第六节函数的图象及其应用1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．2.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.突破点一 函数的图象[基本知识]1．利用描点法画函数图象的流程2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换y ＝f (x )――→a >0右移a 个单位a <0左移||个单位y ＝f (x －a );y ＝f (x )――→b >0上移b 个单位b <0下移||个单位y ＝f (x )＋b .(2)伸缩变换y ＝f (x )――→A >1横坐标不变纵坐标伸长为原来的A 倍0<A <1纵坐标缩短为原来的y ＝Af (x )． (3)对称变换y ＝f (x )――→关于x 轴对称 y ＝－f (x ); y ＝f (x )――→关于y 轴对称 y ＝f (－x ); y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )．(4)翻折变换y ＝f (x )――→去掉y 轴左边图保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |);y ＝f (x )――→保留x 轴上方图将x 轴下方的图象翻折到上方去y ＝|f (x )|.[基本能力]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)函数y ＝f (1－x )的图象,可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．( ) (2)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．( )(3)当x ∈(0,＋∞)时,函数y ＝f (|x |)的图象与y ＝|f (x )|的图象相同．( )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x ),则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( ) 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、填空题1．函数f (x )的图象向左平移1个单位长度再向上平移1个单位,得到y ＝log 2x 的图象,则f (x )＝________.答案:f (x )＝log 2(x －1)－12.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋bx <－1ln (x ＋a )x ≥－1的图象如图所示,则f (－3)＝________.解析:由图象可得－a ＋b ＝3,ln(－1＋a )＝0,得a ＝2,b ＝5,∴f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋5x <－1ln (x ＋2)x ≥－1故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.答案:－1 3．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解,则实数a 的取值范围是________．答案:(0,＋∞)[全析考法]考法一 作函数的图象[例1] 分别作出下列函数的图象: (1)y ＝|lg x |;(2)y ＝2x ＋2;(3)y ＝x 2－2|x |－1.[解](1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg xx ≥1－lg x 0<x <1.图象如图①所示．(2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图②所示．(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1x ≥0x 2＋2x －1x <0.图象如图③所示．[方法技巧] 函数图象的画法考法二 函数图象的识别[例2] (1)(2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )(2)(2019·郴州一中月考)如图,在△OAB 中,A (4,0),B (2,4),过点P (a ,0)且平行于OB 的直线l 与线段AB 交于点Q ,记四边形OPQB 的面积为y ＝S (a ),则函数y ＝S (a )的大致图象为( )[解析] (1)法一:令f (x )＝－x 4＋x 2＋2, 则f ′(x )＝－4x 3＋2x ,令f ′(x )＝0,得x ＝0或x ＝±22,由f ′(x )>0知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞－22,⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫022上函数f (x )单调递增;由f ′(x )<0知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－220,( 22,＋∞ )上函数f (x )单调递减,结合图象知选D.法二:当x ＝1时,y ＝2,所以排除A 、B 选项．当x ＝0时,y ＝2,而当x ＝12时,y ＝－116＋14＋2＝2316>2,所以排除C 选项．故选D.(2)由题意可知直线l 的斜率为2,设其方程为y ＝2(x －a ),0≤a ≤4.由两点式可得AB :y ＝－2x ＋8,联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －a )y ＝－2x ＋8得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a ＋24－a .结合四边形OPQB 为梯形,因此其面积y ＝S (a )＝12×4×4－12×(4－a )×(4－a )＝－12(4－a )2＋8.故选D. [答案] (1)D (2)D [方法技巧]有关函数图象识别问题的解题思路(1)由解析式确定函数图象①由函数的定义域,判断图象左右的位置,由函数的值域,判断图象的上下位置; ②由函数的单调性,判断图象的变化趋势; ③由函数的奇偶性,判断图象的对称性; ④由函数的周期性,判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解,要注意实际问题中的定义域问题．[集训冲关]1.[考法二](2018·浙江高考)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )解析:选D 由y ＝2|x |sin 2x 知函数的定义域为R,令f (x )＝2|x |sin 2x ,则f (－x )＝2|－x |sin(－2x )＝－2|x |sin 2x .∵f (x )＝－f (－x ),∴f (x )为奇函数．∴f (x )的图象关于原点对称,故排除A 、B.令f (x )＝2|x |sin 2x ＝0,解得x ＝k π2(k ∈Z),∴当k ＝1时,x ＝π2,故排除C,选D. 2.[考法二]已知有四个平面图形,分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线l :x ＝t (0≤t ≤a )从原点O 向右平行移动,l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y (选项中阴影部分)．若函数y ＝f (t )的大致图象如图所示,那么平面图形的形状不可能是( )解析:选C 观察函数图象可得函数y ＝f (t )在[0,a ]上是增函数,即说明随着直线l 的右移,扫过图形的面积不断增大．再对图象作进一步分析,图象首先是向下凸的,说明此时扫过图形的面积增加得越来越快,然后是向上凸的,说明此时扫过图形的面积增加得越来越慢．根据这一点很容易判定C 项不符合．这是因为在C 项中直线l 扫到矩形部分时,面积会呈直线上升．3.[考法一]作出下列函数的图象: (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |; (2)y ＝|log 2(x ＋1)|; (3)y ＝2x －1x －1. 解:(1)作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象,保留y ＝⎝⎛⎭⎫12x 图象中x ≥0的部分,加上y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象中x ≥0部分关于y 轴的对称部分,即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象,如图实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位,再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去,即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象,如图所示．(3)∵y ＝2x－1 x－1＝2＋1x－1,故函数图象可由y＝1x的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位而得,如图．突破点二函数图象的应用问题利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题,如利用函数的图象解决函数性质问题,函数的零点、方程根的问题,有关不等式的问题等．解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象,利用数形结合思想求解．[全析考法]考法一利用函数图象研究函数的性质[例1]已知函数f(x)＝x|x|－2x,则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数,递增区间是(0,＋∞)B．f(x)是偶函数,递减区间是(－∞,1)C．f(x)是奇函数,递减区间是(－1,1)D．f(x)是奇函数,递增区间是(－∞,0)[解析]将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝⎩⎨⎧x2－2xx≥0－x2－2xx<0画出函数f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(－1,1)上单调递减．[答案] C[方法技巧]破解此类问题的关键是化简函数的解析式,并能画出函数的草图,通过观察图象,即可得出正确的选项．考法二利用函数图象求解不等式[例2]若不等式(x－1)2<log a x(a>0,且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立,则实数a的取值范围为()A．(1,2] B.⎝⎛⎭⎪⎪⎫221C．(1,2) D．(2,2)[解析]要使当x∈(1,2)时,不等式(x－1)2<log a x恒成立,只需函数y＝(x－1)2在(1,2)上的图象在y＝log a x的图象的下方即可．当0<a<1时,显然不成立;当a>1时,如图,要使x∈(1,2)时,y＝(x－1)2的图象在y＝log a x的图象的下方,只需(2－1)2≤log a 2,即log a 2≥1,解得1<a ≤2,故实数a 的取值范围是(1,2]． [答案] A [方法技巧]利用函数图象求解不等式的思路当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合思想求解．考法三 利用图象解决方程根的问题[例3] (2019·洛阳模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x－2≤x ≤0f (x －1)＋10<x ≤2则关于x 的方程x －f (x )＝0在[－2,2]上的根的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] 分别作出y ＝f (x ),y ＝x 的图象,如图,可知函数f (x )的图象与直线y ＝x 在 [－2,2]上有4个交点,所以方程x －f (x )＝0在[－2,2]上的根的个数为4,选B.[答案] B [方法技巧]利用函数的图象解决方程根问题的思路当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f (x )＝0的根就是函数f (x )图象与x 轴交点的横坐标,方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标．[集训冲关]1.[考法一]已知f (x )＝2x －1,g (x )＝1－x 2,规定:当|f (x )|≥g (x )时,h (x )＝|f (x )|;当|f (x )|＜g (x )时,h (x )＝－g (x ),则h (x )( )A ．有最小值－1,最大值1B ．有最大值1,无最小值C ．有最小值－1,无最大值D ．有最大值－1,无最小值解析:选C 如图,画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象,它们交于A ,B 两点．由“规定”,在A ,B 两侧,|f (x )|≥g (x ),故h (x )＝|f (x )|;在A ,B 之间,|f (x )|＜g (x ),故h (x )＝－g (x )．综上可知,y ＝h (x )的图象是图中的实线部分,因此h (x )有最小值－1,无最大值． 2.[考法一]设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x＋a的图象关于直线y ＝－x 对称,且f (－2)＋f (－4)＝1,则a 为( )A ．－1B ．1C ．2D ．4解析:选C 设(x ,y )为y ＝f (x )图象上任意一点,则(－y ,－x )在y ＝2x ＋a 的图象上,所以有－x ＝2－y ＋a,从而有－y ＋a ＝log 2(－x ),所以y ＝a －log 2(－x ),即f (x )＝a －log 2(－x ),所以f (－2)＋f (－4)＝(a －log 22)＋(a －log 24)＝(a －1)＋(a －2)＝1,解得a ＝2.故选C.3.[考法二]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2－2xx ≥0x 2－2xx <0若f (3－a 2)<f (2a ),则实数a 的取值范围是________．解析:如图,画出f (x )的图象,由图象易得f (x )在R 上单调递减,∵f (3－a 2)<f (2a ),∴3－a 2>2a ,解得－3<a<1.答案:(－3,1)4.[考法三]已知f (x )＝(x ＋1)·|x －1|,若关于x 的方程f (x )＝x ＋m 有三个不同的实数解,则实数m 的取值范围为________．解析:因为f (x )＝(x ＋1)|x －1|＝⎩⎨⎧x 2－1x ≥11－x2x <1在同一平面直角坐标系内作出y ＝f (x ),y ＝x ＋m 的图象,如图,当直线与抛物线相切时,联立方程组得x 2＋x ＋m －1＝0,Δ＝1－4(m －1)＝5－4m ＝0,解得m ＝54,方程f (x )＝x ＋m有三个不同的实数解就是直线与抛物线有三个交点,由图可知－1<m <54.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－154[课时跟踪检测][A 级 保分题——准做快做达标]1．若函数y ＝f (x )的图象如图所示,则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )解析:选C 要想由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象,需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象,然后向左平移1个单位长度得到y ＝－f (x ＋1)的图象,根据上述步骤可知C 正确．2．(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )解析:选B ∵y ＝e x－e－x是奇函数,y ＝x 2是偶函数,∴f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数,图象关于原点对称,排除A 选项．当x ＝1时,f (1)＝e －1e >0,排除D 选项．又e>2,∴1e <12, ∴e －1e >1,排除C 选项．故选B.3．(2019·中山一中统测)如图所示的函数图象对应的函数可能是( )A ．y ＝2x －x 2－1B ．y ＝2x sin x 4x ＋1C ．y＝(x 2－2x )e x D ．y ＝x ln x解析:选C A 选项中,当x ＝－1时,y ＝2x －x 2－1＝12－1－1＝－32<0,不符题意; B选项中,当x ＝－π2时,y ＝2xsin x 4x ＋1＝2-2π×sin ⎝⎛⎭⎫－π24-2π＋1＝－2-2π4-2π＋1<0,不符题意;D 选项中,当x <0时,y ＝xln x无意义,不符题意．故选C.4．(2019·辽宁重点高中协作校阶段考试)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ∈[－10)x 2＋1x ∈[01]则下列选项错误的是( )A ．①是f (x －1)的图象B ．②是f (－x )的图象C ．③是f (|x |)的图象D ．④是|f (x )|的图象解析:选D 作出函数f (x )的图象,如图所示．f (x －1)的图象是由函数f (x )的图象向右平移一个单位长度得到的,A 正确;f (－x )的图象与函数f (x )的图象关于y 轴对称,B 正确;对于f (|x |)的图象,当x ≥0时,与f (x )的图象相同,当x <0时,与f (x )在[0,1]上的图象关于y 轴对称,C 正确;因为f (x )≥0,所以|f (x )|的图象与函数f (x )的图象相同,所以D 不正确．故选D.5．(2019·山西四校联考)已知函数f (x )＝|x 2－1|,若0<a <b 且f (a )＝f (b ),则b 的取值范围是( )A ．(0,＋∞)B ．(1,＋∞)C ．(1,2)D ．(1,2)解析:选C 作出函数f (x )＝|x 2－1|在区间(0,＋∞)上的图象如图所示,作出直线y ＝1,交f (x )的图象于B 点,由x 2－1＝1可得x B ＝2,结合函数图象可得b 的取值范围是(1,2),故选C.6．(2019·汉中模拟)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫21＋e x －1·sin x 的图象大致为( )解析:选A ∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫21＋e x －1·sin x ,∴f (－x )＝⎝⎛⎭⎫21＋e －x －1·sin(－x )＝ －⎝⎛⎭⎫2e x1＋e x－1·sin x ＝⎝⎛⎭⎫21＋e x －1·sin x ＝f (x ),∴函数f (x )为偶函数,故排除C 、D;当x ＝2时,f (2)＝⎝⎛⎭⎫21＋e 2－1·sin 2＜0,故排除B,选A.7．(2019·西安第一中学期中)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－6x ＋6x ≥03x ＋4x <0若互不相等的实数x 1,x 2,x 3,满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3),则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤1136 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫203263C.⎝ ⎛⎦⎥⎤203263 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1136解析:选D 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6x ≥03x ＋4x <0的图象如图,不妨设x 1<x 2<x 3,则x 2,x 3关于直线x ＝3对称,故x 2＋x 3＝6,且x 1满足－73<x 1<0,则－73＋6<x 1＋x 2＋x 3<0＋6,即x 1＋x 2＋x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1136.故选D.8．(2019·昆明检测)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数,且f (x )在(－∞,0)上是减函数,f (2)＝0,g (x )＝f (x ＋2),则不等式xg (x )≤0的解集是____________________．解析:如图所示,虚线部分为f (x )的草图,实线部分为g (x )的草图,则xg (x )≤0⇔⎩⎨⎧x ≥0g (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0g (x )≥0由图可得xg (x )≤0的解集为(－∞,－4]∪[－2,＋∞)． 答案:(－∞,－4]∪[－2,＋∞)9．(2019·合肥质检)对函数f (x ),如果存在x 0≠0,使得f (x 0)＝－f (－x 0),则称(x 0,f (x 0))与(－x 0,f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x －a (e 为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点,则实数a 的取值范围是________．解析:依题意,知f (x )＝－f (－x )有非零解,由f (x )＝－f (－x )得,a ＝12⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x >1(x ≠0),所以当f (x )＝e x －a 存在奇对称点时,实数a 的取值范围是(1,＋∞)．答案:(1,＋∞)10．(2019·武昌区调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧xx >0x 2－4xx ≤0若f (x )≥ax －1恒成立,则实数a 的取值范围是________．解析:作出函数f (x )的图象,如图,又直线y ＝ax －1恒过点A (0,－1),所以由图知实数a 的取值范围是[k,0](k <0),其中k 为直线y ＝ax －1与y ＝x 2－4x ,x ≤0的图象相切时a 的值,由ax －1＝x 2－4x ,得x 2－(4＋a )x ＋1＝0,则Δ＝[－(4＋a )]2－4＝0,得a ＝－6,a ＝－2,结合图象可知a ＝－2舍去,故a ＝ －6.所以实数a 的取值范围是[－6,0]．答案:[－6,0]11．画出下列函数的图象． (1)y ＝e ln x ;(2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．解:(1)因为函数的定义域为{x |x >0}且y ＝e ln x ＝x (x >0), 所以其图象如图所示．(2)当x ≥2,即x －2≥0时,y ＝(x －2)·(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝⎛⎭⎫x －122－94; 当x <2,即x －2<0时,y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94. 所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －122－94x ≥2－⎝⎛⎭⎫x －122＋94x <2.这是分段函数,每段函数的图象可根据二次函数图象作出(其图象如图所示)．12．已知函数f (x )＝2x ,x ∈R.(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m >0在R 上恒成立,求m 的取值范围． 解:(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|,G (x )＝m , 画出F (x )的图象如图所示．由图象看出,当m ＝0或m ≥2时,函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点,原方程有一个解,故m 的取值范围是{0}∪[2,＋∞)．(2)令f (x )＝t (t >0),H (t )＝t 2＋t ,因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0,＋∞)上是增函数,所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0,＋∞)上恒成立,应有m ≤0,即所求m 的取值范围是(－∞,0]．[B级难度题——适情自主选做]1．(2019·马鞍山期末)函数f(x)＝12x2－2ln(x＋1)的图象大致是()解析:选A∵函数f(x)＝12x2－2ln(x＋1)的定义域满足x＋1>0,∴x>－1.当x＝0时,可得f(0)＝12×02－2ln(0＋1)＝0,则排除选项B、D;又f⎝⎛⎭⎫－12＝12×⎝⎛⎭⎫－122－2×ln( －12＋1)＝18－ln14＝18＋ln 4>0,则排除选项C.故选A.2．(2019·南宁三校联考)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧|x＋1|－7≤x≤0ln xe－2≤x≤eg(x)＝x2－2x,设a为实数,若存在实数x,使得f(x)－2g(a)＝0,则实数a的取值范围为()A．[－1,＋∞) B．(－∞,－1]∪[3,＋∞)C．[－1,3]D．(－∞,3]解析:选C∵g(x)＝x2－2x,∴2g(a)＝2a2－4a,a∈R.由函数f(x)＝⎩⎨⎧|x＋1|－7≤x≤0ln xe－2≤x≤e可得f(－7)＝6,f(e－2)＝－2,画出函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x＋1|－7≤x≤0ln xe－2≤x≤e的大致图象,如图所示,由函数f (x )的图象可知,函数f (x )的值域为[－2,6]．∵存在实数m ,使得f (m )－2g (a )＝0,∴－2≤2a 2－4a ≤6,得－1≤a ≤3,故实数a 的取值范围为[－1,3],故选C.3．(2019·张掖诊断)已知定义在R 上的函数f (x )满足①f (x )＋f (2－x )＝0,②f (x －2)＝f (－x ),③在[－1,1]上的表达式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2x ∈[－10]cos ⎝⎛⎭⎫π2x x ∈(01]则函数f (x )的图象与函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ≤01－x x >0的图象在区间[－3,3]上的交点有________个．解析:由f (x )＋f (2－x )＝0,可得函数f (x )的图象关于点(1,0)对称,由f (x －2)＝f (－x ),可得函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称,又f (x )在[－1,1]上的表达式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2x ∈[－10]cos ⎝⎛⎭⎫π2x x ∈(01]所以可在同一坐标系中作出函数f (x )在[－3,3]上的图象以及函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ≤01－x x >0在[－3,3]上的图象,数形结合可得函数f (x )的图象与函数g (x )的图象在区间[－3,3]上的交点个数为6.答案:64．若关于x 的不等式4a x －1<3x －4(a >0,且a ≠1)对于任意的x >2恒成立,求a 的取值范围．解:不等式4a x －1<3x －4等价于a x －1<34x －1.令f (x )＝a x －1,g (x )＝34x －1.当a >1时,在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象,如图①所示,由图知不满足条件;当0<a <1时,在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象,如图②所示,则f (2)≤g (2),即a 2－1≤34×2－1,即a ≤12,所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤012.。
