2015届高考数学 立体几何3(基础及能力训练)

专题十 立体几何1.【2015高考安徽，理5】已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行（B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线（D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】由A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A 不正确；由B ，若m ，n 平行于同一平面，则m ，n 可以平行、重合、相交、异面，故B 不正确；由C ，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线；由D 项，其逆否命题为“若m 与n 垂直于同一平面，则m ，n 平行”是真命题，故D 项正确.所以选D.【考点定位】1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.【名师点睛】空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.2.【2015高考北京，理4】设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】因为α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．若“m β∥”，则平面、αβ可能相交也可能平行，不能推出//αβ，反过来若//αβ，m α⊂，则有m β∥，则“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件.考点定位：本题考点为空间直线与平面的位置关系，重点考察线面、面面平行问题和充要条件的有关知识.【名师点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系及充要条件，本题属于基础题，本题以空间线、面位置关系为载体，考查充要条件．考查学生对空间线、面的位置关系及空间面、面的位置关系的理解及空间想象能力，重点是线面平行和面面平行的有关判定和性质.3.【2015高考新课标1，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

2015年高考数学真题分类汇编 专题10 立体几何 文1.【2015高考浙江，文4】设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m【答案】A【解析】采用排除法，选项A 中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B 中，当αβ⊥时，,l m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，//l β时，,αβ可以相交；选项D 中，//αβ时，,l m 也可以异面.故选A.【考点定位】直线、平面的位置关系.【名师点睛】本题主要考查空间直线、平面的位置关系.解答本题时要根据空间直线、平面的位置关系，从定理、公理以及排除法等角度，对个选项的结论进行确认真假.本题属于容易题，重点考查学生的空间想象能力以及排除错误结论的能力.2.【2015高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式【名师点睛】本题以《九章算术》中的问题为材料，试题背景新颖，解答本题的关键应想到米堆是14圆锥，底面周长是两个底面半径与14圆的和，根据题中的条件列出关于底面半径的方程，解出底面半径，是基础题.3.【2015高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．83cmB ．123cmC ．3233cm D ．4033cm【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体与一个底面边长为2，高为2的正四棱锥的组合体，故其体积为32313222233V cm =+⨯⨯=.故选C. 【考点定位】1.三视图；2.空间几何体的体积.【名师点睛】本题主要考查空间几何体的体积.解答本题时要能够根据三视图确定该几何体的结构特征，并准确利用几何体的体积计算方法计算求得体积.本题属于中等题，重点考查空间想象能力和基本的运算能力.4.【2015高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）(A) 123π+ (B) 136π (C) 73π (D) 52π【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为1，构成的一个组合体，故其体积为61311612122πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯，故选B.【考点定位】三视图及柱体与锥体的体积.【名师点睛】本题考查三视图的概念和组合体体积的计算，采用三视图还原成直观图，再利用简单几何体的体积公式进行求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.5.【2015高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+【答案】D 【解析】由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，所以该几何体的表面积为21121222342πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+，故答案选D【考点定位】1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积.【名师点睛】1.本题考查空间几何体的三视图及几何体的表面积，意在考查考生的识图能力、空间想象能力以及技术能力；2.先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体各个面的面积即可；3.本题属于基础题，是高考常考题型.6.【2015高考广东，文6】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交【答案】A【解析】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选A ．【考点定位】空间点、线、面的位置关系．【名师点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于容易题．解题时一定要注意选项中的重要字眼“至少”、“至多”， 否则很容易出现错误．解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，也可作必要的合情推理．7.【2015高考浙江，文7】如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支【答案】C【解析】由题可知，当P 点运动时，在空间中，满足条件的AP 绕AB 旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.【考点定位】1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.【名师点睛】本题主要考查圆锥曲线的定义以及空间线面的位置关系.解答本题时要能够根据给出的线面位置关系，通过空间想象能力，得到一个无限延展的圆锥被一个与之成60角的平面截得的图形是椭圆的结论.本题属于中等题，重点考查学生的空间想象能力以及对圆锥曲线的定义的理解.8.【2015高考湖北，文5】12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A .【解析】若p ：12,l l 是异面直线，由异面直线的定义知，12,l l 不相交，所以命题q ：12,l l 不相交成立，即p 是q 的充分条件；反过来，若q ：12,l l 不相交，则12,l l 可能平行，也可能异面，所以不能推出12,l l 是异面直线，即p 不是q 的必要条件，故应选A .【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题.【名师点睛】以命题与命题间的充分条件与必要条件为契机，重点考查空间中直线的位置关系，其解题的关键是弄清谁是谁的充分条件谁是谁的必要条件，正确理解异面直线的定义，注意考虑问题的全面性、准确性.9、【2015高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1 （B ）2（C ）4 （D ）8【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B.【考点定位】简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式【名师点睛】本题考查简单组合体的三视图的识别，是常规提，对简单组合体三三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状，再根据“长对正，宽相等，高平齐”的法则组合体中的各个量.10.【2015高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．8+ B．11+．14+．15【答案】B【解析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为12，，直角腰长为1，．底面积为12332⨯⨯=，侧面积为所以该几何体的表面积为11+B．【考点定位】三视图和表面积．【名师点睛】本题考查三视图和表面积计算，关键在于根据三视图还原体，要掌握常见几何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法，将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体，属于中档题．11.【2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )（A（B（）（）【答案】B【解析】由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为，所得旋转体为同底等高的全等圆锥，所以，其体积为213π⨯⨯=，故选B.【考点定位】1.旋转体的几何特征；2.几何体的体积.【名师点睛】本题考查了旋转体的几何特征及几何体的体积计算，解答本题的关键，是理解所得旋转体的几何特征，确定得到计算体积所需要的几何量.本题属于基础题，在考查旋转体的几何特征及几何体的体积计算方法的同时，考查了考生的空间想象能力及运算能力，是“无图考图”的一道好题.12.【2015高考湖南，文10】某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材1112料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（ ）A 、89πB 、827πC【答案】A【考点定位】三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体【名师点睛】运用基本不等式求最值要紧紧抓住“一正二定三相等”条件，本题“和为定”是解决问题的关键.空间想象能力是解决三视图的关键，可从长方体三个侧面进行想象几何体.求组合体的体积，关键是确定组合体的组成形式及各部分几何体的特征，再结合分割法、补体法、转化法等方法求体积.13.【2015高考北京，文7】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B C D．2【答案】C【解析】四棱锥的直观图如图所示：AB，S A是四棱锥最长的棱，由三视图可知，SC⊥平面CDSA===，故选C.【考点定位】三视图.【名师点晴】本题主要考查的是三视图，属于容易题．解题时一定要抓住三视图的特点，否则很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体中最长棱的棱长即可．14【2015高考安徽，文9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）（A ）1+（B ）1+（C ）2+ （D ）【答案】C【解析】由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图，如下图所示：其中侧面PAC ⊥底面ABC ，且PAC ∆≌ABC ∆，由三视图中所给数据可知：2====BC AB PC PA ,取AC 中点,O 连接BO PO ,，则POB Rt ∆中，1==BO PO ⇒2=PB ∴3222212432+=⋅⋅+⋅⋅=S ，故选C . 【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、锥体表面积公式.【名师点睛】在利用空间几何体的三视图求几何体的体积或者表面积时，一定要正确还原几何体的直观图，然后再利用体积或表面积公式求之；本题主要考查了考生的空间想象力和基本运算能力.【2015高考上海，文6】若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a .【答案】4【解析】依题意，3162321=⨯⨯⨯⨯a a a ，解得4=a . 【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质.【名师点睛】正三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面.柱体的体积等于底面积乘以高.边长为a 的正三角形的面积为243a . 15.【2015高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m ）,则该几何体的体积为 3m.【答案】8π3【解析】该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成,所以该几何体的体积为318π2π1π2(m )33⨯⨯⨯+⨯= . 【考点定位】本题主要考查三视图及几何体体积的计算.【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.16.【2015高考四川，文14】在三棱住ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P －A 1MN 的体积是______. 【答案】124【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的A 1 C 1B 1 P等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，底面积为12 如图，因为AA 1∥PN ，故AA 1∥面PMN ，故三棱锥P －A 1MN 与三棱锥P －AMN 体积相等，三棱锥P －AMN 的底面积是三棱锥底面积的14，高为1 故三棱锥P －A 1MN 的体积为111132424⨯⨯= 【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、图形分割与转换的能力，考查基本运算能力.【名师点睛】解决本题，首先要正确画出三棱柱的直观图，包括各个点的对应字母所在位置，结合条件，三棱锥P －A 1MN 的体积可以直接计算，但转换为三棱锥P －AMN 的体积，使得计算更为简便，基本上可以根据条件直接得出结论.属于中档偏难题.17.【2015高考安徽，文19】如图，三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1,1,2,60PA AB AC BAC ===∠=o .（Ⅰ）求三棱锥P -ABC 的体积；（Ⅱ）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PM MC的值.【答案】（Ⅱ）13PM MC = 【解析】A BC M N（Ⅰ）解：由题设AB ＝1,,2=AC 60=∠BAC可得ABC S ∆︒⋅⋅⋅=60sin 21AC AB 23=. 由⊥PA 面ABC可知PA 是三棱锥ABC P -的高,又1=PA所以三棱锥ABC P -的体积6331=⋅⋅∆PA S V ABC ＝ （Ⅱ）证：在平面ABC 内，过点B 作AC BN ⊥，垂足为N ，过N 作PA MN //交PC 于M ，连接BM .由⊥PA 面ABC 知AC PA ⊥，所以AC MN ⊥.由于N MN BN ＝⋂，故⊥AC 面MBN ，又⊂BM 面MBN ，所以BM AC ⊥.在直角BAN ∆中，21cos =∠⋅=BAC AB AN ，从而23=-=AN AC NC .由PA MN //，得31=NC AN MC PM ＝. 【考点定位】本题主要考查锥体的体积公式、线面垂直的判定定理和其性质定理.【名师点睛】本题将正弦定理求三角形的面积巧妙地结合到求锥体的体积之中，本题的第（Ⅱ）问需要学生构造出线面垂直，进而利用性质定理证明出面面垂直，本题考查了考生的空间想象能力、构造能力和运算能力.18.【2015高考北京，文18】（本小题满分14分）如图，在三棱锥V C -AB 中，平面V AB ⊥平面C AB ，V ∆AB 为等边三角形，C C A ⊥B 且C C A =B =，O ，M 分别为AB ，V A 的中点．（I ）求证：V //B 平面C MO ；（II ）求证：平面C MO ⊥平面V AB ；（III ）求三棱锥V C -AB 的体积．【答案】（I ）证明详见解析；（II ）证明详见解析；（III（Ⅱ）因为AC BC =，O 为AB 的中点，所以OC AB ⊥.又因为平面V AB ⊥平面C AB ，且OC ⊂平面C AB ，所以OC ⊥平面V AB .所以平面C MO ⊥平面V AB .（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB 中，AC BC ==所以2,1AB OC ==.所以等边三角形V AB 的面积VAB S ∆=.又因为OC ⊥平面V AB ，所以三棱锥C V -AB 的体积等于13VAB OC S ∆⨯⨯=又因为三棱锥V C -AB 的体积与三棱锥C V -AB 的体积相等，所以三棱锥V C -AB 考点：线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式.【名师点晴】本题主要考查的是线面平行、面面垂直和几何体的体积，属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是三角形的中位线和构造平行四边形．证明面面垂直的关键是证明线面垂直，证明线面垂直可由面面垂直得到，但由面面垂直得到线面垂直一定要注意找两个面的交线，否则很容易出现错误．求几何体的体积的方法主要有公式法、割补法、等积法等，本题求三棱锥的体积，采用了等积法．19.【2015高考福建，文20】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ；（Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13；【解析】解法一：（I ）在C ∆AO 中，因为C OA =O ，D 为C A 的中点，所以C D A ⊥O ．又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以C PO ⊥A ．因为D O PO =O ，所以C A ⊥平面D P O ．（II ）因为点C 在圆O 上，所以当C O ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1．又2AB =，所以C ∆AB 面积的最大值为12112⨯⨯=． 又因为三棱锥C P -AB 的高1PO =，故三棱锥C P -AB 体积的最大值为111133⨯⨯=． （III ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =，所以PB ==．同理C P =C C PB =P =B ．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值．又因为OP =OB ，C C ''P =B ，所以C 'O 垂直平分PB ，即E 为PB中点．从而C C ''O =OE +E =+= 亦即C E +OE．O A BP解法二：（I ）、（II ）同解法一．（III ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =，所以45∠OPB =，PB ==．同理C P =所以C C PB =P =B ，所以C 60∠PB =．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值．所以在C '∆O P 中，由余弦定理得：()2C 1221cos 4560'O =+-⨯+1122=+--2=+从而C 'O ==所以C E +OE ． 【考点定位】1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积．【名师点睛】证明直线和平面垂直可以利用判定定理，即线线垂直到线面垂直；也可以利用面面垂直的性质定理，即面面垂直到线面垂直；决定棱锥体积的量有两个，即底面积和高，当研究其体积的最值问题时，若其中有一个量确定，则只需另一个量的最值；若两个量都不确定，可通过设变量法，将体积表示为变量的函数解析式，利用函数思想确定其最值；将空间问题转化为平面问题是转化思想的重要体现，通过旋转到一个平面内，利用两点之间距离最短求解．20.【2015高考广东，文18】（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．（1）证明：C//B 平面D P A ；（2）证明：C D B ⊥P ；（3）求点C 到平面D P A 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3 【解析】试题分析：（1）由四边形CD AB 是长方形可证C//D B A ，进而可证C//B 平面D P A ；（2）先证C CD B ⊥，再证C B ⊥平面DC P ，进而可证C D B ⊥P ；（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，先证PE ⊥平面CD AB ，再设点C 到平面D P A 的距离为h ，利用C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥可得h 的值，进而可得点C 到平面D P A 的距离．试题解析：（1）因为四边形CD AB 是长方形，所以C//D B A ，因为C B ⊄平面D P A ，D A ⊂平面D P A ，所以C//B 平面D P A（2）因为四边形CD AB 是长方形，所以C CD B ⊥，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，C B ⊂平面CD AB ，所以C B ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以C D B ⊥P（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，因为D C P =P ，所以CD PE ⊥，在Rt D ∆PE 中，PE ===，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，PE ⊂平面DC P ，所以PE ⊥平面CD AB ，由（2）知：C B ⊥平面DC P ，由（1）知：C//D B A ，所以D A ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以D D A ⊥P ，设点C 到平面D P A 的距离为h ，因为C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥，所以D CD 1133S h S ∆P A ∆A ⋅=⋅PE ，即CD D 2S h S ∆A ∆P A ⋅PE ===，所以点C 到平面D P A【考点定位】1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.【名师点晴】本题主要考查的是线面平行、线线垂直和点到平面的距离，属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是三角形的中位线和构造平行四边形．证明线线垂直的关键是证明线面垂直，证明线面垂直可由面面垂直得到，但由面面垂直得到线面垂直一定要注意找两个面的交线，否则很容易出现错误．点到平面的距离是转化为几何体的体积问题，借助等积法来解决．21.【2015高考湖北，文20】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE . （Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； （Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值． 【答案】（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥. 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PCBC C =，所以DE ⊥平面PBC .四面体EBCD 是一个鳖臑；（Ⅱ）124.V V = 【解析】（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥. 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PCBC C =，所以DE ⊥平面PBC . 由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠（Ⅱ）由已知，PD 是阳马P ABCD -的高，所以11133ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；由（Ⅰ）知，DE 是鳖臑D BCE -的高， BC CE ⊥，所以21136BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅.在Rt △PDC中，因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE CE ==，于是 12123 4.16BC CD PD V CD PD V CE DEBC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅ 【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积，属中高档题.【名师点睛】以《九章算术》为背景，给予新定义，增添了试题的新颖性，但其实质仍然是考查线面垂直与简单几何体的体积计算，其解题思路：第一问通过线线、线面垂直相互之间的转化进行证明，第二问关键注意底面积和高之比，运用锥体的体积计算公式进行求解. 结合数学史料的给予新定义，不仅考查学生解题能力，也增强对数学的兴趣培养，为空间立体几何注入了新的活力.22.【2015高考湖南，文18】（本小题满分12分）如图4，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，,E F 分别是1,BC CC 的中点。

第八章 立体几何初步第3课时 直线与平面的位置关系(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎫对应学生用书（文）102～104页 （理）104～106页考情分析考点新知了解直线与平面的位置关系，了解空间垂直的有关概念；除了熟练运用线面垂直的判定定理和性质定理外，还要考虑面面垂直的性质和作用．要注意线线垂直、线面垂直以及面面垂直的转化．可以按照要证明的目标重新整理知识点.1. (必修2P 40练习4改编)若直线l 与平面α不垂直，则在平面α内与直线l 垂直的直线有________条．答案：无数解析：易证在平面α内与l 在平面α内的射影垂直的直线与l 垂直，所以满足题意的直线有无数条．2. (原创)已知A 、B 、C 是不共线的三点，直线m 垂直于直线AB 和AC ，直线n 垂直于直线BC 和AC ，则直线m ，n 的位置关系是________．答案：平行解析：因为直线m 垂直于直线AB 和AC ，所以m 垂直于平面ABC ，同理，直线n 垂直于平面ABC ，根据线面垂直的性质定理得m ∥n.3. ( 必修2P 40习题5改编)下列命题：① 一条直线在平面内的射影是一条直线；② 在平面内射影是直线的图形一定是直线；③ 在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等；④ 两斜线与平面所成的角相等，则这两斜线互相平行．其中真命题的个数是________．答案：0解析：一条直线在平面内的射影可以是一个点，所以①是错的；在平面内射影是直线的图形可能是平面，所以是②错的；③④显然也是错的，所以正确的个数为0.4. (必修2P 42习题9改编)如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上不同于A 、B 的任一点，则图中直角三角形的个数为________．答案：4解析：因为AB 是圆O 的直径，所以AC ⊥BC ，△ACB 是直角三角形；由PA ⊥平面ABC 可得，PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，所以△PAB 与△PAC 是直角三角形；因为PA ⊥平面ABC ，且BC Ì平面ABC ，所以PA ⊥BC ，又BC ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面PAC.而PC Ì平面PAC ，所以BC ⊥PC ，△PCB 是直角三角形；故直角三角形的个数为4.5. (必修2P 42习题11、16改编)P 为△ABC 所在平面外一点，O 为P 在平面ABC 内的射影．(1) 若P 到△ABC 三边距离相等，且O 在△ABC 的内部，则O 是△ABC 的________心；(2) 若PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，则O 是△ABC 的________心；(3) 若PA，PB，PC与底面所成的角相等，则O是△ABC的________心．答案：(1) 内(2) 垂(3) 外解析：(1) P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，可知O到△ABC三边距离相等，即O是△ABC的内心；(2) 由PO⊥平面ABC且BC平面ABC，得PO⊥BC，又PA⊥BC，PO与PA是平面POA内两条相交直线，所以BC⊥平面POA，从而BC⊥AO.同理AC⊥BO，所以O是△ABC的垂心；由PA、PB、PC与底面所成的角相等，易得Rt △POA≌Rt△POB≌Rt△POC，从而OA＝OB＝OC，所以O是△ABC的外心．1. 直线与平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a 的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．2. 结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．3. 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．性质定理：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．[备课札记]题型1 直线与平面垂直的判定例1 (2013·常州期末调研)如图，在四棱锥PABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB ＝2AD ＝2，CD ＝3，直线PA 与底面ABCD 所成角为60°，点M 、N 分别是PA 、PB 的中点．求证：(1) MN ∥平面PCD ；(2) 四边形MNCD 是直角梯形； (3) DN ⊥平面PCB.证明：(1) 因为点M 、N 分别是PA 、PB 的中点，所以MN ∥AB. 因为CD ∥AB ，所以MN ∥CD.又CD Ì平面PCD ，MN Ë平面PCD ，所以MN ∥平面PCD. (2) 因为AD ⊥AB ，CD ∥AB ，所以CD ⊥AD. 因为PD ⊥底面ABCD ，CD 平面ABCD ， 所以CD ⊥PD.因为AD ∩PD ＝D ，所以CD ⊥平面PAD. 因为MD Ì平面PAD ，所以CD ⊥MD. 又MN ∥CD ，MN ≠CD ，所以四边形MNCD 是直角梯形．(3) 因为PD ⊥底面ABCD ，所以∠PAD 就是直线PA 与底面ABCD 所成的角， 从而∠PAD ＝60°.在Rt △PDA 中，AD ＝2，PD ＝6，PA ＝22，MD ＝ 2. 在直角梯形MNCD 中，MN ＝1，ND ＝3，CD ＝3，CN ＝MD 2＋（CD －MN ）2＝6，从而DN 2＋CN 2＝CD 2，所以DN ⊥CN.在Rt △PDB 中，PD ＝DB ＝6，N 是PB 的中点，则DN ⊥PB. 又PB ∩CN ＝N ，所以DN ⊥平面PCB. 备选变式（教师专享）(2013·南京调研)如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D 、E 、F 分别为线段AC 、A 1A 、C 1B 的中点．(1) 证明：EF ∥平面ABC ； (2) 证明：C 1E ⊥平面BDE.证明：(1) 取BC 的中点G ，连结AG 、FG .因为F 为C 1B 的中点，所以FG ∥=12C 1C.在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A∥=C1C，且E为A1A的中点，所以FG∥=EA.所以四边形AEFG是平行四边形. 所以EF∥AG.因为EFË平面ABC，AGÌ平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2) 因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，BDÌ平面ABC，所以A1A ⊥BD.因为D为AC的中点，BA＝BC，所以BD⊥AC.因为A1A∩AC＝A，A1AÌ平面A1ACC1，ACÌ平面A1ACC1，所以BD⊥平面A1ACC1.因为C1EÌ平面A1ACC1，所以BD⊥C1E.根据题意，可得EB＝C1E＝62AB，C1B＝3AB，所以EB2＋C1E2＝C1B2.从而∠C1EB＝90°，即C1E⊥EB.因为BD∩EB＝B，BD Ì平面BDE, EBÌ平面BDE，所以C1E⊥平面BDE.题型2直线与平面垂直性质的应用例2已知如图①所示，矩形纸片AA′A1′A1，点B、C、B1、C1分别为AA′、A1A1′的三等分点，将矩形纸片沿BB1、CC1折成如图②形状(正三棱柱)，若面对角线AB1⊥BC1，求证：A1C⊥AB1.(图①)(图②)证明：作AD∥BC，BD∥AC交于D，作A1D1∥B1C1，B1D1∥A1C1交于D1.连结BD1、DD1(如图)，∵A1C1B1D1为菱形，∴A1B1⊥D1C1.又AA1⊥平面A1D1B1C1，∴AA1⊥D1C1.又D1C1⊥平面ABB1A1，∴D1C1⊥AB1.又AB1⊥BC1，∴AB1⊥平面BC1D1，∴AB1⊥BD1.又BD1∥CA1，∴AB1⊥A1C.变式训练(2013·泰州期末)在三棱锥SABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA ＝AB ＝AC ＝33BC ，点D 是BC 边的中点，点E 是线段AD 上一点，且AE ＝3DE ，点M 是线段SD 上一点，(1) 求证：BC ⊥AM ；(2) 若AM ⊥平面SBC ，求证：EM ∥平面ABS. 证明：(1) ∵ AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴ AD ⊥BC ，⎭⎪⎬⎪⎫SA ⊥平面ABC BC平面ABC Þ⎭⎪⎬⎪⎫SA ⊥BCAD ∩SA ＝A Þ⎭⎪⎬⎪⎫BC ⊥平面SAD AM 平面SAD ÞBC ⊥AM.(2) ∵ AM ⊥平面SBC ，AM ⊥SD ，设SA ＝AB ＝AC ＝1，则BC ＝3，SD ＝233，∵SA ⊥AD ，AM ⊥SD ，AD 2＝MD·SD ，故MD ＝36，SM ＝32，即SM ＝3MD ，又AE ＝3DE ，∴ ME ∥SA ，又ME Ë平面ABS ，SA Ì平面，故EM ∥平面ABS.题型3 直线与平面垂直的探索题例3 在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点，BC ＝BB 1. (1) 若P 是CC 1上任一点，求证：AP 不可能与平面BCC 1B 1垂直； (2) 试在棱CC 1上找一点M ，使MB ⊥AB 1. (1) 证明：反证法．假设AP ⊥平面BCC 1B 1， 因为BC Ì平面BCC 1B 1，所以AP ⊥BC.又正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，CC 1⊥BC ，AP ∩CC 1＝P ，AP Ì平面ACC 1A 1，CC 1Ì平面ACC 1A 1，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.而AC Ì平面ACC 1A 1，所以BC ⊥AC ，这与△ABC 是正三角形矛盾． 故AP 不可能与平面BCC 1B 1垂直． (2) M 为CC 1的中点．证明：∵ 在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BC ＝BB 1，∴ 四边形BCC 1B 1是正方形． ∵ M 为CC 1的中点，D 是BC 的中点，∴ △B 1BD ≌△BCM ，∴ ∠BB 1D ＝∠CBM ，∠BDB 1＝∠CMB.∵ ∠BB 1D ＋∠BDB 1＝π2，∠CBM ＋∠BDB 1＝π2，∴ BM ⊥B 1D.∵ △ABC 是正三角形，D 是BC 的中点， ∴ AD ⊥BC.∵ 平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，平面ABC ∩平面BB 1C 1C ＝BC ，AD Ì平面ABC ， ∴ AD ⊥平面BB 1C 1C.∵ BM Ì平面BB 1C 1C ，∴ AD ⊥BM. ∵ AD ∩B 1D ＝D ，∴ BM ⊥平面AB 1D. ∵ AB 1Ì平面AB 1D ，∴ MB ⊥AB 1. 备选变式（教师专享）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是CD 、A 1D 1中点． (1) 求证：AB 1⊥BF ； (2) 求证：AE ⊥BF ；(3) 棱CC 1上是否存在点F ，使BF ⊥平面AEP ，若存在，确定点P 的位置；若不存在，说明理由．(1) 证明：连结A 1B ，CD 1，∵ AB 1⊥A 1B ，AB 1⊥BC ，A 1B ∩BC ＝B ， ∴ AB 1⊥平面A 1BCD 1，又BF Ì平面A 1BCD 1，所以AB 1⊥BF. (2) 证明：取AD 中点M ，连结FM ，BM ，∴ AE ⊥BM ，又 ∵ FM ⊥AE ，BM ∩FM ＝M ，∴ AE ⊥平面BFM ，又BF Ì平面BFM ，∴ AE ⊥BF. (3) 解：存在，P 是CC 1的中点．易证PE ∥AB 1，故A 、B 1、E 、P 四点共面．由(1)(2)知AB 1⊥BF ，AE ⊥BF ，AB 1∩AE ＝A ，∴ BF ⊥平面AEB 1，即BF ⊥平面AEP.【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)由平面α外一点P 引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为A 、B 、C ，O 为△ABC 的外心，求证：OP ⊥α.学生错解：证明：因为O 为△ABC 的外心，所以OA ＝OB ＝OC ，又因为PA ＝PB ＝PC ，PO 公用，所以△POA ，△POB ，△POC 都全等，所以∠POA ＝∠POB ＝∠POC ＝90°，所以OP ⊥α.审题引导： 要记OP ⊥α，需记OP 垂直于α内两条相交的直线，由图形易知，可考虑证OP 垂直于△ABC 的两条边，注意到图中的等腰三角形PBC 、OBC ，不准找到证题途径．规范解答： 证明：取BC 的中点D ，连结PD 、OD ， ∵ PB ＝PC ，OB ＝OC ，∴ BC ⊥PD ，BC ⊥OD ，(5分)又PD Ì平面POD ，OD 平面POD ，且PD ∩OD ＝D ，∴ BC ⊥平面POD.(8分) ∵ PO Ì平面POD ，∴ BC ⊥PO. 同理AB ⊥PO.(12分)又AB 、BC 是α内的两条相交直线，∴ PO ⊥α.(14分)错解分析：上述解法中∠POA ＝∠POB ＝∠POC ＝90°，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明．1. (2013·苏锡常镇调研)已知l ，m 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若lÌβ，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α.则所有正确的命题是________．(填序号)答案：②解析：对于①，当l与α、β的交线不垂直时，l与α也不垂直，所以①错误；对于②，由两个平面平行的判定定理易证正确；对于③④，l可能在α内，所以它们都是错误的；因此，正确的命题只有②.2. (2013·青岛模拟改)如图所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在线段AB上(C、D、E均异于A、B)，则△ACD的形状是________．答案：直角三角形解析：∵a⊥b，b⊥c，a∩c＝B，∴b⊥平面ABC，∴AD⊥AC，故△ACD为直角三角形．3. 已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法正确的是________．(填序号)①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直；④对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直．答案：②解析：找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量．对于①，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为F，在图(1)中，由边AB、BC不相等可知点E、F不重合．在图(2)中，连结CE，若直线AC与直线BD垂直，∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥CE，与点E、F不重合相矛盾，故①错误．对于②，若AB⊥CD，∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，∴AB⊥AC，由AB<BC可知存在这样的等腰直角三角形，使得直线AB与直线CD垂直，故②正确．对于③，若AD⊥BC，∵DC⊥BC，AD∩DC＝D，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AC.已知BC＝2，AB＝1，BC>AB，∴不存在这样的直角三角形．∴③错误．由上可知④错误，故正确的说法只有②.4. 如图，在锥体PABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD＝2，PB＝2，E、F分别是BC、PC的中点．证明：AD⊥平面DEF.证明：取AD中点G，连结PG、BG、BD.因为PA＝PD，有PG⊥AD，在△ABD中，AB＝AD，∠DAB＝60°，故△ABD为等边三角形，因此BG⊥AD，BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PBG AD⊥PB，AD⊥GB.又PB∥EF，得AD⊥EF，而DE∥GB，得AD⊥DE.又FE∩DE＝E，EFÌ平面DEF，DEÌ平面DEF，所以AD⊥平面DEF.5. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知∠ACB＝90°，M为A1B与AB1的交点，N为棱B1C1的中点．(1) 求证：MN∥平面AA1C1C；(2) 若AC＝AA1，求证：MN⊥平面A1BC.证明：(1) 连结AC1，因为M为A1B与AB1的交点，所以M是AB1的中点．又N为棱B1C1的中点，所以MN∥AC1.又AC1平面AA1C1C，MNË平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C.(2) 由AC＝AA1，则四边形AA1C1C是正方形，所以AC1⊥A1C.因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为BCÌ平面ABC，所以CC1⊥BC.因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.因为CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面AA1C1C，所以BC⊥AC1.又AC1Ì平面AA1C1C，MN∥AC1，所以MN⊥A1C，MN⊥BC.又BC∩A1C＝C，所以MN⊥平面A1BC.1. 如图PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的是________．(填序号)答案：①②④解析：①AEÌ平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PAÞAE⊥BC，故①正确，②AE⊥PB，AF⊥PB EF⊥PB，故②正确，③若AF⊥BCÞAF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．2. (2012·福建莆田模拟)如图，在三棱锥P －ABC 中，△PAC ，△ABC 分别是以A 、B 为直角顶点的等腰直角三角形，AB ＝1.现给出三个条件：① PB ＝3；② PB ⊥BC ；③ 平面PAB ⊥平面ABC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：PA ⊥平面ABC ；解：(解法1)选取条件①，在等腰直角三角形ABC 中，∵ AB ＝1，∴ BC ＝1，AC ＝ 2. 又∵ PA ＝AC ，∴ PA ＝ 2. ∴ 在△PAB 中，AB ＝1，PA ＝ 2. 又∵ PB ＝3，∴ AB 2＋PA 2＝PB 2.∴ ∠PAB ＝90°，即PA ⊥AB.又∵ PA ⊥AC ，AB ∩AC ＝A ，AB ，AC 真包含于平面ABC ，∴ PA ⊥平面ABC. (解法2) 选取条件②，∵ PB ⊥BC ，又AB ⊥BC ，且PB ∩AB ＝B ，∴ BC ⊥平面PAB. ∵ PA 真包含于平面PAB ，∴ BC ⊥PA.又∵ PA ⊥AC ，且BC ∩AC ＝C ，∴ PA ⊥平面ABC. (解法3)选取条件③， 若平面PAB ⊥平面ABC ，∵ 平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，BC 真包含于平面ABC ，BC ⊥AB ，∴ BC ⊥平面PAB. ∵ PA 真包含于平面PAB ，∴BC ⊥PA.∵PA ⊥AC ，且BC ∩AC ＝C ，∴ PA ⊥平面ABC. 3. 在空间四边形ABCD 中， 已知AC ⊥BD, AD ⊥BC, 求证：AB ⊥CD. 证明：过A 点作AO 垂直平面BCD 于O ，连结BO, CO, DO. ∵AO ⊥平面BCD ，∴AO ⊥BD.又AC ⊥BD ，∴BD ⊥平面AOC ，∴CO ⊥BD.同理，DO ⊥BC ，∴O 为△BCD 的垂心，∴BO ⊥CD. 又AO ⊥平面BCD ，∴AO ⊥CD ， ∴CD ⊥平面ABO ，∴AB ⊥CD.4. 如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA＝PD ＝22AD.若E 、F 分别为PC 、BD 的中点，求证：(1) EF ∥平面PAD ； (2) EF ⊥平面PDC.证明：(1) 连结AC ，则F 是AC 的中点，在△CPA 中，EF ∥PA ，且PA Ì平面PAD ，EF Ë平面PAD ，∴EF ∥平面PAD.(2) ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，又CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA .又PA ＝PD ＝22AD ，∴△PAD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝π2，即PA ⊥PD ，而CD ∩PD＝D ，∴PA ⊥平面PDC.又EF ∥PA ，∴EF ⊥平面PDC.1. 判定或证明直线与平面垂直的常用方法：(1) 利用直线与平面垂直的定义，注意弄清“任意”与“无数”两词的差异；(2) 利用直线与平面垂直的判定定理(a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，mÌα，nÌαÞa⊥α)；(3) 利用平面与平面垂直的性质定理(α⊥β，α∩β＝l，ABÌα，AB⊥lÞAB⊥β)．注意证题时一定要将相应的条件写全，规范书写．2. 证明垂直问题时要注意“转化思想”的应用，要抓住线线、线面、面面之间垂直关系的相互转化，达到解题目的．请使用课时训练（B）第3课时（见活页）.[备课札记]。

三、解答题1. 【2015高考天津，理17】（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12,5AC AA ADCD ====,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证：//MN 平面ABCD ； (II)求二面角11D AC B --的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长 【答案】(I)见解析； (II)31010； (III) 72-. 【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0)A B C D -，NMC 1B 11DABD 1NM C 1B 1A 1DABCD 1(III)依题意，可设111A E A B λ=u u u r u u u u r ，其中[0,1]λ∈，则(0,,2)E λ，从而(1,2,1)NE λ=-+u u u r ，又(0,0,1)n =r为平面ABCD 的一个法向量，由已知得2221cos ,3(1)(2)1NE n NE n NE n λ⋅===⋅-+++u u u r ru u u r r u u u r r ，整理得2430λλ+-=， 又因为[0,1]λ∈，解得72λ=-，所以线段1A E 的长为72 .【考点定位】直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用.4. 【2013天津，理17】如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．(1)证明B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，求线段AM 的长． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）217；（Ⅲ）2易得11B C u u u u r ＝(1,0，－1)，CE u u u r ＝(－1,1，－1)，于是11B C u u u u r ·CE u u u r＝0，所以B1C1⊥CE.(2)1B C u u u r＝(1，－2，－1)．设平面B1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z),则10,0,B C CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m 即20,0.x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩(3)AE u u u r＝(0,1,0)，1EC u u u u r ＝(1,1,1)．设EM u u u u r ＝λ1EC u u u u r ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM u u u u r ＝AE u u u r ＋EM u u u u r＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB u u u r＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量．设θ为直线AM 与平面ADD1A1所成的角，则sin θ＝|cos 〈AM u u u u r ，AB u u u r〉|＝AM AB AM AB⋅⋅u u u u r u u u r u u u ur u u u r 2222(1)2321λλλλλ=+++⨯++.22321λλ=++，解得13λ=,所以AM 2. (方法二)(1)证明：因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1⊂平面A1B1C1D1， 所以CC1⊥B1C1.经计算可得B1E ＝5，B1C1＝2，EC1＝3， 从而B1E2＝22111B C EC +， 所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E ，又CC1，C1E ⊂平面CC1E ，CC1∩C1E ＝C1， 所以B1C1⊥平面CC1E ，又CE ⊂平面CC1E ，故B1C1⊥CE.(3)连接D1E ，过点M 作MH ⊥ED1于点H ，可得MH ⊥平面ADD1A1，连接AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面 ADD1A1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH ＝26x ，AH ＝346x . 在Rt △C1D1E 中，C1D1＝1，ED1＝2，得EH ＝123MH x.5. 【2014天津，理17】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，AD AB ^，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．E PDC（Ⅰ）证明：BE DC ^；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ^，求二面角F AB P --的余弦值． 【答案】（Ⅰ）详见试题分析；（Ⅱ）直线BE 与平面PBD 3；310． 【解析】试题分析：（Ⅰ）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明BE DC ^。

2015年高考真题解答题专项训练：立体几何（文科）学生版1．（2015.浙江）如图，在三棱锥中，，在底面ABC的射影为BC的中点，D为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线和平面所成的角的正弦值.2．（2015.新课标1卷）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，平面，（I）证明：平面平面；（II）若，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.3．（2015.湖南）如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点。

（１）证明：平面平面；（２）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积．称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE ．（Ⅰ）证明： DE ⊥平面PBC ． 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值． 5．（（2015.广东）如图，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．（1）证明：C//B 平面D P A ； （2）证明：C D B ⊥P ；（3）求点C 到平面D P A 的距离．6．（2015.安徽）如图，三棱锥P-ABC中，PA ⊥平面ABC ，1,1,2,60PA AB AC BAC ===∠=．（Ⅰ）求三棱锥P-ABC 的体积；PM7．（2015.新课标2卷）如图，长方体1111ABCD A B C D -中， 116,10,8AB BC AA ===，点,E F 分别在1111,A B D C 上， 114A E D F ==，过点,E F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）． （2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．8．（2015.福建）如图， AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点， PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．9．（2015.重庆）如图，三棱锥P-ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ， ∠ABC=2π，点D 、E 在线段AC 上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F 在线段AB 上，且EF//BC ． (Ⅰ)证明：AB ⊥平面PFE.(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC 的体积为7，求线段BC 的长.10．（2015.天津）如图,已知平面ABC,AB=AC=3,,,点E,F分别是BC,的中点.（Ⅰ）求证:EF∥平面;（Ⅱ）求证:平面平面.（Ⅲ）求直线与平面所成角的大小.11．（2015.四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论.（Ⅲ）证明：直线DF平面BEG12．（2015.陕西）如图1，在直角梯形ABCD 中，，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -.（Ⅰ）证明：CD ⊥平面1AOC ； （Ⅱ）当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为求a 的值. 13．（2015.山东）如图，三棱台DEF ABC -中， 2AB DE G H =，，分别为AC BC ，的中点.（Ⅰ）求证： //BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF BC AB BC ⊥⊥，，求证：平面BCD ⊥平面EGH .14．（2015.北京）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形， 且 ， ， 分别为 ， 的中点．(1)求证： 平面 ；(2)求证：平面平面；(3)求三棱锥的体积．参考答案1．（1）见解析；（2）【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷带解析）【解析】（1）利用线面垂直的定义得到线线垂直，根据线面垂直的判定证明直线与平面垂直；（2）通过添加辅助线，证明平面，以此找到直线与平面所成角的平面角，在直角三角形中通过确定边长，计算的正弦值.试题解析：（1）设为中点，由题意得平面，所以.因为，所以.所以平面.由，分别为的中点，得且，从而且，所以是平行四边形，所以.因为平面，所以平面.（2）作，垂足为，连结.因为平面，所以.因为，所以平面.所以平面.所以为直线与平面所成角的平面角.由，得.由平面，得.由，得.所以考点：1.空间直线、平面垂直关系的证明；2.直线与平面所成的角.视频2．（1）见解析（2）3+2【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ带解析）【解析】试题分析：（Ⅰ）由四边形ABCD为菱形知AC BD，由BE平面ABCD知AC BE，由线面垂直判定定理知AC平面BED，由面面垂直的判定定理知平面平面；（Ⅱ）设AB=，通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用x表示出来，在AEC中，用x表示EG，在EBG中，用x表示EB，根据条件三棱锥的体积为求出x，即可求出三棱锥的侧面积.试题解析：（Ⅰ）因为四边形ABCD为菱形，所以AC BD，因为BE平面ABCD，所以AC BE，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED（Ⅱ）设AB=，在菱形ABCD中，由ABC=120°，可得AG=GC=,GB=GD=.因为AE EC，所以在AEC中，可得EG=.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BE=.由已知得，三棱锥E-ACD的体积.故=2从而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥E-ACD的侧面积为.考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力视频3．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷带解析）【解析】试题分析：（１）由面面垂直的判定定理很容易得结论；（２）所求三棱锥底面积容易求得，是本题转化为求三棱锥的高，利用直线与平面所成的角为，作出线面角，进而可求得的值，则可得的长．试题解析：（1）如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形的边的中点，所以又 ，因此 平面 而 平面 ，所以平面 平面 （2）设 的中点为 ，连结 ,因为 是正三角形，所以又三棱柱 是直三棱柱，所以因此 平面 ，于是 为直线 与平面 所成的角， 由题设， ，所以在 中， ，所以故三棱锥 的体积考点：直线与平面垂直的判定定理；直线与平面所成的角；几何体的体积．视频4．（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥． 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D ⋂=，所以BC ⊥平面PCD ． DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥． 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥． 而PC BC C ⋂=，所以DE ⊥平面PBC ．四面体EBCD 是一个鳖臑；（Ⅱ）124.V V = 【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷带解析）【解析】（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥． 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D ⋂=，所以BC ⊥平面PCD ． DE ⊂平面PC D ，所以BC DE⊥． 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥． 而PC BC C ⋂=，所以DE ⊥平面PBC ． 由BC ⊥平面PCD ， DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠（Ⅱ）由已知， PD 是阳马P ABCD -的高，所以11133ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；由（Ⅰ）知，DE 是鳖臑D B C E -的高， BC CE ⊥，所以21136BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅．在Rt △PDC 中，因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以2DE CE ==，于是12123 4.16BC CD PDV CD PD V CE DE BC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅考点：本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积，属中高档题．视频5．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3 【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（广东卷带解析） 【解析】试题分析：（1）由四边形CD AB 是长方形可证C//D B A ，进而可证C//B 平面D P A ；（2）先证C CD B ⊥，再证C B ⊥平面DC P ，进而可证C D B ⊥P ；（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，先证P E ⊥平面CD AB ，再设点C 到平面D P A 的距离为h ，利用C D C DV V -P A P-A=三棱锥三棱锥可得h 的值，进而可得点C 到平面D P A 的距离．试题解析：（1）因为四边形CD AB 是长方形，所以C//D B A ，因为C B ⊄平面D P A ，D A ⊂平面D P A ，所以C//B 平面D P A（2）因为四边形CD AB 是长方形，所以C CD B ⊥，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，C B ⊂平面CD AB ，所以C B ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以C D B ⊥P（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，因为D C P =P ，所以CD PE ⊥，在R t D ∆P E 中，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，PE ⊂平面DC P ，所以PE ⊥平面CD AB ，由（2）知：C B ⊥平面DC P ，由（1）知：C//D B A ，所以D A ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以D D A ⊥P ，设点C 到平面D P A 的距离为h ，因为C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥，所以，即，所以点C 到平面D P A 的距离是考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离. 6．（Ⅰ）6；（Ⅱ）13【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析） 【解析】（Ⅰ）解：由题设＝1,可得.由面可知是三棱锥的高,又所以三棱锥的体积 （Ⅱ）证：在平面内，过点B 作，垂足为，过作交于，连接.由面知，所以.由于，故面，又面，所以.在直角中，，从而.由，得.考点：本题主要考查锥体的体积公式、线面垂直的判定定理和其性质定理.视频7．（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）97或79【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ带解析）【解析】试题分析：（Ⅰ）分别在,AB CD 上取H,G,使10AH DG ==；长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,可求得其体积比值为97或79试题解析：解：（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：（Ⅱ）作垂足为M,则18EM AA ==,,,因为EHGF 是正方形,所以,于是因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积比值为97（79也正确）. 考点：本题主要考查几何体中的截面问题及几何体的体积的计算.视频8．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13；【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷带解析） 【解析】解法一：（Ⅰ）在C ∆AO 中，因为C OA =O ， D 为C A 的中点， 所以C D A ⊥O ．又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以C PO ⊥A ． 因为D O⋂PO =O ，所以C A ⊥平面D P O ． （Ⅱ）因为点C 在圆O 上，所以当C O ⊥AB 时， C 到AB 的距离最大，且最大值为1． 又2AB =，所以C ∆AB 面积的最大值为12112⨯⨯=． 又因为三棱锥C P -AB 的高1PO =，故三棱锥C P -AB 体积的最大值为111133⨯⨯=．（Ⅲ）在∆POB 中， 1PO =OB =， 90∠POB =，所以PB ==同理C P =C C PB =P =B ．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ， E ， C'共线时， C E +OE 取得最小值． 又因为OP =OB ， C'C'P =B ，所以C'O 垂直平分PB ，即E 为PB 中点．从而C'C'222O =OE +E =+=，亦即C E +OE 的最小值为2．解法二：（Ⅰ）、（Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）在∆POB 中， 1PO =OB =， 90∠POB =，所以45∠OPB =， PB ==C P =所以C C PB =P =B ，所以C 60∠PB =．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ， E ， C'共线时， C E +OE 取得最小值． 所以在C'∆O P 中，由余弦定理得：()2C'1221cos 4560O =+-⨯+1122222=+--⨯⎭2=+从而C'2O ==．所以C E +OE 考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积．视频9．(1)见解析(2) BC=3或【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（重庆卷带解析）【解析】试题分析：（Ⅰ）先由已知易得PE AC ⊥，再注意平面PAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，由面面垂直的性质可得PE ⊥平面ABC ，再由线面垂直的性质可得到AB PE ⊥，再注意到//EF BC ，而B C A B ⊥，从而有AB EF ⊥，那么由线面垂的判定定理可得AB ⊥平面PFE ，（Ⅱ）设B C =x 则可用x 将四棱锥P DFBC -的体积表示出来，由已知其体积等于7，从而得到关于x 的一个一元方程，解此方程，再注意到0x >即可得到BC 的长．试题解析：证明：如题（20）图.由,DE EC PD PC ==知， E 为等腰PDC ∆中DC 边的中点，故PE AC ⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =， PE ⊂平面PAC ，PE AC ⊥，所以PE ⊥平面ABC ，从而PE AB ⊥. 因ABC=,,AB EF 2EF BC π∠⊥故.从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ， EF 都垂直， 所以AB ⊥平面PFE .（2）解：设BC=x ,则在直角ABC ∆中，从而11S AB BC=22ABC ∆=⨯由EFBC ，知23AF AE AB AC ==，得AEF ABC ∆~∆,故224S 39AEF ABC S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，即4S 9AEF ABC S ∆∆=. 由1AD=2AE,11421S S =S S 22999AFB AFE ABC ABC ∆∆∆∆=⋅==从而四边形DFBC的面积为DFBC 11S S -=29ABC ADF S ∆∆=718=由（1）知，PE PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P-DFBC 的高.在直角PEC ∆中， =,体积DFBC 117S 73318P DFBC V PE -=⋅⋅=⋅=, 故得42362430x x -+=，解得，由于0x >，可得333x x ==或.所以3BC =或BC =考点：1. 空间线面垂直关系，2. 锥体的体积，3.方程思想.视频10．（Ⅰ）见试题解析;（Ⅱ）见试题解析;（Ⅲ） .【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷带解析）【解析】（Ⅰ）要证明EF ∥平面 , 只需证明 且EF 平面 ;（Ⅱ）要证明平面 平面 ,可证明 , ;（Ⅲ）取 中点N,连接 ,则 就是直线 与平面 所成角,Rt △ 中,由得直线 与平面所成角为 .试题解析:（Ⅰ）证明:如图,连接 ,在△ 中,因为E 和F 分别是BC, 的中点,所以 ,又因为EF 平面 , 所以EF ∥平面 .（Ⅱ）因为AB=AC,E 为BC 中点,所以 ,因为 平面ABC,所以 平面ABC,从而 ,又 ,所以 平面 ,又因为 平面 ,所以平面 平面 .（Ⅲ）取中点M和中点N,连接,因为N和E分别为,BC中点,所以,,故,,所以,,又因为平面,所以平面,从而就是直线与平面所成角,在△中,可得AE=2,所以=2,因为,所以又由,有,在Rt△中,可得,在Rt△中,因此,所以,直线与平面所成角为.考点：本题主要考查空间中线面位置关系的证明,直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力及推理论证能力.视频11．见解析【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷带解析）【解析】（Ⅰ）点F，G，H的位置如图所示（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH.证明如下因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH于是BCEH为平行四边形所以BE∥CH又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH同理BG∥平面ACH又BE∩BG＝B所以平面BEG∥平面ACH（Ⅲ）连接FH因为ABCD －EFGH 为正方体，所以DH ⊥平面EFGH 因为EG ⊂平面EFGH ，所以DH ⊥EG又EG ⊥FH ，EG ∩FH ＝O ，所以EG ⊥平面BFHD 又DF ⊂平面BFDH ，所以DF ⊥EG 同理DF ⊥BG 又EG ∩BG ＝G 所以DF ⊥平面BEG.考点：本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力.12．（Ⅰ） 证明见解析，详见解析；（Ⅱ） 6a =.【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（陕西卷带解析） 【解析】试题分析：（Ⅰ） 在图1中，，E 是AD 的中点，所以四边形ABCE 是正方形，故BE AC ⊥，又在图2中，1,BE AO BE OC ⊥⊥，从而BE ⊥平面1AOC ，又//DE BC 且DE BC =，所以//CD BE ，即可证得CD ⊥平面1AOC ； （Ⅱ）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE平面BCDE BE = ，又由（Ⅰ）知，1A O BE ⊥，所以1AO ⊥平面BCDE ，即1A O 是四棱锥1A BCDE -的高，易求得平行四边形BCDE 面积2S B CA B a =⋅=，从而四棱锥1A BCDE -的为，得6a =.试题解析：（Ⅰ）在图1，E 是AD 的中点所以BE AC ⊥，即在图2中，1,BE AO BE OC ⊥⊥ 从而BE ⊥平面1AOC 又//CD BE所以CD ⊥平面1AOC .（Ⅱ）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ， 且平面1A BE平面BCDE BE =又由（Ⅰ）知，1AO BE ⊥，所以1AO ⊥平面BCDE ， 即1A O 是四棱锥1A BCDE -的高，由图1，平行四边形BCDE 面积2S BC AB a =⋅=， 从而四棱锥1A BCDE -的为，得6a =. 考点：1.线面垂直的判定；2.面面垂直的性质定理；3.空间几何体的体积. 13．证明见解析【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷带解析）【解析】（Ⅰ）证法一：连接,.DG CD 设CD GF M ⋂=,连接MH ，在三棱台DEF ABC -中， 2AB DE G =，分别为AC 的中点，可得//,DF GC DF GC =，所以四边形DFCG 是平行四边形，则M 为CD 的中点，又H 是BC 的中点，所以//HM BD , 又HM ⊂平面FGH ， BD ⊄平面FGH ，所以//BD 平面FGH .证法二：在三棱台DEF ABC -中，由2,BC EF H =为BC 的中点，可得//,,BH EF BH EF =所以HBEF 为平行四边形，可得//.BE HF 在ABC ∆中， G H ，分别为AC BC ，的中点， 所以//,GH AB 又GH HF H ⋂=， 所以平面//FGH 平面ABED ， 因为BD ⊂平面ABED ， 所以//BD 平面FGH .（Ⅱ）证明：连接HE .因为G H ，分别为AC BC ，的中点，所以//,GH AB 由,AB BC ⊥得GH BC ⊥，又H 为BC 的中点，所以//,,EF HC EF HC =因此四边形EFCH 是平行四边形，所以//.CF HE 又CF BC ⊥，所以HE BC ⊥.又,HE GH ⊂平面EGH ， HE GH H ⋂=，所以BC ⊥平面EGH ， 又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面.EGH 考点：1.平行关系；2.垂直关系.视频14．（1）见解析；（2）见解析；（3）.【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷带解析）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线得出OM ∥VB ，利用线面平行的判定定理证明VB ∥平面MOC ；（Ⅱ）证明OC ⊥平面VAB ，即可证明平面MOC ⊥平面VAB ；（Ⅲ）利用等体积法求三棱锥A-MOC 的体积即可试题解析：（Ⅰ）证明：∵O ，M 分别为AB ，VA 的中点，∴OM∥VB，∵VB平面MOC，OM平面MOC，∴VB∥平面MOC；（Ⅱ）证明：∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，又∵平面VAB⊥平面ABC，平面 ∩平面VAB=AB，且OC平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（Ⅲ）在等腰直角三角形中，，所以.所以等边三角形的面积.又因为平面，所以三棱锥的体积等于.又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，所以三棱锥的体积为.考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；用向量证明平行视频答案第15页，总15页。

2015年全国各地高考模拟数学试题汇编空间几何体的三视图、表面积与体积(理卷A)专题5 立体几何第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积（A卷）一、选择题（每题5分，共70分）1.（2015·陕西省咸阳市高考模拟考试（三）·8）2.（2015·汕头市普通高考第二次模拟考试试题·6）3．（2015·厦门市高三适应性考试·9）如图1，已知正方体ABCD－A1B1C l D1的棱长为a，动点M、N、Q分别在线段1111AD B C C D上.,,当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN的正视图面积等于（）A. 212a B. 214aC. 224a D. 234a4．(2015济宁市曲阜市第一中学高三校模拟考试·4)一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．16B．13C．23D．1正视方向图1 图2B11CDBMN5．(2015·黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第三次模拟考试数学（理）试题·5)一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半径为1的圆，则这个几何体的表面积为（ ）A ．π3B ．π4C ．π5D ．π6 【解析】由三视图知原几何体是一个球的43，,球的半径为1，其表面积为πππ41144322=⨯+⨯⨯⨯．6.(2015·大连市高三第二次模拟考试·10)已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为（ ）（A ）16 （B ）13（C ）12 （D ）237．(2015·丰台区学期统一练习二·5）某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为（ ）32213(A) 6 (B) 29 (C) 3(D) 238．（2015·合肥市高三第三次教学质量检测·7）某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是（ ）A ．62．1 C ．22D 69．（2015·开封市高三数学（理）冲刺模拟考试·5）某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12B ．24C ．30D ．4810．（2015·开封市高三数学（理）冲刺模拟考试·11）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2DC ＝2，∠DAB ＝60°，E 为AB 的中点．将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积俯视图左视图正视图3245为( )A ．86πB．66π C ．64π D ．62π11. (2015·哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试·9) 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为32，一个内角为60︒ 的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ）A.23B.43C.8D. 412.（2015·河北省唐山市高三第三次模拟考试·8）13．（2015·山东省潍坊市高三第二次模拟考试·7）已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球O的球面上，底面△ABC是边长为1的正三角形，棱SC是球O的直径且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A ．62 B ．63 C ．32 D ．2214．(江西省九江市2015届高三第三次模拟考试·5)已知某锥体的正视图和侧视图如图所示，其体积为23，则该锥体的俯视图可以是（ ）二、非选择题(30分)15．(2015·日照市高三校际联合5月检测·13)若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是______．第15题图22侧视图322正视图11BPA．16. (2015·济宁市5月高考模拟考试·14)17. (江西省九江市2015届高三第三次模拟考试·15)已知点A 、B 、C 、D 在同一球面上，且2,2AB BC AC ===ABCD 体积的最大值为43，则该球的表面积为 18、（2015·海南省高考模拟测试题·15）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的对应直观图中PAB ∆的面积为__________.19 (2015·哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试·15)已知球O的直径4=PQ，C B A,,是球O球面上的三点, 30=∠CPQ=APQ，ABCBPQ∠∠=∆是正三角形，则三棱锥ABCP-的体积为. 20. (2015·济南市高三教学质量调研考试·15)如图，三个半径都是5cm的小球放在一个半球面的碗中，三个小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，则这个碗的半径R是_________cm.专题5 立体几何第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积（A 卷）答案与解析1.【答案】 B.【命题立意】考查立体几何中三视图的观察与应用，以及简单几何体体积的计算.【解析】由于从三视图可以看出几何体的上半部分是截面为正方形的直四棱柱，下半部分是截面为等腰梯形的直四棱柱，所以其体积为312(26)22244482V V V cm +⨯=+=⨯⨯+⨯=.故选B.2.【答案】A【命题立意】本题考查的知识点是三视图和几何体的表面积．【解析】由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积，其底面边长为10，故底面面积为10×10=100与底面垂直的两个侧面是全等的直角，两直角连年长度分别为10，20，故它们的面积皆为100另两个侧面也是全等的直角三角形，两直角边中一边是底面正方形的边长10，另一边可在与底面垂直的直角三角形中求得，其长为221020105+=，故此两侧面的面积皆为505故此四棱锥的表面积为S ＝100(3+5)cm 2． 故选A.3.【答案】B【命题立意】本题旨在考查几何体的三视图.【解析】由俯视图可知点N 和点C 重合，Q 点和1D 重合，M 为1AD 的中点，故其正视图为三角形，如图：从而得到其面积为：2111224a a a ⨯⨯=.故选：B 4.【答案】B【命题立意】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何体的形状，分析出几何体的几何特征，进而求出底面面积，高是解答本题的关键．【解析】由三视图判断几何体为三棱锥，如图：由已知中侧视图是一个等腰直角三角形，宽为1，∴棱锥的高H=1；底面△的高也为1，又由俯视图为等腰直角三角形，且底面斜边长为2，∴底面面积S=12×2×1=1，则几何体的体积V=13×1×1=13．5.【答案】B【命题立意】考查三视图，考查空间想象能力，容易题．6.【答案】A【命题立意】本题重点考查了三视图、空间几何体的结构特征等知识。

立体几何-----------2015.2.1赠言：Never, never, never, never give up (Winston Churchill) 永远不要、不要、不要、不要放弃。

（英国首相 丘吉尔）1.（全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC上，∠ABM=60。

（I ）证明：M 是侧棱SC 的中点；()II 求二面角S AM B --的大小。

2.（全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB =AC （Ⅱ）设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小3.（浙江卷）如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．ACBA 1B 1C 1 DE4.（北京卷）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.5.（江西卷）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ． （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离．6.（四川卷）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ︒==∠=（I ）求证：EF BCE ⊥平面；（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面 （III ）求二面角F BD A --的大小。

2015届高考数学 立体几何1（基础及能力训练）111．在如图所示的空间直角坐标系O ­xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A ．①和②B D ．④和②2．一块石材表示的几何体的三视图如右图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ．2C ．3D ．43．几何体的三视图(单位：cm)如图右所示，则此几何体的表面积是( )A ．90 cm 2B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 24．某几何体三视图如右图所示，则该几何体表面积为( )A ．54B ．60C ．66D ．725．把边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，连接AC ，得到三棱锥C - ABD ，其正视图、俯视图为全等的等腰直角三角形(如右图所示)其侧视图的面积为( )A.32B.12 C ．1 D.226．四面体ABCD 及其三视图如右下图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱BD ，DC ，CA 于点F ，G ，H .(1)证明：四边形EFGH 是矩形；(2)求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值．7．三棱锥A -BCD及其侧视图、俯视图如图所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角A -NP -M的余弦值．8．在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．9．如图①所示，四边形ABCD为等腰梯形，AE⊥DC，AB＝AE＝13DC，F为EC的中点．现将△DAE沿AE翻折到△P AE的位置，如图②所示，且平面P AE⊥平面ABCE.(1)求证：平面P AF⊥平面PBE；(2)求三棱锥A-PBC与三棱锥E-BPF 体积之比．。

2015年高考真题――立体几何1. [新课标卷1]11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )A. 1B. 2C. 4D. 82.[全国课标2]6. 一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A.B. C. D.3.[北京卷]7. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( ) A. 1B.C.D. 24. [天津卷]10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 ．5. [山东卷]9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.B.C.D. 6.[广东卷]6. 若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )81716151111A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交 7. [重庆卷]5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.123π+ B. 136π C. 73π D. 52π8.[安徽卷]9. 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A.1B.1+C.2D.9.[江苏卷]9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个. 若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 .10.[浙江卷]2.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是( )A ．83cmB ．123cmC ．3233cm D ．4033cm11.[湖南卷]10.某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）( )A.89πB.827πC.21)πD.21)π221112212.[陕西卷]5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.3πB. 4πC. 2π＋4D. 3π＋313.[湖北卷]5．12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则( ) A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件14.[新课标1]18.（本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，(I)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(II)若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -.15.[全国课标2]19.（本小题满分12分）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=16，BC=10，AA 1=8,点E ，分别在A 1B 1, D 1C 1上，A 1E= D 1F=4.过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. (I)在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由） (II)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.22FD C 1A 1C如图，在三棱锥E-ABC 中，平面EAB ⊥平面ABC ，三角形EAB 为等边三角形，AC ⊥ BC,且AC=BC=,O,M 分别为AB,V A 的中点.(I)求证:VB//平面MOC.(II)求证：平面MOC ⊥平面 V AB (III)求三棱锥V-ABC 的体积.17. [天津卷]17.（满分13分） 如图，已知1AA ⊥平面ABC ，11,BB AA AB=AC=3，1BC AA =，1BB =点E ，F 分别是BC ，1AC 的中点， （I ）求证：EF 平面11A B BA ； （II ）求证：平面1AEA ⊥平面1BCB 。

2015 年全国各地高考数学试题及解答分类大全（立体几何 ）一、选择题：1.（2015安徽文、理）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）（A ）13+ （B ）122+ （C ）23+ （D ）222.（2015安徽理）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面3、（2015北京文）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B．2 C．3 D．2【答案】C【解析】试题分析：四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，SC⊥平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，222223SA SC AC SC AB BC=+=++=考点：三视图.4. （2015北京理）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）11俯视图侧(左)视图21A．25+ B．45 C．225+．5 【答案】C【解析】试题分析：根据三视图恢复成三棱锥P-ABC ，其中PC ⊥平面ABC ，取AB 棱的中点D ，连接CD 、PD ，有,PD AB CD AB ⊥⊥，底面ABC 为等腰三角形底边AB 上的高CD 为2，AD=BD=1,PC=1,5,ABC PD S ∆=1222,2=⨯⨯=,12552PAB S ∆=⨯⨯=AC BC =5=1512PAC PBC S S ∆∆==⨯⨯52=,三棱锥表面积表252S =+.考点：1.三视图；2.三棱锥的表面积.5．（2015福建文）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A ．822+B ．1122+．1422+．151112【答案】B【解析】学科网试题分析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为12，，直角腰长为12．底面积为12332⨯⨯=，侧面积为则其表面积为2+2+4+22=8+221122+B ．考点：三视图和表面积．6. （2015广东文） 若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交 【答案】A考点：空间点、线、面的位置关系．7.（2015广东理）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3【答案】C．【考点定位】本题考查空间想象能力、推理能力，属于中高档题．8. (2015湖南理)某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（）A.89πB.169πC.34(21)π-D.312(21)π-【答案】A.【考点定位】1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.【名师点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题，与实际应用相结合，立意新颖，属于较难题，需要考生从实际应用问题中提取出相应的几何元素，再利用基本不等式求解，解决此类问题的两大核心思路：一是化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，选择合理的变量，或利用导数或利用基本不等式，求其最值.9、(2015湖南文)某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）A、89πB、827πC、224(21)π-D、28(21)π-【答案】A考点：三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体10、(2015全国新课标Ⅰ卷文、理)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛11、(2015全国新课标Ⅰ卷文、理)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，+，则r=( ) 该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）812. (2015全国新课标Ⅱ卷文、理)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）1A.8 1B.7 1C.6D.15【答案】D【解析】试题分析：由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133111326A A B D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ．考点：三视图．CBADD 1C 1B 1A 114. (2015全国新课标Ⅱ卷文、理)已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ）A.π36B. π64C.π144D. π256【答案】C 【解析】试题分析：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．BOAC16. (2015山东文) 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) （A ）（B ）（）22π（）42π【答案】B考点：1.旋转体的几何特征；2.几何体的体积.17.(2015山东理)在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//,222AD BC BC AD AB === .将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）（A ）23π （B ）43π （C ）53π （D ）2π 【答案】C【考点定位】1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.【名师点睛】本题考查了空间几何体的结构特征及空间几何体的体积的计算，重点考查了圆柱、圆锥的结构特征和体积的计算，体现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的考查，此题属中档题.18. (2015陕西文、理)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+【答案】D 【解析】试题分析：由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半， 所以该几何体的表面积为21121222342πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+，故答案选D 考点：1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积.20、(2015浙江文、理)某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．83cmB ．123cmC ．3233cmD ．4033cm 【答案】C考点：1.三视图；2.空间几何体的体积.21、(2015浙江文)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβ D ．若//αβ，则//l m 【答案】A 【解析】试题分析：采用排除法，选项A 中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B 中，当αβ⊥时，,l m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，//l β时，,αβ可以相交；选项D 中，//αβ时，,l m 也可以异面.故选A.考点：直线、平面的位置关系.23. (2015浙江理)如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. A CB α'∠≤24.(2015重庆文)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）(A)123π+(B)136π(C)73π(D)52π【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为1；构成的一个组合体，故其体积为61311612122πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯；故选B.考点：三视图.25．(2015重庆理)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A、13π+ B、23π+C、123π+ D、223π+【答案】A【考点定位】组合体的体积.【名师点晴】本题涉及到三视图的认知，要求学生能由三视图画出几何体的直观图，从而分析出它是哪些基本几何体的组合，应用相应的体积公式求出几何体的体积，关键是画出直观图，本题考查了学生的空间想象能力和运算求解能力.二、填空题：1. (2015江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。