2011创新方案高考数学复习精编(人教新课标)--4平面向量、数系的扩充与复数的引入 质量检测

专题四 平面向量、数系的扩充与复数的引入1.对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝ ( )A.52B.32C ．1 D.122.设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1，2cos θ)垂直，则cos2θ等于( )A.22B.12 C ．0 D ．－1 4.若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．－25.△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD → ＝( )A.13a －13bB.23a －23bC.35a －35bD.45a －45b 6.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．7.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP →的坐标为________．8.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF→＝2，则AE →·BF →的值是________．9.设向量a ＝(1，2m )，b ＝(m ＋1，1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________． 10.在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是__________．专题四 平面向量、数系的扩充与复数的引入1.D a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a |·|b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |， 同理有b ∘a ＝|b |cos θ|a |，a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ ⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中， 即2|a |cos θ|b |和2|b |cos θ|a |是整数， 取θ＝π3，则|a ||b |和|b ||a |是整数，则|a ||b |＝|b ||a |＝1，则a ∘b ＝12.2.B ab ＝0，即a ＝0，或b ＝0或a ＝0且b ＝0， a ＋bi＝a －b i 为纯虚数，∴a ＝0且b ≠0.由小范围是大范围成立的充分不必要条件．∴“ab ＝0”是“a ＋bi”为纯虚数的必要不充分条件．3.C a ＝(1，cos θ)，b ＝(－1，2cos θ)，∵a ⊥b ，∴a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝0.∴－1＋1＋cos2θ＝0，即cos2θ＝0.4.A z 2＋z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2＋2i 2＝0.5.D ∵AD →＝AC →＋CD →，CD →＝CB →＋BD →，AB →＝CB →－CA →＝AD →＋DB →，∴AD →＝45a －45b ，故选D.6.1 1 DE →·CB →＝(DA →＋AE →)·CB →＝DA →2＋AE →·CB →＝DA →2＋0＝1，DE →·DC →＝|DE →|·|DC →|cos 〈DE →，DC →〉＝cos 〈DE →，DC →〉≤1.当且仅当cos 〈DE →，DC →〉＝1，即〈DB →，DC →〉＝π2时取“＝”号．7.(2－sin2，1－cos2) 如图：x ＝2－cos(2－π2)＝2－sin2，y ＝1＋sin(2－π2)＝1－cos2，故P (2－sin2，1－cos2)，∴OP →＝(2－sin2，1－cos2)．8. 2 由AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →)＝2得|DF →|＝1，再由AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →)易求．9. 2 a ＝(1，2m )，b ＝(m ＋1，1)，c ＝(2，m )， a ＋c ＝(3，3m )，由(a ＋c )⊥b ，知(a ＋c )·b ＝(3，3m )·(m ＋1，1)＝0，∴3(m ＋1)＋3m ＝0，∴m ＝－12，∴a ＝(1，－1)，|a |＝ 2. 10.[1，4]矩形如图所示 设|BM →||BC →|＝λ(0≤λ≤1)， 则BM →＝λBC →，CN →－λCD →， ∴DN →＝(λ－1)CD →， ∴AM →·AN →＝(AB →＋BM →)·(AD →＋DN →) ＝AB →·AD →＋BM →·AD →＋AB →·DN →＋BM →·DN →＝0＋λBC →·AD →＋AB →·(λ－1)CD →＋0＝λ|BC →||AD →|＋(λ－1)×(－1)|AB →||DC →|＝λ×12－(λ－1)×22＝4－3λ.又0≤λ≤1，∴1≤4－3λ≤4， 即AM →·AN →的取值范围为[1，4]．。

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算对应学生用书P62基础盘查一向量的有关概念(一)循纲忆知1．了解向量的实际背景；2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3．理解向量的几何表示．(二)小题查验1．判断正误(1)向量AB与向量BA是相等向量( )(2)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小( )(3)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量( )(4)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2.(人教A版教材例题改编)如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与OA，OB，OC相等的向量．解：OA＝CB＝DO；OB＝DC＝EO；OC＝AB＝ED＝FO.基础盘查二向量的线性运算(一)循纲忆知1．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；2．掌握向量数乘的运算及其几何意义；3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．(二)小题查验1．判断正误(1)两个向量的差仍是一个向量( )(2)BA＝OA－OB ( )(3)向量a－b与b－a是相反向量( )(4)两个向量相加就是两个向量的模相加( )答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．(人教A版教材习题改编)化简：(1)(AB ＋MB )＋BO ＋OM ＝________. (2)NQ ＋QP ＋MN －MP ＝________. 答案：(1)AB (2)0 基础盘查三 共线向量定理 (一)循纲忆知理解两个向量共线的含义，掌握向量的共线定理及应用． (二)小题查验 1．判断正误(1)若向量a ，b 共线，则向量a ，b 的方向相同( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ( )(3)向量AB 与向量CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案：－13对应学生用书P62考点一 向量的有关概念(基础送分型考点——自主练透)[必备知识](1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．[题组练透]1．给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是( )A．②③B．①②C．③④ D．④⑤解析：选A ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB∥DC且|AB|＝|DC|，因此，AB＝DC.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，既使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a ∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑b＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.2．设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a 与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是( ) A．0 B．1C．2 D．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[类题通法]平面向量有关概念的核心(1)向量定义的核心是方向和长度．(2)非零共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的核心是方向相同且长度相等．(4)单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．(5)零向量的核心是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．考点二向量的线性运算(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．向量的加法定义：求两个向量和的运算．运算法则(几何意义)：如图运算律：(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．2．向量的减法定义：向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b.求两个向量差的运算叫做向量的减法．运算法则(几何意义)：如图3．向量的数乘定义：实数λ与向量a的积运算，即λa.运算法则(几何意义)：如图，λa的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ|·|a|.(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.运算律：λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.[提醒] (1)实数和向量可以求积，但不能求和或求差；(2)λ＝0或a＝0⇔λa＝0.[典题例析]1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB ＋FC＝( )A ．AD B.12AD C ．BCD.12BC 解析：选A EB ＋FC ＝12(AB ＋CB )＋12(AC ＋BC )＝12(AB ＋AC )＝AD ，故选A. 2．(2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE ＝DB ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB ＋23AC ，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案：12[类题通法]1．向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．2．两个结论(1)P 为线段AB 的中点⇔OP ＝12(OA ＋OB )；(2)G 为△ABC 的重心⇔GA ＋GB ＋GC ＝0.[演练冲关]1．(2015·聊城二模)在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b .若点D 满足BD ＝2DC ，则AD ＝( )A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c解析：选A 如图，可知AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋23(AC －AB )＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c .故选A.2．若典例2条件变为：若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.解析：∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD . 又∵AD ＝2DB ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋13AB＝CA ＋CB ＋13(CB －CA )＝23CA ＋43CB . ∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23.答案：23考点三 共线向量定理的应用(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b ＝λa . [提醒] 限定a ≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．[一题多变][典型母题]设两个非零向量e 1和e 2不共线．如果AB ＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1－3e 2，AF ＝3e 1－k e 2，且A ，C ，F 三点共线，求k 的值．[解] ∵AB ＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1－3e 2， ∴AC ＝AB ＋BC ＝3e 1－2e 2. ∵A ，C ，F 三点共线，∴AC ∥AF ，从而存在实数λ，使得AC ＝λAF . ∴3e 1－2e 2＝3λe 1－λk e 2， 又e 1，e 2是不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，－2＝－λk ，因此k ＝2.∴实数k 的值为2.[题点发散1] 在本例条件下，试确定实数k ，使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线． 解：∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 即k e 1＋e 2＝λe 1＋λk e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝λk ，解得k ＝±1.[题点发散2] 在本例条件下，如果AB ＝e 1－e 2，BC ＝3e 1＋2e 2，CD ＝－8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线．证明：∵AB ＝e 1－e 2，BC ＝3e 1＋2e 2，∴AC ＝AB ＋BC ＝4e 1＋e 2，又CD ＝－8e 1－2e 2， ∴CD ＝－2AC ，∴AC 与CD 共线．又∵AC 与CD 有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线．[类题通法]1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB ＝λAC ，则A ，B ，C 三点共线．对应A本课时跟踪检测二十五一、选择题1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故选C.2．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝( )A．a B．bC．c D．0解析：选D 依题意，设a＋b＝m c，b＋c＝n a，则有(a＋b)－(b＋c)＝m c－n a，即a－c ＝m c－n a.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0，选D.3．(2015·福建四地六校联考)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP＝2OA＋BA，则( )A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上解析：选B 因为2OP＝2OA＋BA，所以2AP＝BA，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.4．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC ( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A 由题意得AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋13BC ，BE ＝BA ＋AE ＝BA ＋13AC ， CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋13BA ，因此AD ＋BE ＋CF ＝CB ＋13(BC ＋AC －AB )＝CB ＋23BC ＝－13BC ，故AD ＋BE ＋CF 与BC 反向平行．5．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF ＝m AB ＋n AD (m ，n ∈R )，则m n的值为( )A ．－2B ．－12C ．2D.12解析：选A 设AB ＝a ，AD ＝b ，则EF ＝m a ＋n b ，BE ＝AE －AB ＝12b －a ，由向量EF 与BE 共线可知存在实数λ，使得EF ＝λBE ，即m a ＋n b ＝12λb －λa ，又a 与b不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－λ，n ＝12λ，所以mn＝－2.6．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA ＋OB ＋2OC ＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B ∵D 为AB 的中点，则OD ＝12(OA ＋OB )，又OA ＋OB ＋2OC ＝0，∴OD ＝－OC ，∴O 为CD 的中点，又∵D 为AB 中点， ∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4. 二、填空题7．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝________.解析：由|AB ＋AC |＝|AB －AC |可知，AB ⊥AC ， 则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线， 因此，|AM |＝12|BC |＝2.答案：28．(2015·江门模拟)已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA ＋BP ＋CP ＝0，AP ＝λPD ，则实数λ的值为________．解析：如图所示，由AP ＝λPD 且PA ＋BP ＋CP ＝0，则P 为以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP ＝－2PD ，则λ＝－2.答案：－29．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA ，OB ，OC ，OD 满足等式OA ＋OC ＝OB ＋OD ，则四边形ABCD 的形状为________．解析：∵OA ＋OC ＝OB ＋OD ，∴OA －OB ＝OD －OC ， ∴BA ＝CD ，BA 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形． 答案：平行四边形10．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ＝a ，CA ＝b ，给出下列命题：①AD ＝12a －b ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确命题的个数为________．解析：BC ＝a ，CA ＝b ，AD ＝12CB ＋AC ＝－12a －b ，故①错；BE ＝BC ＋12CA ＝a ＋12b ，故②正确；CF ＝12(CB ＋CA )＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；∴AD ＋BE ＋CF ＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0.∴正确命题为②③④. 答案：3 三、解答题11．已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE ＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD ，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，AB ＝a ，AC ＝b .(1)用a ，b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF ； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解：(1)延长AD 到G ，使AD ＝12AG ，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ， 所以AG ＝a ＋b ，AD ＝12AG ＝12(a ＋b )， AE ＝23AD ＝13(a ＋b )，AF ＝12AC ＝12b ，BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE ＝23BF ，又因为BE ，BF 有公共点B ， 所以B ，E ，F 三点共线．第二节平面向量的基本定理及坐标表示对应学生用书P64基础盘查一 平面向量基本定理 (一)循纲忆知了解平面向量的基本定理及其意义． (二)小题查验 1．判断正误(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底( ) (2)在△ABC 中，向量AB ，BC 的夹角为∠ABC ( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的( )(4)设a ，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．(人教A 版教材复习题改编)设M 是▱ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则OA ＋OB ＋OC ＋OD ＝________OM .答案：4基础盘查二 平面向量的坐标运算 (一)循纲忆知1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． (二)小题查验 1．判断正误(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同( ) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标( ) (3)已知点A (2,1)，B (－1,3)，则AB ＝(－3,2)( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．(人教A 版教材例题改编)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则3a ＋4b ＝________. 答案：(－6,19)基础盘查三 平面向量共线的坐标表示 (一)循纲忆知理解用坐标表示的平面向量共线的条件． (二)小题查验 1．判断正误(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2( ) (2)已知向量a ＝(4，x )，b ＝(－4,4)，若a ∥b ，则x 的值为－4( ) 答案：(1)× (2)√2．O 是坐标原点，OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k ＝________时，A ，B ，C 三点共线？答案：－2或11对应学生用书P65考点一 平面向量基本定理及其应用(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[题组练透]1．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1解析：选D 选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0，无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，－2＝2λ，无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝－λ，无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量．2．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .解：EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ， CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b . [类题通法](1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．考点二 平面向量的坐标运算(基础送分型考点——自主练透)[必备知识](1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2); (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)； (3)若a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )；|a |＝x 2＋y 2.[题组练透]1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解析：选D 12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，故12a －32b ＝(－1,2)． 2．(2015·昆明一中摸底)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)解析：选A MN ＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 设N (x ，y )，则MN ＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，选A.3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，且CM ＝3c ，CN ＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM ＝OM －OC ＝3c ， ∴OM ＝3c ＋OC ＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ＝ON －OC ＝－2b ，∴ON ＝－2b ＋OC ＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ＝(9，－18)．[类题通法]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 考点三 平面向量共线的坐标表示(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[一题多变][典型母题][题点发散1] 在本例条件下，若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 解：设d ＝(x ，y )，d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －－y －＝0，x －2＋y －2＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或d ＝(5,3)．[题点发散2] 在本例条件下，若m a ＋n b 与a －2b 共线，求mn的值． 解：m a ＋n b ＝(3m －n,2m ＋2n )，a －2b ＝(5，－2)， 由题意得－2(3m －n )－5(2m ＋2n )＝0.∴m n ＝－12. [题点发散3] 若本例条件变为：已知A (3,2)，B (－1,2)，C (4,1)，判断A ，B ，C 三点能否共线．解：AB ＝(－4,0)，AC ＝(1，－1)， ∵－4×(－1)－0×1≠0，∴AB ，AC 不共线． ∴A ，B ，C 三点不共线．[类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．对应B 本课时跟踪检测二十六一、选择题1.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ＝a ，AD＝b ，则BE ＝( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b解析：选A BE ＝BA ＋AD ＋DE ＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .2．已知平行四边形ABCD 中，AD ＝(3,7)，AB ＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5 解析：选D AC ＝AB ＋AD ＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)． ∴OC ＝12AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5.∴CO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5.故选D. 3．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为( )A ．(0，－2)B ．(－4,2)C ．(16,14)D ．(0,2)解析：选A 设D (x ，y )，由题意知BD ＝BA ＋BC ， 即(x －6，y －8)＝(－8，－8)＋(2，－2)＝(－6，－10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －6＝－6，y －8＝－10，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2.故选A.4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析：选D 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．5．已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC ＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1解析：选C 若点A ，B ，C 不能构成三角形， 则向量AB ，AC 共线，∵AB ＝OB －OA ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC ＝OC －OA ＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.6．(2015·山西四校联考)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ＝3CD ，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO ＝x AB ＋(1－x )AC ，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0解析：选D 依题意，设BO ＝λBC ，其中1<λ<43，则有AO ＝AB ＋BO ＝AB ＋λBC ＝AB ＋λ(AC －AB )＝(1－λ)AB ＋λAC .又AO ＝x AB ＋(1－x )AC ，且AB ，AC 不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 二、填空题7．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －138．已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC ＝－OA ＋λOB (λ∈R )，则λ的值为________．解析：由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x <0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a <0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消掉a 得λ＝12.答案：129．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.解析：AQ ＝PQ －PA ＝(－3,2)， ∴AC ＝2AQ ＝(－6,4)．PC ＝PA ＋AC ＝(－2,7)，∴BC ＝3PC ＝(－6,21)．答案：(－6,21)10．(2015·九江模拟)P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)． 答案：{}－13，－三、解答题11．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ 解：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)， 故|a ＋3b |＝72＋32＝58.(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)， 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13.此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．12．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB . (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．解：(1)OM ＝t 1OA ＋t 2AB ＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM ＝(4t 2,4t 2＋2)． ∵AB ＝OB －OA ＝(4,4)，AM ＝OM －OA ＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB ，∴A ，B ，M 三点共线．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例对应学生用书P66基础盘查一 平面向量的数量积 (一)循纲忆知1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． (二)小题查验 1．判断正误(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量( )(3)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2( )答案：(1)√ (2)√ (3)×2．(人教A 版教材例题改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则a ·b ＝________答案：－10基础盘查二 平面向量数量积的性质及其坐标表示 (一)循纲忆知1．掌握数量积的性质及坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；2．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． (二)小题查验 1．判断正误(1)由a ·b ＝0，可得a ＝0或b ＝0( )(2)两向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0( )(3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．(人教A版教材复习题改编)已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为30°，则|a－b|＝________.答案：13．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于________．答案：9基础盘查三平面向量数量积的运算律(一)循纲忆知掌握向量数量积的运算律，并能进行相关计算．(二)小题查验1．判断正误(1)(a·b)·c＝a·(b·c)( )(2)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c( )答案：(1)×(2)×2．(人教A版教材习题改编)已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量a＝2e1＋e2与b ＝2e2－3e1的夹角为______．答案：150°对应学生用书P67考点一平面向量的数量积的运算(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos θ，规定0·a＝0.2．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．[提醒] 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．[题组练透]1．(2015·云南统一检测)设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于( )A ．－72B ．－12C.32D.52解析：选D a ＋2b ＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a ·b ＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×1＝52. 2.(2013·湖北高考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－3152解析：选A AB ＝(2,1)，CD ＝(5,5)，由定义知AB 在CD 方向上的投影为AB ·CD|CD |＝1552＝322.3．(2014·重庆高考)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________.解析：因为a ＝(－2，－6)， 所以|a |＝－2＋－2＝210，又|b|＝10，向量a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a|·|b|·cos 60°＝210×10×12＝10.答案：104．(2015·东北三校联考)已知正方形ABCD 的边长为2，DE ＝2EC ，DF ＝12(DC ＋DB )，则BE ·DF ＝________.解析：如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y轴建立平面直角坐标系．则B (0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，D (2,2)．由DF ＝12(DC ＋DB )知F 为BC 的中点，故BE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，DF ＝(－1，－2)，∴BE ·DF ＝－2－43＝－103.答案：－103[类题通法]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||ba ，b ．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.[提醒] (1)在向量数量积的运算中，若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定得到b ＝c . (2)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )．考点二 平面向量数量积的性质(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：[多角探明]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．归纳起来常见的命题角度有：(1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直. 角度一：平面向量的模1．已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB ＝2a ＋2b ，AC ＝2a －6b ，D 为BC 中点，则|AD |等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选A 因为AD ＝12(AB ＋AC )＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD |2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b ·a ＋b 2)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2×2×3×cos π6＋4＝4，则|AD |＝2.2．(2014·北京高考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.解析：∵|a |＝1，∴可令a ＝(cos θ，sin θ)， ∵ λa ＋b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧λcos θ＋2＝0，λsin θ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－2λ，sin θ＝－1λ.由sin 2θ＋cos 2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝ 5. 答案： 5角度二：平面向量的夹角3．向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选B (a －2b )·a ＝|a |2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，所以|a |2＝|b |2，即|a |＝|b |，故|a |2－2a ·b ＝|a |2－2|a |2cos 〈a ，b 〉＝0，可得cos 〈a ，b 〉＝12，又因为0≤〈a ，b 〉≤π，所以〈a ，b 〉＝π3.4．(2014·江西高考)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.解析：因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3，b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a ·b |a |·|b |＝83×22＝223.答案：223角度三：平面向量的垂直5．(2014·重庆高考)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3D.152解析：选C 因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3，选C.6．在直角三角形ABC 中，已知AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________________．解析：①当A ＝90°时，∵AB ⊥AC ，∴AB ·AC ＝0. ∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－23.②当B ＝90°时，∵AB ⊥BC ，又BC ＝AC －AB ＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)， ∴AB ·BC ＝2×(－1)＋3×(k －3)＝0， 解得k ＝113.③当C ＝90°时，∵AC ⊥BC ，∴1×(－1)＋k (k －3)＝0， 即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.答案：－23或113或3±132.[类题通法]平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a |·|b |，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . ②|a ±b |＝a ±b2＝a 2±2a ·b ＋b 2.③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.考点三 平面向量与三角函数的综合(重点保分型考点——师生共研)[典题例析](2013·江苏高考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 解：(1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1.由此得，cos α＝cos (π－β)， 由0<β<π，得0<π－β<π.又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.[类题通法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[演练冲关]已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，sin x 2，c ＝(3，－1)，其中x ∈R ，(1)当a ·b ＝12时，求x 的取值集合；(2)设函数f (x )＝(a －c )2，求f (x )的最小正周期及其单调递增区间．解：(1)∵a ·b ＝cos 3x 2cos x 2＋sin 3x 2sin x 2＝cos x ＝12，∴x ＝2k π±π3(k ∈Z )．∴所求x 的取值集合为xx ＝2k π±π3，k ∈Z .(2)∵a －c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2－3，sin 3x 2＋1，∴f (x )＝(a －c )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2＋12＝5－23cos 3x 2＋2sin 3x 2＝5＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 3x 2－32cos 3x 2＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－π3. ∴最小正周期为T ＝2π32＝4π3.由2k π－π2≤3x 2－π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得4k π3－π9≤x ≤4k π3＋5π9(k ∈Z )． ∴单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π3－π9，4k π3＋5π9(k ∈Z )．对应A 本课时跟踪检测二十七一、选择题1．(2015·惠州调研)已知向量p ＝(2，－3)，q ＝(x,6)，且p ∥q ，则|p ＋q |的值为( ) A. 5 B.13 C ．5D ．13解析：选 B 由题意得2×6＋3x ＝0⇒x ＝－4⇒|p ＋q |＝|(2，－3)＋(－4,6)|＝|(－2,3)|＝13.2．(2015·长春调研)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(b ＋λa )⊥c ，则λ的值为( )A ．－311B ．－113C.12D.35解析：选A b ＋λa ＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，c ＝(3,4)，又(b ＋λa )⊥c ，∴(b ＋λa )·c ＝0，即(1＋λ，2λ)·(3,4)＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－311，故选A.3．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )A.3π4B.π4C.π3D.2π3解析：选C 因为(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，|a |＝|b |＝1， 所以6a ·b －8＋5＝0，即a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos θ＝cos θ，所以cos θ＝12，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.4．在△ABC 中，(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，则△ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选 C 由(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，得AC ·(BC ＋BA －AC )＝0，即AC ·(BC ＋BA ＋CA )＝0,2AC ·BA ＝0，∴AC ⊥BA ，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB |＝|AC |，故△ABC 一定是直角三角形．5．(2015·东北三校联考)已知△ABC 中，|BC |＝10，AB ·AC ＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD |等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选 D 由题知AD ＝12(AB ＋AC )，AB ·AC ＝－16，∴|AB |·|AC |cos∠BAC ＝－16.在△ABC 中由余弦定理得，|BC |2＝|AB |2＋|AC |2－2|AB ||AC |cos ∠BAC ，∴102＝|AB |2＋|AC |2＋32，|AB |2＋|AC |2＝68，∴|AD |2＝14(AB 2＋AC 2＋2AB ·AC )＝14(68－32)＝9，∴|AD |＝3，故选D.6．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC ·EM 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 D.[]0，1解析：选 C 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x,0)，0≤x ≤1.又M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，C (1,1)，所以EM ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－x ，12，EC ＝(1－x,1)，所以EM ·EC ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－x ，12·(1－x,1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM ·EC 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32.二、填空题7．(2015·北京东城质量检测)已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.解析：由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)， ∴|c |＝82＋－2＝8 2.答案：8 28．(2015·山西四校联考)圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB ＋AC ＝2AO ，且|OA |＝|AC |，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为________．解析：∵AB ＋AC ＝2AO ，∴O 是BC 的中点，故△ABC 为直角三角形．在△AOC 中，有|OA |＝|AC |，∴∠B ＝30°.由定义，向量BA 在向量BC 方向上的投影为|BA |cos ∠B ＝23×32＝3. 答案：39．单位圆上三点A ，B ，C 满足OA ＋OB ＋OC ＝0，则向量OA ，OB 的夹角为________．解析：∵A ，B ，C 为单位圆上三点， ∴|OA |＝|OB |＝|OC |＝1， 又OA ＋OB ＋OC ＝0， ∴－OC ＝OB ＋OA ，∴OC 2＝(OB ＋OA )2＝OB 2＋OA 2＋2OB ·OA ，可得cos 〈OA ，OB 〉＝－12，∴向量OA ，OB 的夹角为120°. 答案：120°10．(2014·江苏高考)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP ＝3PD ，AP ·BP ＝2，则AB ·AD 的值是________．解析：因为AP ＝AD ＋DP ＝AD ＋14AB ，BP ＝BC ＋CP ＝AD －34AB ，所以AP ·BP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ＋14 AB ·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD －34 AB ＝|AD |2－316|AB |2－12AD ·AB ＝2，将AB ＝8，AD ＝5代入解得AB ·AD ＝22. 答案：22 三、解答题11．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．解：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16. (1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3. ②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a －2b |＝16 3.(2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )，∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0， ∴k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0.∴k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.(1)若AB ⊥a ，且|AB |＝5|OA |，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当k ＞4，且t sin θ取最大值4时，求OA ·OC . 解：(1)由题设知AB ＝(n －8，t )， ∵AB ⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0. 又∵5|OA |＝|AB |，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8.当t ＝8时，n ＝24；t ＝－8时，n ＝－8， ∴OB ＝(24,8)或OB ＝(－8，－8)． (2)由题设知AC ＝(k sin θ－8，t )， ∵AC 与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16，t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－4k2＋32k. ∵k ＞4，∴0＜4k＜1，∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k.由32k＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC ＝(4,8)．∴OA ·OC ＝(8,0)·(4,8)＝32.第四节数系的扩充与复数的引入对应学生用书P69基础盘查一 复数的有关概念 (一)循纲忆知1．理解复数的基本概念； 2．理解复数相等的充要条件． (二)小题查验 1．判断正误(1)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时复数z 为纯虚数( ) (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．(人教A 版教材例题改编)如果(x ＋y )＋(y －1)i ＝(2x ＋3y )＋(2y ＋1)i ，则x ＝________，y ＝________.答案：4 －2基础盘查二 复数的几何意义 (一)循纲忆知了解复数的代数表示法及其几何意义． (二)小题查验 1．判断正误(1)原点是实轴与虚轴的交点( )(2)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模( )答案：(1)√ (2)√2．(人教A 版教材习题改编)ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，则点D 对应的复数为________．答案：3＋5i基础盘查三 复数的运算 (一)循纲忆知1．会进行复数代数形式的四则运算；2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． (二)小题查验 1．判断正误(1)若复数z 1，z 2满足z 1－z 2＞0，则z 1＞z 2( )(2)复数的减法不满足结合律，即(z 1－z 2)－z 3＝z 1－(z 2＋z 3)可能不成立( ) (3)两个复数的积与商一定是虚数( )(4)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 2．(人教A 版教材习题改编)计算： (1)2i 2－i＝________，(2)＋2＋＝________.答案：(1)－25＋45i (2)1－38i对应学生用书P69考点一 复数的有关概念(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．复数的概念形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋。

创新方案高考数学复习人教新课标平面向量数系的扩充与复数的引入质量检测高中数学创新方案：高考数学复习——人教新课标平面向量、数系的扩充与复数的引入一、简介数学作为一门基础学科，对于高中生来说既有挑战性又有深度。

不仅需要掌握基本数学知识，还需要理解和应用较高级别的数学概念及方法。

本创新方案主要针对高考数学的复习，着重讲解人教新课标中的平面向量、数系的扩充与复数的引入，以此为切入点，帮助学生理解并掌握数学的相关概念和方法，提高数学成绩。

二、人教新课标平面向量平面向量是高中数学中比较新的概念，与传统的一般向量不同。

平面向量有方向、大小和起点，可以进行加、减、数乘等运算。

平面向量在物理、几何等领域都有广泛的应用。

在学习平面向量时需要掌握向量的表示法和运算法则，掌握向量共线、垂直以及向量坐标的相关概念和计算方法等内容。

此外，还需要理解向量的数量积和叉积等概念和应用。

三、数系的扩充在数学中，数系是指由一组数所构成的集合。

人教新课标中又进一步扩充了数系的内容，主要涉及实数、有理数、无理数、复数等。

在实际应用中，这些数系中的每种数都有着不同的特点和用途，在学习中需要掌握它们的相关概念、性质和应用。

其中，比较重要的是复数。

复数是实数与虚数的和，具有较复杂的运算方式和广泛的应用场景。

在学习复数时，需要了解复数的表示法和运算法则，掌握复数的共轭与模的概念，以及复数的极坐标和指数表示法等。

四、复数的引入复数的引入是人教新课标中的一个重要的数学概念，也是高中数学中比较高级的内容之一。

复数中包含了实数与虚数，可以理解为两个数的有序对，形如(a, b)，其中 a 表示实数部分，b 表示虚数部分。

引入复数的主要目的是解决方程 x2 + 1 = 0 在实数范围内无解的问题。

人们通过引入一个虚数单位 i，使得 i2 = -1，从而推导出复数的一些重要性质和运算法则。

五、质量检测为检测学生对本创新方案的掌握情况，可以设计一份有针对性的测试题。

2011版高三数学一轮精品复习学案：第二节 数系的扩充与复数的引入【高考目标定位】一、考纲点击1、理解复数的基本概念；2、理解复数相等的充要条件；3、了解复数的代数表示法及其几何意义；4、会进行复数代数形式的四则运算；5、了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

二、热点提示1、复数的有关概念和复数的几何意义是高考命题的热点之一，常以选择题的形式出现，属容易题；2、复数的代数运算是高考的另一热点点，以选择题、填空题的形式的出现，属容易题。

【考纲知识梳理】1、复数的有关概念 （1）复数的概念形如a+bi(a,b ∈R)的数叫做复数，其中a,b 分别是它的实部和虚部。

若b=0,则a+bi 为实数，若b ≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b ≠0，则a+bi 为纯虚数。

（2）复数相等：a+bi=c+di ⇔a=c 且b=d(a,b,c,d ∈R).（3）共轭复数：a+bi 与c+di 共轭⇔a=c ，b=-d(a,b,c,d ∈R).。

（4）复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。

X 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。

（5）复数的模向量OZ的模r 叫做复数z=a+bi 的模，记叙|z|或|a+bi|，即2、复数的几何意义（1）复数z=a+bi ←−−−→一一对应复平面内的点Z （a,b ）(a,b ∈R); （2）复数z=a+bi ←−−−→一一对应平面向量OZ（a,b ∈R ）。

3、复数的运算（1）复数的加、减、乘、除运算法则设z 1=a+bi,z 2=c+di(a,b,c,d ∈R),则①加法：z 1+ z 2=（a+bi ）+（c+di ）=(a+c)+(b+d)i; ②减法：z 1- z 2=（a+bi ）-（c+di ）=(a-c)+(b-d)i; ③乘法：z 1· z 2=( a+bi )·(c+di )=(ac-bd)+(ad+bc)i; ④除法：1222()()()()(0)()()z a bi a bi c di ac bd bc ad i c di z c di c di c di c d++-++-===+≠++-+ (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何1z 、2z 、3z ∈C ，有1z +2z =2z +1z ，（1z +2z ）+3z =1z +（2z +3z ）。