电动力学_郭芳侠_电磁波的传播 (1)

第四章 电磁波的传播1. 真空中的波动方程，均匀介质中的定态波动方程和亥姆霍兹方程所描述的物理过程是什么？从形式到内容上试述它们之间的区别和联系。

解：真空中的波动方程：22210E E c t →∂∇-=∂，22210B B c t →∂∇-=∂。

表明：①在0=ρ，0=→J 的自由空间，电场与磁场相互激发形成电磁波, 电磁波可以脱离场源而存在。

②真空中一切电磁波都以光速c 传播。

③适用于任何频率的电磁波,无色散.均匀介质中定态波动方程：222222221010E E v tB B v t∂∇-⋅=∂∂∇-⋅=∂，其中()v ω=。

当电磁场在介质内传播时，其ε与μ一般随ω变化，存在色散,在单色波情况下才有此波动方程。

亥姆霍兹方程：(220,0E k E k E i B Eωω⎧∇+==⎪⎪∇⋅=⎨⎪⎪=-∇⨯⎩表示以一定频率按正弦规律变化的单色电磁波的基本方程，其每个解都代表一种可能存在的波模。

2. 什么是定态电磁波、平面电磁波、平面单色波？分别写出它们的电场表示式。

从形式到内容上试述它们之间的区别和联系。

解：（1）定态电磁波：以一定频率作正弦振荡的波称为定态电磁波，即单色简谐波。

(,)()i t E x t E x e ω-=（2）平面电磁波：等相位面与波传播方向垂直且沿波矢量→K 传播的电磁波。

0()ik r E x E e ⋅=（3）平面单色波：以一定频率作正弦振荡的平面波称为平面单色波。

()0(,)i k r t E x t E e ω⋅-=3. 在0ω≠的定态电磁波情形麦氏方程组的形式如何？为什么说它不是独立的，怎样证明？不是独立的，是否等于说有的方程是多余的呢？试解释之。

解：定态电磁波情形麦氏方程组的形式为：00E i B B i E E B ωωμε⎧∇⨯=⎪∇⨯=-⎪⎨∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩......（1） (2)……（3）……（4） 对（1）和（2）取散度可得（3）(4)两式，所以它不独立。

不独立不表示方程多余，定态电磁波只是一种特殊情形,在更普遍的情况下，麦氏方程组四个方程分别描述了场的不同方面。

4. 设有一电磁波其电场强度可以表示为 ())(t i t x E E 00exp ,ω-=。

试问它是否是平面时谐波（平面单色波）？为什么？答;不是。

因为E 做傅立叶展开后，可以看成是无数个平面单色波的叠加。

如令)2()2(000000000212)2cos(),(t x k i t x k i x ik e e E t e E t x E ωωω-++==则)(0)3(0000022t x k i t x k i e E e E E ωω-++=是两个单色波的叠加。

5．试述平面单色波在均匀介质中具有哪些传播特性？并且一一加以证明。

解：特性：①是横波，且E B ，，k 有右手螺旋关系 证：()0(,)i k r t E x t E e ω⋅-=0B ,B ,E ii1B E ik E k E k E k E ik E k Eωωω∇⋅=⋅=⊥⎫⇒⊥⊥⊥⎬=-∇⨯=-⨯=⨯⎭即即电波为横波，得证。

②()p B v c E 与同相位，振幅比为真空中为()()()i k x to i k x t o pE x,t E e11B k E n E eV ωωω⋅-⋅-==⨯=⨯k kn n εμωω==其中：E B k x-t,ω⋅此式证明：，相位均为且振幅比为p E v B == 6. 在自由空间中，38(,)10sin(910)/y E z t e t kz V m π=⨯- 求：(1)波数以及波的传播方向,(2)H z t (,) 解: 已知电场38(,)10sin(910)/y E z t e t kz V m π=⨯-(1)由电场表示式知:889103(/)310k rad m c ωππ⨯===⨯.电磁波沿z 方向传播 (2)自由空间中,0,0J ρ==0,BE ik E i H tωμ∂∇⨯=-⨯=∂ 01z H e E c μ=⨯380110sin(910)z y H e e t kz c πμ=⨯⨯- =82.65sin(9103)x t z e ππ-⨯-7. 研究反射、折射问题的基础是电磁场在两个不同介质分界面上的边值关系，但为什么只需用两式，可否用另两式呢？解：边值关系：000)()()(0)(12121212==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋅=-⋅=-⨯=-⨯σασα，在绝缘介质界面上B B n D D n H H n E E n 对时谐电磁波，麦氏方程组不独立，由前两式可得后两式，相应的边值关系也不独立，当⎩⎨⎧=-=-⨯0)(0)(1212H H n E E n成立时，法向分量的边界条件自然满足。

8. 试述入射波、反射波、折射波的频率、相位、传播方向和振幅各有些什么关系？解：频率关系：'"ωωω=＝，振幅与相位关系：sin()sin()E E E θθθθ'''-⊥=-=''+入射面: ()2cos sin sin ``E E θθθθ''==+E tg()//E tg()E θθθθ'''-=''+入射面时:，E 2cos sin E sin()cos()θθθθθθ''''=''''+- 传播方向：反射波矢和折射波矢和入射波矢在同一平面上，12k k ,k ,v v ωω'''===sin ',sin "θθθθ== 9. 全反射时有什么特点？若要使线偏振的入射波通过全反射波反射成为圆偏振波，则对介质有什么要求？解：①特点：a.发生全反射时，21sin n θ≥折射波的波矢量垂直于界面的分量zk ''=,折射波随进入深度所得增加而迅速衰减.b. 折射波的平均能流只有平行于界面的分量,能量主要集中在交界面附近厚度为1-k 的薄层内，反射波的平均能流密度等于入射波的平均能流密度，即对平均时间来说，入射波的能量全部被反射。

②要使线偏振的入射波通过全反射波反射成为圆偏振波，则全反射波的两个分量,E E ⊥振幅必须相等，相差等于(21),0,1,2,32m m π+=反射波的菲涅尔公式：sin()sin cos cos sin sin()sin cos cos sin E E θθθθθθθθθθθθ⊥⊥'''''''--=-=-''''''++ （1） E tg()sin cos sin s E tg()sin cos sin s co co θθθθθθθθθθθθ'''''''--=''''''++= （2）由折射定律21sin sin "n θθ==，全反射发生时，21sin n θ≥211sin sin n θθ''=，cos θ''=== （3） 将三式代入（1），（2）式，得：E E ⊥⊥'=（4）E E'=(5)可以看出,E 1E'=.设,i i E E e E E e δδ⊥⊥⊥''==,由（4）,(5)式得: 2121arctgarctgδδ⊥== (6)当入射波的线偏振时, ,E E ⊥相位相同.经反射后,E E ⊥''相位不相同,当1E E⊥=时,且E E ⊥''与相差 (21),0,1,2,32m m πδδ⊥-=+=时, (7)反射成为圆偏振波.于是由(6),(7)得:1sin 2θ=(8)结论: 当线偏振的入射波电矢量的两个分量,E E ⊥的振幅相等,并且入射角θ和相对折射率21n 满足(8)式时,反射波便成为圆偏振波.10. 当光以布儒斯特角入射时，反射光变为垂直于入射面的完全偏振光。

但人们要想得到完全偏振光,不直接采用反射的完全偏振光，往往通过一组平行玻璃板把垂直于入射面的偏振光滤掉，得到平行于入射面的完全偏振光，为什么？已知玻璃的布儒斯特角为56。

答:反射光虽然是完全偏振光，但它的强度太小37.022sin 90sin )3456sin()sin()sin(-=-=--=''+''--='⊥θθθθE E 而按题中的做法，可得折射光（平行于入射面的完全偏振光） 11.有哪些理由足以说明光波是频率在一定范围内的电磁波？解：真空中电磁波的传播速度和光波在真空中的传播速度都是c,且不需要任何介质。

光波的反射、折射、干涉、衍射规律与电磁波遵循相同的规律。

12. 试推出导体中定态电磁波波动方程的两种不同形式以及亥姆霍兹方程，并与介质中的相应方程进行比较，阐明它们之间有何异同之处？ 解：良导体中：0,J E ρσ==，，代入麦氏方程组得：00BE t EB E tE B μεμσ∂∇⨯=-∂∂∇⨯=+∂∇⋅=∇⋅=，对前两式取旋度得波动方程：2222220E EE t tB BB t tμεμσμεμσ∂∂∇--=∂∂∂∂∇--=∂∂与介质中的方程相比多了与时间的一次导数项，表明传导电流使电磁波传播不断损耗为一个不可逆过程。

定态电磁波：(),()i t i t E E x e B B x e ωω--==，代入麦氏方程组得：'00E i BB i E E i EE B ωωμεμσωμε⎧∇⨯=⎪∇⨯=-+=-⎪⎨∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩其中：'i σεεω=+，由第一式解出B 代入第二式可得：(22'0'E k E k ∇+==，即亥姆霍兹方程。

与介质中的最大区别在于''k εμ=复数,如果是绝缘介质, 0,σεε'==,'k =都是实数,上述亥姆霍兹方程便过渡为绝缘介质中定态电磁波的方程.13. 波矢量k 的物理意义是什么？如何理解导体中的波矢量？衰减常量α的方向如何确定，相位常量β的方向又如何？解：波矢量k 是描述电磁波传播方向的一个矢量，其量值λπμεω2==k 称为波数，导体中波矢量为一复矢量。

'k i βα=+波矢量k 的实部β描述波的传播的相位关系，虚部α描述波幅的衰减。

将'iσεεω=+，'k i βα=+代入'k = 22212βαωμεαβωμσ-=⋅= 由边界条件可确定α ，β的方向。