文科高考中异面直线所成角的常考题型

异面直线所成的角专题训练1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AC和XXX所成的角为多少度？答案：90度。

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是多少度？答案：60度。

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AC的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为多少度？答案：无法确定，题目中缺少信息。

4.在三棱锥ABC-A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，AB=4，AA1=6.若E是棱BB1上的点，且BE=B1E，则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为多少？答案：1/3.5.在三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA=PC=4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为多少？答案：-1/2.6.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，直线AM与CN所成角的余弦值是多少？答案：-3/5.7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，且CA=CC1=10，则直线B1C与直线AB1所成角的余弦值为多少？答案：5/13.8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，A1B1=2，AB⊥BC，点M是AC1的中点，则异面直线MB与AA1所成角的余弦值为多少？答案：-1/3.9.正三棱锥A-PBC的侧棱两两垂直，D，E分别为棱PA，BC的中点，则异面直线PC与DE所成角的余弦值为多少？答案：-3/5.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1D所成角的大小为多少度？答案：无法确定，题目中缺少信息。

中，ABCD是正方形，E是AD的中点，F是BC的中点，异面直线EF与AC所成的角的正弦值为(。

)A．12B．13C．23D．110.在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BC的中点，异面直线EF与直线AC所成的角的正切值为(。

高三复习——异面直线考点1 异面直线所成的角此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点.例1如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点．（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）求异面直线AO 与CD 所成角的正切值的大小． 解答过程：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， CO BO ∴⊥，又AOBO O =，CO ∴⊥平面AOB ，又CO ⊂平面COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ．（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥，CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，CE ∴又12DE AO =∴在Rt CDE △中，tan CE CDE DE=同步练习：1. 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，∠ABC=90°，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=12 （1）求四棱锥S-ABCD 的体积； （2）求直线AB 与直线SD 所成角的大小OCADBE2.在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M 是AB的中点．（I）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；（Ⅱ）证明AE⊥平面PCD；（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小．考点2.简单多面体的侧面积及体积的计算棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积，棱柱侧面积转化成求三角形的面积. 直棱柱体积V 等于底面积与高的乘积.棱锥体积V 等于31Sh 其中S 是底面积，h 是棱锥的高.例2. 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2a ，BC ＝CA ＝AA 1＝a ， A 1在底面△ABC 上的射影O 在AC 上 ① 求AB 与侧面AC 1所成角；② 若O 恰好是AC 的中点，求此三棱柱的侧面积.[思路启迪]①找出AB 与侧面AC 1所成角即是∠CAB ；②三棱锥侧面积转化成三个侧面面积之和，侧面BCC 1B 1是正方形，侧面ACC 1A 1和侧面ABB 1A 1是平行四边形，分别求其面积即可. 解答过程：①点A 1在底面ABC 的射影在AC 上， ∴ 平面ACC 1A 1⊥平面ABC .在△ABC 中，由BC ＝AC ＝a ，AB ＝2a . ∴ ∠ACB ＝90°，∴ BC ⊥AC . ∴ BC ⊥平面ACC 1A 1.即 ∠CAB 为AB 与侧面AC 1所成的角在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°. ∴ AB 与侧面AC 1所成角是45°.∵ O 是AC 中点，在Rt △AA 1O 中，AA 1＝a ，AO ＝21a . ∴ AO 1＝23a . ∴ 侧面ACC 1A 1面积S 1＝2123a ＝AO AC . 又BC ⊥平面ACC 1A 1 ， ∴ BC ⊥CC 1. 又BB 1＝BC ＝a ，∴ 侧面BCC 1B 1是正方形，面积S 2＝a 2.过O 作OD ⊥AB 于D ，∵ A 1O ⊥平面ABC ，∴A 1D ⊥AB .A 1B 1C 1AB CDO在Rt △AOD 中，AO ＝21a ，∠CAD ＝45° ∴ OD ＝42a 在Rt △A 1OD 中，A 1D ＝222122342）＋（）（＝a a O ＋A OD ＝a 87. ∴ 侧面ABB 1A 1面积S 3＝a a D ＝A AB 8721⋅⋅＝227a .∴ 三棱柱侧面积 S ＝S 1＋S 2＋S 3＝273221a ）＋＋（.同步练习：1. 如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EDB ⊥平面ABD（I ）求证：AB ⊥DE （Ⅱ）求三棱锥E-ABD 的侧面积2.如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP ～△BAD ．（1）求线段PD 的长；（2）若PC ＝11 R ，求三棱锥P-ABC 的体积．考点3 异面直线的距离（1）直接法：根据定义，直接找出公垂线段，再求其长，这是解题时首先要考虑的方法。

【考点1】空间角，距离的求法 【备考知识梳理】 1．空间的角(1)异面直线所成的角：如图，已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线','a a b b .则把'a 与'b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)．异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦. (2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0︒的角．直线与平面所成角的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(3)二面角的平面角：如图在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA 和OB ，则AOB ∠叫做二面角的平面角．二面角的范围是[]0,π.(4)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等. 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. 3.空间距离:（1）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；常有求法①先证线段AB 为异面直线b a ,的公垂线段，然后求出AB 的长即可．②找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线b a ,间的距离．③找或作出分别过b a ,且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线b a ,间的距离．（2）点到平面的距离：点Ｐ到直线的距离为点Ｐ到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线的距离.在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可.常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为n m :，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n m :．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离. 【规律方法技巧】1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角. （1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π.求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角; ④补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ. （2）直线与平面所成的角的范围是]2,0[π.求线面角方法:①利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径. ②利用三棱锥的等体积，省去垂足,在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h,利用三棱锥的等体积，只需求出h ，然后利用斜线段长h =θsin 进行求解.③妙用公式，直接得到线面角 课本习题出现过这个公式：21cos cos cos θθθ=，如图所示：21,,θθθ=∠=∠=∠OBC ABO ABC .其中1θ为直线AB 与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴.（3）确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围[]0,π，解题时要注意图形的位置和题目的要求.求二面角的方法:①直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角,自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角, 自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；③利用定义确定平面角, 在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；DBA Cα②射影面积法.利用射影面积公式cos θ＝S S'；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 【考点针对训练】1. .【2016高考浙江文数】如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB =90°，BE=EF=FC =1，BC =2，AC =3.（I ）求证：BF ⊥平面ACFD ；（II ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.2. 【2016届湖北省武汉市武昌区高三5月调研】如图，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点，Q 是PA 的中点，G 为AOC ∆的重心，AB 是圆O 的直径，且22AB AC ==．（1）求证：//QG 平面PBC ； （2）求G 到平面PAC 的距离． 【考点2】立体几何综合问题 【备考知识梳理】空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点.归纳起来常见的命题角度有： 以多面体为载体综合考查平行与垂直的证明. 探索性问题中的平行与垂直问题. 折叠问题中的平行与垂直问题. 【考点针对训练】1. 【2016届宁夏高三三轮冲刺】如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA AC ⊥，AB BC ⊥．设,D E 分别为,PA AC 中点．（1）求证：//DE 平面PBC ； （2）求证：BC ⊥平面PAB ；（3）试问在线段AB 上是否存在点F ，使得过三点D ，,E F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．2. 【2016届四川南充高中高三4月模拟三】如图，在正方形ABCD 中，点,E F 分别是,AB BC 的中点，将,AED DCF ∆∆分别沿DE 、DF 折起， 使,A C 两点重合于P .(Ⅰ)求证：平面PBD ⊥平面BFDE ； (Ⅱ)求四棱锥P BFDE -的体积. 【应试技巧点拨】 1．如何求线面角（1）利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径. （2）利用三棱锥的等体积，省去垂足在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h ！利用三棱锥的等体积，只需求出h ，然后利用斜线段长h=θsin 进行求解.（3）妙用公式，直接得到线面角 课本习题出现过这个公式：21cos cos cos θθθ=，如图所示：21,,θθθ=∠=∠=∠OBC ABO ABC .其中1θ为直线AB 与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴. 2.如何求二面角（1）直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角；③利用定义确定平面角；（2）射影面积法.利用射影面积公式cos θ＝S S'；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 3.探索性问题探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算.4．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．5．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义，判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．6．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可． 【三年高考】1. 【2016高考新课标1文数】平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α=平面,11ABB A n α=平面,则m ,n 所成角的正弦值为（ ）（A ）2 （B ）2 （C ）3（D ）132. 【2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD ADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△CD 'A ，直线AC 与D 'B 所成角的余弦的最大值是______．3. 【2016高考北京文数】如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥（I ）求证：DC PAC ⊥平面； （II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；（III ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面C F E ?说明理由.4. 【2016高考天津文数】如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF||AB ，AB=2，BC=EF=1，DE=3，∠BAD=60º，G 为BC 的中点.(Ⅰ)求证：//FG 平面BED ；(Ⅱ)求证：平面BED ⊥平面AED ；(Ⅲ)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.5. 【2016高考新课标1文数】如图,在已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形,PA =6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点E ,连接PE 并延长交AB 于点G . （I ）证明G 是AB 的中点；（II ）在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由）,并求四面体PDEF 的体积．PABD CGE6. 【2015高考浙江，文7】如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支7.【2015高考福建，文20】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．8.【2015高考四川，文18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (Ⅰ)请按字母F ，G ，H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (Ⅱ)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并说明你的结论. (Ⅲ)证明：直线DF ⊥平面BEGAB FHED C G CD EAB9.【2015高考重庆，文20】如题（20）图，三棱锥P-ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC=2π，点D 、E 在线段AC 上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F 在线段AB 上，且EF//BC. (Ⅰ)证明：AB ⊥平面PFE.(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC 的体积为7，求线段BC 的长.题（20）图AC10. 【2014高考重庆文第20题】如题（20）图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，2,3AB BAD π=∠=，M 为BC 上一点，且12BM=. （Ⅰ）证明：BC⊥平面POM ；（Ⅱ）若MP AP ⊥，求四棱锥P ABMO -的体积.11. 【2014高考全国1文第19题】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11. （1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB求三棱柱111C B A ABC -的高.12.【2014高考江西文第19题】如图，三棱柱111C B A ABC -中，111,BB B A BC AA ⊥⊥. （1）求证：111CC C A ⊥；（2）若7,3,2===BC AC AB ，问1AA 为何值时，三棱柱111C B A ABC -体积最大，并求此最大值.【一年原创真预测】1.已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，ACD ∆为等边三角形，22AD DE AB ===，F 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：平面平面BCE DCE ⊥； （Ⅱ）求B CDE 点到平面的距离.2．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC △是等腰直角三角形，且AB CB ==，且AA 1=3，D 为11AC 的中点，F 在线段1AA 上,设11A F tAA =（102t <<），设11=B C BC M ．MFDC 1B 1A 1CBA（Ⅰ）当取何值时，CF ⊥平面1B DF ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求四面体1F B DM -的体积．3.如图，三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ，PA PB AB BC 6====，点M ，N 分别为PB,BC 的中点．（I ）求证：AM ⊥平面PBC ； （Ⅱ）E 是线段AC 上的点，且AM 平面PNE .①确定点E 的位置；②求直线PE 与平面PAB 所成角的正切值．4.如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC=60°，点F 在斜边AB 上，且AB=4AF ，D ，E 是平面ABC 同一侧的两点，AD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，AD=3，AC=BE=4.(Ⅰ)求证：CD ⊥EF ；(Ⅱ)若点M 是线段BC 的中点，求点M 到平面EFC 的距离.5. 如图所示，在边长为12的正方形11ADD A 中，点,B C 在线段AD 上，且3,4AB BC ==,作11//BB AA ，分别交111,A D AD 于点1B ，P .作11//CC AA ，分别交111,A D AD 于点1C ，Q .将该正方形沿11,BB CC 折叠，使得1DD 与1AA 重合，构成如图的三棱柱111ABC A B C -.（1）求证：AB ⊥平面11BCC B ； （2）求四棱锥A BCQP -的体积.【考点1针对训练】 1.2.【考点2针对训练】 1.又因为EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//EF PBC ．又因为DE EF E =，所以平面//DEF 平面PBC ，所以平面DEF 内的任一条直线都与平面PBC 平行．2.【三年高考】 1. 【答案】A//',//'m m n n ,则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ,过1D 作11//D E B C ,连接11,CE B D ,则CE 为'm ,同理11B F 为'n ,而111//,//BD CE B F A B ,则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角,即为60 ,故,m n所成角的正弦值为2,故选A. 2.3. 【解析】（I ）因为C P ⊥平面CD AB ，所以C DC P ⊥．又因为DC C ⊥A ，所以DC ⊥平面C PA ． （II ）因为//DC AB ，DC C ⊥A ，所以C AB ⊥A ．因为C P ⊥平面CD AB ，所以C P ⊥AB ．所以AB ⊥平面C PA ．所以平面PAB ⊥平面C PA ．（III ）棱PB 上存在点，使得//PA 平面C F E ．证明如下：取PB 中点，连结F E ，C E ，CF ．又因为E 为AB 的中点，所以F//E PA ．又因为PA ⊄平面CF E ，所以//PA 平面C F E ．4.5.6. 【答案】C【解析】由题可知，当点运动时，在空间中，满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.7.解法二：（I）、（II）同解法一．8.【解析】(Ⅰ)点F ，G ，H 的位置如图所示9.【解析】如题(20)图.由,DE EC PD PC ==知，E 为等腰PDC D 中DC 边的中点，故PE AC ^，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，PE Ì平面PAC ，PE AC ^，所以PE ^平面ABC ，从而PE AB ^.因ABC=,,AB EF 2EF BC p衈故. 从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ^平面PFE .(2)解：设BC=x ,则在直角ABC D中，从而11S AB BC=22ABC D =?由EFBC ，知23AF AE AB AC ==，得AEF ABC DD ,故224()S 39AEF ABC S D D ==，即4S 9AEF ABC S D D =.FCDEAB GHO由1AD=2AE ,11421S S =S S 22999AFB AFE ABC ABC D D D D =?=从而四边形DFBC 的面积为DFBC11S S -=29ABC ADF S D D =718=(1)知，PE PE ^平面ABC ，所以PE 为四棱锥P-DFBC 的高.在直角PEC D 中，=体积DFBC 117S 73318P DFBC V PE -=鬃=?,故得42362430x x -+=，解得2297x x ==或，由于0x >，可得3x x ==或.所以3BC =或BC =10.11.12.【解析】（1）证明：由1AA BC ⊥知1BB BC ⊥,又11BB A B ⊥,故1BB ⊥平面1,BCA 即11BB AC ⊥,又11//BB CC ，所以11.AC CC ⊥（2）设1,AA x =在11Rt A BB ∆中1BA同理1AC 在1A BC ∆中,2222111111cos 2A B AC BC BAC BAC A B AC +-∠==∠=⋅11111sin 2A BCS A B A C BA C ∆=⋅∠=从而三棱柱111ABC A B C -的体积为11133A BC V BB S ∆=⨯⨯=因=故当x =时，即1AA =时，体积V取到最大值【一年原创真预测】1.【解析】（Ⅰ）DE ⊥平面ACD ，F A ⊂平面CD A ∴DE AF ⊥，又等边三角形ACD 中AF CD ⊥, D CD D E =，D E ⊂平面CD E ，CD ⊂平面CD E ，∴平面AF ECD ⊥，取CE 的中点M ，连接BM,MF ，则MF 为△CDE 的中位线，故1////,2MF DE AB MF DE AB ==,所以四边形ABMF 为平行四边形，即MB//AF,MB⊂平面C B E ，F A ⊄平面C B E ，//BCE 平面AF ∴，平面平面BCE DCE ∴⊥.（Ⅱ）因为AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，所以AB //DE ，故AB //平面DCE ，B CDE 点到平面的距离h 等于A CDE 点到平面的距离d ，由体积相等A DCE E ACD V V --=得,1133DCE ADC S d S DE ∆∆⋅=⨯,011112222sin 6023232d ⋅⨯⨯⋅=⨯⨯⨯⨯，解得h d ==.2．（Ⅱ）由已知得111111==22F B DM M B DF C B DF B CDF V V V V ----=，因为FD FC 1=22CDF S DF FC ⋅=△，由（Ⅰ）得1B D ⊥平面DFC ，故112=21=33B CDF V -⨯⨯，故1F B DM -的体积为13．3.②作EH AB ⊥于H ，则EH //BC ，∴EH ⊥平面PAB ，∴EPH ∠是直线PE 与平面PAB 所成的角.∵1AH AB 23==，π6=3PA PAH =∠， ∴PH ==1EH BC 23==，∴EH tan EPH PH 7∠==，即直线PE 与平面PAB 所成角的正切值为7.4.5.。

异面直线所成的角经典例题在正方体ABCD-ABCD中，求异面直线BA1和CC1所成的角。

解：首先找到两条直线的方向向量，BA1的方向向量为(-1,1,0)，CC1的方向向量为(0,1,-1)。

它们的夹角余弦值为：cosθ = (-1,1,0)·(0,1,-1) / √2√2 = -1/2所以异面直线BA1和CC1所成的角的余弦值为-1/2.求异面直线BA(3)AC和BD1和CB1所成的角。

解：这个问题有些问题，因为没有给出异面直线的具体定义。

不过我们可以求出两条直线之间的夹角余弦值。

BA(3)的方向向量为(-1,1,1)，AC的方向向量为(-1,0,1)，它们的夹角余弦值为：cosθ = (-1,1,1)·(-1,0,1) / √3√2 = -1/√6BD1的方向向量为(-1,-1,2)，CB1的方向向量为(1,-1,2)，它们的夹角余弦值为：cosθ = (-1,-1,2)·(1,-1,2) / √6√6 = 0所以求出的两个角的余弦值分别为-1/√6和0.若E为AD中点，求异面直线EC1和CB所成的角。

解：EC1的方向向量为(1,-1,-1)，CB的方向向量为(1,0,-1)，它们的夹角余弦值为：cosθ = (1,-1,-1)·(1,0,-1) / √3√2 = -1/√6所以异面直线EC1和CB所成的角的余弦值为-1/√6.若M,N分别为AB1和BB的中点，求AM和CN所成的角的余弦值。

解：AM的方向向量为(1,-1,0)，CN的方向向量为(0,-1,1)，它们的夹角余弦值为：cosθ = (1,-1,0)·(0,-1,1) / √2√2 = -1/2所以AM和CN所成的角的余弦值为-1/2.在四面体A-BCD中，E，F分别为AD,BC上的点，且AE=BF=1，已知AB=CD=3,EF=7/4，求异面直线AB和CD所成的角。

解：首先计算出EF的方向向量，EF的长度为7/4，所以EF的方向向量为(3/7,-4/7,0)。

历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题28 异面直线所成的角（学生版）一．选择题（共12小题）1．（2018•新课标Ⅱ）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为( )A ．15B C D 2．（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为( )A B C D 3．（2016•新课标Ⅰ）平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α⋂平面ABCD m =，α⋂平面11ABB A n =，则m 、n 所成角的正弦值为( )A B C D ．134．（2014•大纲版）已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )A ．14B C D ．125．（2014•新课标Ⅱ）直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A ．110B ．25C D ．26．（2014•大纲版）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A ．16B C ．13D 7．（2012•陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为( )A ．55B ．53C ．255 D ．358．（2010•全国）在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱12A A AB =，M 、N 分别是BC 、1CC 的中点，则异面直线1AB 与MN 所成的角等于( ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒9．（2010•全国大纲版Ⅰ）直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒10．（2009•黑龙江）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A ．10B ．15C ．310D ．3511．（2018•上海）如图，在直三棱柱111ABC A B C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．412．（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是( ) A ．(0,2)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(1,3)二．填空题（共5小题）13．（2016•全国）已知B AC D --为直二面角，Rt ABC Rt ADC ∆≅∆，且AB BC =，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为 ．14．（2016•浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，3AB BC ==，1CD =，5AD =，90ADC ∠=︒，沿直线AC 将ACD ∆翻折成ACD ∆'，直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是 ．15．（2015•浙江）如图，三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．16．（2015•四川）如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为 ．17．（2012•四川）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是 ．三．解答题（共5小题）18．（2019•上海）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,3PA PB PC AB BC AC ======． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．19．（2016•上海）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，¶AC 长为23π，·11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧．（1）求三棱锥111C O A B -的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小．历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题28 异面直线所成的角（教师版）一．选择题（共12小题）1．（2018•新课标Ⅱ）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为() A ．15B ．5 C ．5 D ．2 【答案】C【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， Q 在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，(1A ∴，0，0)，1(0D ，0，3)，(0D ，0，0)，1(1B ，1，3)，1(1AD =-u u u u r ，0，3)，1(1DB =u u u u r，1，3)，设异面直线1AD 与1DB 所成角为θ，则1111||5cos ||||25AD DB AD DB θ===u u u u r u u u u r g u u u u r u u u u r g ，∴异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为5．故选：C ．2．（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为( ) A 3B 15C 10D 3 【答案】C【解析】如图所示，设M 、N 、P 分别为AB ，1BB 和11B C 的中点， 则1AB 、1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角（因异面直线所成角为(0,])2π，可知1152MN AB ==，1122NP BC ==； 作BC 中点Q ，则PQM ∆为直角三角形； 1PQ =Q ，12MQ AC =，ABC ∆中，由余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠g g 141221()2=+-⨯⨯⨯-7=，7AC ∴=，7MQ ∴=；在MQP ∆中，2211MP MQ PQ =+=； 在PMN ∆中，由余弦定理得2222225211()()()10222cos 2522MN NP PMMNP MN NP+-+-∠===-⨯⨯g g ； 又异面直线所成角的范围是(0，]2π，1AB ∴与1BC 所成角的余弦值为10．3．（2016•新课标Ⅰ）平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α⋂平面ABCD m =，α⋂平面11ABB A n =，则m 、n 所成角的正弦值为( ) A ．3B ．2 C ．3 D ．13【答案】A【解析】如图：//α平面11CB D ，α⋂平面ABCD m =，α⋂平面11ABA B n =， 可知：1//n CD ，11//m B D ，Q △11CB D 是正三角形．m 、n 所成角就是1160CD B ∠=︒． 则m 、n 所成角的正弦值为：3．4．（2014•大纲版）已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )A ．14B ．2 C ．3 D ．12【答案】B【解析】如图，过A 点做AE l ⊥，使BE β⊥，垂足为E ，过点A 做//AF CD ，过点E 做EF AE ⊥，连接BF ，AE l ⊥Q 90EAC ∴∠=︒//CD AF Q 又135ACD ∠=︒45FAC ∴∠=︒45EAF ∴∠=︒在Rt BEA ∆中，设AE a =，则2AB a =，3BE a =，在Rt AEF ∆中，则EF a =，2AF a =，在Rt BEF ∆中，则2BF a =，∴异面直线AB 与CD 所成的角即是BAF ∠，222222(2)(2)(2)2cos 2222AB AF BF a a a BAF AB AF a a+-+-∴∠===⨯⨯g ．故选：B ．5．（2014•新课标Ⅱ）直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A ．110B ．25C 30D 2 【答案】C【解析】直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，如图：BC 的中点为O ，连结ON ，//1112MN B C OB ==，则0MN B 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是ANO ∠，1BC CA CC ==Q ，设12BC CA CC ===，1CO ∴=，5AO 5AN222211(2)26MB B M BB =+=+在ANO ∆中，由余弦定理可得：222630cos 210256AN NO AO ANO AN NO +-∠===⨯⨯g ．6．（2014•大纲版）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．3 C ．13D ．3 【答案】B【解析】如图，取AD 中点F ，连接EF ，CF ，E Q 为AB 的中点，//EF DB ∴， 则CEF ∠为异面直线BD 与CE 所成的角，ABCD Q 为正四面体，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，CE CF ∴=．设正四面体的棱长为2a ，则EF a =，22(2)3CE CF a a a ==-=．在CEF ∆中，由余弦定理得：222223cos 223CE EF CF CEF CE EF a +-∠===⨯g ．故选：B ．7．（2012•陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为( )ABCD ．35【答案】A【解析】分别以CA 、1CC 、CB 为x 轴、y 轴和z 轴建立如图坐标系， 12CA CC CB ==Q ，∴可设1CB =，12CA CC ==(2A ∴，0，0)，(0B ，0，1)，1(0B ，2，1)，1(0C ，2，0) ∴1(0BC =u u u u r ，2，1)-，1(2AB =-u u u u r，2，1)可得110(2)22(1)13BC AB =⨯-+⨯+-⨯=u u u u r u u u u r g，且1||BC =u u u u u u r 1||3AB =u u u u u r， 向量1BC u u u u r 与1AB uuu u r所成的角（或其补角）就是直线1BC 与直线1AB 夹角，设直线1BC 与直线1AB 夹角为θ，则1111cos ||||||BC AB BC AB θ==u u u u r u u u u r g u u u u u u r u u u u u u r g A ．8．（2010•全国）在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A =，M 、N 分别是BC 、1CC 的中点，则异面直线1AB 与MN 所成的角等于( ) A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒【答案】C【解析】在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A =，M 、N 分别是BC 、1CC 的中点， 以A 为原点，在平面ABC 中过点A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设1A A ==， 则(0A ，0，0)，B ，12，0)，1B 12，(0C ，1，0)， (0N ，1，M 34，0)，∴1AB =u u u u r ，12，(MN =u u u u r 14，设异面直线1AB 与MN 所成的角为θ，则113||1cos 2||||AB MN AB MN θ==u u u u r u u u u r g u u u u r u u u u r g ，60θ∴=︒． ∴异面直线1AB 与MN 所成的角等于60︒．故选：C ．9．（2010•全国大纲版Ⅰ）直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】延长CA 到D ，使得AD AC =，则11ADAC 为平行四边形， 1DA B ∠就是异面直线1BA 与1AC 所成的角，又112A D A B DB AB ===，则三角形1A DB 为等边三角形，160DA B ∴∠=︒故选：C ． 10．（2009•黑龙江）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A 10B ．15C 310D ．35【答案】C【解析】Q 正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点， 11//BA CD ∴，1A BE ∴∠是异面直线BE 与1CD 所形成角，设122AA AB ==，则11A E =，22112BE =+，221125A B =+=2221111cos 2A B BE A E A BE A B BE +-∴∠=g g 252=⨯⨯310=． ∴异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为310．故选：C ．11．（2018•上海）如图，在直三棱柱111ABC A B C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】在直三棱柱111ABC A B C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线有：11A B ，AC ，1AA ，共3条．故选：C ．12．（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，12a ，且长为a 的棱与长2的棱异面，则a 的取值范围是( ) A ．2) B ．3)C ．2)D ．3)【答案】A【解析】设四面体的底面是BCD ，BC a =，1BD CD ==，顶点为A ，2AD = 在三角形BCD 中，因为两边之和大于第三边可得：02a << （1） 取BC 中点E ，E Q 是中点，直角三角形ACE 全等于直角DCE ，所以在三角形AED 中，21()2aAE ED ==-Q 两边之和大于第三边∴2221()2a<- 得02a << （负值0值舍）（2）由（1）（2）得02a <<． 二．填空题（共5小题）13．（2016•全国）已知B AC D --为直二面角，Rt ABC Rt ADC ∆≅∆，且AB BC =，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为 ． 【答案】3π【解析】分别取AD 、BD 、AC 的中点E 、F 、G ，连结EF 、EG 、BG 、DG ， 设2AB BC ==，则2AD CD ==，112EF AB ==，112EG CD ==， BG AC ⊥，DG AC ⊥，BGD ∴∠是二面角B AC D --的平面角， B AC D --Q 为直二面角，2BGD π∴∠=，2BG DG ==，222BD ∴=+=，1FG ∴=，EFG ∴∆是等边三角形，//EF AB Q ，//EG DC ，FEG ∴∠是异面直线AB 与CD 所成角， Q 3FEG π∠=，∴异面直线AB 与CD 所成角为3π．故答案为：3π．14．（2016•浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，3AB BC ==，1CD =，5AD =，90ADC ∠=︒，沿直线AC 将ACD ∆翻折成ACD ∆'，直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是 ．【答案】66【解析】如图所示，取AC 的中点O ，3AB BC ==Q ，BO AC ∴⊥， 在Rt ACD ∆'中，221(5)6AC =+=．作D E AC '⊥，垂足为E ，153066D E ⨯'==． 62CO =，21666D C CE CA '===，63EO CO CE ∴=-=． 过点B 作//BF AC ，作//FE BO 交BF 于点F ，则EF AC ⊥．连接D F '．FBD ∠'为直线AC 与BD '所成的角．则四边形BOEF 为矩形，63BF EO ∴==． 226303()22EF BO ==-=．则FED ∠'为二面角D CA B '--的平面角，设为θ． 则222303*********()()2cos 5cos 626233D F θθ'=+-⨯⨯=-…，cos 1θ=时取等号． D B ∴'的最小值2106()233=+=． ∴直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值66326BF D B '===．15．（2015•浙江）如图，三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．【答案】78【解析】连结ND ，取ND 的中点为：E ，连结ME ，则//ME AN ，异面直线AN ，CM 所成的角就是EMC ∠，22AN =Q ，2ME EN ∴==，22MC =，又EN NC ⊥Q ，223EC EN NC ∴=+=，2222837cos 282222EM MC EC EMC EM MC +-+-∴∠===⨯⨯g ．16．（2015•四川）如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为 ．【答案】25【解析】根据已知条件，AB ，AD ，AQ 三直线两两垂直，分别以这三直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设2AB =，则： (0A ，0，0)，(1E ，0，0)，(2F ，1，0)； M 在线段PQ 上，设(0M ，y ，2)，02y 剟； ∴(1,,2),(2,1,0)EM y AF =-=u u u u r u u u r；2cos |cos ,|55EM AF y θ∴=<>=+u u u u r u u u rg ；设2()55f y y =+g ，22()5(5)5f y y y '=++；函数()25g y y =--是一次函数，且为减函数，(0)50g =-<； ()0g y ∴<在[0，2]恒成立，()0f y ∴'<； ()f y ∴在[0，2]上单调递减；0y ∴=时，()f y 取到最大值25．17．（2012•四川）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是 ．【答案】90︒【解析】以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，则(0D ，0，0)，(0N ，2，1)，(0M ，1，0)，1(2A ，0，2)，(0DN =u u u r ，2，1)，1(2A M =-u u u u r，1，2)-10DN A M =u u u r u u u u r g ，所以1DN A M ⊥u u u r u u u u r ，即1A M DN ⊥，异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是90︒，故答案为：90︒．三．解答题（共5小题）18．（2019•上海）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,3PA PB PC AB BC AC ======． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．解：（1）M Q ，N 分别为PB ，BC 的中点，//MN PC ∴， 则PCA ∠为AC 与MN 所成角，在PAC ∆中，由2PA PC ==，3AC =，可得2223cos 2223PC AC PA PCA PC AC +-∠===⨯⨯g ，AC ∴与MN 的夹角为3arccos； （2）过P 作底面垂线，垂直为O ，则O 为底面三角形的中心， 连接AO 并延长，交BC 于N ，则32AN =，213AO AN ==． 22213PO ∴=-=．∴1133333224P ABC V -=⨯⨯⨯⨯=．19．（2016•上海）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，¶AC 长为23π，·11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧．（1）求三棱锥111C O A B -的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小．解：（1）连结11O B ，则1111113O A B AO B π∠=∠=，∴△111O A B 为正三角形，∴1113O A B S =V ，1111111133C O A B O A B V OO S -=⨯⨯=V ． （2）设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连结1BB ，则11//BB AA ， 1BB C ∴∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角），111BB AA ==， 连结BC 、BO 、OC ，1113AOB AO B π∠=∠=，23AOC π∠=，3BOC π∴∠=， BOC ∴∆为正三角形，1BC BO ∴==，1tan 1BB C ∴∠=，∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒．20．（2015•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥． （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．【答案】B【解析】（Ⅰ）连接BD ，设BD AC G =I ，连接EG 、EF 、FG ， 在菱形ABCD 中，不妨设1BG =，由120ABC ∠=︒，可得3AG GC ==BE ⊥平面ABCD ，2AB BC ==，可知AE EC =，又AE EC ⊥，所以3EG =，且EG AC ⊥，在直角EBG ∆中，可得2BE =2DF =， 在直角三角形FDG 中，可得6FG =， 在直角梯形BDFE 中，由2BD =，2BE =2FD =可得222322(2)2EF =+-= 从而222EG FG EF +=，则EG FG ⊥， （或由2tan tan 21EB FD EGB FGD BG DG ∠∠==g g g ， 可得90EGB FGD ∠+∠=︒，则)EG FG ⊥ AC FG G =I ，可得EG ⊥平面AFC ，由EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC ；（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 为x 轴，y 轴，||GB 为单位长度， 建立空间直角坐标系G xyz -，由（Ⅰ）可得(0A ，3-0)，(1E ，02)， (1F -，02)，(0C 30)， 即有(1AE =u u u r 32)，(1CF =-u u u r，3-2)2， 故cos AE <u u u r ，3||||962AE CF CF AE CF >===⨯u u u r u u u ru u u r g u u u r u u u r g ． 则有直线AE 与直线CF 3．21．（2014•湖南）如图，已知二面角MN αβ--的大小为60︒，菱形ABCD 在面β内，A 、B 两点在棱MN 上，60BAD ∠=︒，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O ．（Ⅰ）证明：AB ⊥平面ODE ；（Ⅱ）求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．【答案】B【解析】（1）证明：如图DO ⊥Q 面α，AB α⊂，DO AB ∴⊥， 连接BD ，由题设知，ABD ∆是正三角形，又E 是AB 的中点，DE AB ∴⊥，又DO DE D =I ，AB ∴⊥平面ODE ； （Ⅱ）解：//BC AD Q ，BC ∴与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角，即ADO ∠是BC 与OD 所成的角，由（Ⅰ）知，AB ⊥平面ODE ，AB OE ∴⊥，又DE AB ⊥，于是DEO ∠是二面角MN αβ--的平面角，从而60DEO ∠=︒，不妨设2AB =，则2AD =，易知3DE =，在Rt DOE ∆中，3sin 602DO DE =︒=，连AO ，在Rt AOD ∆中，332cos 24OD ADO AD ∠===， 故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34．22．（2010•湖南）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，M 是棱1CC 的中点．（Ⅰ）求异面直线1A M 和11C D 所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面11A B M ．解：（1）如图，因为1111//C D B A ，所以11MA B ∠为异面直线1A M 和11C D 所成的角， 11A B ⊥Q 面11BCC B 1190A B M ∴∠=︒ 111A B =Q ，12B M =11tan 2MA B ∴∠=即异面直线1A M 和11C D 2． （Ⅱ）11A B ⊥Q 面11BCC B ，BM ⊂面11BCC B 11A B BM ∴⊥①由（1）知12B M =2BM =，12B B = 1BM B M ∴⊥② 1111A B B M B =Q I∴由①②可知BM ⊥面11A B MBM ⊂Q 面ABM∴平面ABM ⊥平面11A B M ．。

历年高考：两异面直线所成的角 题目解法大全（配有高考真题练习题） 异面直线所成角的求法(1)利用定义：将其中一条平移，使之与另一条相交于一点，得出两直线所成的角(有时需要同时平移两条);(2)利用空间向量知识来求：a 与b 的夹角θ为cos θ例一、已知正四棱锥P —ABCD 侧棱长与底面边长相等，E 、F 分别为PC 、PD 的中点，求异面直线BE 与CF 所成的角的余弦值.绿色通道：法一、BE 不动，在面PDC 内过点 E 平移CF ；法二、CF 不动，过F 平移EB ，其中是以平行四边形BEFH 为依托； 法三、利用空间向量知识来求解.解法一 ：如下图1，设正四棱锥的侧棱长与底面边长为2，在面PDC 内过E 作EG 平行于CF ，交PD 于G ，连结BG . 则BEG ∠或其补角为BE 与CF 所成角. BD=22,又PB=PD=2, 所以BPD ∠为直角, BG 2=PB 2+PD 2=22+2)21(=417.又CF=3, EG=23.在BEG ∆中,cos BEG ∠=EGBE BG EG BE .2222-+= —61，所以BE 与CF 所成角是BEG ∠的补角，大小图1图2CBAP为arccos61. 解法二：如上图2.设各棱长均为2，H 为AB 的中点，连结EF ，FH ，则EF=BH //21CD ，∴BEFH 为平行四边形，FH //BE ，∴∠CFH 为BE 与CF 所成的角,且FH=BE=3.连结HC ，则HC=5,CF=3.在∆CFH 中，cos ∠CFH = FHCF CH FH CF ⋅-+2222=61,所以BE 与CF 所成角大小为arccos61 .解法三：如上图.建立空间直角坐标系 .设各棱长均为2, PO=2，则 B (2,0,0 ), C( 0,2,0), E(0,22，22)，F(—22，0，22) , 则 = (—2，22，22)，=（—22，—2，22），与的夹角为θ， cos θ61，所以BE 与CF 所成的角为arccos 61. 红色警示：1、 算出是钝角时，应取锐角；2、 平移直线要在某个平面内平移.例二、（2006福建卷，18）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点,CA =CB =CD =BD =2，AB=AD=2.（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面的距离.（Ⅰ）提示：证AO ⊥BD ，AO ⊥CO （勾股定理） （Ⅲ）7A（Ⅱ）绿色通道：法一、已知OE//CD ，过E 作AB 的平行线；法二、已知OE//CD ，过O 作AB 的平行线； 法三、用空间向量知识来求. 方法一 ：（II ）解：如上图.取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC , ∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角. 在OME ∆中,OM 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线， ∴OM=21AC=1. ME=21AB=22, OE= 21CD=1, 422cos 222=⋅⋅-+=∠EM OEOM EM OE OEM , 所以异面直线AB 与CD 所成角的大小为 方法二：如下图B AE设F 是AD 的中点，连结OF ，OE ，EF ，则OE//CD ，OF//AB,OF 与OE 所成的角就是AB与CD 所成的角.设H 是OD 的中点，连结FH ，HE ，则FH//AO.且FH =21AO =21，由（Ⅰ） 知FH ⊥HE.在∆HOE 中,HE 2=OH 2 +OE 2—2OH.OE cos120︒=47, EF 2 = FH 2+HE 2 = 2, 所以cos 42221221212222-=⨯⨯-+=⋅⋅-+=∠OF OE EF OE OF EOF , 所以AB 与CD 所成的角大小为arccos42. 方法三、解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),B D -1(0,0,1),(,(1,0,1),(1,22C A E BA CD =-=-.2cos ,4BACD BA CD BA CD∴<>==∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为arccos4红色警示：总之,求线线所成角关键的一步是确定在哪个平面内作平行线,一般利用三角形中位线,或平行四边形来找到平行线;当平行线难于找到,或计算较繁时,可考虑用空间向量知识来求解,当然该图形结构也要利于空间直角坐标系的建立才可行.思维挑战1、（2006广东卷,19）如图所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，8AD =.BC 是⊙O 的直径，6AB AC ==,//OE AD . (I)求二面角B AD F --的大小； (II)求直线BD 与EF 所成的角.2、（2006湖南卷,18）如图,已知两个正四棱锥P-ABCD 与Q-ABCD 的高分别为1和2,AB=4.yAFD(Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD;(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角; (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离.CQ3、(2006上海卷,19)在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60． （1）求四棱锥P －ABCD 的体积；（2）若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.答案提示：1、解：(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直,∴AD ⊥AB, AD ⊥AF,故∠BAD 是二面角B —AD —F 的平面角， 依题意可知，ABCD 是正方形，所以∠BAD ＝450. 即二面角B —AD —F 的大小为450；(Ⅱ)以O 为原点，BC 、AF 、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O （0，0，0），A （0，23-，0），B （23，0，0）,D （0，23-，8），E （0，0，8），F （0，23，0）所以，)8,23,0(),8,23,23(-=--=FE BD10828210064180,cos =⨯++=>=<EF BD 设异面直线BD 与EF 所成角为α， 则1082|,cos |cos =><=α 2、解法一： （Ⅰ）．连结AC 、BD ，设O BD AC = .由P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD .从而P 、O 、Q 三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面ABCD .（II ）由题设知，ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥． 由（I ），PQ ⊥平面ABCD ，故可以分别以直线CA 、DB 、QP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如上图），由题设条件，相关各点的坐标分别是A(22,0,0) ,(0,0,1)P ，(0,0,2)Q -，B ,所以)2,0,22(--=AQ,1)PB =-,于是3c o s ,.A QPB A QP B A Q P B⋅<>==⋅从而异面直线AQ 与PB 所成的角是arccos 9. 解法二： （Ⅰ）．取AD 的中点M ，连结PM ，QM .因为P －ABCD 与Q －ABCD都是正四棱锥，所以AD ⊥PM ，AD ⊥QM . 从而AD ⊥平面PQM .又⊂PQ 平面PQM ，所以PQ ⊥AD .同理PQ ⊥AB ，所以PQ ⊥平面ABCD .（Ⅱ）．连结AC 、BD 设O BD AC = ，由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知O 在 PQ 上，从而P 、A 、Q 、C 四点共面. 取OC 的中点N ，连结PN ． 因为11,22PO NO NO OQ OA OC ===，所以PONOOQ OA=， 从而AQ ∥PＮ.∠BP Ｎ（或其补角）是异面直线AQ 与PB 所成的角.连接BN ，因为3PB ==．PN===BN ===所以222cos 29PB PN BN BPN PB PN +-∠===⋅ 从而异面直线AQ 与PB 所成的角是. 3、[解]（1）在四棱锥P-ABCD 中,由PO ⊥平面ABCD,得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角, ∠PBO=60°.在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1, 由PO ⊥BO,于是,PO=BOtg60°=3,而底面菱形的面积为23. ∴四棱锥P-ABCD 的体积V=31×23×3=2.（2）解法一：以O 为坐标原点,射线OB 、OC 、 OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立 空间直角坐标系.在Rt △AOB 中OA=3,于是,点A 、B 、 D 、P 的坐标分别是A(0,－3,0), B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0, 3).E 是PB 的中点,则E(21,0,23) 于是=(23,0, 23),=(0, 3,3).设的夹角为θ,有cosθ=4233434923=+⋅+,式θ=arccos 42, ∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos 42. 解法二：取AB 的中点F,连接EF 、DF. 由E 是PB 的中点,得EF ∥PA ，∴∠FED 是异面直线DE 与PA 所成角(或它的补角)， 在Rt △AOB 中AO=ABcos30°=3=OP ， 于是, 在等腰Rt △POA 中，PA=6， 则EF=26在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF=3，cos ∠FED=34621=DE EF=42,∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos 42.。

异面直线所成的角一．例题与课堂练习题1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．题2．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．题3．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．题4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求NM 与AN 所成的角．题5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所成的角。

题6．如图1—28的正方体中，E 是A′D′的中点(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线? (2)求直线BA′和CC′所成的角的大小； (3)求直线AE 和CC′所成的角的正切值； (4)求直线AE 和BA′所成的角的余弦值【说明】(1)如图1—29，单独画出△A?BF，使图中线段与角的数量关系较直观图中清楚，使计算更为方便和准确，这是立体几何中常用的重要方法； (2)解法中用余弦定理求cos∠A?BF,其实有更简单方法，请找出简单方法(3)如果用余弦定理求出角的余弦值为负数，应如何写答案?B MANCS ACBNM ACB B?(图1－A?ABC?D? C DF E异面直线所成的角的作业一．判断是非(下列命题中，正确的打“√”，错误的打“×”)(1)梯形的四个顶点在同一平面内； (2)对边相等的四边形是平行四边形；(3)平行于同一直线的两直线平行； (4)垂直于同一直线的两直线平行；(5)两条直线确定一个平面； (6)经过三点可以确定一个平面；(7)无公共点的两直线异面； (8)两异面直线无公共点；(9)两异面直线可以同时平行于一直线； (10)两异面直线可以同时垂直于一直线；(11)不同在一个已知平面内的两直线异面；(12)互相垂直的两条直线必可确定一平面二．选择题1.没有公共点的两条直线的位置关系是( )(A)平行 (B)异面 (C)平行或异面 (D)不能确定2.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是( )(A)异面 (B)平行 (C)平行或异面 (D)平行或异面或相交3.两条异面直线指的是( )(A)在空间不相交的两条直线(B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线(C)分别位于两个不同平面的两条直线 (D)不同在任一平面内的两条直线、b是异面直线，b、c也是异面直线，那么a、c的位置是( )(A)异面 (B)异面或平行 (C)异面或相交 (D)相交、平行或异面5.说出正方体中各对线段的位置关系：(1) AB 和CC 1； (2)A 1C 和BD 1； (3)A 1A 和CB 1； (4)A 1C 1和CB 1； (5)A 1B 1和DC ； (6)BD 1和DC. 6.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( )7.如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( )3013015()()()()2A B C D8.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与AC(A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直9.设a 、b 、c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①如果a⊥b、b⊥c，则a∥c； ②如果a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交； ③如果a 、b 是异面直线，c 、b 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ④如果a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面在上述四个命题中，真命题的个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)0 10.如果直线l 和n 是异面直线，那么和直线l 、n 都垂直的直线(A)不一定存在 (B)总共只有一条 (C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)有无穷多条11.如图，四面体SABC 的各棱长都相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）B 1(第6A 1ABC 1D 1C D (第7F 1 A B CD 1 C 1A 1B 1 B 1(第6题)A 1A B C 1D 1 CD MN(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°F A BC ES(第11题)。

专题22 异面直线所成的角、线面角与二面角一、单选题1．某圆锥的侧面展开图是面积为3π，圆心角为23π的扇形，则该圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为A ．12 B ．13 C ．14D ．15【试题来源】【市级联考】安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试 【答案】B 【解析】圆锥的侧面展开图是面积为3π，圆心角为23π的扇形，则圆锥的母线l 满足：2133l ππ⋅=，故圆锥的母线长为3，又由232r l ππ=，可得圆锥的底面半径为1，故该圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为13．故选B ．2．直线a 与平面α所成的角为50°，直线b ∥a ，则直线b 与平面α所成的角等于 A ．40° B ．50° C ．90°D ．150°【试题来源】人教A 版（2019） 必修第二册 必杀技 第8章 【答案】B【解析】两条直线平行，它们与同一平面所成的角相等，直线a 与平面α所成的角为50°，直线b ∥a ，则直线b 与平面α所成的角等于050，选B ．3．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形 A ．全等B ．相似C ．仅有一个角相等D ．全等或相似【试题来源】【新教材精创】人教B 版高中数学必修第四册 【答案】D【解析】由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等．故选D ．4．在长方体1111ABCD A BC D -中，二面角1D AB D --的大小为60︒，1DC 与平面ABCD 所成角的大小为30，那么异面直线1AD 与1DC 所成角的余弦值是A．4BCD【试题来源】2020高考数学压轴题命题区间探究与突破 【答案】B【解析】连接1AB ，由11//AB DC 可得11B AD ∠为异面直线1AD 与1DC 所成角，如图，由二面角1D AB D --的大小为60，可知1160,3D AD AA ∠=∴=， 又1DC 与平面ABCD 所成角的大小为30，1111122,DC CC AA DC ∴===，连接111,AB B D，设1ADAA ==，则AB =，1111=,2,33AD a AB a B D ∴==，在11AB D ∆中，由余弦定理可得，22211444cos a a a B AD +-∠==，∴异面直线1AD与1DC 故选B ．5．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为A ．3sin θB ．3cos θ C ．12sin θD ．12cos θ【试题来源】江苏省南通市通州区、启东市2020-2021学年高三上学期期末【答案】A【解析】如图，正六边形时正六棱锥的底面，等腰三角形是正六棱在的侧面，设侧棱SA SB b ==，底面边长AB a ，底面内切圆半径OC r =，2ASB θ∠=，则OAB 是等边三角形，3sin 60r a ==，侧面SAB 中，2sin a b θ=，sin r θ∴=，即b r ==．故选A6．如下图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，下列结论正确的是A ．直线1A B 与直线AC 所成的角是45︒ B ．直线1A B 与平面ABCD 所成的角是30 C ．二面角1A BC A --的大小是60︒D ．直线1A B 与平面11A B CD 所成的角是30【试题来源】云南省丽江市第一高级中学2020-2021学年高二上学期第二次月考 【答案】D【解析】A 选项，连接11AC ，1BC ，因为11ACAC ∥，所以直线1A B 与直线AC 所成的角为11=60C A B ∠，故A 错；B 选项，因为1A A ⊥平面ABCD ，故1A BA ∠为直线1AB 与平面ABCD 所成的角，根据题意1=45A A B ∠；C 选项，因为BC ⊥平面1A AB ，所以1,BC AB BC A B ⊥⊥，故二面角1A BC A --的平面角为1=45A A B ∠，故C 错；用排除法，选D7．正方体1111ABCD A BC D -中，直线AC 与直线1BC 所成的角、直线AC 与平面1A D 所成的角分别为 A ．45,60︒︒ B ．90,45︒︒ C ．60,60︒︒D ．60,45︒︒【试题来源】2020-2021学年高一数学一隅三反系列（人教A 版2019必修第二册） 【答案】D【解析】如图：因为11//AD BC ，所以直线AC 与直线1BC 所成角为1D AC ∠，因为1ACD △是等边三角形，所以160D AC ∠=︒，因为CD ⊥平面11ADD A ，所以直线AC 与平面1A D 所成角为CAD ∠， 因为ADC 是等腰直角三角形，所以45CAD ∠=︒，故选D ． 8．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是A ．AB 与CF 成60°角 B ．BD 与EF 成60°角C ．AB 与CD 成60°D ．AB 与EF 成60°角【试题来源】江苏省盐城市伍佑中学2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【解析】由正方体的平面展开图，还原成如图所示的正方体， 由CF ⊥ 平面ABC ，AB平面ABC ，所以CF AB ⊥所以AB 与CF 成90︒角，故A 错误；由BD ⊥ 平面1A EDF ，EF ⊂平面1A EDF ，所以BD 与EF 成90°角，故B 错误； 又//AE CD ，所以BAE ∠是AB 与CD 所成角，又ABE △是等边三角形，则60=︒∠BAE ，所以AB 与CD 成60°角，故C 正确； 因为1//AB A D ，又1A D EF ⊥，所以AB 与EF 成90°角，故D 错误．故选C ．9．直线l 与平面α所成的角是45°，若直线l 在α内的射影与α内的直线m 所成的角是45°，则l 与m 所成的角是 A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°【试题来源】人教B 版（2019） 选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何 【答案】C【解析】如图，在平面α内，lA α=，过l 上一点B 作BC α⊥，垂足为C ，则直线AC即为l 在α内的射影'l ，45BAC ∠=，设1AC =，则1BC =，AB =，过C 作CD m ⊥，由题可知45CAD ∠=，则AD CD ==， 在Rt BCD 中，2262BD BC CD ，BAD ∠是l 与m 所成的角，在BAD 中，2221cos 22AB AD BD BADAB AD，60BAD ．故选C ．10．在正方体1111ABCD A BC D -中，下列四个结论中错误的是A ．直线1BC 与直线AC 所成的角为60︒B ．直线1BC 与平面1AD C 所成的角为60︒ C ．直线1BC 与直线1AD 所成的角为90︒D ．直线1BC 与直线AB 所成的角为90︒【试题来源】备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用） 【答案】B【解析】连接1AB 因为1ABC 为等边三角形，所以160ACB ∠=︒，即直线1BC 与AC 所成的角为60°，故选项A 正确；连接11B D ，因为1111AB BC CD AD ===，所以四面体11AB CD 是正四面体，所以点1B 在平面1AD C 上的投影为1ADC 的中心，设为点O ，连接1B O ，OC ，则3OC BC =，设直线1BC 与平面1AD C 所成的角为θ，则11cos 32BCOC B C θ===≠，故选项B 错误；连接1BC ，因为11AD BC ，且11B C BC ⊥，所以直线1BC 与1AD 所成的角为90°，故选项C 正确；因为AB ⊥平面11BCC B ，所以1AB B C ⊥，即直线1BC 与AB 所成的角为90°，故选项D 正确．故选B ．11．已知正方体1111ABCD A BC D -和空间任意直线l ，若直线l 与直线AB 所成的角为1α，与直线1CC 所成的角为2α，与平面ABCD 所成的角为1β，与平面11ACC A 所成的角为2β，则A ．122παα+= B ．122παα+≥ C ．122πββ+=D ．122πββ+≥【试题来源】江西省九所重点中学（玉山一中、临川一中等）2021届高三3月联合考试 【答案】B【解析】若//l 平面ABCD ，则10β=，此时2β可以是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的任意值，此时122πββ+≤，故CD 错误；当直线//l BC 时，1,BC AB BC CC ⊥⊥，此时12ααπ+=，故A 错误．故选B ．12．如图，三棱锥P ABC -中，ABC ∆为边长为3的等边三角形，D 是线段AB 的中点，DE PB E =，且DE AB ⊥，32PA =，PB =PA 与平面CDE所成角的正切值为AB．2CD【试题来源】人教B 版（2019）选择性必修第一册 过关斩将 第一章 空间向量与立体几何 【答案】A【解析】由勾股定理222PA PB AB PA PB +=⇒⊥，过P 作PM AB ⊥于M ，由,,DE AB AB DC DE DC D ⊥⊥⋂=可得AB ⊥平面DCE ，所以APM ∠为PA 与平面CDE 所成的角，在直角三角形APB 中， APM PBA ∠=∠，3tan tan APM PBA ∠=∠==．故选A ．13．如图所示，在长方体1111ABCD A BC D -中，1BC 和1C D 与底面所成的角分别为60和45，则异面直线1BC 和1C D 所成角的余弦值为A．B ．3 CD【试题来源】2020-2021学年高二数学单元测试定心卷（人教B 版2019选择性必修第一册）【答案】A【解析】如图所示：因为1B B ⊥平面ABCD ，所以1BCB ∠是1BC 与底面所成角，所以160BCB ∠=．因为1C C ⊥底面ABCD ，所以1CDC ∠是1C D 与底面所成的角，所以145CDC ∠=．连接1A D ，11AC ，则11//AD B C ．所以11A DC ∠或其补角为异面直线1BC 与1C D 所成的角．不妨设1BC =，则112CB DA ==，11BB CC CD ==，所以1C D =，112AC =．在等腰11AC D 中，111112cos 4C D A DC A D ∠==，所以面直线1BC 和1C DA ． 14．如图，四棱锥P ABCD -的侧面PAB ⊥底面ABCD ，PAB △为等边三角形，22AB AD BC ===，AB AD ⊥，//AD BC ，点H 为PB 的中点，则直线HD 与底面ABCD 所成的角的正弦值为ABCD【试题来源】江西省临川一中暨临川一中实验学校2020-2021学年高二上学期期中考试【答案】A【解析】作HE AB ⊥于E ，连接,ED BD ，侧面PAB ⊥底面ABCD ，HE ∴⊥底面ABCD ，ED ⊂底面ABCD ，HE ED ∴⊥，HDE ∴∠即为直线HD 与底面ABCD 所成的角，设22AB AD BC ===，又PAB △为等边三角形，11111,2242BH BP AB BE AB ∴=====，2HE BD ∴===HD ∴sin 14HE HDE HD ∴∠==A 15．如图，正三角形ABC 为圆锥的轴截面，D 为AB 的中点，E 为弧BC 的中点，则直线DE 与AC 所成角的余弦值为A ．13B ．12C D ．34【试题来源】2021年新高考数学一轮复习讲练测 【答案】C【解析】如图所示，取BC 中点O ，BO 中点F ，连接,,,OD OE FE DF ，则//OD AC ， 所以ODE ∠就是直线DE 与AC 所成角，设4AB =，则2OD =，1OF =，2OE =，可得DF ，EF =则DE =因为E 为弧BC 的中点，可得OE BC ⊥，进而可得OE ⊥平面ABC ，因为OD ⊂平面ABC ，所以OE OD ⊥，在直角ODE ∆中，可得cos OD ODE DE ∠==，即直线DE 与AC 所成角的余弦值为2，故选C ．16．如图，已知三棱锥A BCD -，记二面角A BC D --的平面角是θ，直线AB 和CD 所成的角为1θ，直线AB 与平面BCD 所成的角2θ，则A ．1θθ≤B ．1θθ≥C ．2θθ≤D ．2θθ≥【试题来源】浙江省浙北G2（嘉兴一中、湖州中学）2020-2021学年高二上学期期中联考 【答案】D【解析】结合三棱锥的特征，随着三棱锥顶点A 位置的变化，二面角可为锐角、直角、钝角，可以判断直线AB 和CD 所成角可以是锐角，也可以是直角，所以1,θθ两个角的大小是不确定的，所以A 、B 两项是错误的，排除A 、B 两项； 取棱长为2的正四面体A BCD -，取BC 中点E ，可知,AE BC DE BC ⊥⊥， 做AO ⊥平面BCD ，则O 为△BCD 的中心，所以AEO ∠是二面角A BC D --的平面角，即AED θ∠=，ABO ∠是直线AB 与平面BCD 所成的角，即2ABO θ∠=，可以判断出2θθ>，当三棱锥侧棱AB 与底面BCD 垂直时，两角相等都是直角，所以有2θθ≥，故选D ． 17．已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成的角是1θ，直线DA 与BC 所成的角是2θ，则 A ．1θθ≥ B ．1θθ≤ C ．2θθ≥D ．2θθ≤【试题来源】2021年高考数学二轮复习讲练测（浙江专用） 【答案】A【解析】设三棱锥D -ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ，过D 作DO ⊥CE ，交CE 于O ，连结AO ，则DEC θ∠=，1DAO θ∠=，2MNE θ∠=，DE CE ==2DC =，所以1cos 3θ==，23AO CO CE ===所以13cos 3AO AD θ===，取BC 中点F ，连结DF 、AF ，则DF BC ⊥，AF BC ⊥，又DF AF F ⋂=，所以BC ⊥平面AFD ，所以BC AD ⊥，所以290θ=︒，所以21θθθ≥≥，排除B ，C ， 当二面角C AB D --是直二面角时，2θθ≥，排除D ，故选A ．18．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体τ，CD 是底面圆O 上的弦，COD △为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为A ．14B．4CD．2【试题来源】2021届高三数学新高考“8 4 4”小题狂练（18） 【答案】B【解析】设OP r =，过点D 作OC 的平行线，与CD 平行的半径交于点E ，则OE OC CD OD r ====，PC PD ==，所以PDE ∠为异面直线OC 与PD 所成的角，在三角形PDE中，PE PD ==，DE r =，所以cos rPDE ∠==．选B ．19．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，1AA ⊥平面1,2,ABC AB AA ==，则异面直线1AB 和1BC 所成角的正弦值为A ．1 BC ．12D 【试题来源】山西省汾阳市2020-2021学年高二上学期期末 【答案】A【解析】如图，作1//BD AB 交11A B 的延长线于D ，连接1DC ：则1DBC ∠就是异面直线1AB 和1BC 所成的角（或其补角），由已知BD ==11BC C D =，由22211BD BC C D +=，知190DBC ∠=，异面直线1AB 和1BC 所成的角为直角，正弦值为1，故选A ．20．如图，已知圆锥CO 的轴截面是正三角形，AB 是底面圆O 的直径，点D 在AB 上，且2AOD BOD =∠∠，则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为A B ．12C ．14D ．34【试题来源】2021年新高考测评卷数学（第六模拟） 【答案】A【解析】取AC 的中点E ，劣弧BD 的中点F ，AO 的中点G ，连接OF ，OE ，,O E 分别为,AB AC 中点，//OE BC ∴，2AOD BOD ∠=∠，3BOD π∴∠=，23AOD π∠=， 又OA OD =，F 为BD 中点，∴126FOD BOD ODA π∠=∠=∠=，//AD OF ∴， 则异面直线AD 与BC 所成的角是EOF ∠或其补角． 连接EG ，GF ，EF ，易得EG GF ⊥，不妨设1OG =，则2OF =，2OE =，EG =56FOG π∠=，22252cos56GF OG OF OG OF π∴=+-⨯⨯⨯=+，则2228EF EG GF =+=+∴在OEF 中，222cos 2OE OF EF EOF OE OF +-∠==⋅异面直线所成角范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，∴异面直线AD 与BC A ．21．如图，四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是A ．AC SB ⊥B ．//AB 平面SCDC ．平面SDB ⊥平面SACD ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角【试题来源】山西省运城市景胜中学2019-2020学年高二上学期12月月考 【答案】D【解析】A 选项，可知,AC BD AC SD ⊥⊥可知AC SDB ⊥平面，故AC SB ⊥，正确； B 选项，AB 平行CD ，故正确；C 选项，AC SDB ⊥平面，故平面SDB ⊥平面SAC ，正确；D 选项，AB 与SC 所成的角为SCD ∠，而DC 与SA 所成的角为090，故错误，故选D ． 22．在正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱1CC 的中点．则下列说法正确的是A ．异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为3B ．BDM 为等腰直角三角形C ．直线BM 与平面11BDD B D ．直线1AC 与平面BDM 相交【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高二上学期期末考试 【答案】C【解析】设正方体棱长为2，A ． 取1BB 的中点为N ，则//BC MN ，则AM 与BC 所成角为AMN ∠ 由BC ⊥面11ABB A ，故MN ⊥面11ABB A ，故MN AN ⊥，在Rt ANM △中，tan AMN ∠=，故2cos 3AMN ∠=，B ．BM =BD =DM =C ．AC BD ⊥，1AC BB ⊥，故AC ⊥面11BB D D ，1//CC 面11BB D D ，故M 到面11BB D D的距离等于C 到面11BB D D 的距离，即为12d AC ==，直线BM 与平面11BDD B 所成角为θ，sin5d BM θ===BM 与平面11BDD B D ．如图ACBD O =，OM 为1ACC △的中位线，有1//OM AC ，故直线1AC 与平面BDM 平行，故选C.23．若a ，b ，l 是两两异面的直线，a 与b 所成的角是3π，l 与a 、l 与b 所成的角都是α，则α的取值范围是A ．5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【试题来源】【新东方】杭州新东方高中数学试卷321 【答案】D【解析】作图如下：在空间选取一点O ，过O 作'',a a b b ，设直线'a 、'b 确定的平面为β，将直线l 平移至'l ，使'l 经过点O ，当直线'l β⊥时， 'l 与''a b 、所成的角都是直角，此时所成的角达到最大值；当直线'l 恰好在平面β内，且平分''a b 、所成的锐角时，'l 与''a b 、所成的角都是6π，此时所成的角达到最小值．所以'l 与''a b 、所成的角范围是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 因为''',,l l a a b b ，所以'l 与''a b 、所成的角等于l 与a b 、所成的角， 即l 与a b 、所成的角范围是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ． 24．下列命题中，正确的结论有①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【试题来源】人教A 版（2019） 必修第二册 必杀技 第8章 【答案】B【解析】①中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故①错误；②中，如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，故②正确；③中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，在空间中，两角大小关系不确定，故③错误；④中，如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故④正确；故选B ．25．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，四棱锥S ABCD -为阳马，底面ABCD 为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中错误的是A ．AC SB ⊥B ．//AB 平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角【试题来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试 【答案】D【解析】四棱锥S ABCD -为阳马，底面ABCD 为正方形，则AC BD ⊥ 又SD ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，则AC SD ⊥,SD BD D AC ⋂=∴⊥平面SBD ，SB ⊂平面SBD ，AC SB ∴⊥，A 正确； //,AB CD AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，∴//AB 平面SCD ，B 正确；AC ⊥平面SBD ，∴点,A C 到平面SBD 的距离12dAC =，设SA 与平面SBD 所成的角为α，则sin d SA α=，设SC 与平面SBD 所成的角为β，则sin dSCβ=，又SA SC =，所以sin sin αβ=，即SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角，C 正确；,,,CD SD CD AD SD AD D CD ⊥⊥⋂=∴⊥平面SAD ，SA ⊂平面SAD ，则CD SA ⊥，即DC 与SA 所成的角为90︒，而AB 与SC 所成的角即CD 与SC 所成的角，显然不为直角，D 错误；故选D26．已知平面α内的60APB ︒∠=，射线PC 与,PA PB 所成的角均为135°，则PC 与平面α所成的角θ的余弦值是A ．- BC ．3D ．-【试题来源】2021年高考一轮数学单元复习一遍过【答案】B【解析】作出如下图形，令2PA PB PC ===，则135CPACPB ，AC BC ∴=，取AB 中点D ，连接PD ，则CPD ∠即为PC 与平面α所成的角的补角，在APC △中，2222cos135842AC PA PC PA PC ，∴在PCD 中，222742CD AC AD ，3PD =2226cos 2PC PD CD CPDPC PD ，∴PC 与平面α所成的角θ 故选B ．27．如图，四棱锥S -ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角【试题来源】广西南宁市第十中学2020-2021学年度高一12月数学月考试题 【答案】D【解析】A 中由三垂线定理可知是正确的；B 中AB ，CD 平行，所以可得到线面平行；C 中设AC ，BD 相交与O ，所以SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角分别为,ASO CSO∠∠SA SC =所以两角相等，D 中由异面直线所成角的求法可知两角不等28．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，且平面ABCD ⊥平面AEB ，则A ．DEC ∠可能为90︒B ．若AEB △是等边三角形，则DEC 也是等边三角形C ．若AEB △是等边三角形，则异面直线DE 和AB 所成角的余弦值为4 D ．若AEB △是直角三角形，则BE ⊥平面ADE【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试【答案】C【解析】对A ，由题意，若90DEC ∠=︒，则DC EC >，但EC BC CD >=，故A 不正确； 对B ，若AEB △是等边三角形，显然有>=EC EB DC ，所以DEC 不会是等边三角形，故B 不正确；对C ，若AEB △是等边三角形，设边长为2，则DE EC ==，//AB CD ，则CDE ∠即异面直线DE 和AB 所成角，易求cos4CDE ∠==，故C 正确；对D ，当AEB △是以AEB ∠为直角的直角三角形时，BE ⊥平面ADE ，当AEB △是以EAB ∠（或EBA ∠）为直角的直角三角形时，BE 与平面ADE 不垂直，故D 不正确．故选C ．29．如图，已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角为α，直线DA 与平面ABC 所成的角为β，直线DA 与BC 所成的角为，则A ．αβ≥B ．αβ≤C ．αγ≥D ．αγ≤【试题来源】浙江省杭州市高级中学2019-2020学年高二上学期期末【答案】A【解析】不妨设三棱锥D ABC -是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点N ，连结DE CE MN EN 、、、，过D 作DO CE ⊥，交CE 于O ，连结AO ，则,,,DEC DAO MNE αβγ∠=∠=∠=2DE CE DC ==，所以13cos α== ，23AO CO CE ===，所以32AO cos AD β=== ，取BC 中点F ，连结DF AF 、， 则DF BC AF BC ⊥⊥，，又DF AF F ⋂=，BC ∴⊥平面AFD ，90BC AD γ∴⊥∴=︒，． γαβ∴≥≥．一般的，DO DO sin sin DEO sin DAO sin DE DA αβ=∠=≥=∠=， 当α为锐角时，由正弦函数的单调性可得αβ≥，当α为钝角或直角时，由于异面直线所成的角是锐角或直角，此时显然有αβ≥．由直线DA 与平面ABC 所成的角是与平面内所有直线所成的角中的最小角，可得βγ≤， 由于γ的范围是在β和90︒之间变化，因此α和γ的大小关系不确定．故A 正确，B ，C ，D 错误．故选A ．二、多选题1．如图所示，正四棱锥P ABCD -的各棱长均相等，M N ，分别为侧棱PA PB ，的中点，则下列结论正确的是A ．PC BC ⊥B ．PB ⊥平面ACNC ．异面直线PD 与MN 所成的角为o 60D ．PC 与平面ACN 成的角为o 45【试题来源】海南省临高中学2019-2020学年度高一下学期期末考试【答案】BC【解析】因为正四棱锥P ﹣ABCD 的各棱长均相等，所以∠PCB ＝60°，所以PC 与BC 不垂直，故A 错误；因为正四棱锥P ﹣ABCD 的各棱长均相等，M ，N 分别为侧棱P A ，PB 的中点，所以PB ⊥AN ，PB ⊥CN ，又AN ∩CN ＝N ，所以PB ⊥平面CAN ，故B 正确；因为MN ∥AB ，AB ∥DC ，所以MN ∥DC ，所以异面直线PD 与MN 所成的角为∠PDC ，由已知可得∠PDC ＝60°，所以异面直线PD 与MN 所成的角为60o ，故C 正确；因为PB ⊥平面CAN ，所以PC 与平面ACN 所成的角为∠PCN ，又∠PCN ＝30°，所以D 错误．故选BC ．2．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA AC ==，3AB =，90BAC ∠=︒，点D ，E 分别是线段BC ，1BC 上的动点(不含端点)，且1EC DC B C BC=，则下列说法正确的是A ．//ED 平面1ACCB ．四面体A BDE -的体积是定值C ．当点E 为1BC 的中点时，直线AE 与平面11AA B B 所成的角和直线AE 与平面11A ACC 所成的角相等D ．异面直线1BC 与1AA【试题来源】江苏省南京市玄武高级中学2020-2021学年高三上学期11月学情检测【答案】AD【解析】对于A ，在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是矩形， 因为1EC DC B C BC=，所以11////ED BB AA ，因为ED ⊄平面1ACC ，1AA ⊂平面1ACC ， 所以//ED 平面1ACC ，所以A 正确；对于B ，设ED m =，因为90BAC ∠=︒，12AA AC ==，3AB =，所以BC因为1//ED BB ，所以1DE DC BB BC =，所以1DE BC DC BB ⋅==，所以BD =，所以1233122ABD m S ⎛⎫=⨯⨯=- ⎪⎝⎭△， 四面体A BDE -的体积为21131322m m m m ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭， 所以四面体A BDE -的体积不是定值，所以B 错误；对于C ，由于AB AC ≠，当点E 为1BC 的中点时，E 到平面11AA B B 和平面11A ACC 的距离不相等，故所成角不相等，故C 错误； 对于D ，因为11//BB AA ，所以异面直线1BC 与1AA 所成角为1BB C ∠，在1Rt B BC 中，12B B =，BC =11tan BC BB C BB ∠==D 正确；故选AD ．3．如图，1111ABCD A BC D -为正方体，下列结论中正确的是A ．AC ⊥平面11BB D DB ．1AC 与侧面11ADD AC ．1AC ⊥平面11B CDD ．过点1A 且与直线AD 与1CB 都成60︒角的直线有2条【试题来源】广东省汕头市金山中学2020-2021学年高二上学期10月月考【答案】ACD【解析】对于A ，在正方体中，AC BD ⊥，1BB ⊥平面ABCD ，1BB AC ∴⊥， 1BB BD B =，∴AC ⊥平面11BB D D ，故A 正确；对于B ，连接1AD ，在正方体中，11C D ⊥平面11ADD A ，11C AD ∴∠即为1AC 与侧面11ADD A所成角，则11111tan C D C AD AD ∠==，故B 错误；对于C ，连接11AC ，可知在正方体中，1111BD AC ⊥，且1AA ⊥平面1111D C B A ，则111AA B D ⊥，则11B D ⊥平面11AAC C ，111B D AC ∴⊥， 同理可得11B C AC ⊥，1111B D B C B =，∴1AC ⊥平面11B CD ，故C 正确；对于D ，//AD BC ，则1BCB ∠即为异面直线AD 与1CB 所成角，且145BCB ∠=，∴过点1A 且与直线AD 与1CB 都成60︒角的直线有2条，故D 正确．故选ACD ． 4．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长是1，下列结论正确的有A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角为4πB ．C 到平面11ABCD 的距离为长2C ．两条异面直线1CD 和1BC 所成的角为4πD ．三棱锥1D DAB -中三个侧面与底面均为直角三角形【试题来源】湖北省鄂东南省级示范高中2020-2021学年高二上学期期中联考【答案】ABD【解析】正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，对于A ，连接1BC ，则1B C ⊥平面11ABC D ，故由直线与平面夹角的定义得，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为1CBC ∠，正方体中，易见14CBC π∠=，故A 正确；对于B ，因为1B C ⊥平面11ABC D ，点C 到面11ABC D 的距离为1BC 长度的一半，正方体中，易见1BC =C 到面11ABC D 的距离为h =，故B 正确； 对于C ，因为11//BC AD ，所以异面直线1DC 和1BC 所成的角，即直线1DC 和1AD 所成的角1ADC ∠，连接AC ，易见1ADC 为等边三角形，则13AD C π∠=，故两条异面直线1DC 和1BC 所成的角为3π，故C 错误；对于D ，三棱锥1D DAB -中，1DD ⊥底面ABCD ，故1DD AD ⊥，1DD DB ⊥，即1ADD ，1BDD 是直角三角形，又AB ⊥平面11ADD A ，则1AB AD ⊥，AB AD ⊥，即1ABD ，ADB △是直角三角形，故D 正确．故选ABD ．5．如图1111ABCD A BC D -为正方体，下列说法中正确的是A ．三棱锥11B ACD -为正四面体B ．1BC 与1AD 互为异面直线且所成的角为45C ．1AD 与1A B 互为异面直线且所成的角为60D ．1AA 与11B D 互为异面直线且所成的角为90【试题来源】2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A 版必修第二册）【答案】ACD【解析】对于A ，因为三棱锥11B ACD -的各条棱都是正方体表面正方形的对角线，即各条棱相等，故三棱锥11B ACD -为正四面体，故A 正确；对于B ，连接1BC ，可知在正方体中，11AB CD C D ，所以四边形11ABC D 是平行四边形，所以11BC AD ，因为11BC B C ⊥，故异面直线1BC 与1AD 所成角为90，故B 错误；对于C ，由图可得1AD 与1A B 互为异面直线，连接1A B ，易得四边形11A BCD 是平行四边形，则11A BCD ，则1ADC ∠即为所成角，由1ADC 是等边三角形可得160AD C ∠=，故C 正确；对于D ，由图可知1AA 与11B D 互为异面直线，因为在正方体中，1AA ⊥平面1111D C B A ，且11B D ⊂平面1111D C B A ，故111AA B D ⊥，故D 正确．故选ACD ．6．在正三棱锥A BCD -中，侧棱长为3，底面边长为2，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，则下列命题正确的是A ．EF 与AD 所成角的正切值为32B ．EF 与AD 所成角的正切值为23C ．AB 与面ACD 所成角的余弦值为7212 D ．AB 与面ACD 所成角的余弦值为79 【试题来源】备战2021年高考数学全真模拟卷（山东高考专用）【答案】BC【解析】（1）设AC 中点为G ，BC 的中点为H ，连接EG 、FG 、AH 、DH ，因为AE BE =，AG GC =，CF DF =，所以//EG BC ，//FG AD ，所以EFG 就是直线EF 与AD 所成的角或补角，在三角形EFG 中，1EG =，32FG =， 由于三棱锥A BCD -是正三棱锥，BC DH ⊥，BC AH ⊥， 因为,AH HD ⊂平面ADH ，AH DH H ⋂=，所以BC ⊥平面ADH ， AD ⊂平面ADH ，所以BC AD ⊥，所以EG FG ⊥，所以12tan 332EG EFG FG ∠===，所以A 错误B 正确．（2）过点B 作BO 垂直AF ，垂足为O ．因为CD BF ⊥，CD AF ⊥，,,BFAF F BF AF =⊂平面ABF ， 所以CD ⊥平面ABF ，BO ⊂平面ABF ，所以CD BO ⊥，因为BO AF ⊥，,,AF CD F AF CD =⊂平面ACD ，所以BO ⊥平面ACD ， 所以BAO ∠就是AB 与平面ACD 所成角．由题得3BF AF AB ===，所以cosBAO ∠=== 所以C 正确D 错误．故答案为BC ．7．将正方形ABCD 沿对角线BD 对折，使得平面ABD ⊥平面BCD ，则A ．AC BD ⊥B ．ADC ∆为等边三角形 C ．AB 与CD 所成角为60° D ．AB 与平面BCD 所成角为60° 【试题来源】2020年新高考新题型多项选择题专项训练【答案】ABC【解析】由题意可构建棱长均为a 的正四棱锥C ABED -，对于选项A ，显然有BD ⊥面AEC ，又AC ⊂面AEC ，则AC BD ⊥，即选项A 正确， 对于选项B ，由题意有AD AC CD ==，即ADC ∆为等边三角形，即选项B 正确， 对于选项C ，因为AB DE ∥，则CDE ∠为异面直线AB 与CD 所成角，又EDC ∆为等边三角形，即60CDE ∠=，即选项C 正确，对于选项D ，由图可知，ABD ∠为AB 与平面BCD 所成角，又45ABD ∠=，即AB 与平面BCD 所成角为45，即选项D 错误，故选ABC ．8．正方体1111ABCD A BC D -中，下列叙述正确的有A ．直线1AB 与1BC 所成角为60︒B ．直线1AC 与1CD 所成角为90︒C ．直线1AC 与平面ABCD 所成角为45︒D ．直线1A B 与平面11BCC B 所成角为60︒【试题来源】江苏省南京航空航天大学苏州附属中学2020-2021学年高二上学期期初【答案】AB【解析】正方体中由11A B 与CD 平行且相等得平行四边形11A B CD ，则有11//B C A D ，异面直线1A B 与1BC 所成角是1BA D ∠（或其补角），1BA D 是正三角形，160BA D ∠=︒，A 正确；11A D ⊥平面11CDD C ，则有111A D CD ⊥，又有11CD C D ⊥，则有1CD ⊥平面1ACD ，于是有11C D AC ⊥，所以异面直线1AC 与1C D 所成角为90︒，B 正确；1AA ⊥平面ABCD ，1ACA ∠是直线1AC 与平面ABCD 所成角，此角为是45︒，C 错；11A B ⊥与平11BCC B ，11A BB ∠是直线1A B 与平面11BCC B 所成角，1145A BB ∠=︒，D 错．故选AB ．9．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，090B F ∠=∠=，0060,45,A D BC DE ∠=∠==，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F CAB -，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是A ．BC FM ⊥B ．AC 与平面MOF 所成的角的余弦值为2C ．平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角为45°D ．设平面ABF 平面MOF l =，则有//l AB【试题来源】福建省德化一中、漳平一中、永安一中三校协作2020-2021学年高二12月联考【答案】AD【解析】由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得,,BC OF BC OM OM OF O ⊥⊥=，所以BC ⊥面FOM BC FM ⇒⊥，故A 正确；因为BC ⊥面FOM ，所以AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=，所以余弦值为12，故B 错误；对于C 选项可以考虑特殊位置法，由BC ⊥面FOM 得面ABC ⊥面FOM ，所以点F 在平面ABC 内的射影在直线OM 上，不妨设点F 平面ABC 内的射影为M ，过点M 作//BC MN ，连结NF ．易证AB ⊥面MNF ，则l ⊥面MNF ，所以MFN ∠为平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角，不妨设2AB =，因为060A ，所以BC =112OF BC OM ===，显然MFN ∠不等于45°，故C 错误． 设面MOF 与平面ABF 的交线为l ，因为//,AB OM AB ⊄面MOF ，OM ⊂面MOF ，所以//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可得//l AB ，故D 正确；故选AD ．三、填空题1．若AB 与平面α所成的角是30°，且A α∈，则AB 与α内过点A 的所有直线所成角中的最大角为___________．【试题来源】人教B 版（2019） 选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何【答案】90【解析】在平面α内，过点A 且与AB 在平面α内的射影垂直的直线与AB 所成的角最大，为90°．故答案为90．2．已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若60α︒=，则β=_________．【试题来源】人教B 版（2019） 必修第四册 逆袭之路 第十一章 立体几何初步【答案】60︒或120︒【分析】根据空间中两个角的边分别平行时，两个角相等或互补即可得解．【解析】因为角α与角β的两边分别平行，所以α与β相等或互补．又60α︒=，所以60β︒=或120︒，故答案为60︒或120︒．3．在正方体1111ABCD A BC D -中，给出下列结论：①11AC B D ⊥；②1AC BC ⊥；③1AB 与1BC 所成的角为60；④AB 与1AC 所成的角为45．其中所有正确结论的序号为___________．【试题来源】山东省滨州市北镇中学2018-2019学年高一下学期期末【答案】①③【解析】①，由于11,//AC BD BD B D ⊥，所以11AC B D ⊥，结论成立．②，由于11//BC B C ，所以11AC B ∠是异面直线1,AC BC 所成的角．在11Rt AB C ∆中，1190AB C ∠=，所以11AC B ∠不是直角，所以②错误．③，由于11//BC AD ，所以11B AD ∠是异面直线1AB 与1BC 所成的角，而三角形11AB D 是等边三角形，所以11B AD ∠为60，所以③正确．④，在1Rt ABC ∆三角形中，190ABC ∠=，但1AB BC ≠，所以1Rt ABC ∆不是等腰直角三角形，所以AB 与1AC 所成的角不为45，故④错误．故答案为①③4．正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，平面ABCD 与平面ABEF 所成角为60°，则异面直线AB 与FC 所成角大小等于___________．。

立体几何高考文科数学类型题（1）老师专用1、异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角). ②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 考点1. 求两条异面直线所成角(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移即采用补形法作出平面角．(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意,但要灵活,经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线,平行四边形等进行平移,作出异面直线所成的角,转化为解三角形问题，进而求解. 对异面直线概念的理解(1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．(2)不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线． (3)异面直线的公垂线有且仅有一条．例1.空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E 、 F 分别为BC 、AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小. 解 取AC 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG 平行且等于12AB ，GF 平行且等于12CD ，由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF (或它的补角)为EF 与AB 所成的角，∠EGF (或它的补角)为AB 与CD 所成的角. ∵AB 与CD 所成的角为30°，∴∠EGF ＝30°或150°.由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形，当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝75°；当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝15°.故EF 与AB 所成的角为15°或75°.变式训练1.已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，BC ＝3，AA ′＝5，求异面直线D ′B 和AC 所成角的余弦值．解：法一：(平移法)：如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，连接BD 交AC 于点E ，取DD ′的中点F ，连接EF ，AF ，则EF 平行且等于12D ′B ，∴∠FEA 是D ′B 和AC 所成的角，∵AE ＝42＋322＝52，EF ＝25＋252＝522，AF ＝32＋⎝⎛⎭⎫522＝612， ∴在△FEA 中，cos ∠FEA ＝EF 2＋AE 2－AF 22EF ·AE ＝7250.法二：(补形法)：如图，在长方体的一旁补一个全等的长方体， 则BE 綊AC ∴∠D ′BE (或其补角)是D ′B 和AC 所成的角， ∵D ′B ＝52，BE ＝5，D ′E ＝89，∴在△D ′BE 中， cos ∠D ′BE ＝－7250，∴D ′B 与AC 所成角的余弦值为7250.考点2：空间平行问题 1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件 a ∩α＝∅ a ⊂α，b ⊄α，a ∥ba ∥α a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b结论a ∥αb ∥αa ∩α＝∅a ∥b2.判定性质定义定理图形条件 α∩β＝∅a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥αα∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝bα∥β，a ⊂β3.(1)利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；(2)利用平行四边形进行转换； (3)利用三角形中位线定理证明；(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明．4.判定线面平行的方法(1)利用定义：判定直线与平面没有公共点(一般结合反证法进行)；(2)利用线面平行的判定定理: 平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) ,符号语言:∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α(3)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面.证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线；(2)利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；(3)注意说明已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可．5.判定面面平行的方法(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)；(2)利用面面平行的判定定理(主要方法): 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”), 符号语言:∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)；(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．6.线面平行的性质：①直线与平面平行，则该直线与平面无公共点．②性质定理:由线面平行可得线线平行．一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)7.面面平行的性质：①两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面．②若一平面与两平行平面相交，则交线平行．线线平行、线面平行和面面平行是空间中三种基本平行关系，它们之间可以相互转化证明平行的一般思路是：欲证面面平行，可转化为证明线面平行，欲证线面平行，可转化为证明线线平行．例2(2012·山东)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.思维启迪(1)利用等腰△EDB底边中线和高重合的性质证明；(2)根据线面平行的判定或两个平面平行的性质证明线面平行.证明(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO.又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)方法一如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°.又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，所以平面DMN ∥平面BEC .又DM ⊂平面DMN ，所以DM ∥平面BEC . 方法二 如图，延长AD ，BC 交于点F ，连接EF .因为CB ＝CD ，∠BCD ＝120°，所以∠CBD ＝30°.因为△ABD 为正三角形， 所以∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°，因为∠AFB ＝30°，所以AB ＝12AF .又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点.连接DM ，由于点M 是线段AE 的中点， 因此DM ∥EF .又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ，所以DM ∥平面BEC .变式训练2.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝5，BB 1＝BC ＝6，D ，E 分别是AA 1和B 1C 的中点. (1)求证：DE ∥平面ABC ；(2)求三棱锥E －BCD 的体积.1.(1)证明 取BC 中点G ，连接AG ，EG .因为E 是B 1C 的中点，所以EG ∥BB 1，且EG ＝12BB 1.由直棱柱知，AA 1平行且等于BB 1，而D 是AA 1的中点，所以EG 平行且等于AD ，所以四边形EGAD 是平行四边形.所以ED ∥AG .又DE ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以DE ∥平面ABC . (2)解 因为AD ∥BB 1，所以AD ∥平面BCE ，所以V E －BCD ＝V D －BEC ＝V A －BCE ＝V E －ABC ， 由(1)知，DE ∥平面ABC .所以V E －ABC ＝V D －ABC ＝13AD ·12BC ·AG ＝16×3×6×4＝12.考点3：空间垂直问题 1.直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法.②利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α.④利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直” a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β． ⑤利用面面垂直的性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. (2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. 线面垂直的性质，常用来证明线线垂直. (3)判定线线垂直的方法①定义：两条直线所成的角为90°；②平面几何中证明线线垂直的方法如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形、勾股定理逆定理等得到线线垂直；③线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ； ④线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b . 2.斜线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所 成的角．如图，∠P AO 就是斜线AP 与平面α所成的角．(2)线面角θ的范围：θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. 3.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法. ②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.⎭⎪⎬⎪⎫l ⊂βl ⊥α⇒α⊥β (2)平面与平面垂直的性质:两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.4.二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.5.求线面角、二面角的常用方法.(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.例3.如图所示，已知P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD.证明：(1)如图所示，连接AC ，AN ，BN ，∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AC .在Rt △P AC 中，N 为PC 中点，∴AN ＝12PC .∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC .又BC ⊥AB ，P A ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面P AB .∴BC ⊥PB .从而在Rt △PBC 中，BN 为斜边PC 上的中线，∴BN ＝12PC ，∴AN ＝BN .∴△ABN 为等腰三角形．又M 为底边AB 的中点，∴MN ⊥AB .又∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD .(2)如图所示，连接PM ，CM ，∵∠PDA ＝45°，P A ⊥AD ，∴AP ＝AD .∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ，∴P A ＝BC .又∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM ，而∠P AM ＝∠CBM ＝90°，∴PM ＝CM .又∵N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC .由(1)知，MN ⊥CD ，PC ∩CD ＝C ，∴MN ⊥平面PCD .变式训练3．如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值． (1)证明：因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点，所以PQ ∥EB .又因为DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ，PQ ⊄平面ACD ，DCC 平面ACD .从而PQ ∥平面ACD . (2)如图，连接CQ ，DP .因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，所以CQ ⊥AB .因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，所以EB ⊥平面ABC .因此CQ ⊥EB ，AB ∩EB ＝B ，故CQ ⊥平面ABE .由(1)有PQ ∥DC ，又因为PQ ＝12EB ＝DC ，所以四边形CQPD 为平行四边形．故DP ∥CQ .因此DP ⊥平面ABE .∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角．在Rt △DP A 中，AD ＝5，DP ＝1，sin ∠DAP ＝55. 考点3：1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式S ＝2πrlS ＝πrlS ＝π(r ＋r ′)l2.几何体的表面积、体积1.如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为( )A ．4π B.15π4 C ．5π D.17π41.解由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了18部分得到的几何体，故表面积为78·4π·12＋3·14·π·12＝174π.2.(1)(2012·湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π3 B ．3π C.10π3D ．6π 2.解 (1)由三视图可知，该组合体上端为一圆柱的一半，下端为圆柱．其体积V ＝π×12×2＋12×π×12×2＝3π.3.(2012·课标全国)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为 ( )A.26B.36C.23D.223.答案 A 解析 由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，所以三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍.在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如图所示，S △ABC ＝34×AB 2＝34，高OD ＝ 12－⎝⎛⎭⎫332＝63， ∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.4.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2π D.2π34.解：圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V ＝23－13×π×12×2＝8－23π.5.(2013·重庆)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．805.解析：选C 由三视图可知几何体是一个放倒的直棱柱(最大的侧面贴在地面上)，直观图如图，底面是等腰梯形，其上底长为2，下底长为4，高为4，∴两底面积和为2×12×(2＋4)×4＝24，四个侧面的面积为4×(4＋2＋217)＝24＋817，∴几何体的表面积为48＋817. 与球有关的切、接问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.1.已知三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________.1.解析 如图，构造正方体ANDM —FBEC .因为三棱锥A —BCD 的所有 棱长都为2，所以正方体ANDM —FBEC 的棱长为1.所以该正方体的 外接球的半径为32.易知三棱锥A —BCD 的外接球就是正方体ANDM —FBEC 的外 接球，所以三棱锥A —BCD 的外接球的半径为32.所以三棱锥A —BCD 的外接球的表面积为S 球＝4π⎝⎛⎭⎫322＝3π.2.已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )A ．12πB ．36πC ．72πD ．108π 2.解析：选B 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为 (32)2－(12×6)2＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π.3．(2012·广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π3.解析：选C 此几何体由半个球体与一个圆锥组成，其体积V ＝12×43π×33＋13π×32×52－32＝30π. 4．(2013·广州模拟)设一个球的表面积为S 1，它的内接正方体的表面积为S 2，则S 1S 2的值等于( ) A.2π B.6π C.π6 D.π24.解:设球的半径为R ，其内接正方体的棱长为a ，则易知R 2＝34a 2，即a ＝233R ，则S 1S 2＝4πR 26×⎝⎛⎭⎫233R 2＝π2.。

异面直线所成的角专项练习异面直线是不在同一个平面上的两条直线。

它们所成的角度可以用三角函数来计算。

以下是关于异面直线所成角的专项训练。

1.异面直线的定义与取值范围异面直线是不在同一个平面上的两条直线。

它们所成的角度的取值范围是0到90度之间。

2.求两条异面直线所成角的步骤：1) 找到两条异面直线的公共点。

2) 找到两条直线在平面上的投影线，计算它们的夹角。

3) 用三角函数计算两条异面直线所成的角度。

类型一、以正方体和长方体为载体的异面直线所成的角1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1D与BC1所成的角为多少？解析：首先，找到两条异面直线的公共点，即点D。

然后，找到它们在平面上的投影线，即线段BC和线段A1D。

计算它们的夹角，可以得到cosθ=1/√3，因此θ=30度。

答案为A。

2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G,H分别是AA1,AB,BB1,B1C的中点，则直线EF与GH所成的角是多少？解析：同样地，找到两条异面直线的公共点，即点A1.找到它们在平面上的投影线，即线段EF和线段GH。

计算它们的夹角，可以得到cosθ=√2/2，因此θ=45度。

答案为B。

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是B1C1的中点，则异面直线DC1与BE所成角的余弦值为多少？解析：找到两条异面直线的公共点，即点C1.找到它们在平面上的投影线，即线段DC1和线段BE。

计算它们的夹角，可以得到cosθ=-1/√10，因此θ=104.48度。

答案为B。

4.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=3AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为多少？解析：找到两条异面直线的公共点，即点A1.找到它们在平面上的投影线，即线段A1B和线段AD1.计算它们的夹角，可以得到cosθ=4/√73，因此θ=67.22度。

答案为D。

5.点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是多少？解析：根据题目描述，点P在正方形ABCD所在平面外，因此可以找到两条异面直线，即线段PB和线段AC。