认识无理数(学案)

学案 2.1.2认识无理数班级______________姓名___________【学习目标】1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想。

2．会判断一个数是有理数还是无理数。

【学习过程】 一、复习回顾1．在实际生活中，有理数不够用了，有些数不是整数，也不是分数，那么一定不是有理数。

2．你还记得小数的分类吗？二、探究新知1．问题情境：如图，面积为2的正方形的边长a 究竟为多少呢？2．探究学习（1）上图3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？ 【解答】 ∵1<s<4 ∴1<a <2（2）边长a 的整数部分是几？十分位是几？百分位是几？千分位呢？……借助计算器探索！【解答】 ∵1<s<4 ∴1<a <2 小数有限小数无限小数无限循环小数无限不循环小数边长a的整数部分是1∵1.96<s<2.25∴1.4<a<1.5边长a的十分位是4∵1.9881<s<2.0164∴1.41<a<1.42边长a的百分位是1∵1.999396<s<2.002225∴1.414<a<1.415边长a的千分位是4……（3）请将你的探索过程整理在表格中边长a面积s1<a<21<s<41.4<a<1.5 1.96<s<2.251.41<a<1.42 1.9881<s<2.01641.414<a<1.415 1.999396<s<2.0022251.4142<a<1.4143 1.99996164<s<2.00024449归纳小结：a=1.41421356……，a不是有限小数，是无限不循环小数2.做一做：（1）估计面积为5的正方形的边长b的值，并用计算器探索整理在表格中！边长b面积s2<b<3 4<s<92.2<b<2.3 4.84<s<5.292.23<b<2.24 4.9729<s<5.01762.236<b<2.237 4.999696<s<5.0041692.2360<b<2.2361 5.004169<s<5.00014321归纳小结：b=2.236067978……，b不是有限小数，是无限不循环小数(2)估计体积为5的正方体的边长c 的值，并用计算器探索整理在表格中！边长c 体积v 1<c <2 1<v<8 1.2<c <1.3 1.728<v<2.197 1.25<c <1.26 1.953125<v<2.000376 1.259<c <1.260 1.99561698<v<2.000376 1.2599<c <1.2601.99998976<v<2.000376归纳小结：c =1.25992105……，c 不是 有限 小数，是 无限不循环 小数 学以致用：（1）.一个高为3米，宽为2米的大门，对角线大约是3.61米(精确到0.01). （2）.已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3，则AB 的取值范围是( B ) A ．3.0<AB<3.1 B ．3.1<AB<3.2 C ．3.2<AB<3.3 D ．3.3<AB<3.43.议一议：把下面各数表示成小数，你发现了什么？ 3，54，95，458-，112，【解答】3=3.0 54=0.8 95=•5.0 458-=•-71.0 11=••81.0知识点：无限不循环小数叫做无理数。

郑 路 中 学 师 生 导 学 案班级 姓名温馨寄语：每一个成功者都有一个开始，勇于开始，才能找到成功的路。

科目 数学主备人 时间 课题认识无理数 使用人 时间 课型新授课课时数学习目标1、通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性。

2、探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想。

3、会判断一个数是有理数还是无理数。

重点.难点重点：1、无理数概念的探索过程。

2、了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断。

难点：1、无理数概念的建立及估算。

2、用所学定义正确判断所给数的属性。

教学流程模块一 预习反馈 一、学习准备1、 有理数的概念：__________和___________统称为有理数。

2、 有理数总可以用__________或____________________表示，反过来__________或____________________也都是有理数。

二、教材精读（1）把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，设大正方形的边长为a,计算_____2a ，小组讨论：a 可能是整数吗？a 可能是分数吗？讨论结果： 。

教师个人添加（学生学习记录）（2）_______2=b ，b 是有理数吗？归纳：无限不循环小数称为无理数。

例如：圆周率⋯⋯=14159265.3π是一个无限不循环小数，因此它是一个无理数。

再如：0.121221222122221……（相邻两个1之间2的个数逐次加1）也是无理数。

实践练习：1、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.4583，∙7.3，－π，－71，18.注意：无理数是一种与有理数不同的数，要区分“无限不循环小数”与“无限循环小数”的差别，前者不能化为分数，后者可以化为分数。

事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。

反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

特殊的常数π是无限不循环小数，因此也是无理数。

3、 估计数值的大小例2（1）判断如图3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.（2）能不能判断一下面积为2的正方形的边长a 的大致范围呢？ （3）首先确定十分位，十分位究竟是几呢？ 三、教材拓展实践练习：1、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？，9，32∙∙69.4，，π3.14159，，7－5.2323332…，123456789101112…(由相继的正整数组成). 模块二 合作探究7、例4利用方程的知识把∙∙69.4化为分数的形式。

认识无理数教案一、教学目标1.了解无理数的概念，能够区分有理数和无理数。

2.掌握无理数的基本性质，包括无理数的无限不循环小数表示、无理数的数轴表示等。

3.培养学生对无理数的理解、应用和推理能力。

二、教学重点无理数的概念和特点。

三、教学难点无理数的无限不循环小数表示。

四、教学准备教学课件、黑板、白板笔、教学用具。

五、教学过程Step 1 引入新知1.教师出示一组有理数（例如：2、3、4）和一组无理数（例如：√2、π），请学生观察并分析它们的特点。

2.引导学生发现有理数和无理数的不同之处。

3.出示定义：无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。

有理数是指可以表示为两个整数的比值的实数。

4.让学生举例区分有理数和无理数。

Step 2 理解无理数1.通过分数、小数和百分数的例子，帮助学生理解有理数的概念。

2.通过根号、π等例子，引导学生理解无理数的概念。

3.让学生总结无理数的特点。

Step 3 无理数的无限不循环小数表示1.举例介绍无理数的无限不循环小数表示。

2.通过几个简单的例子，帮助学生理解无理数的无限不循环小数表示方法。

3.让学生自己尝试将某些无理数表示为无限不循环小数。

4.让学生总结无理数的无限不循环小数表示的特点。

Step 4 无理数的数轴表示1.通过数轴上有理数和无理数的位置关系，帮助学生理解无理数在数轴上的表示方法。

2.通过绘制数轴上的有理数和无理数，让学生直观感受无理数的数轴表示方法。

3.让学生总结无理数的数轴表示的特点。

六、教学拓展1.引导学生了解无理数的一些应用领域，如几何、物理等。

2.组织学生进行讨论，深入探究无理数的其他性质和应用。

七、课堂小结1.复习本节课的重点内容和要点。

2.检查学生对无理数的理解情况，解答学生提出的问题。

八、课后作业1.查资料，了解无理数的发现历史和研究成果。

2.预习下节课的内容。

初中无理数概念教案教学目标：1. 理解无理数的定义和特点。

2. 学会判断一个数是无理数还是有理数。

3. 能够运用无理数的概念解决实际问题。

教学重点：1. 无理数的定义和特点。

2. 判断一个数是无理数还是有理数的方法。

教学难点：1. 无理数的概念的理解和运用。

教学准备：1. 教材或教学PPT。

2. 计算器。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾有理数的概念，复习有理数的分类，包括整数、分数、正数、负数等。

2. 提问：有理数是否可以表示为两个整数的比？是否有理数是无限不循环的小数？二、新课讲解（15分钟）1. 引入无理数的概念，解释无理数是无限不循环的小数，不能表示为两个整数的比。

2. 通过示例讲解无理数的特点，如√2、√3等，并引导学生理解无理数的实际意义。

3. 讲解如何判断一个数是无理数还是有理数，引导学生运用数学方法进行判断。

三、课堂练习（10分钟）1. 让学生自主完成教材中的练习题，巩固无理数的概念和判断方法。

2. 引导学生通过计算器验证一些无理数的近似值，加深对无理数概念的理解。

四、总结与拓展（5分钟）1. 总结本节课的主要内容和知识点，强调无理数的概念和特点。

2. 提问：无理数在实际生活中有哪些应用？引导学生思考和探讨。

教学反思：本节课通过导入、新课讲解、课堂练习和总结与拓展等环节，旨在让学生理解无理数的定义和特点，学会判断一个数是无理数还是有理数。

在教学过程中，要注意引导学生运用数学方法进行判断，并通过实际例子让学生感受无理数的存在和意义。

同时，要注重学生的参与和思考，激发学生的学习兴趣和主动性。

认识无理数学 科数学课题2.1认识无理数 （一）授课教师教学 目标通过拼图活动，让学生感受无理数产生的背景和学习它的必要性。

重点对无理数的认识。

德育 目标丰富无理数的实际背景，使学生体会到无理数在实际生活中大量存在，并对无理数的产生感性认识。

难点 无理数产生的实际背景和学习它的必要性。

1.什么叫有理数？举例说明。

2．勾股定理的内容是什么？若Rt ⊿ABC 的两直角边是5、12，那么它的斜边是多少教学过程课堂笔记二、互动导学随着人类的认识不断发展，人们发现，现实社会生活中确实存在不同于有理数的数，本章我们将学习无理数、实数、平方根、立方根的概念。

学习利用估算或借助计数器求一个无理数的近似值，并解决有关的实际问题拼图活动(课本32页) 把准备好的两块边长为1的正方形，通过剪一剪、拼一拼，拼成一个大的正方形。

（1）设大正方形的边长为a ，a 满足条件是什么？ （2）a 可能是整数吗？（3）a 可以是以2为分母的分数吗？a 可以是以3为分母的分数吗？说说你的理由。

（4）a 可能是分数吗？说说你的理由，与同伴交流。

,93,42,11222===越来越大，所以a 不可能是整数 ,41)21(2= 94)32(2=结果都是分数，所以a 不可能是分数” 事实上，在等式22=a 中，a 既不是整数也不是分数，所以a 不是有理数。

说明社会生活中存在着不是有理数的数。

做一做1．课本P32页“做一做”内容（1）以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？（2）设正方形的边长为b ，b 满足什么条件？（3）b 是有理数吗？ 生活中的确存在一些不是有理数的数。

三：当堂练习 一、填空题1．在⊿ABC 中，∠C = 90°，若4,3==b a ,则c =_______；2．用长cm 4,宽cm 3的邮票300枚不重不漏摆成一个正方形，这个正方形的边长等于________cm ；3．平方等于16的数是 ；4．如果492=a ，则=a 。

第二章 实 数1 认识无理数(第1课时)学习目标1.通过拼图活动，感受客观世界中无理数的存在.(难点)2.能判断三角形的某边长是否为有理数.3.会判断一个数是否为有理数.(重点)自主学习学习任务一 认识无理数的存在1.如图1所示，边长为1的两个正方形M ，N 可以分割成四个全等的等腰直角三角形，它们又可以拼凑成一个更大的正方形ABCD .(还有其他方法，鼓励学生探究)图1(1)大正方形的面积是 .(2)设大正方形的边长是x ，则x 2＝ ，x 在 和 之间(填整数). 结论：a 既 整数，也 分数，即a 有理数. 学习任务二 判断一个数是否为有理数 思考：如图2，(1)以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是 . (2)设该正方形的边长为b ，b 满足 . (3)b 是有理数吗？图2合作探究例1 在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是底边上的高，如图3，若AC ＝10，BC ＝8. (1)求以AD 的长为边长的正方形的面积； (2)判断AD 是否为有理数，并说明理由.例2你会在如图4所示的正方形网格中画出面积为10的正方形吗？试一试.图4当堂达标1.在直角三角形中两条直角边长分别为2和3，则斜边的长()A.是有理数B.不是有理数C.不确定D.为42.下列面积的正方形，边长不是有理数的是()A.16B.25C.8D.43.如图5，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角三角形ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均不是有理数，满足这样条件的点C4.在如图6(1)长度是有理数的线段l1；(2)长度不是有理数的线段l2.课后提升Array在如图7所示的正方形网格中画出四个三角形.(1)三边长都是有理数.(2)只有两边长是有理数.(3)只有一边长是有理数.(4)三边长都不是有理数.反思感悟我的收获：我的易错点：参考答案当堂达标1.B2.C3.解：如图8，共4个.4.解：如图9(答案不唯一).课后提升解：如图10(答案不唯一).。

课题 2.1认识无理数(一)【学习目标】1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性。

2.体会现实生活中确实存在不是有理数的数。

【重点难点】1、经历无理数的发现过程，感知生活中确实存在不同于有理数的数。

2、经历无理数的发现过程。

【学法指导和使用说明】请先认真复习课本。

认真思考，独立完成导学案，不会的或是有疑问的做好标记，以备小组合作解决。

运用双色笔，第一次完成用蓝色，第二次课堂生成改动用红色。

【学习流程】一、自助学习：1. 和统称为有理数。

2.在直角三角形ABC中，90=∠C,（1）若4,3==ba，则=c。

（2）若13,5==ca，则=b。

（3）若3,2==ba，则=2c。

C可能是整数吗？C可能是分数吗？二、合作探究.展示交流探究点一：有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。

(1)设大正方形的边长为a，a满足什么条件？(2)a可能是整数吗？说说你的理由。

(3)a可能是分数吗？说说你得理由，并与同伴交流。

结论:事实上，在等式22a 中，a 既不是 ，也不是 ，所以a 不是 。

探究点二：1.（1）图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？（2）设该正方形的边长为b ，b 满足什么条件？（3）b 是有理数吗？结论:在上面问题中，数b a ,确实存在，但都不是 。

探究点三：1.如图，正三角形ABC 的边长为2，高为h ，h 可能是整数吗？可能是分数吗？三、拓展延伸. 能力提高1. 如下图，是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段。

2. 请你在方格纸上按照如下要求设计三角形：（1）使它的三边中有一边边长不是有理数；（2）使它的三边中有两边变成不是有理数；（3）使它的三边边长都不是有理数。

（1题图） （2题图） 图33.正三角形的边长为4，高h （ ）A.一个有理数B.一个无理数C.是有理数D.不是有理数4.面积为2的正方形的边长是 （ ）A.整数B.分数C.有理数D.不是有理数5.边长为2的正方形的对角线长是 （ ）A.整数B.分数C.有理数D.不是有理数6.下列正方形的边长不是有理数的是 （ ）A.面积为1.96的正方形B.面积为64的正方形C.面积为2516的正方形 D.面积为48的正方形四、 布置作业：习题2.1 知识技能 1、2、五、学有所思.反馈巩固1、通过本节课的复习你的收获是：2、你仍旧不太明白的知识点是：六、本课愉悦指数： 很愉快 愉快 一般般啦七、你认为对知识的掌握程度为：（ ） （ ） （ ）。

认识无理数教案教案标题：认识无理数教案目标：1. 让学生了解无理数的概念和特点。

2. 能够区分有理数和无理数。

3. 掌握无理数的表示形式和性质。

4. 培养学生对无理数的兴趣和探索精神。

教学重点：1. 无理数的定义和特点。

2. 无理数的表示形式。

3. 无理数与有理数的区别。

教学难点：1. 无理数的性质和运算规律。

2. 无理数的实际应用。

教学准备：1. 教师准备：教学课件、黑板、白板、无理数的示例、实物模型等。

2. 学生准备：学习课本、笔记本、计算器等。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入问题：你知道什么是无理数吗？有哪些无理数的例子？2. 学生回答问题，教师引导学生思考，激发学生的学习兴趣。

二、概念讲解（15分钟）1. 教师通过课件或黑板，简要介绍无理数的定义和特点。

2. 通过示例和实物模型，让学生直观地理解无理数的概念。

三、区分有理数和无理数（10分钟）1. 教师通过比较有理数和无理数的性质和表示形式，引导学生区分二者。

2. 学生进行小组讨论，总结有理数和无理数的区别。

四、性质和运算规律（20分钟）1. 教师讲解无理数的性质和运算规律，包括无理数的无限不循环小数表示、无理数的加减乘除规律等。

2. 学生进行小组练习，巩固无理数的性质和运算规律。

五、实际应用（15分钟）1. 教师通过实际问题，引导学生将无理数的概念和运算规律应用到实际生活中。

2. 学生进行个人或小组讨论，解决实际问题。

六、总结和拓展（10分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，并强调无理数的重要性和实际应用。

2. 学生进行课后拓展练习，巩固所学知识。

教学延伸：1. 鼓励学生自主学习无理数的更多性质和应用。

2. 引导学生进行无理数的拓展研究，例如黄金分割、无理数的几何意义等。

教学评估：1. 教师观察学生的课堂参与情况，包括回答问题、讨论和解决问题的能力等。

2. 布置课后作业，检验学生对无理数的理解和掌握程度。

教学反思：1. 教师根据学生的学习情况，及时调整教学策略和方法。

2.1认识无理数（第1课时）教案教学目标：1、通过拼图活动，让学生感受客观世界无理数的存在。

2、能判断出某些数是否为有理数，并能说出理由。

3、学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和探索精神。

教学重点1、让学生经历无理数发现的过程，感知生活中确实存在着不同于有理数的数。

2、会判断一个数是否为有理数。

教学难点1、把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程。

2、判断一个数是否为有理数。

课前准备两个边长为1的正方形，剪刀。

教学过程一创设问题情境，引入新课。

［师］同学们，我们上了好多年的学，学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪些数呢?（学生可能会回答整数、分数、小数、自然数、正数、负数、有理数）［师］我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，出现了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题。

二讲授新课1、动手操作（1）请同学们把手中的两个边长为1的正方形剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。

要求：可以独立完成，也可以小组合作；（2）作品展示（3）思考课本上提出的问题：①设大正方形的边长为a，a满足什么条件？②a可能是整数吗？说说你的理由。

③a可能是分数吗？说说你的理由。

同学之间展开讨论，关于a为什么不是有理数，教师可根据学生的回答，适当小结。

1²=1，而2²=4，而a²=2，可见a应该是比1大而又比2小的数。

首先a不可能是整数。

那么a是分数？试想一下：分数的平方会是整数吗？不可能，看来a也不可能是一个分数。

而有理数分为整数和分数两类，看来a不是有理数。

［师］经过大家的讨论可知，在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，1 由此看来，数又不够用了。

2、完成“做一做” （课本21页）（1）如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？（2）若该正方形的边长为b ，b 满足什么条件？（3）b 是有理数吗？以上问题由同学们思考讨论解决，教师适当总结、说明：（1）先用勾股定理求出斜边长，再求正方形的面积。