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《运筹学排队论》课件

《运筹学排队论》课件
资源分配
合理分配服务器资源，以提高系统的吞吐量 和响应时间。
最优服务策略问题
总结词
研究如何制定最优的服务策略，以最大化系 统的性能指标。
服务顺序策略
确定服务器的服务顺序，以最小化顾客的等 待时间和平均逗留时间。
服务中断策略
在服务器出现故障时，选择最优的服务中断 策略，以最小化对顾客的影响。
服务时间分布策略
等待队长
指在某一时刻，正在等待服务的顾客总数。
逗留时间与等待时间
逗留时间
指顾客从到达系统到离开系统所经过的时间 。包括接受服务和等待的时间。
等待时间
指顾客到达系统后到开始接受服务所经过的 时间。
忙期与空闲期
要点一
忙期
指系统连续有顾客到达并接受服务的时间段。在这个时间 段内，系统内的顾客数可能会超过系统的容量。
03
02
交通运输
分析铁路、公路、航空等交通系统 的调度和运输效率。
计算机科学
研究计算机网络、云计算、分布式 系统的性能和优化。
04
排队论的基本概念
服务器
提供服务的设施或 人员。
等待时间
顾客到达后到开始 接受服务所需的时 间。
顾客
需要接受服务的对 象。
队列
顾客按到达顺序等 待服务的排列。
服务时间
顾客接受服务所需 的时间。
《运筹学排队论》ppt课件
目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Theory）是运筹学的一个重 要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。

排队论(脱产)PPT课件

排队论(脱产)PPT课件

等待制与损失制
等待制
顾客等待时间有限，超过一定时 间仍无法接受服务则离开；或者 顾客可以无限等待，直到获得服 务。
损失制
顾客到达时若无法立即接受服务 ，则离开系统。
稳态与瞬态
稳态
排队系统在长时间后达到平衡状态，顾客到达和服务的时间间隔均服从某一概 率分布。
瞬态
排队系统未达到平衡状态，顾客到达和服务的时间间隔不服从概率分布。
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排队论(脱产)ppt课件
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目 录
• 引言 • 排队论的基本概念 • 常见的排队模型 • 排队论中的性能指标 • 排队论的应用实例 • 总结与展望
PART 04
排队论中的性能指标
队长与等待队长
队长
指在任意时刻队列中的顾客数。它通常用来衡量系统的负载状况。队长是描述系 统状态的重要参数，其分布情况决定了系统的性质。
等待队长
指在队列中等候的顾客数。等待队长是衡量系统性能的重要指标，特别是在处理 能力有限的情况下。等待队长的大小直接影响到顾客的等待时间和系统的效率。
交通系统
地铁调度
地铁调度中心需要确保列车按时到达车 站并保持适当的间隔。排队论可用于分 析列车的到达时间和等待时间，优化列 车的调度和运行计划，提高地铁系统的 运输效率和安全性。
VS
机场安检
机场安检是保证乘客安全的重要环节，但 安检队伍过长或等待时间过长会影响乘客 的满意度和机场的运行效率。排队论可用 于分析安检队伍的长度和等待时间，优化 安检流程和资源配置，提高机场的运行效 率和乘客满意度。

排队理论模型ppt课件

排队理论模型ppt课件
排队论模型
排队论是20世纪初由丹麦数学家Erlang应用数学 方法在研究电话话务理论过程中而发展起来的一门学 科，排队论也称随机服务系统理论，它涉及的是建立 一些数学模型，以对随机发生的需求提供服务的系统 预测其行为，它已应用于电讯、纺织、矿山、交通、 机器维修，可靠性，计算机设计和军事领域，都已取 得了显著的成绩。
1 n k
(9.3)
当S为可数状态集时(9.2)式变为
n01
pn1 p0
( n 1 p1
n ) pn
0
p n1 n1
0
从而可以求得概率分布列 {pn}
n1
(9.4
（五）、典型排队模型和理论结果
下面给出满足生灭过程典型排队M/M/1与M/M/C的 结果
(一)单服务台等待制M/M/1排队模型
1.M/M/1/ 顾客来到的时间间隔 服从参数 的
负指数分布，服务员为顾客服务时间 服从参数
的指数分布，且 与 相互独立，1个服务台，系
统容量为 的等待制排队模型。
可理解为:单位时间平均到达的顾客数-----平均到 达率
可理解为:单位时间平均服务完的顾客数----平均 服务率
(1)顾客输入过程 {N(t):t 0},( N(0) 0)是平均率为
3.排队系统的主要指标 研究排队问题的目的，是研究排队系统的运行效率估计
服务质量，确定系统参数最优值，以决定系统的结构是否 合理，设计改进措施等，所以必须确定用来判断系统运行 优劣的基本数量指标，这些数量指标通常是
(1)队长:是指系统中顾客(包括排队等待和正在接受服务 的)的数目，它的期望值为 Ls ；排队长度则仅指在队列中 排队等待的顾客数，其期望记为 Lq. 系统中的顾客数
煤矿 火车 煤仓

第六章排队论-PPT精选

第六章排队论-PPT精选
(1)损失制。这是指如果顾客到达排队系
统时，所有服务台都被先到的顾客占用， 那么他们就自动离开系统永不再来。
2．服务规则
(2)等待制 这是指当顾客来到系统时，所有服务台
都不空，顾客加入排队行列等待服务。等待制中，服务 台在选择顾客进行服务时常有如下四种规则： 1)先到先服务。按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务。 2)后到先服务。 3)随机服务。即当服务台空闲时，不按照排队序列而随 意指定某个顾客接受服务。 4)优先权服务。
②排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq； ③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W；
④顾客排队等待时间的期望值Wq。
第二节 M／N／1模型
模型的条件是： 1、输入过程――顾客源是无限的，顾客到
达完全是随机的，单个到来，到达过程 服从普阿松分布，且是平稳的； 2、排队规则――单队，且队长没有限制， 先到先服务； 3、服务机构――单服务台，服务时间的长 短是随机的，服从相同的指数分布 。
第六章 排 队 论
随机服务系统理论
第六章 排 队 论
排队系统描述 基本概念 M / M / 1 模型 M / M / S 模型
第一节 排队系统描述
顾客－－－要求服务的对象统称为“顾 客”
服务台－－－把提供服务的人或机构称 为“服务台”或“服务员”
各种形式的排队系统
各种形式的排队系统
(2)其他常用数量指标
Pn PNn:稳态系统任一 为n时 的刻 概状
特别n＝ 当0时（系统中0顾 ）客 ，数为 P0即稳态系统所 全有 部服 空务 闲台 的概
(2)其他常用数量指标
ρ ——服务强度，即每个服务台单位时间内的平 均服务时间，—般有ρ =λ ／(sμ )，这是衡量 排队系统繁忙程度的重要尺度，当ρ 趋近于0时， 表明对期望服务的数量来说，服务能力相对地 说是很大的。这时，等待时间一定很短，服务 台有大量的空闲时间；如服务强度ρ 趋近于1， 那么服务台空闲时间较少而顾客等待时间较多。 我们一般都假定平均服务率μ 大于平均到达率 λ ，即λ /μ <1,否则排队的人数会越来越多， 以后总是保持这个假设而不再声明。

运筹08(第10章排队论)精品PPT课件

运筹08(第10章排队论)精品PPT课件

2020/11/30
7
排队系统类型3：
服务完成后离开
服务台1
顾客到达
服务完成后离开
服务台2
服务完成后离开
服务台s
S个服务台， S个队列的排队系统
2020/11/30
8
排队系统类型4：
顾客到达
服务台1
离开
服务台s
多服务台串联排队系统
2020/11/30
9
排队系统的描述 实际中的排队系统各不相同，但概括 起来都由三个基本部分组成： 1、输入过程; 2、排队及排队规则; 3、服务机构
2020/11/30
21
➢ 定长分布（D）：每个顾客接受的服 务时间是一个确定的常数。
➢ 负指数分布（M）：每个顾客接受的
服务时间相互独立，具有相同的负指
数分布： e- t t0
f(t)=
0
t<0
其中>0为一常数。
2020/11/30
22
➢ K阶爱尔朗分布（Ek）：
f(t)=
k(kt)k-1 · e- kt
2
无形排队现象：如几个旅客同时打电话 订车票；如果有一人正在通话，其他人只 得在各自的电话机前等待，他们分散在不 同的地方，形成一个无形的队列在等待通 电话。
排队的不一定是人，也可以是物。如生 产线上的原材料，半成品等待加工；因故 障而停止运行的机器设备在等待修理；码 头上的船只等待装货或卸货；要下降的飞 机因跑道不空而在空中盘旋等。
理；出价高的顾客应优先考虑。
2020/11/30
20
❖ 3、服务机制
包括：服务员的数量及其连接方式（串联还是并联） 顾客是单个还是成批接受服务； 服务时间的分布
记某服务台的服务时间为V，其分布函数 为B(t),密度函数为b(t),则常见的分布 有：定长分布（D）

排队论(讲义)ppt课件

排队论(讲义)ppt课件

概率关系着对时间的数量分配。一个事件A的概率 P(A)是对应事件A要发生可能性 的数量分配。概率有很多不同的定义，常用的有三种：
(1)古个典数定。义：P(A)=NA/N 其中N是可能结果的总个数，NA是事件A在其中发生的结果的
例1. 求抛两个骰子并且决定和为7的概率p。
总共有36种可能的结果，所以N= 36
排队论 Queueing Theory
主讲：周在莹
；.
1
CONTENUNIT 1 排队模型
UNIT 2 排队网络模型
UNIT 3 应用之：QUICK PASS系统
结束语
；.
PREPARATION 概率论和随机过程
Part 1．概率论基础
1。 概率的定义
独立性： 如果P(AB)=P(A)P(B)，事件A和B叫做相互独立的事件 独立性的概念可以推广到三个或多个事件。
；.
3 全概率公式和贝叶斯定理 全概率公式：给定一组互斥事件E1，E2，，…，En，这些事件的并集包括所有可能的
结果，同时给任一个任意事件A，那么全概率公式可以表示为： n
P(A)=∑P(A|Ei)P(Ei) i=1
在离散型随机变量中，只有几何分布具有无后效性。这两种分布可以分别用来描 绘离散等待时间和连续等待时间。
在排队理论中，指数分布是很重要的。
；.
6 k-爱尔朗分布 概率密度: f(x)= (λkx)n-1λke-λkx /(n-1)! x≥0，λ>0.
0 x<0 数字特征： E[X]=1/λ; Var[X]=1/（kλ2 ）
；.
5 （负）指数分布
它是一种连续型的概率分布，它的概率密度为
f（x）= λe-λx x≥0
0

第5章 排队论ppt课件

第5章 排队论ppt课件

❖ 1、队长——系统中的顾客数量
m
L S Pi i i0
队长
m
m
i P0 i P0 i i 1
i0
i1
P0
m i1
d d
(
i)
P0
d d
m
(
i1
i)
P0
d d
1 m 1
(
)
1
1
P0
1
(m
1) m (1 ) 2
m
m 1
1
LS
m 2
❖ 2、排队长——系统中等待的顾客数量
i-1个细菌
一、生灭过程定义
❖ 研讨系统内部形状变化的过程 形状i+1
一个事件
系统形状i
一个事件
形状i-1
在Δt时辰内发生两个或两个以上 事件的概率为O(Δt)
Δt→0， O(Δt)→0
系统具有0,1,2,……个形状。在任何时辰，假设 系统处于形状i，并且系统形状随时间变化的过 程满足以下条件，称为一个生灭过程：
M/M/1/∞/∞排队系统
系统容量无限、顾客源无限 最根本的排队系统 排队过程为生灭过程过程
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
S0
S1
S2
…
Si-1
Si
Si+1
…
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
P0
P1
P2
Pi
列形状转移方程组求各形状概率
P1 P0
P1
P0
P0
Pi ii1Pi1Pi1iP0
Pi 1
i0
( 1 23 i )P 0 1

管理运筹学课件第11章排队论.ppt

管理运筹学课件第11章排队论.ppt

（5）服务时间的分布总假定是平稳的，S即1 分布的期望S4 值、方差
等参数不受S时1 间的影S响2 。
S2
S3
S5
(d)单队多台串联
(e)多台混合
2019/10/17
管理运筹学课件
9
11.1.3 排队系统模型的分类
肯德尔（Kendall）于1953年提出了排队服务系统的分类记号 ： 输入/输出/并联的服务站数
2019/10/17
管理运筹学课件
15
1.最简单流（泊松分布）
最简单流的一些性质：
（1）参数λ代表单位时间内到达顾客的平均数
证 由于考虑单位时间，取t=1，其数学期望为：

k 0
kPk
(1)

k 0
ke
k k!



e
k 1
k 1 (k 1)!


（2）在[t,t+Δt] 没有顾客到达的概率为1-λΔt +o(Δt)
2019/10/17
管理运筹学课件
7
11.1.2 排队系统的三个特征
2．排队规则 排队规则指到达排队系统的顾客按怎样的规则排队等待。 （1）按顾客到达排队系统时发现服务设施已被占用是否离去可分为损失制， 等待制和混合制三种。当顾客到达时，所有的服务台均被占用，顾客随即 离去，称为损失制（或称即时制、消失制）；当顾客到达时，所有的服务 台均被占用，顾客就排队等待，直到接受完服务才离去，称为等待制，例 如出故障的机器排队等待维修就是这种情况；介于损失制和等待制之间的 是混合制。 对于等待制，有下列服务规则：先到先服务（FCFS） 、先到后服务 （LCFS） 、带优先服务权（PR） 、随机服务（SIRO）等。 在后面研究的问题中均假设采取FCFS服务规则。 （2）按队列长度是否有限，可分为队长有限和队长无限两种情况。在限度 以内就排队等待，超过一定限度就离去。 （3）按排队方式分为单列、多列。对于多列排队的顾客有的可以相互转移， 有的则不能（用栏杆等隔开）；有的排队顾客因等候时间过长而离开，有 的则不能（如在高速公路行驶的汽车必须坚持到高速出口）。我们所讨论 的问题限制在队列间不能相互转移，中途不能退出的情形。

排队论(讲稿)PPT课件

排队论(讲稿)PPT课件
概况2
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概况3
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第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
(1) 队长：系统中的顾客数，期望值记作Ls； 排队长：系统中排队等待服务的顾客数，期望值记作Lq；
系统 中 在队列中正 等在 待服务 顾客 数 服务的顾 的 客顾 数客数
(2) 逗留时间：顾客在系统中的停留时间，期望值记作Ws； 等待时间：顾客在系统中排队等待的时间，期望值记作Wq， ［逗留时间］＝［等待时间］＋［服务时间］
在实际应用中，大多数系统会很快趋于稳态，而无需等到t→∞以 后。
❖ 求稳态概率Pn时，不需要求t→∞时Pn(t)的极限， 而只需令导数dPn(t)/dt=0即可。
19
清华大学出版社
第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
服务机构
修理技工 发放修配零件的管理员 医生(或包括手术台) 交换台 打字员 仓库管理员 跑道 货码头(泊位) 水闸管理员 我方高射炮
6
清华大学出版社
1.2 排队系统的组成和特征
❖ 排队系统由三个基本部分组成：
①输入过程 ②排队规则 ③服务机构

第10章 排队论 《运筹学》PPT课件全

第10章 排队论 《运筹学》PPT课件全

WL
Wq
Lq
W
1
M/M/s 混 合 制 排 队 模 型
一、 单服务台混合制模型
M/M/1/K： 顾客的相继到达时间服从参数 为λ的负指数分布(即顾客的到达过程为 Poisson流)，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为μ的负指数分布，系统的空间 为K。
单
平稳状态下队长N的分布pn=P{N=n},n=0,1,2,…。
服
由于所考虑的排队系统中最多只能容纳K个顾 客(等待位置只有K-1个)，因而有
务 台
n
0
n
n=0,1,2,...,K-1 n≥K n=1,2,...K
混 合
有
Cn
(
)n
n
n=0,1,2,...,K
0
n>K
制
故 pn n p0 n=1,2,…,K
模 型
1
其中，p0
1
1
K
n
1
K
1
1
n1
统
其分布函数为B(t)，密度函数为b(t)，则
的
常见的分布有： (1) 定长分布(D)
描
(2) 负指数分布(M)
述
(3) k阶爱尔朗分布(Ek)：
排
排队系统的符号表示
队
“Kendall记号”，其一般形式为：X/Y/Z/A/B/C，其中 XX：顾客到达时间间隔的分布
系
YY：服务时间的分布
统
Z Z：服务台个数
的
A ：系统容量 B B：顾客源数量
符
C C：服务规则
号
例 （M / M / 1 /
FCFS）表示：
表
到达间隔为负指数分布，服务时间也为负指数分 布，1个服务台，顾客源无限，系统容量也无限，
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Fluid Flow Method
流体流方法的计算复杂度与排队容量 大小无关，这是一个优良性质。在信元缓 冲区有增大趋势的今天，这是非常有利的 。它在计算中的稍微困难之处在于特征值 及特征向量的求取。同时，在大维数情况 下，稳定的数值解较难获得。
大偏差理论
大偏差理论是一种近似分析方法，可以 归结为不等式定界逼近方法一类。这种方法 往往只能求出信元丢失率的近似值，而且在 分析过程中涉及到求解超越方程。然而需要 着 重 指 出 ， 这 种 方 法 可 以 没 有 Markov 假 设 ， 对 于 业 务 长 时 相 关 性 ( long range dependence,LRD)的研究或许有特别的意义。
随着研究的深入逐渐引入了各种推广的Poisson过程和其它 较为复杂的随机模型，如，马尔科夫调制poisson过程 (MMPP：markov modulated poisson process)、马尔科夫调 制确定过程(MMDP：Markov Modulated Deterministic Process)、马尔可夫调制贝努利过程(MMBP:Markov Modulated bernoulli Process) 、批到达马尔柯夫过程、fluidflow模型、TES（Transform-Expand-Sample）模型、 packet-train 模型等等。这些模型的共同特点是所描述的业务 序列具有短时相关性（short range dependence），即业务序 列的自相关函数随序列间隔增大呈指数衰减趋势。当时间尺
Fluid Flow Method
流体流方法(Fluid Flow Method)是一种排队近似 分析法。它忽略到达过程及排队队长的离散性质，将 到达及队长变化看成连续变化，属于前面介绍的系统 逼近法。由于它计算简单、物理意义明确，在将之引 入通信领域之后很快得到广泛运用。例如，在分组语 音通信中的应用。语音通信(多On-Off复合输入)中的 拥塞控制；用于视频业务(生死链模型)的排队分析； 用它分析了On-Off数据业务输入的漏桶监管策略；用 它分析了突发业务(多On-Off复合的生死链模型)输入 的漏桶监管策略。等等
Queueing Theroy in modern Communication system
Xianhai tan
School of Information Science and technology, Southwest Jiaotong University
xhtan@
度增加时，统计上单位时间内得到的数据包数将趋于白噪声
，所以这些模型所表示的业务流在不同的时间尺度下具有不
同的特性。由于一般它们假设业务的到达模式具有马尔柯夫 特性，使得相应的队列系统及网络性能评价易于数学解析。
现代通信中排队的特点
现代通信的发展趋势之一是业务综合，要求实现多种业务 在同一个网中传输。显然排队系统的输入将是复合业务流，也 就是说输入过程将更加复杂，不再具有Poisson输入过程的无后 效性(马尔柯夫性)特点。
1993年底以来的大量研究结果表明，现代的网络业务并不 是poisson分布,而是具有自相似/长相关/分形特性。 它们不能用 马尔柯夫类模型描述。
另外，服务过程和排队策略(规则)也变得更复杂。即使是现 有的通信网络在引入新业务之后也会表现出这些特点。比如传 统 的 PSTN 网 主 要 是 针 对 普 通 电 话 业 务 设 计 的 ， 在 拨 号 入 (Internet)网业务大量出现之后，描述呼叫的排队系统发生了深 刻 的 变 化 ， Erlang 公 式 不 再 适 应 。 自 然 依 据 该 公 式 设 计 的 PSTN网出现呼损急剧增大甚至系统崩溃。
1 - t 1 - (t 1 - (t
1 - (t 1 - (t 1 - (t
t
t
0
1
2
t
t
t
n-1
n
t
t
n+1
柯夫型排队的 方法为经典的排队分析法。排队论教课书大多只介 绍这种排队分析法。
传统模型一般是基于泊松（连续时间）或贝努 利（离散时间）过程的。然而它们与现代通信技术 所要研究的排队问题有较大的差距。
Jörg Liebeherr, 2002
1
经典的排队分析法
排队理论也称为随机服务理论，是现代运筹学以及 通信网理论的重要基础之一。
早期的排队研究，主要针对一类输入为泊松过程， 服务时间为负指数分布的排队系统。在这种系统中， 由于到达和服务的无后效性特点，可用生灭过程(或称 生死过程)描述。
A Markov State transition diagram
近似逼近法
• 对于更一般的排队系统，如G/G/1排队系统，其队长 变化过程是一般的随机过程。这时，要求出平稳分 布极为困难。可采用积分微分方程法近似求解。
• 不等式定界法近年来也用于分析一般的排队系统， 可将之看作近似逼近法的一种。
• 另外的近似逼近法包括系统逼近法和过程逼近法。 流体流(fluid flow)方法就是一种过程逼近法。
现代通信研究中常用的排队分析方法
• 不等式定界逼近方法 • 扩大状态空间法 • 半马氏分析法(Semi-Markov) • 流体流方法（fluid-flow） • 大偏差理论（Large Deviation)
扩大状态空间的方法
当输入或服务不再具有无后效性时，直接应用生 灭过程理论求解就显得无能为力。这时采用补充变量 ，用扩大状态空间的方法将非马尔柯夫过程的排队转 化成一个状态空间为多维的马尔柯夫过程求解。这类 方 法 统 称 为 扩 大 状 态 空 间 法 。 处 理 M/Er/1/∞ 和 Er/M/1/∞等排队系统便是采用这种方法。人们经常提 到的相位法也属于此类方法。
半马氏分析法
• 当一个排队系统的服务过程不是马尔柯夫过程， 但到达或服务二者之间有一个具有无后效性时， 往往可以采用嵌入马氏链法。
• 当可以用半马氏过程描述排队队长变化过程，或 输入过程(或服务时间)本身即为一个半马氏过程 时，或可嵌入一个半马氏过程时，往往采用半马 尔柯夫(Semi-Markov)理论对这类系统进行分析 。这种方法称为半马氏分析法。