 的取值范围； ⑵若函数()f x 在x a =处取得极小值是1，求a 的值，并说明在区间()1,4内函数()f x 的单调性．【例48】 已知函数2()1f x x =-与函数()ln (0)g x a x a =≠．⑴若()f x ，()g x 的图象在点()1,0处有公共的切线，求实数a 的值； ⑵设()()2()F x f x g x =-，求函数()F x 的极值．。

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第三章导数及其应用第2讲导数的应用第2课时利用导数研究函数的极值、最值练习理新人教A版基础巩固题组（建议用时：40分钟)一、选择题1.（2016·四川卷)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝（）A.－4B.－2 C。

4 D.2解析f′（x)＝3x2－12，∴x<－2时，f′（x）〉0，－2〈x<2时，f′(x）〈0，x>2时，f′（x)>0，∴x＝2是f(x）的极小值点.答案D2。

函数f（x)＝错误!x2－ln x的最小值为（）A.错误!B.1C.0D.不存在解析f′(x）＝x－错误!＝错误!，且x>0.令f′(x）〉0,得x〉1；令f′(x）<0,得0〈x<1。

∴f（x）在x＝1处取得极小值也是最小值，且f(1）＝错误!－ln 1＝错误!.答案A3。

（2017·合肥模拟)已知函数f(x）＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示,则x错误!＋x错误!等于（)A.错误!B。