7.1.1 条件概率

1
3
2
5
1．已知P(B|A)＝ ，P(A)＝ ，则P(AB)等于(
A.
5
6
B.
9
10
C.
2
15
= | ⋅ = ×
)
D.

| =

1
3
C
2 2
=
5 15
1
15
2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第
一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是(
= ∪∪ = + + = 6 +
+
=
6
6
6
20
20
20
20
P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，


P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝
+


=
13
58
类题通法
若事件B，C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，
令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长
提
出
问
题
度、质量都合格}．
问题3：试探求P(B)、P(AB)、P(A|B)间的关系．
提示：P(A|B)=


.
1．条件概率
导
入
新
知
• 设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝


为在事件A
产生的条件下，事件B产生的条件概率．
他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率．
设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，

P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D)
C610
C510C110
＝PP（（DA））＋PP（（DB））＝12C162080＋12C162080＝1538.
C620
C620
2．概率的乘法公式 由 条 件 概 率 的 定 义 ， 对 任 意 两 个 事 件 A 与 B ， 若 P(A)>0 ， 则 P(AB) ＝ ___P_(_A_)_P_(_B_|A_)___________．我们称上式为概率的乘法公式．
3．条件概率的性质
设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝___1_； (2)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝___P_(B__|A_)_＋__P_(_C_|_A_)________；
问题 上述情景中的概率问题是属于哪种类型的概率？达娜猜想的概率是否正 确？ 提示 达娜猜想的概率不正确，这是一个条件概率问题，学习完本节课后我们就 能准确地求解此概率类型．
1． 条件概率的概念
条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系 P（AB） 一般地，设 A，B 为两个随机事件，且 P(A)>0，我们称 P(B|A)＝____P_（__A__）____为在事 件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，简称条件概率．
题型二 缩小样本空间求条件概率 【例2】 集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取
(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概 率． 解 将甲抽到数字 a，乙抽到数字 b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1，2)，(1，3)， (1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5， 3)，(5，4)，(5，6)，共 15 个．在这 15 个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1，2)， (1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共 9 个，所以所求 概率 P＝195＝35.

在必修“概率”一章的学习中，我们遇到过求同一实验中两个事件A与B同时
产生（积事件AB）的概率的问题.当事件A与B相互独立时，有
P（AB）=P（A）P（B）.
如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢？
• 结合古典概型，了解条件概率与概率的乘法公式，了解条件概率与独立性的关
系；能计算简单随机事件的条件概率。
例3: 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了码
的最后1位数字.求：
（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率。
（2）设B=“最后1位密码为偶数”，则


P（A|B）=P（A1|B）+P（A2|B）= +
ഥ =
=

× =


× =

因为P(A)= P(B)= P(C),所以中奖的概率与抽奖的次序无关。
例3: 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了码
的最后1位数字.求：
（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率。
重点：条件概率的概念及计算，概率的乘法公式及其应用。
难点：对条件概率中“条件”的正确理解，条件概率与无条件概率的比较。
问题1：某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示：
团员
非团员
合计
男生
16
9
25
女生
14
6
20
合计
30
15
45
在班级里随机选择一人做代表：

.
解析 (1)从这批产品中随便地取一件,则这件产品恰好是次品的概率是 81 = 27 .
1 200 400
(2)设A:取出的产品是甲厂生产的,B:取出的产品为次品,
则由已知可得P(A)= 500 ,P(AB)= 25 ,所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概
1 200
1 200
率是P(B|A)= P(AB) = 1 .
第七章 随机变量及其散布
1 |利用定义求条件概率 农历五月初五是我国的传统节日——端午节,这一天,馨馨的妈妈煮了9个粽子,其 中4个大枣馅、3个腊肉馅、2个豆沙馅,馨馨随机选取两个粽子.
第七章 随机变量及其散布
1.若已知馨馨取到的两个粽子的馅不同,则取到的两个粽子分别是大枣馅和豆沙馅
的概率是多少?
P(A) P(D)
+
P(B) P(D)
=
C620 12 180
+
C620 12 180
=
13 58
.
C620
C620
所以他获得优秀的概率是 13 .
58
第七章 随机变量及其散布
4 |乘法公式及其应用 乘法公式的特点及注意事项 1.知二求一:若P(A)>0,则已知P(A),P(B|A),P(AB)中的两个值就可以求得第三个值; 若P(B)>0,则已知P(B),P(A|B),P(AB)中的两个值就可以求得第三个值. 2.P(B)与P(B|A)的区分在于两者产生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上 一般也不同.
多少?
提示:用C表示事件“取到的两个粽子为同一种馅”,D表示事件“取到的两个粽子
都为腊肉馅”,
则P(C)=
C24
C32 C92

“第一次取到的不是1号球”,事件C表示“最后取到的是2号球”,显然
1
9
1
1
P(A)=10,P(B)=10,P(C|A)=9,P(C|B)=10,
1
1
1
9
91
所以 P(C)=P(C|A)P(A)+P(C|B)P(B)= ×
+ ×
=
.
9 10 10 10 900
反思感悟利用全概率公式求概率
为了求复杂事件的概率,往往可以把它分解成若干个互不相容的简单事件,
我们称该式为概率的乘法公式.
名师点析 对于条件概率需注意的问题
(1)利用条件概率公式求P(B|A)时一定要注意P(A)>0.
(2)事件B在“事件A已发生”这个附加条件下发生的概率与没有这个附加条
件发生的概率一般是不相同的.
微思考
(1)P(B|A)与P(AB)有何区别?
(2)若事件A,B互斥,则P(B|A)是多少?
50%的概率吗?你能帮达娜分析一下吗?
知识梳理
一、条件概率
1.定义:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)
P(AB)
=
P(A)
为在
事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.
2.概率的乘法公式:对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A).
()
3
() 3
P(AC)= () = 10,所以 P(C|A)= () = 5.所以在甲抽到奇数的条件下,乙抽
3
到偶数的概率为5.
延伸探究2若甲先取(放回),乙后取,设事件M为“甲抽到的数大于4”,事件N
为“甲、乙抽到的两数之和等于7”,求P(N|M).

分析、类比、归纳的能力通过计算独立事件的概率,培养自主学习的
能力与探究问题的能力,并培养对数学知识的整合能力,发展逻辑推理、
数学运算等核心素养.
探究新知
假设 > ,且 > 0 ,在与独立的前提下,通过条件概率
的计算公式考察 与 的关系,以及 与 的关系.
学参加演讲比赛,从“甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球, “从8个球中任意取出1个,取出的
是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”;
(3)掷一颗骰子一次, “出现偶数点”与“出现3点或6点”．
解析
(1) “从甲组中选出1名男生”这一事件是否产生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件

相互独立事件．
典例讲授
例1、判断下列各对事件是否是相互独立事件．
(1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同
学参加演讲比赛,从“甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球, “从8个球中任意取出1个,取出的
是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”;



(2)至少有一个气象台预报准确的概率为



ഥ
ഥ
ഥ
ഥ
＝－( ∩ )＝－() × ()＝－ × ＝ .



归纳小结
两事件相
互独立
定义:与独立⇔ () = ()
独立性与条件概率的关系: 与独立⇔ () >
且, = ()
⇔
() >

例题
例2：已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为20%与18%，且两 地同时下雨的概率为12%，求春季的一天里： (1)已知甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率； (2)已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率.
例题
例2：已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为20%与18%，且两 地同时下雨的概率为12%，求春季的一天里： (1)已知甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率；
P(B) n(B) 1 . n() 4
探究
问题3：假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家 庭，随机选择一个家庭，那么 (2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩 的概率是多少？
"在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩"的概率
就是"在事件A发生的条件下，事件B 发生"的概率，记作P(B A) ，
(2)由条件概率可知
P( A B) P(AB) 12% 2 . P(B) 18% 3
谢谢观看！
的概率是多少？
探究
问题3：假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家 庭，随机选择一个家庭，那么 (1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？
用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间={bb,bg, gb, gg}, 用A表示事件“选到的家庭中有女孩”， B表示事件“选到的家庭中两个小孩都是女孩”. (1)根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率为
例题
例1：在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，
抽出的题不再放回.
(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.
(2)"在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题"的概率就是

2．若事件 B，C 互斥，则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，即为了求得比较复杂 事件的概率，往往可以先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单事件，求出这些 简单事件的概率，再利用概率的加法公式即得所求的复杂事件的概率．
[变式训练 3] 在某次考试中，要从 20 道题中随机地抽出 6 道题，若考生至少 答对其中的 4 道题即可通过；若至少答对其中 5 道题就获得优秀，已知某考生能答 对 20 道题中的 10 道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率．
P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝CC612600＋CC510C620110＋CC410C620120＝12C162080，
P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝PPADD＋
C610
C510C110
PPBDD＝PPDA＋PPDB＝12C126080＋12C126080＝1538.
第七章 随机变量及其分布
7．1 条件概率与全概率公式
7．1.1 条件概率
[课标解读]1.通过古典概型的分析，了解条件概率的定义.2.能用求条件概率的 两种方法计算简单随机事件的条件概率.3.了解条件概率与独立性的关系.4.会利用 概率的乘法公式计算概率．
[素养目标] 水平一：掌握求条件概率的两种方法．(逻辑推理)
3．如何判断一个概率问题是否为条件概率问题？
提示：当题目中出现“在……前提(条件)下”等字眼时，一般为条件概率；题目 中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，一般也认为是条件 概率．
由于样本空间变化，事件 B 在“事件 A 已发生”这个附加条件下的概率与没有这 个附加条件的概率是不同的．

【解析】选C.设A为“某人检验呈阳性”，B为“此人患病”．则“某人检验呈阳性时 他确实患病”为B|A，
又P(B|A) ＝PP((AAB)) ＝99%0.×20%.1% ＝49.5%.
2．气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为35 ，在刮台风的条件下， 下大雨的概率为190 ，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为( ) A．23 B．2570 C．190 D．130
1．若P(A∩B)＝35 ，P(A)＝34 ，则P(B|A)＝( ) A．54 B．45 C．53 D．43
2．下列式子成立的是( A．P(A|B)＝P(B|A) C．P(AB)＝P(B|A)·P(A)
) B．0<P(B|A)<1 D．P(AB|A)＝P(B)
【解析】选C.由P(B|A)＝PP（（AAB）） 得P(AB)＝P(B|A)·P(A)，而P(A|B)＝PP（（ABB）） 知 A不正确，C正确；当P(B)为零时知P(B|A)＝0，所以B不正确；D选项应是P(AB|A) ＝P(B|A)，故D不正确．
第七章 随机变量及其分布 7.1 条件概率与全概率公式
7.1.1 条 件 概 率
基础预习初探
主题1 条件概率的概念及性质 3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取．
(1)问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？
提示：由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 1 ，与其他同学
(2)设“点数a，b之和不大于5”为事件B， 包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)， (2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10个基本事件； 设“a，b中至少有一个为2”为事件C， 包含(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，共5个基本事件，故“在点数a，b 之和不大于5的条件下，a，b中至少有一个为2”的概率：P＝nn（（BBC）） ＝150 ＝12 .

《7.1.1条件概率》教学设计本节课内容选自普通高中教科书人教A 版数学选择性必修第三册第七章第一节《条件概率与全概率公式》，共2个课时，《7.1.1条件概率》是第一课时.通过本单元的学习，学生需要用数学的眼光看待随机事件的概率，能用概率的一般概念解释具体现象，并通过条件概率和独立性等数学概念分析复杂问题，寻找解决复杂问题的方法.学习过程中蕴含着数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.以下从内容与内容解析、目标与目标解析、教学问题诊断解析、教学过程分析四个方面说明这节课的理解和设计。

一、内容与内容解析1. 内容：条件概率，概率的乘法公式.2. 内容解析：随机事件的条件概率是概率论的重要概念之一.由条件概率得到两个不独立 事件的概率乘法公式、全概率公式，它们是求很多复杂事件概率的有用工具.结合古典概型，研究随机事件的条件概率，并用它们计算较复杂事件的概率是概率学习的深入和提高.条件概率顾名思义是指一个事件A 已经发生的条件下另一个事件B 发生的概率.已知事件A 发生，试验的样本点属于A ，因此A 成为新的样本空间，所以条件概率(|)P B A 本质上是在缩减的样本空间A 上事件AB 的概率.条件概率同样具有概率的三条基本性质.通过古典概型得到的条件概率的概念及公式，对于一般随机事件的条件概率都适用，具有普遍意义.3. 教学重点：条件概率的概念及计算，概率的乘法公式及应用.二、目标与目标解析1. 目标：结合古典概型，了解条件概率与概率的乘法公式，了解条件概率与独立性的关系；能计算简单的随机事件的条件概率。

2. 目标解析：1）通过实例引导学生探究发现，由特殊到一般，得到条件概率的定义式 ()(|)()P AB P B A P A 并简单应用. 2）在验证条件概率定义的过程中，体会条件概率的思想，感受其本质为基本事件范围的缩小，并简单应用.3）通过条件概率的发现过程提升学生的数学抽象素养，通过对条件概率定义的验证以及模型的应用提升逻辑推理和数学建模素养.三、教学问题诊断解析1. 问题诊断：由于具体问题中的许多条件概率问题与我们的直觉相悖，因此往往很难迅速得到正确的答案，这就是概率问题不同于其他数学问题之处.因此，学生在学习条件概率概念时可能会产生困惑，对条件概率定义的理解会存在偏差.由于古典概型的条件概率计算总可以通过缩小样本空间转化为非条件概率的计算，因此学生在学习心理上可能会不自觉地拒绝接受条件概率的概念.另外，独立性是概率论中极其重要的概念，独立性的概念可以用条件概率描述，但在实际操作中两个随机独立性的判断往往是基于学生的经验，所以学生容易忽视独立性与条件概率之间的关系.2. 方法策略：认识论告诉我们，认识就是在实践—认识—再实践—再认识的过程中不断深化的。

7.1.1条件概率教案 在概率论中，条件概率是指在已知发生了某个事件的条件下，另一个事件发生的概率。

它是概率论中的重要概念之一，广泛应用于统计学、机器学习和数据分析等领域。

本教案将详细介绍条件概率的概念、计算方法和实际应用，并通过举例说明，帮助学生深入理解。

一、概念介绍1. 条件概率的定义： 条件概率指的是在事件B已经发生的前提下，事件A发生的概率。

用符号表示为P(A|B)，读作"A在B发生的条件下的概率"。

2. 条件概率的性质： - 条件概率非负性：对于任意事件A、B，P(A|B) ≥ 0。

- 总概率公式：对于任意事件B和其互斥事件B1、B2、B3...，有P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + P(A|B3)P(B3)... 。

- 乘法公式：对于任意事件A、B，有P(A∩B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)。

二、计算方法1. 直接计算法： 当已知事件A和事件B的联合概率P(A∩B)和事件B的概率P(B)时，可以通过直接计算的方式求解条件概率P(A|B)。

根据乘法公式，有P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

2. 事件列举法： 当样本空间较小且事件A和事件B之间的关系可以通过列举方式明确时，可以通过统计的方法求解条件概率。

将事件B发生的样本点列举出来，然后计算事件A在这些样本点中的出现次数，最后用出现次数除以总样本数来得到概率。

3. 全概率公式和贝叶斯公式： 当已知事件A和其互斥事件B1、B2、B3...的概率，以及事件A在条件B1、B2、B3...下的概率时，可以利用总概率公式和贝叶斯公式求解条件概率。

总概率公式可以用来计算P(A)，而贝叶斯公式可以通过已知的P(A|B)来计算P(B|A)。

三、实际应用举例1. 疾病诊断： 假设某种罕见疾病的发病率只有 1%，而医生诊断该疾病的准确率为 99%。

现有一个患者去医院检查，检查结果为阳性。

当堂检测
1.已知 P(B|A)＝13，P(A)＝25，则 P(A∩B)等于( )
5
9
2
1
A.6
B.10 C.15 D.15
【解析】由 P(B|A)＝P(PA(∩A)B)，得 P(AB)＝P(B|A)·P(A)
＝13×25＝125. 【答案】C
2．抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为 4 或 6
2
【答案】A
探究二 缩小基本事件范围求条件概率 例2.设袋中有4个白球，2个红球，若无放回地抽取3次， 每次抽取一球，求：
(1)第一次是白球的情况下，第二次与第三次均是白球的 概率．
(2)第一次和第二次均是白球的情况下，第三次是白球的 概率．
解：(1)设 Ai 表示第 i 次取到白球的事件(i＝1,2,3)． ∵P(A1)＝46××55××44＝23，P(A1∩A2∩A3)＝46××35××24＝15， ∴P(A2∩A3|A1)＝P(A1P∩(AA12)∩A3)＝130. (2)∵P(A1∩A2)＝25，P(A1∩A2∩A3)＝15，∴P(A3|A1∩A2)＝12.
问题已经转变成：39 张牌中有 7 张草花，将这 39 张牌 随机分给钱、孙、李三家，求孙家得到 3 张草花的概率．于 是 P(B|A)＝C37CC13133909－7≈0.278.
(2)在 52 张牌中任选 13 张牌有 C1532种不同的等可能的结果． 于是 Ω 中元素数＝C1532，A 中元素数＝C613C739，利用条件概 率公式得到 P(AB)＝P(A)P(B|A)＝CC613C1532739×0.278≈0.012.
跟踪训练2.一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么． 先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？ 解：记“先摸出 1 个白球放回”为事件 A1，“再摸出 1 个白球” 为事件 B1，两次都摸出白球为事件 A1∩B1. ∴P(A1)＝42＝21，P(A1∩B1)＝24××24＝14，

7.1.1 条件概率1．条件概率的概念一般地，设A ，B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率． 2．条件概率的性质(1)0≤P (B |A )≤1；(2)如果B 与C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 教学小测1．若P (AB )＝35，P (A )＝34，则P (B |A )＝( )A.54 B.45 C.35D.34【答案】B【解析】由公式得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝3534＝45.2．下面几种概率是条件概率的是( )A ．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率B ．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率C ．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D ．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25，则小明在一次上学中遇到红灯的概率【答案】B【解析】由条件概率的定义知B 为条件概率．3．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．【答案】0.5【解析】根据条件概率公式知P ＝0.40.8＝0.5.教学案例案例一利用定义求条件概率【例1】一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A ；事件“第二次抽到黑球”为B .(1)分别求事件A ，B ，AB 发生的概率； (2)求P (B |A )．[解] 由古典概型的概率公式可知(1)P (A )＝25，P (B )＝2×1＋3×25×4＝820＝25，P (AB )＝2×15×4＝110.(2)P (B |A )＝P (AB )P (A )＝11025＝14.规律方法1．用定义法求条件概率P (B |A )的步骤 (1)分析题意，弄清概率模型； (2)计算P (A )，P (AB )； (3)代入公式求P (B |A )＝P (AB )P (A ). 2．在(2)题中，首先结合古典概型分别求出了事件A ，B 的概率，从而求出P (B |A )，揭示出P (A )，P (B )和P (B |A )三者之间的关系． 跟踪训练1.如图，EFGH 是以O 为圆心，1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形HOE (阴影部分)内”，则P (A )＝______，P (B |A )＝________.【答案】2π 14【解析】因为圆的半径为1，所以圆的面积S ＝πr 2＝π，正方形EFGH 的面积为⎝⎛⎭⎫2r22＝2，所以P (A )＝2π.P (B |A )表示事件“已知豆子落在正方形EFGH 中，则豆子落在扇形HOE (阴影部分)”的概率，所以P (B |A )＝14.后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．[解] 将甲抽到数字a ，乙抽到数字b ，记作(a ，b )，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个，在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P ＝915＝35.规律方法利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A ，原来的事件B 缩小为AB .而A 中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P (B |A )＝n (AB )n (A )，这里n (A )和n (AB )的计数是基于缩小的基本事件范围的．跟踪训练2.集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到偶数的概率．[解] 在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P ＝915＝35中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．[解] 法一：(定义法)设“摸出第一个球为红球”为事件A ，“摸出第二个球为黄球”为事件B ，“摸出第三个球为黑球”为事件C .则P (A )＝110，P (AB )＝1×210×9＝145，P (AC )＝1×310×9＝130.所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝145÷110＝29， P (C |A )＝P (AC )P (A )＝130÷110＝13. 所以P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝29＋13＝59.所以所求的条件概率为59.法二：(直接法)因为n (A )＝1×C 19＝9，n (B ∪C |A )＝C 12＋C 13＝5，所以P (B ∪C |A )＝59.所以所求的条件概率为59.规律方法1．利用公式P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B 与C 互斥”．2．为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．跟踪训练3．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中的5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．[解] 设事件A 为“该考生6道题全答对”，事件B 为“该考生答对了其中的5道题而另1道题答错”，事件C 为“该考生答对了其中的4道题而另2道题答错”，事件D 为“该考生在这次考试中通过”，事件E 为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A ，B ，C 两两互斥，且D ＝A ∪B ∪C ，E ＝A ∪B ，由古典概型的概率公式及加法公式可知P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝C 610C 620＋C 510C 110C 620＋C 410C 210C 620＝12 180C 620，P (E |D )＝P (A∪B |D )＝P (A |D )＋P (B |D )＝P (A )P (D )＋P (B )P (D )＝210C 62012 180C 620＋2 520C 62012 180C 620＝1358，即所求概率为1358.课堂小结对条件概率计算公式的两点说明(1)如果知道事件A 发生会影响事件B 发生的概率，那么P (B )≠P (B |A )；(2)已知A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，要求P (B |A )，相当于把A 看作新的基本事件空间计算AB 发生的概率，即P (B |A )＝n (AB )n (A )＝n (AB )n (Ω)n (A )n (Ω)＝P (AB )P (A ).当堂检测1．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )A.14B.13C.12 D ．1 【答案】B【解析】因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是13.2．把一枚硬币投掷两次，事件A ＝{第一次出现正面}，B ＝{第二次出现正面}，则P (B |A )＝________.【答案】12【解析】∵P (AB )＝14，P (A )＝12，∴P (B |A )＝12.3．盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？[解] 法一(定义法)由题意得球的分布如下：设A ＝{取得蓝球}则P (A )＝1116，P (AB )＝416＝14.∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝141116＝411.法二(直接法)∵n (A )＝11，n (AB )＝4， ∴P (B |A )＝n (AB )n (A )＝411.。

解：方法一：设“摸出第一个球为红球”为事件 A， “摸出第二个球为黄球”为事件 B， “摸出第二个球为黑球”为事件 C，则 P(A)＝110，P(AB)＝110××29＝415，P(AC)＝110××39＝310．
1
1
∴P(B|A)＝PPAAB＝415＝1405＝29，P(C|A)＝PPAAC＝310＝13．
解：记 A＝{从 2 号箱中取出的是红球}， B＝{从 1 号箱中取出的是红球}， 则 P(B)＝2＋4 4＝32， P( B )＝1－P(B)＝13， P(A|B)＝38＋＋11＝49，
P(A| B )＝8＋3 1＝31， P(A)＝P(A∩B)∪(A∩ B ) ＝P(A∩B)＋P(A∩ B ) ＝P(A|B)P(B)＋P(A| B )P( B ) ＝49×23＋13×13 ＝2117.
跟踪训练 1.根据历年气象资料统计，某地 4 月份刮东风的概率是380， 既刮东风又下雨的概率是370.求在 4 月份刮东风的条件下， 该地下雨的概率．
解：设某地 4 月份刮东风为事件 A，某地 4 月份下雨
为事件 B，则某地 4 月份既刮东风又下雨为事件 AB，
由题意知 P(A)＝380，P(AB)＝370，
即把即定事件 A 所含的基本事件定义为新的样本空间，显然 待求事件 B 便缩小为事件 AB，如图所示．从而 P(B|A)＝ AB发生的可能数 A发生的可能数 .
跟踪训练2.一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管， 任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知 第一只是好的，求第二只也是好的的概率． 解：令 Ai＝{第 i 只是好的}，i＝1,2. 方法 1：抽取两只，第 1 只是好的共有 C16C19种取法，两只 都是好的共有 C16C15种取法，故 P(A2|A1)＝CC1616CC1915∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝29＋13＝59．