《2.1认识无理数》导学案
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学案 2.1.2认识无理数班级______________姓名___________【学习目标】1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数,并从中体会无限逼近的思想。
2.会判断一个数是有理数还是无理数。
【学习过程】 一、复习回顾1.在实际生活中,有理数不够用了,有些数不是整数,也不是分数,那么一定不是有理数。
2.你还记得小数的分类吗?二、探究新知1.问题情境:如图,面积为2的正方形的边长a 究竟为多少呢?2.探究学习(1)上图3个正方形的边长之间有怎样的大小关系? 【解答】 ∵1<s<4 ∴1<a <2(2)边长a 的整数部分是几?十分位是几?百分位是几?千分位呢?……借助计算器探索!【解答】 ∵1<s<4 ∴1<a <2 小数有限小数无限小数无限循环小数无限不循环小数边长a的整数部分是1∵1.96<s<2.25∴1.4<a<1.5边长a的十分位是4∵1.9881<s<2.0164∴1.41<a<1.42边长a的百分位是1∵1.999396<s<2.002225∴1.414<a<1.415边长a的千分位是4……(3)请将你的探索过程整理在表格中边长a面积s1<a<21<s<41.4<a<1.5 1.96<s<2.251.41<a<1.42 1.9881<s<2.01641.414<a<1.415 1.999396<s<2.0022251.4142<a<1.4143 1.99996164<s<2.00024449归纳小结:a=1.41421356……,a不是有限小数,是无限不循环小数2.做一做:(1)估计面积为5的正方形的边长b的值,并用计算器探索整理在表格中!边长b面积s2<b<3 4<s<92.2<b<2.3 4.84<s<5.292.23<b<2.24 4.9729<s<5.01762.236<b<2.237 4.999696<s<5.0041692.2360<b<2.2361 5.004169<s<5.00014321归纳小结:b=2.236067978……,b不是有限小数,是无限不循环小数(2)估计体积为5的正方体的边长c 的值,并用计算器探索整理在表格中!边长c 体积v 1<c <2 1<v<8 1.2<c <1.3 1.728<v<2.197 1.25<c <1.26 1.953125<v<2.000376 1.259<c <1.260 1.99561698<v<2.000376 1.2599<c <1.2601.99998976<v<2.000376归纳小结:c =1.25992105……,c 不是 有限 小数,是 无限不循环 小数 学以致用:(1).一个高为3米,宽为2米的大门,对角线大约是3.61米(精确到0.01). (2).已知Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =1,BC =3,则AB 的取值范围是( B ) A .3.0<AB<3.1 B .3.1<AB<3.2 C .3.2<AB<3.3 D .3.3<AB<3.43.议一议:把下面各数表示成小数,你发现了什么? 3,54,95,458-,112,【解答】3=3.0 54=0.8 95=•5.0 458-=•-71.0 11=••81.0知识点:无限不循环小数叫做无理数。
北师大版数学八年级上册《认识无理数(2)》教案一、学生起点分析学生在小学阶段已经学习了非负数,七年级又学习了有理数.本章第一课时的学习,学生感受到了生活中确实存在着不是有理数的数,让学生认识到所学的数又不够用了,从而激发他们学习的好奇心,能积极主动地参与到学习中,充分认识到学习无理数引入的必要性,发展学生的合情推理能力.二、教学任务分析《数不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上)第二章《实数》的第一节,第一课时让学生感受数的发展,感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 本课时为第二课时,内容是建立无理数的基本概念,借助计算器,感受无理数是无限不循环小数,会判断一个数是无理数,并能结合实际判别有理数和无理数.在活动中进一步发展学生独立思考的意识和合作交流的能力,在学习中领悟数学知识来源于生活,体会数学知识与现实世界的联系,而且对今后学习数学也有着重要意义.为此,本节课的教学目标是: 1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数,借助计算器进行估算,培养学生的估算能力,发展学生的抽象概括能力,并从中体会无限逼近的思想.2.探索无理数的定义,比较无理数与有理数的区别,并能辨别出一个数是无理数还是有理数,训练学生的思维判断能力.3.能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类,并说明理由,进一步体会分类思想,培养学生解决问题的能力.4.充分调动学生参与数学问题的积极性,培养学生的合作精神,提高他们的辨识能力.三、教学过程设计本节课设计六个教学环节:第一环节:新课引入;第二环节:活动与探究;第三环节:知识分类整理;第四环节:知识运用与巩固;第五环节:课堂小结;第六环节:作业布置.第一环节:新课引入内容:想一想:1. 有理数是如何分类的?整数(如1-,0,2,3,…) 有理数 分数(如31,52-,119,0.5,… ) 2. 除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如22=a ,25=b 中的a ,b 不是整数,能不能转化成分数呢?那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它们的真面目.意图:通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它的真面目.效果:激发学生的好奇心和求知欲,引出本节课题“数不够用了(2)”. 第二个环节:活动与探究1. 探索无理数的小数表示内容:借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a 和面积为5的正方形的边长b 进行估计.请看图,判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系?边长a 的取值范围大致是多少?如何估算的?是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.边长a 面积s 1<a <21<s<4 1.4<a <1.5[来源:学+科+1.96<s<2.25 1.41<a <1.42 1.9881<s<2.0164 1.414<a <1.415 1.999396<s<2.002225 1.4142<a <1.41431.99996164<s<2.00024449归纳总结:a 是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a 一定不是有理数.如果写成小数形式,它们是无限不循环小数.请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值.目的:让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐地缩小范围,借助计算器探索出a =1.41421356…,b =2.2360679…,是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想.效果:学生感受到无理数确实是无限不循环的,为后续定义无理数打下基础. 2. 探索有理数的小数表示,明确无理数的概念内容:请同学们以学习小组的形式活动:一同学举出任意一分数,另一同学将此分数表示成小数,并总结此小数的形式.议一议:分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况? 探究结论:分数只能化成有限小数或无限循环小数. 即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.强调:像0.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数).[来源:学.科.网Z.X.X.K]目的:通过学生的活动与探究,得出无理数的概念.效果:通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必然性,建立了无理数的概念. 第三个环节:知识分类整理内容:到目前为止我们所学过的数可以分为几类?(按小数的形式来分).强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的分类?目的:培养学生总结归纳的能力,把新学知识纳入已有的知识体系,进一步发展学生的思维判断能力,加强学生对分类思想的理解.效果:通过师生的共同探究,形成对中学现阶段数的系统认识,提高了总结归纳能力. 第四个环节:知识运用与巩固内容:认识一个数是无理数还是有理数.有理数:有限小数或无限循环小数无理数:无限不循环小数数整数分数例1填空: 0.351, 4.96••-,32-, 3.14159, 6, -5.2323332…,3π,1234567891011…(由相继的正整数组成).例2 判断下列说法是否正确(1)有限小数是有理数; ( ) (2)无限小数都是无理数; ( ) (3)无理数都是无限小数; ( ) (4)有理数是有限数. ( )例3以下各正方形的边长是无理数的是( ) (A )面积为25的正方形; (B ) 面积为254的正方形; (C ) 面积为8的正方形; (D ) 面积为1.44的正方形. [来源:Z 。
2.1.2--认识无理数-导学案(总3页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2子洲三中 “双主”高效课堂 导学案2014-2015学年第一学期 姓名: 组名: 使用时间2014年 月 日年 级 科 目 课 题主 备 人 备 课 方 式负责人(签字) 审核领导(签字) 序号八(3)数学§ 认识无理数乔智一、教学目标1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数,借助计算器进行估算,培养学生的估算能力,发展学生的抽象概括能力,并从中体会无限逼近的思想.2.探索无理数的定义,比较无理数与有理数的区别,并能辨别出一个数是无理数还是有理数,训练学生的思维判断能力. 二、教学过程 第一环节:新课引入想一想:1. 有理数是如何分类的?整数(如1-,0,2,3,…) 有理数分数(如31,52-,119,,… )2. 除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π,…上节课又了解到一些数,如22=a ,25=b 中的a ,b 不是整数,能不能转化成分数呢那么它们究竟是什么数呢本节课我们就来揭示它们的真面目. 第二个环节:活动与探究1. 探索无理数的小数表示内容:借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a 和面积为5的正方形的边长b 进行估计.请看图,判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系?边长a 的取值范围大致是多少如何估算的是否存在一个小数的平方等于2说说你的理由.归纳总结:a 是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a 一定不是有理数.如果写成小数形式,它们是无限不循环小数.请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值. 2. 探索有理数的小数表示,明确无理数的概念请同学们以学习小组的形式活动:一同学举出任意一分数,另一同学将此分数表示成小数,并总结此小数的形式.议一议:分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?探究结论:分数只能化成有限小数或无限循环小数.边长a 面积s 1<a <21<s<4 <a < <s< <a < <s< <a < <s< <a <1.<s<3即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.强调:像…,1.…,-…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率π=3.…也是一个无限不循环小数,故π是无理数).第三个环节:知识分类整理内容:到目前为止我们所学过的数可以分为几类( 按小数的形式来分).强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的分类?第四个环节:知识运用与巩固内容:认识一个数是无理数还是有理数. 例1填空: , 4.96••-,32-, , 6, - (3),…(由相继的正整数组成).例2 判断下列说法是否正确(1)有限小数是有理数; ( ) (2)无限小数都是无理数; ( ) (3)无理数都是无限小数; ( ) (4)有理数是有限数. ( )例3以下各正方形的边长是无理数的是( )(A )面积为25的正方形;(B ) 面积为254的正方形; (C ) 面积为8的正方形; (D ) 面积为的正方形.例4一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边a 是有理数吗?解:由勾股定理得: 22235a =+,即2=34a .因为34不是完全平方数,所以a 不是有理数. 强调:1. 无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.2. 任何一个有理数都可以化成分数qp形式(q ≠0, p ,q 为整数且互质),而无理数则不能.练一练:1.课本P 23 随堂练习.2.已知:在数43-,5, 1.42••-,π,3.1416,32,0,24,2n(1)- ,-…中,(1)写出所有有理数;无理数集合…5(2)写出所有无理数;(3)把这些数按由小到大的顺序排列起来,并用符号“<”连接.第五个环节:课堂小结内容:本节课你有哪些收获?1.无理数的定义.2.你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的?3.请把已学过的数怎样分类?批改日期月日4。
八上第二章《实数》导学案2.1认识无理数学习目标:让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.会判断一个数是否为无理数.重难点:把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.判断一个数是否为无理数. 一、知识回顾:1、使用计算器计算,把下列有理数写成小数的形式,你有什么发现? 3,95,9011,119,847,532、有理数:______和______统称为有理数,任何一个有理数都可以写成分数mn(m ,n 都是整数,且n ≠0)的形式。
任何______小数或____________小数都是有理数. 例:有两个边长为1的小正方形,剪一剪,拼一拼,设法得一个大正方形。
(1) 设大正方形的边长为a ,a 满足的条件是什么? (2) a 可能是整数吗?可能是分数吗?理由是什么? 结论:训练:正三角形ABC 的边长为2,高为h ,h 可能是整数吗? 可能是分数吗?例:(1)判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由 (2)边长a 的整数部分是几?十分位是几?百分位是几?千分位呢?……探索过程如下边长a 面积S 1<a <2 1<S <4 1.4<a <1.5 1.96<S <2.25 1.41<a <1.42 1.9881<S <2.0164 1.414<a <1.415 1.999396<S <2.002225 1.4142<a <1.41431.99996164<S <2.00024449还可以继续算吗?a 是有限小数吗? 结论:无理数:____________小数叫无理数。
实数:分为____________和____________两类。
实数的分类:例:练习:在73; -π; ;0;0.3 ;3π;0.33 ;0.3131131113…(两个3之间依次多一个1)中,属于有理数的有:__________________;属于无理数的有:__________________; 属于实数的有:________________________________________________。
北师大版数学八年级上册第二章《认识无理数》教案2.1 认识无理数(一)教学目标(一)知识目标:1.通过拼图活动,让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.能判断给出的数是否为有理数;并能说出现由.(二)能力训练目标:1.让学生亲自动手做拼图活动,感受无理数存在的必要性和合理性,培养大家的动手能力和合作精神.2.通过回顾有理数的有关知识,能正确地进行推理和判断,识别某些数是否为有理数,训练他们的思维判断能力.(三)情感与价值观目标:1.激励学生积极参与教学活动,提高大家学习数学的热情.2.引导学生充分进行交流,讨论与探索等教学活动,培养他们的合作与钻研精神.3.了解有关无理数发现的知识,鼓励学生大胆质疑,培养他们为真理而奋斗的精神.教学重点1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.2.会判断一个数是否为有理数.教学难点1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.2.判断一个数是否为有理数.教学方法教师引导,主要由学生分组讨论得出结果.教学过程一、创设问题情境,引入新课[师]同学们,我们学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?[生]在小学我们学过自然数、小数、分数.[生]在初一我们还学过负数.[师]对,我们在小学学了非负数,在初一发现数不够用了,引入了负数,即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢?下面我们就来共同研究这个问题.二、讲授新课1.问题的提出[师]请大家四个人为一组,拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀,认真讨论之后,动手剪一剪,拼一拼,设法得到一个大的正方形,好吗?[生]好.(学生非常高兴地投入活动中).[师]经过大家的共同努力,每个小组都完成了任务,请各组把拼的图展示一下.同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.[师]现在我们一齐把大家的做法总结一下:下面请大家思考一个问题,假设拼成大正方形的边长为a ,则a 应满足什么条件呢? [生甲]a 是正方形的边长,所以a 肯定是正数.[生乙]因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积,所以根据正方形面积公式可知a 2=2.[生丙]由a 2=2可判断a 应是1点几.[师]大家说得都有道理,前面我们已经总结了有理数包括整数和分数,那么a 是整数吗?a 是分数吗?请大家分组讨论后回答.[生甲]我们组的结论是:因为12=1,22=4,32=9,…整数的平方越来越大,所以a 应在1和2之间,故a 不可能是整数. [生乙]因为913131,943232,412121=⨯=⨯=⨯,…两个相同因数的乘积都为分数,所以a 不可能是分数.[师]经过大家的讨论可知,在等式a 2=2中,a 既不是整数,也不是分数,所以a 不是有理数,但在现实生活中确实存在像a 这样的数,由此看来,数又不够用了. 2.做一做投影片§2.1.1 A(1)在下图中,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?(2)设该正方形的边长为b ,则b 应满足什么条件?b 是有理数吗? [师]请大家先回忆一下勾股定理的内容.[生]在直角三角形中,若两条直角边长为a ,b ,斜边为c ,则有a 2+b 2=c 2.[师]在这题中,两条直角边分别为1和2,斜边为b ,根据勾股定理得b 2=12+22,即b 2=5,则b 是有理数吗?请举手回答.[生甲]因为22=4,32=9,4<5<9,所以b 不可能是整数. [生乙]没有两个相同的分数相乘得5,故b 不可能是分数.[生丙]因为没有一个整数或分数的平方为5,所以5不是有理数.[师]大家分析得很准确,像上面讨论的数a ,b 都不是有理数,而是另一类数——无理数.关于无理数的发现是付出了昂贵的代价的.早在公元前,古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”,即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”,也就是一切现象都可用有理数去描述.后来,这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示,这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条,据说为此希伯索斯被投进了大海,他为真理而献出了宝贵的生命,但真理是不可战胜的,后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的,我们一方面应积极地学习这些经验,另一方面我们也不能死搬教条,要大胆质疑,如不这样科学就会永远停留在某处而不前进,要向古希腊的希伯索斯学习,学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.三、课堂练习(一)课本P35随堂练习如图,正三角形ABC的边长为2,高为h,h可能是整数吗?可能是分数吗?解:由正三角形的性质可知BD=1,在Rt△ABD中,由勾股定理得h2=3.h不可能是整数,也不可能是分数.(二)补充练习为了加固一个高2米、宽1米的大门,需要在对角线位置加固一条木板,设木板长为a米,则由勾股定理得a2=12+22,即a2=5,a的值大约是多少?这个值可能是分数吗?解:a的值大约是2.2,这个值不可能是分数.四、课堂小结1.通过拼图活动,经历无理数产生的实际背景,让学生感受有理数又不够用了.2.能判断一个数是否为有理数.五、课后作业:见作业本。
2.1认识无理数教学目标【知识与能力】感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.【过程与方法】经历动手拼图过程,发展动手能力和探索精神.【情感态度价值观】通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.教学重难点【教学重点】感受无理数产生的背景.【教学难点】会判断一个数是不是无理数.教学准备两张边长为1的正方形纸片,多媒体课件.教学过程第一环节:情境引入导入一:七年级的时候,我们学习了有理数,知道了整数和分数统称为有理数,考虑下面的问题:(1)一个整数的平方一定是整数吗?(2)一个分数的平方一定是分数吗?[设计意图]做必要的知识回顾,为第二环节埋下伏笔,便于后续问题的说理,为后续环节的进行起了很好的铺垫作用.导入二:一个等腰直角三角形的直角边长为1,那么它的斜边长等于多少?利用勾股定理计算一下.【总结】我们在小学学了非负数,在七年级发现数不够用了,引入了负数,即把小学学过的正数、零扩充到有理数的范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢?第二环节:新知构建探究活动问题:x是整数(或分数)吗?2.把边长为1的两个小正方形,通过剪、拼,设法拼成一个大正方形,你会吗?出示教材P21图2 - 1.图2 - 1是两个边长为1的小正方形,剪一剪、拼一拼,设法得到一个大的正方形.问题1:拼成后的正方形是什么样的呢?问题2:拼成后的大正方形面积是多少?问题3:若新的大正方形边长为a,a2=2,则:①a可能是整数吗?②a可能是分数吗?【总结】没有两个相等的整数的积等于2,也没有两个相等的分数的积等于2,因此a 不可能是有理数.[设计意图]选取客观存在的“无理数”实例,让学生深刻感受“数不够用了”.巧设问题背景,顺利引入本节课题.思路一(1)如图所示,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少? (2)设该正方形的边长为b,b满足什么条件?(3)b是有理数吗?【问题解答】(1)由勾股定理可知,直角三角形的斜边的平方为5,所以正方形的面积是5.(2) b2=5.(3)没有一个整数或分数的平方为5,也就是没有一个有理数的平方为5,所以b不是有理数.思路二在下列正方形网格中,先找出长度为有理数的线段,再找出长度不是有理数的线段.【问题解答】构造直角三角形,利用勾股定理可得,长度为有理数的线段有AB,EF.长度不是有理数的线段有CD,GH,MN.[设计意图]创设从感性到理性的认知过程,让学生充分感受“新数”(无理数)的存在,从而激发学习新知的兴趣 ,让学生感受到无理数产生的过程,确定存在一种数与以往学过的数不同,了解学习“新数”的必要性.[知识拓展] 正方形网格中的线段既可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.数轴上的点可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.比如正方形OCBA 的对角线长度就不是有理数,数轴上的点P 表示的就是这个非有理数.网格上长方形(包括正方形)的对角线的长度都不一定是有理数.第三环节:课堂小结通过生活中的实例,证实了确实存在不是有理数的数.第四环节:检测反馈1.在直角三角形中两个直角边长分别为2和3,则斜边的长 ( )A .是有理数B .不是有理数C .不确定D .4答案:B2.下列面积的正方形,边长不是有理数的是 ( )A .16B .25C .2D .4答案:C3.在右面的正方形网格中,按照要求连接格点的线段:长度是有理数的线段为 ,长度不是有理数的线段为 .答案:略第五环节:布置作业一、教材作业【必做题】教材随堂练习及教材习题2.1第1题.【选做题】教材第22页习题2.1第2题.二、课后作业【基础巩固】1.在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的ΔABC 中,边长不是有理数的线段有 ,在图中再画一条边长不是有理数的线段.【能力提升】2.在任意两个有理数之间都有无数个有理数. 假设a ,b 是两个有理数,且a <b ,在a ,b 两数之间插入一个数为 .【拓展探究】3.把下列小数化成分数.(1)0.6;(2)0.7·;(3)0.3·4·.4.你会在下面的正方形网格(每个小正方形面积为1)中画出面积为10的正方形吗?试一试.【答案与解析】1.AB ,BC ,AC 略(解析:AB 2=42+12=17,BC 2=22+32=13,AC 2=22+42=20.)2.a+b 2(解析:答案不唯一,如插入a 和b 正中间的数.)3.解析:(1)0.6=35; (2)设0.7·=x ,则10x =7.7·,∴9x =7,从而x =79;(3)设0.3·4·=x ,则100x =34.3·4·,∴99x =34,从而x =3499.解:(1)0.6=35. (2) 0.7·=79. (3) 0.3·4·=3499.4.略板书设计2.1.1认识无理数1.拼接正方形.2.做一做.3.a ,b 存在,但不是有理数.教学设计反思成功之处大量事实证明,与生活贴得越近的东西就越容易引起学生的浓厚兴趣,更能激发学生学习的积极性.为此,本课时通过拼图游戏引发学生学习的欲望,把课程内容通过学生的生活经验呈现出来,然后进行大胆质疑.不足之处在教学过程中,没有刻意安排一些环节,帮助理解能力差的学生加深对“新数”的理解. 再教设计设计更多的实例让理解能力差的学生较好地理解“新数”.为进一步学习“新数”,即第二课时的教学埋下伏笔.。
子洲三中 “双主”高效课堂 导学案2014-2015学年第一学期 姓名: 组名: 使用时间2014年 月 日年 级科 目课 题主 备 人 备 课 方 式 负责人(签字) 审核领导(签字) 序号 八(3) 数学 § 2.1.1 认识无理数乔智一、教学目标①通过拼图活动,让学生感受客观世界中无理数的存在; ②能判断三角形的某边长是否为无理数; 二、教学过程 第一环节:质疑【想一想】⑴一个整数的平方一定是整数吗?⑵一个分数的平方一定是分数吗?第二环节:课题引入 1.【算一算】已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2,算一算斜边长x 的平方 ,并提出问题:x 是整数(或分数)吗? 2.【剪剪拼拼】把边长为1的两个小正方形通过剪、拼,设法拼成一个大正方形,你会吗?第三环节:获取新知【议一议】: 已知22a =,请问:①a 可能是整数吗?②a 可能是分数吗? 【释一释】:释1.满足22a =的a 为什么不是整数?释2.满足22a =的a 为什么不是分数?【忆一忆】:让学生回顾“有理数”概念,既然a 不是整数也不是分数,那么a 一定不是有理数,这表明:有理数不够用了,为“新数”(无理数)的学习奠定了基础【找一找】:在下列正方形网格中,先找出长度为有理数的线段,再找出 长度不是有理数的线段【仿一仿】:例:在数轴上表示满足()220x x =>的x解:仿:在数轴上表示满足()250x x =>的x第四环节:课堂小结内容: 1.通过本课学习,感受有理数又不够用了, 请问你有什么收获与体会? 2.客观世界中,的确存在不是有理数的数,你能列举几个吗? 3.除了本课所认识的非有理数的数以外,你还能找到吗?批改日期 月 日。
2.1认识无理数(第一课时)一、教学目标叙写1.学生通过预习教材21页,并思考情景引入中的问题1.2.学生通过合作探究部分,初步感知数不够用了,让学生充分感受“新数”(无理数)的存在.3.学生通过交流知识点、易错点和思想方法,培养学生归纳能力和有条理的表达能力.4.学生能正确地进行判断某些数是否为有理数,加深对有理数和无理数的理解.二、教学重难点1.重点:让学生经历无理数的发现过程.2.难点:会判断一个数是否为无理数.三、教学过程(一)、情景引入[师]同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?[生]在小学我们学过自然数、小数、分数.[生]在初一我们还学过负数.[师]对,我们在小学学了非负数,在初一发现数不够用了,引入了负数,即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢?下面我们就来共同研究这个问题.1、思考:⑴一个整数的平方一定是整数吗?⑵一个分数的平方一定是分数吗?2、已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2,算一算斜边长x的平方,并提出问题:x是整数(或分数)吗?(二)、自主探究1.问题的提出[师]请大家四个人为一组,拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀,认真讨论之后,动手剪一剪,拼一拼,设法得到一个大的正方形,好吗?[生]好.(学生非常高兴地投入活动中).[师]经过大家的共同努力,每个小组都完成了任务,请同学们把自己拼的图展示一下.同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.[师]现在我们一齐把大家的做法总结一下:下面再请大家共同思考一个问题,假设拼成大正方形的边长为a ,则a 应满足什么条件呢?[生甲]a 是正方形的边长,所以a 肯定是正数.[生乙]因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积,所以根据正方形面积公式可知a 2=2.[生丙]由a 2=2可判断a 应是1点几.[师]大家说得都有道理,前面我们已经总结了有理数包括整数和分数,那么a 是整数吗?a 是分数吗?请大家分组讨论后回答.[生甲]我们组的结论是:因为12=1,22=4,32=9,…整数的平方越来越大,所以a 应在1和2之间,故a 不可能是整数. [生乙]因为913131,943232,412121=⨯=⨯=⨯,…两个相同因数的乘积都为分数,所以a 不可能是分数.[师]经过大家的讨论可知,在等式a 2=2中,a 既不是整数,也不是分数,所以a 不是有理数,但在现实生活中确实存在像a 这样的数,由此看来,数又不够用了.活动内容:【议一议】→【释一释】→【忆一忆】→【找一找】将两个边长为1的小正方形,剪一剪、拼一拼,设法得到一个大的正方形.设这个大的正方形的边长为a,a 满足什么条件?【议一议】: 已知22a =,请问:①a 可能是整数吗?②a 可能是分数吗?【释一释】:释1.满足22a =的a 为什么不是整数?释2.满足22a =的a 为什么不是分数?【忆一忆】:让学生回顾“有理数”概念,既然a 不是整数也不是分数,那么a 一定不是有理数,这表明:有理数不够用了,为“新数”(无理数)的学习奠定了基础(四)、整理反思1.通过本课学习,感受有理数又不够用了, 请问你有什么收获与体会?2.客观世界中,的确存在不是有理数的数,你能列举几个吗?3.除了本课所认识的非有理数的数以外,你还能找到吗?2.1认识无理数(第二课时) 一、教学目标叙写1、学生通过预习教材22-23页,初步感知无理数的估算过程.2、学生通过合作探究“活动1”部分,让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐地缩小范围,借助计算器探索出a =1.41421356…,b =2.2360679…,是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想,通过学生的活动2并探究得出无理数的概念.3、学生通过交流知识点、易错点和思想方法,培养学生归纳能力和有条理的表达能力.4、学生通过完成“五、当堂评价”,能正确地对给出的数进行分类,加深对有理数和无理数的理解.二、教学重难点1.重点:了解无理数与有理数的区别并能正确判断.2.难点:无理数概念的建立及估算,会判断一个数是无理数还是有理数.三、教学过程(一)、复习引入1. 有理数是如何分类的?整数(如1-,0,2,3,…)有理数分数(如31,52-,119,0.5,… )2. 除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如22=a ,25=b 中的a ,b 不是整数,能不能转化成分数呢?那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它们的真面目.(二)、自主探究1.探索无理数的小数表示请看图,判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系?边长a 的取值范围大致是多少?如何估算的?是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.(归纳总结:a是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数.如果写成小数形式,它们是无限不循环小数).[生]因为3个正方形的面积分别为1,2,4,而面积又等于边长的平方,所以面积大的正方形边长就大.[师]大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢?[生]因为a2大于1且a2小于4,所以a大致为1点几.[师]很好.a肯定比1大而比2小,可以表示为1<a<2.那么a究竟是1点几呢?请大家用计算器进行探索,首先确定十分位,十分位究竟是几呢?如 1.12=1.21,1.22=1.44,1.32=1.69,1.42=1.96,1.52=2.25,而a2=2,故a应比1.4大且比1.5小,可以写成1.4<a<1.5,所以a是1点4几,即十分位上是4,请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.[生]因为1.412=1.9881,1.422=2.0164,所以a应比1.41大且比1.42小,所以百分位上数字为1.[生]因为 1.4112=1.990921,1.4122=1.993744,1.4132=1.996569,1.4142=1.999396,1.4152=2.002225,所以a应比1.414大而比1.415小,即千分位上的数字为4.[生]因为1.41422=1.99996164,1.41432=2.00024449,所以a应比1.4142大且比1.4143小,即万分位上的数字为2.[师]大家非常聪明,请一位同学把自己的探索过程整理一下,用表格的形式反映出来.[生]我的探索过程如下.[师]还可以继续下去吗?[生]可以.[师]请大家继续探索,并判断a是有限小数吗?[生]a=1.41421356…,还可以再继续进行,且a是一个无限不循环小数.[师]请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时,它的平方恰好等于5?请大家分组合作后回答.(约4分钟)[生]b=2.236067978…,还可以再继续进行,b也是一个无限不循环小数.[生]边长b不会算到某一位时,它的平方恰好等于5,但我不知道为什么.[师]好.这位同学很坦诚,不会就要大胆地提出来,而不要冒充会,这样才能把知识学扎实,学透,大家应该向这位同学学习.这个问题我来回答.如果b算到某一位时,它的平方恰好等于5,即b是一个有限小数,那么它的平方一定是一个有限小数,而不可能是5,所以b不可能是有限小数.2.探索有理数的小数表示,明确无理数的概念思考:分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?——分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.3,112,458,95,54,并看它们是有限小数还是无限小数,是循环小数还是不循环小数.大家可以每个小组计算一个数,这样可以节省时间.[生]3=3.0,54=0.8,95=•5.0, •=71.0458,••=818.1112 [生]3,54是有限小数,112,458,95是无限循环小数. [师]上面这些数都是有理数,所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来,任何有限小数或无限循环小数都是有理数.像上面研究过的a 2=2,b 2=5中的a ,b 是无限不循环小数.无限不循环小数叫无理数(irrational number).除上面的a ,b 外,圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,0.5858858885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数,它们都是无理数.3.有理数与无理数的主要区别(1)无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式,而无理数则不能.(三)、合学应用例1:填空:0.351, 4.96••-,0.4583,•7.3,-π,-71,18. 3.14159, 6, -5.2323332…,1234567891011…(由相继的正整数组成).例2 :判断下列说法是否正确:(1)有限小数是有理数; ( )(2)无限小数都是无理数; ( )(3)无理数都是无限小数; ( )(4)有理数是有限数. ( )(四)、整理反思1.无理数的定义.2.你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的?3.请把已学过的数怎样分类?易错点: .(五)、当堂评价1、以下各正方形的边长是无理数的是( )(A)面积为25的正方形;(B)面积为254 的正方形; (C)面积为8的正方形; (D)面积为1.44的正方形.2.已知:在下数中254 ,5,1.42••-,π,3.1416,32,0,24,2n (1)- ,-1.424224222…, (1)写出所有有理数;(2)写出所有无理数;(3)把这些数按由小到大的顺序排列起来,并用符号“<”连接.(六)、变练拓展1. 设面积为5π的圆的半径为a .(1)a 是有理数吗?说说你的理由.(2)估计a 的值(精确到十分位,并利用计算器验证你的估计).(3)如果精确到百分位呢?解:∵πa 2=5π∴a 2=5(1)a 不是有理数,因为a 既不是整数,也不是分数,而是无限不循环小数.(2)估计a ≈2.2.(3)a ≈2.24.。
第 二 章 第 1 节 认识无理数(1)一、学习目标1.能将两个相同的小正方形剪拼成一个大正方形;2.通过拼图活动,感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.二、学习重点难点:能判断一个数或正方形边长是否为无理数1. 和 统称为有理数。
2.在直角三角形ABC 中,90=∠C ,(1)若4,3==b a ,则=c 。
(2)若3,2==b a ,则=2c 。
c 可能是整数吗?c 可能是分数吗? 四、自主学习: (3分钟时间学生自主完成后师生交流得出结论,通过学生动手操作,让学生体会拼图过程,并感受引入无理数的必要性)有两个边长为1的小正方形,剪一剪,拼一拼,设法得到一个大的正方形。
(1)设大正方形的边长为a ,a 满足什么条件?(2)a 可能是整数吗?说说你的理由。
(3)a 可能是分数吗?说说你得理由,并与同伴交流。
结论:事实上,在等式22=a 中,a 既不是 ,也不是 ,所以a 不是 。
五、典例分析:(通过师生分析典型例) 例1.(1)图中,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?(2)设该正方形的边长为b ,b 满足什么条件?(3)b 是有理数吗?结论:在上面问题中,数b a ,确实存在,但都不是 。
六、强化练习:(通过学生练习、反馈、改错,让学生体会引入的必要性)1. 如下图1,是由16个边长为1的小正方形拼成的,任意连接这些小正方形的若干个顶点,可得到一些线段,试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段。
2. 请你在图2方格纸上按照如下要求设计三角形:(1)使它的三边中有一边边长不是有理数;(2)使它的三边中有两边变成不是有理数;(3)使它的三边边长都不是有理数。
图3(1题图)(2题图)4.如图,每个小正方形的边长为1,则△ABC中,边长不是有理数的边数是( ) A.0 B.1C.2 D.35.如图,在3×3的方格中,有一阴影正方形,设每一个小方格的边长为1.请解答下面的问题:(1)阴影正方形的面积是多少?(2)阴影正方形的边长介于哪两个整数之间?七、总结与反思:通过本节课的学习,我的收获和不足:- 2 -。
2.1认识无理数第2课时教学目标【知识与能力】掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性.【过程与方法】借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想.【情感态度价值观】在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力.教学重难点【教学重点】能用所学定义正确判断所给数的属性.【教学难点】无理数概念的建立.教学准备计算器、立方体、多媒体课件.教学过程第一环节:情境引入导入:前面我们学习了有理数,有理数是如何分类的呢?1.有理数是如何分类的?【问题解决】有理数{整数(如−1,0,2,3,…)分数(如13,−25,911,0.5,…)2.除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如a 2=2,b 2=5中的a ,b 不是整数,能不能转化成分数呢?那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它们的真面目.[设计意图] 通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它们的真面目.第二环节:新知构建面积为2的正方形的边长a 究竟是多少呢?(1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.(2)边长a 的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.(3)【思考】 a ,哪个更接近正方形的实际边长?【归纳总结】 a 是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a 一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?事实上,a =1.41421356…,它是一个无限不循环小数.【做一做】 (1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计.(2)如果结果精确到0.01呢?(提示:精确到0.1,b ≈2.2,精确到0.01,b ≈2.24)同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c =1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.[设计意图] 让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐缩小范围,借助计算器探索出a =1.41421356…,b =2.2360679…,c =1.25992105…是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想.2.有理数的小数表示,明确无理数的概念思路一:请同学们以学习小组的形式活动.【议一议】 把下列各数表示成小数,你发现了什么?3,45,59,-845,211. 【答案】 3=3.0,45=0.8,59=0.5·,-845=-0.17·,211=0.1·8·.分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?思路二:回忆小学我们学过的计算圆的周长和面积的时候,用到的π取多少?(3.14)它是确切的值吗?(不是,是近似值)那π是有理数吗?(不是)并且,我们还知道,利用计算机,现在π已经算到几亿分位,但是还是没有算出来.当然,π也不能化为分数的形式,所以π不是有理数,那π是什么数呢?【探究结论】 分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.【强调】 像0.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数称为无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数)【想一想】 你能找到其他的无理数吗?[设计意图] 通过学生的活动与探究,得出无理数的概念,通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必要性,建立了无理数的概念.3.例题讲解下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?3.14,-43, 0.5·7·,0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).解:有理数有:3.14,-43,0.5·7·;无理数有:0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).【强调】 1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.2.任何一个有理数都可以化成分数p q 的形式(q ≠0,p ,q 为整数且互质),而无理数不能.[设计意图] 通过例题的讲解,让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别,感受数的分类.[知识拓展] 确定x 2=a (a ≥0)中正数x 的近似值的方法:1.确定正数x 的整数部分.根据平方的定义,把x 夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.例如:求x 2=5中的正数x 的整数部分,因为22<5<32,即22<x 2<32,所以2<x <3,因此x 的整数部分为2.2.确定x 的小数部分十分位上的数字.(1)将这两个整数平方和的平均数与a 比较,预测十分位上数字的取值范围,如两个整数2和3的平方和的平均数为22+322=6.5>5,所以x 的十分位上的数字一定比3小,不妨设x ≈2.2.(2)设误差为k (k 必为一个纯小数,且k 可能为负数),则x =2.2+k ,所以(2.2+k )2=5,所以4.84+4.4k +k 2=5,因为k 是小数,所以k 2很小,把它舍去,所以4.84+4.4k =5,所以k ≈0.036,所以x =2.2+k ≈2.2+0.036=2.236.实际估算中,整数部分的数字容易估计,十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计,即2.12=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,因为4.84<5<5.29,所以2.22<x 2<2.32,所以2.2<x <2.3,所以十分位上的数字为2.第三环节:课堂小结数{有理数:有限小数或无限循环小数{整数分数无理数:无限不循环小数第四环节:检测反馈1.下列说法中正确的是 ( )A .无限小数都是无理数B .有限小数是无理数C .无理数都是无限小数D .有理数是有限小数答案:C2.以下各正方形的边长是无理数的是 ( )A .面积为25的正方形B .面积为425的正方形C .面积为8的正方形D .面积为1.44的正方形解析:52=25,(25)2=425,(1.2)2=1.44.故选C . 3.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边长a 是有理数吗?解:由勾股定理得: a 2=32+52,即a 2=34.因为不存在有理数的平方等于34,所以a 不是有理数. 4.已知-34,5,-1.4·2·,π,3.1416,23,0,42,(-1)2n ,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).(1)写出所有有理数;(2)写出所有无理数.解:(1)有理数:-34,5,-1.4·2·,3.1416,23,0,42,(-1)2n . (2)无理数:π,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).第五环节:布置作业1.教材作业【必做题】教材随堂练习.【选做题】教材习题2.2第2,4题.2.课后作业【基础巩固】1.面积为3的正方形的边长为x ,则x ( )A .1<x <2B .2<x <3C .3<x <4D .4<x <52.一个正三角形的边长是4,高为h ,则h 是 ( )A .整数B .分数C .有限小数D .无理数【能力提升】3.在直角三角形中,若两条直角边的长分别是2和3,则斜边长的平方是 ,则斜边长是 数.【拓展探究】4.设半径为a 的圆的面积为20 π.(1)a 是有理数吗?说说你的理由;(2)估计a 的值(精确到十分位,并利用计算器验证你的估计);(3)如果精确到百分位呢?5.在某项工程中,需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢?要解决这个问题,必须首先求出正方形的边长,那么,请你算一算:(1)如果精确到十分位,正方形的边长是多少?(2)如果精确到百分位呢?【答案与解析】1.A(解析:12=1,22=4.)2.D(解析:由勾股定理,得h2=42-22=12,没有整数或分数的平方等于12,所以h为无理数.)3.13无理(解析:由勾股定理,可得斜边的平方为13,没有整数或分数的平方为13,所以是无理数.)4.解:(1)∵πa2=20π,∴a2=20.a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是无限不循环小数.(2)a≈4.5.(3)a≈4.47.5.解析:1.72=2.89,1.73=2.9929.解:(1)1.7米.(2)1.73米.板书设计2.1.2认识无理数1.数的小数表示.2.有理数的小数表示,明确无理数的概念.3.例题讲解.教学设计反思成功之处本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”,让学生通过估算、借助计算器进行探索、讨论等途径,体会数学学习的乐趣,体会无限逼近的数学思想,得到无理数的概念.不足之处对基础较薄弱的学生和班级,这一探索过程所需时间较长,会影响后面环节的进行.再教设计知识分类整理环节,学生自主整理和接受会有一定困难,若学生学习例题后再进行知识分类整理可能会更好.感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的,所以绝对不能淡化.初中数学公式大全1过两点有且只有一条直线2两点之间线段最短3同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短7平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行9同位角相等,两直线平行10内错角相等,两直线平行11同旁内角互补,两直线平行12两直线平行,同位角相等13两直线平行,内错角相等14两直线平行,同旁内角互补15定理三角形两边的和大于第三边16推论三角形两边的差小于第三边17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18推论1直角三角形的两个锐角互余19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形21平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形22平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形23平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形24矩形性质定理1矩形的四个角都是直角25矩形性质定理2矩形的对角线相等26矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形27矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形28菱形性质定理1菱形的四条边都相等29菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角30菱形面积= 对角线乘积的一半,即S= (a×b )÷231菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形32菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形33正方形性质定理1正方形的四个角都是直角,四条边都相等34正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角35定理1关于中心对称的两个图形是全等的36定理2关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分37逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称38等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。
北师大版数学八年级上册《认识无理数》教案教学目标:1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数,并从中体会无限逼近的思想.探索无理数与有理数的区别,并能辨别出一个数是无理数还是有理数.2.通过学生活动准确认识到有理数都可以划成有限小数和无限循环小数,发展学生的抽象概括能力. 3.让学生理解估算的意义,掌握估算的方法,同时发展学生的估算能力,在数学活动发挥学生的积极作调学生参与数学问题的积极性,培养学生的合作精神. 教学重点与难点:重点:无理数概念的建立过程;了解无理数与有理数的区别,并能正确判断.难点:无理数概念的建立及估算;会判断一个数是无理数还是有理数,有理数与无理数的区别.教法与学法指导:本节课是在上一节课对无理数定性分析的基础上,借助于计算器,采用估算等方法,对无理数的产生进行定性的研究.在教学中要强调让学生探究概念形成的过程,鼓励学生自主探索与合作交流,以学生自主探索为主,并强调小组之间的合作与交流,强化应用意识,培养学生多方面的能力.学生要借助工具多动手、动口、动脑,自主探究,提高学习的兴趣,进一步体会数学的地位和作用. 课前准备:多媒体课件、计算器. 教学过程:一、创设情境,导入新课教师:同学们还记得有理数是如何分类的吗?教师:很好!上节课我们了解到一些数,如a 2=2,b 2=5中的a ,b 既不是整数,也不是分数,那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来探究这些数的真面目.设计意图:通过这些问题让学生发现有理数不够用了,这些数既不是整数,也不是分数,激发学生的求知欲,去揭示它的真面目.实际效果:激发学生的好奇心和求知欲,吸引学生注意力,引出本节课题“数怎么又不够用了”. 二、合作探究,发现新知探究一:计算器探索面积为2的正方形的边长a .(课件展示) 教师:大家还记的我们上节课是怎样得到面积为2的正方形的吗?学生:有理数 整数(如-1,0,2,3,…):都可看成有限小数.分数 (如-13,25,911,… ):可不可能都化成有限小数或无限小数?学生:把两个边长为1的小正方形,通过剪切、拼图拼成一个大的正方形,它的面积就是2.教师:面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?你能不能估计大正方形的边长a在什么范围内?学生:(观察课件后回答)通过图形可以看出1<a<2.因为12=1,22=4,而a的平方等于2,所以1<a<2.教师:非常好!既然1<a<2,那么a是1点几呢?为什么?学生:(探究后回答)1.4<a<1.5.因为1.42=1.96,1.52=2.25,而a的平方等于2,所以1.4<a<1.5.教师:你能精确到它的百分位吗?千分位呢?万分位呢?下面给大家几分钟的时间,借助计算器进行探索.(学生小组合作,探索交流)教师:谁能说一下小组探索的结果?学生:a=1.4142.教师:恰好是1.4142吗?学生:约等于1.4142,在1.4142与1.4143之间.教师:还有几位小数?学生:无数位.它是一个无限小数.教师:对,大家可以看一下小明同学的探索过程.(展示课件)边长a面积S1<a<2 1<S<41.4< a<1.5 1.96<S<2.251.41< a<1.42 1.9881<S<2.01641.414< a<1.415 1.999396<S<2.0022251.4142<a<1.4143 1.99996164<S<2.00024449教师:如果继续探索下去,你会有什么发现?学生:这个数是无限小数而且不循环.教师:对,事实上,它是一个无限不循环小数.探究二:计算器探索面积为5的正方形的边长b(课件展示)教师:模仿上一个探索过程,你能探索面积为5的正方形的边长b吗?如果能,把探究的结果填入下表.边长b面积S保留整数<b <<S <保留十分位< b <<S <学生:(小组合作,交流探索)把探究结果填入表格. 教师:谁能说一下你能得到什么结论?学生:b =2.23606…,它也是一个无限不循环小数.教师:同学们探索的非常好. 模仿刚才的探索方法,我们也可以探索体积为2的正方体的棱长.借助计算器,可以得到它的棱长为1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.设计意图:借助计算器探索出a =1.41421356…,b =2.2360679…,是一个无限不循环小数,并从中感受无限逼近的数学思想.实际效果:通过探究让学生真切感受到无理数确实是无限不循环的,为无理数概念打下基础. 议一议(课件展示):把下列有理数表示成小数,你发现了什么? 3,45,59,845,211. 学生1:3=3.0,54=0.8,95=•5.0,•=71.0458,••=818.1112.学生2:我发现3,54是有限小数,112,458,95是无限循环小数.教师:好!上面这些数都是有理数,所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来,任何有限小数或无限循环小数都是有理数.像1.41421356…,2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,但是又不是循环的,是无限不循环小数.你能给这类数取个名字吗?生:无理数.教师:很好,哪位同学给无理数下个定义? 学生:无理数就是无限不循环小数.教师:好,圆周率π=3,14159265…也是一个无限不循环小数,目前π值已精确计算到了将近65亿位,但是仍然不是一个精确的数值.故π是无理数.像上面研究过的a 2=2,b 2=5中的a ,b 是无限不循环小数都是无理数.教师:理解无理数的概念一定要抓住哪两方面? 学生:一是无限小数;二是不循环小数.教师:同学们一定要抓住这两点,只要有一点不符合,它就不是无理数.你能举出其他的无理数例子吗?保留百分位 < b < < S < 保留千分位 < b < < S < 保留万分位< b << S <学生:(学生踊跃的)1.2345678987…,2π等等. 教师:无理数多不多? 学生:多.教师:在我们生活中除了π以外,还有非常多的无理数.下面我们看例1,你能分清有理数和无理数吗? 设计意图:通过学生的活动与探究,得出无理数的概念.教学效果:通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必然性,建立了无理数的概念.三、例题示范,应用概念 (课件展示)例1 下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?3.14,34-,••75.0,0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1),-π.学生:有理数有3.14,34-,••75.0;无理数有0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1), -π.教师:回答得很好,大家鼓励一下.只要你抓住了无理数的两个特征,你就能把它识别出来. 跟踪练习: 1.填空:0.351,π+1,.68.4,23-, 3.14159, -5.2323332…, -3π ,1.234567891011…(由相继的正整数组成).有理数有: ; 无理数有: . 2.判断下列说法是否正确:(1)有限小数是有理数; ( ) (2)无限小数都是无理数; ( ) (3)无理数都是无限小数; ( ) (4)有理数是有限小数. ( ) 教师强调:1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数. 2.任何一个有理数都可以化成分数形式,而无理数则不能.例2 (1)设面积为10的正方形的边长为x ,x 是有理数吗?说说你的理由. (2)估计x 的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计. (3)如果结果精确到百分位呢?解:(1)由题意得x2=10,因为32=9,42=16,而 32 <x2<42.故3<x<4,所以x不是整数,没有一个分数的平方等于10,所以x不是分数.因为x即不是整数也不是分数,故x不是有理数.(2) 估计x≈3.2.(3) x≈3.16.设计意图:通过例1及练习的讲解,让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别,感受数的分类,培养学生总结归纳的能力.而例2属于数的估算.,进一步发展学生的思维判断能力.实际效果:通过师生的共同探究,形成对中学阶段数的系统认识,提高了总结归纳能力.四、课堂总结,盘点收获教师:通过本节课的学习你有哪些收获呢?你还存在疑问吗?学生:我的主要收获是认识了无理数,并且能把无理数与有理数区别开.有理数包括整数和分数,能够化成有限小数或者是无限循环小数,而无理数是无限不循环小数.教师:还有要补充的吗?学生:我还学会了π是无理数以及利用估算的方法探索无理数的范围.教师:大家总结的很全面.以后我们还会学到很多关于无理数的知识,希望同学们继续努力.设计意图:让学生学会及时对知识点、数学方法进行总结,并整理成经验,形成良好的学习习惯,提高学生的归纳总结能力,进一步发展学生的思维判断能力。
第二章 实数2.1认识无理数一、问题引入: 数和无限 (填循环或不循环)小数。
面积是多少?(2)设该正方形的边长为b ,则b 应满足什么条件?(3)b 是有理数吗?3、请你举出一个无限不循环小数的例子,并说出它的整数部分是 ,小数部分是 ,请指出它的十分位、 百分位、千分位……..。
4、 称为无理数,请举两个例子 。
二、基础训练:1、x 2=8,则x ______分数,______整数,______有理数.(填“是”或“不是”)2、在0.351,-32,4.969696…,0,-5.2333,5.411010010001…,6.751755175551…中, 不是有理数的数有_____ 。
3、长、宽分别是3、2的长方形,它的对角线的长可能是整数吗?可能是分数吗?4、在-227,2,33,0,π,0.6,0、1010010001中,无理数共有_______ 个.下图是由16个边长为1的小正方形拼成的,任意连结这些小正方形的若干个顶点,可得到一些线段,试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段.四、课堂检测:1、在下列实数-12,π,4,13,5中,无理数有( )A .1个B .2个C .3个D .4个2、下列说法正确的是( )A .有理数只是有限小数B .无理数是无限不循环小数C .无限小数都是无理数D .3 是分数 3、实数:3.14,π,0.315315315…,722,0.3030030003…中,无理数有 _________ 个. 4、下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?Π、0.351,-••69.4,32,3.14159,-5.2323332…,0、0.1234567891011112131…(小数部分由相继的正整数组成)在下列每一个圈里,至少填入三个适当的数.5、(1)设面积为10的正方形的边长为x,x是有理数吗?说说你的理由。
(2)估计x的值(结果精确到十分位),用计算器验证你的估计如果精确到百分位呢?6、如图,是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形[来源:学.科.网Z.X.X.K]边长是无理数的正方形有________个7、如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D,AC=6,AD=5,问:CD可能是整数吗?可能是分数吗?可能是有理数吗?。
《2.1认识无理数》导学案
【学习目标】1.通过拼图活动,让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.
2.能判断给出的数是否为无理数,并能说出理由.
【重点】1.让学生经历无理数发现的过程,感知生活中确实存在着不同于有理数的数.
2.会判断一个数是否为有理数,是否不是有理数. 3.用计算器进行无理数的估算.
【难点】无理数概念的建立及估算.判断一个数是否为有理数.
预习案
预习P21
1.什么叫有理数?_________________________________。
__________和__________统称有理数。
2.=
π___________。
是有理数吗?___________。
3.已知一个等腰直角三角形的腰长为1,则斜边长平方长为___________,斜边长为___________。
4.准备两个边长为1的小正方形,剪一剪,拼一拼,并设法得到一个大的正方形,比如下图所示:
探究案
学习过程:
一、拿出预习时所拼的图(老师可展示PPT),
回答下列问题:
(1)设大正方形的边长为a,
a应满足什么条件?
(2)满足:a2=2的数a是一个什么样的数?a可能是整数吗?说明你的理由?
(3)a可能是分数吗?说说你的理由?结合其他小组的结果,
你感受到了什么?_________________________________________
二、P21“做一做”
1、(1)右图,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?(2)设该正方形的边长为b,b满足什么条件?(3) .b是有理数吗?三.有理数如何分类的?
____ 整数
整数(如-1,0,2,3,…):都可看成有限小数 ____
有理数 ____ 整数
分数(如-
3
1
,
5
2
,
11
9
,… ):可不可能都化成有限小数或无限小数?
巩固练习
四、随堂练习 P21
上节课了解到一些数,如a2=2,b2=5中的a,b 既不是整数,也不是分数,那么它们究竟是什么数呢?
探索有理数的小数表示,明确无理数的概念
五.议一议:将分数化成小数,最终此小数的形式有几种情况?
探究结论:分数只能化成有限小数或无限循环小数.即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.强调:像0.585885888588885…,1.41421356…,2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,但是又不是循环的,是无限不循环小数. 故无限不循环小数叫无理数.(圆周率π=3014159265…是一个无限不循环小数,故π是无理数).
六.知识分类整理
内容:到目前为止我们所学过的数按小数的形式来分,可以分为几类?.
七.练习
有理数:有限小数或无限循环小数
无理数:无限不循环小数
实数
整数
分数
例1 填空: 0.351, -3
2, 3.14159, -5.2323332…,
3
π
, 1234567891011…(由相继的正整数组成).
例2
判断下列说法是否正确:
(1)有限小数是有理数; ( )(2)无限小数都是无理数; ( )
(3)无理数都是无限小数; ( )(4)有理数是有限数. ( ) 例3 以下各正方形的边长是无理数的是( ) (A )面积为25的正方形;(B) 面积为
25
4的正方形;
(C) 面积为8的正方形; (D) 面积为1.44的正方形.
例4 一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边a 是有 理数吗?
解:由勾股定理得:a 2=32+52,即a 2=34.因为34不是完全平方数,所以a 不是有理数. 强调:
1. 无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.
2. 任何一个有理数都可以化成分数
q
p 形式(p ,q 为整数且互质),而无理数则不能.
3.一个数a,并且a 2=b ,如果b 不是完全平方数(0、1除外),则a 就不是有理数,是无理数 本节内容回顾: 1.什么叫无理数? 2.实数的分类?
3.如何判定一个数是无理数还是有理数.
八、拓展与提高 1. P22习题1.2.
2.(1)两个数
3.252525……与3.252252225……一样吗?它们有什么不同?
(2)一个边长为6cm 的正方形木板,按如图的痕迹锯掉四个一样的直角三角形.请计算剩下的正方形木板的面积是多少?剩下的正方形木板的边长又是多少厘米呢?你能帮小红解决这个问
题吗?
(3).你能求出面积为2的正方形的边长吗?你知道圆周率π的精确值吗?它们能用整数或分
数(即有理数)来表示吗?
课堂小结:
1、 通过拼图活动,你感受到了什么?
2.谈谈本节课你有什么收获与体会?有哪些困难需要别人帮你解决?
学习反思:
有理数集合
无理数集合
…
…
5
..
,96.4。