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控制工程--频率特性分析(1)

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控制工程 第5章 系统的频率特性

控制工程 第5章 系统的频率特性
解：系统的频响函数（频响特性）、幅频特性和相频 特性分别为
频响函数 幅频特性 相频特性
1 G ( j ) 1 j 0.005 1 | G ( j ) | 1 (0.005 )2 0 0.005 ( ) arctan arctan 1 1 arctan(0.005 )
可见：输入信号频率越高，稳态输出幅值衰减越大，相移越大（这正是惯性环节 的频响特性）。
18:10:18
5-1 频率特性
本例题也可以采用第 4 章介绍的求时间响应的方法获 得稳态响应，即利用传递函数求出零状态响应，然后分 解出其中的稳态响应。 而利用频响函数可直接求出稳态 响应。
21
y( t ) L [Y ( s )] 0.555e 200 t
m k f (t)/x (t) f(t)—力
A
f(t) = Asin(ωt)
A B
x(t)—位移 B
0 -A
ωt
υ
单自由度有阻尼振动 x(t) = Bsin(ωt+υ)+瞬态响应 系统力学模型 教材101页图5-2中的标注“υ”不对，应改成“υ/ω”，
18:10:18
或将横坐标标尺改成“ωt”。
5-1 频率特性
相频特性 = 正弦信号稳态响应相角 - 正弦输入信号相角
幅频特性和相频特性合起来描述了系统的频响特 性或频率特性。
18:10:18
13
5-1 频率特性
系统频率特性的获得 解析法 令输入x(t)=x0sin(t)，求解微分方程的特解（稳 态解）。可以利用拉氏变换求解；
利用频率响应函数；
实验法
输入正弦信号，测量稳态输出。
18:10:18
5-1 频率特性
利用频率响应函数求频率特性 频率响应函数的定义：对连续线性定常系统，输出 的付立叶变换 C(j) 与输入的付立叶变换 R(j) 之比 ，叫频率响应函数，简称频响函数，也称为正弦传 递函数，记作G(j) 。即

控制工程基础课件第六章 频率特性分析

控制工程基础课件第六章 频率特性分析

G
j
arctan
1
n 2
n2
当=0时，G j 1，G j 0；
当=n时，G j 2，G j 90； 当=时，G j ，G j 180。
二阶微分环节的极坐标图也于阻尼比有关，对应不同的 ξ值，形成一簇坐标曲线，不论ξ值如何，当ω=0时，极 坐标曲线从(1,0)点开始，在ω=∞时指向无穷远处。
第6章 频率特性分析
本章介绍线性系统的频域分析方法。该方法是通 过控制系统对正弦函数的稳态响应来分析系统性能的。
频率特性不仅能反映系统的稳态性能，也可用来 研究系统的稳定性和动态性能。
6.2 频率响应与频率特性
一、频率特性的概念
1、频率响应：是系统对正弦输入的稳态响应。
2、频率特性：给线性系统输入某一频率的正弦波，
1 1 jT
G j 1 U jV
1 jT
1
1 T 22
j T 1 T 22
A e j
实频特性为U 虚频特性为V
1； 1+T 2 2
T。 1+T 2 2
幅频特性为A 1 ；
1 T 22
相频特性为 G j arctanT
特殊点：
当=0时，G j 1，G j 0； 当=1/T时，G j 1 ,G j 45；
取拉氏变换为： Xi s
A
s2
2
电路的输出为： X0 s G s Xi s 上式取拉氏反变换并整理得
1A Ts 1 s2 2
x0 t
AT 1 T2
e t/T
2
A sin t arctan T
1 T2 2
x0 t
AT 1 T2
e t/T
2
A sin t arctan T

频率特性分析方法

频率特性分析方法
0
（2）放大环节
Im
G(s) K G( j) K
φ
方法② 直接用频率特性测试仪测取，直接在X-Y 记录仪上显示 x jy或者 B e j 。
A
例1：某系统的传递函数为G：(s)
2(s s2
2)
当输入信号为：r(t) sin(t 1000 )
求出它的稳态输出响应。
解：
G(
j
2( j j )2
如何求模和相角？
G( j
tg1 1800
sin e j e j
2j
t 2
r=Asinωt
K Ts 1
Yss
KA
1 T 2 2
sin(
t
2 )
稳态输出仍是一个正弦信号，输出幅值和相位发生 了变化，角频率ω没变。
稳态输出与输入 r Asint 比较可得：
幅值比 B
K
A 1 T 22
相位差 2 arctg(T )
2
KU 2 U2 V 2
整理：U 2
V
2
KU
经配方，
即：
U
K 2
2
U V 2
K 2
2
圆的方程。圆心 (K/2, j0),半径K/2。
G( j 与G( j 为共轭复数。
当ω: -∞→+∞，得到完整的频率特性。 顺时针方向是频率特性变化的方向，即ω增加的方向。
Im
K Re
G( j) 为频率特性，是一复数，模 K 为系统的幅
1 T 22
值比
B ，其相角 A
2 为系统的相位差。
推广到一般的情况，对于任何线性定常系统，只 要将传递函数中的变量s用jω代替，便得到了系统的 频率特性。

机械控制工程之频率特性分析

机械控制工程之频率特性分析

机械控制工程之频率特性分析介绍机械控制工程中的频率特性分析是一种重要的分析方法，用于研究机械系统的动态响应和导致系统稳定性的因素。

频率特性分析可以帮助工程师了解机械系统的频率响应特性，从而进行系统设计、调节和优化。

频率特性分析通常通过传递函数来描述机械系统的响应特性。

传递函数是一个复数函数，它描述了输入信号与输出信号之间的关系。

在频率特性分析中，我们主要关注系统的幅频特性和相频特性。

幅频特性分析幅频特性分析是研究机械系统振幅响应随频率变化的分析方法。

通过幅频特性分析，我们可以了解机械系统在不同频率下的振幅响应情况。

在幅频特性分析中，我们会绘制振幅频率响应曲线（Bode图）。

Bode图是一种以对数坐标绘制的图形，横坐标表示频率，纵坐标表示振幅，通常使用分贝（dB）作为单位。

Bode图可以同时展示系统的增益和相位信息。

根据系统的传递函数，我们可以计算出不同频率下的系统增益和相位，并在Bode图上绘制出相应的曲线。

通过分析和比较Bode图，我们可以判断系统的稳定性、共振频率以及衰减能力等重要的特性。

幅频特性分析可以帮助我们设计合适的控制系统来满足特定的性能要求。

例如，如果我们希望系统具有较好的稳定性，我们可以通过调整系统的增益来实现；如果系统存在共振频率，我们可以通过调整系统的参数来避免或抑制共振现象。

相频特性分析相频特性分析是研究机械系统相位差随频率变化的分析方法。

通过相频特性分析，我们可以了解机械系统在不同频率下的相位响应情况。

在相频特性分析中，我们同样会绘制相频响应曲线。

相频响应曲线展示了系统的相位角随频率变化的情况。

相位角是指输入信号和输出信号之间的相位差，通常使用角度表示。

通过分析相频响应曲线，我们可以获得系统的相移角信息。

相移角的变化直接影响系统的稳定性和频率响应。

在设计机械控制系统时，我们通常会根据目标性能来调整系统的相位差，以实现系统的稳定性和响应速度。

频率特性分析的应用频率特性分析在机械控制工程中具有广泛的应用。

机械工程控制基础(第4章 系统的频率特性分析)

机械工程控制基础(第4章 系统的频率特性分析)

（4.1.10）
根据频率特性的定义可知，系统的幅频特性和相频特性分别为：
G ( j ) Xi ( ) G ( j ) A ( ) X o ( )
（4.1.11）
故 G ( j ) G ( j ) e
j G ( j )
就是系统的频率特性，它是将 G ( s )
d dt
微分方程
dt
s 传递函数 s
系统
j
频率特性
j
图4.1.2 系统的微分方程、传递 函数和频率特性相互转换关系图
中原工学院
机电学院
4.1.4 频率特性的特点和作用
第1
系统的频率特性就是单位脉冲响应函数的Fourier变换，即频谱。 所以，对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。
第2
K

所以
A
X o Xi

1 T
2
2
arctan T
或
K 1 T
2 2
e
j arctan T
中原工学院
机电学院
2. 将传递函数中的s换为 j (s=j )来求取
由上可知，系统的频率特性就是其传递函数G(s)中复变量s j 的特殊情况。由此得到一个极为重要的结论与方法，即将系统的传递
G
j 端点的轨迹即为频率特性的极坐标图, 或称为Nyquist 图, 如
中原工学院
机电学院
图4.2.1所示。它不仅表示幅频特性和相频特性, 而且也表示实频特性和
虚频特性。图中的箭头方向为从小到大的方向。
正如4.1节所述, 系统的幅频特性和相频特
性分别为
A ( ) X o ( ) Xi G

控制工程基础第六章频率特性分析

控制工程基础第六章频率特性分析

二、典型环节的极坐标图
1.比例环节（放大环节） 频率特性为 G( j ) K
K
幅频特性
相频特性
G( j) K
0
0
G( j )＝0
图6-2-1 比例环节的极坐标图
page
15
机电工程学院
第六章 频率特性分析
j
1 2.积分环节 G ( s ) s
1 频率特性 G ( j ) j
() G( j)
page
6
机电工程学院
第六章 频率特性分析
系统的稳态输出与输入是同频率的正弦函数，输出振幅 与相位角虽与输入不同，但都与下式有关：
G( j) G( j) e
控 制 工 程 基 础
G ( j )
A()e
j ( )
定义G( j) 为该系统的频率特性（Frequency Characteristic）。
将B和D代入式(6-1-5)，得
e j t G ( j ) e j t G ( j ) c(t ) M G ( j ) 2j M G ( j ) sin t G ( j ) N sin t ( )
其中
(t 0)
N G( j ) M
控 制 工 程 基 础
（一）最小相位系统(Minimum Phase System)
G 系统的开环传递函数 (s ) 在中右半s 平面内既无极点也无零点
（二）非最小相位系统(Non-Minimum Phase System)
系统的开环传递函数在右半平面内有零点或者极点。
Ga ( s )
s 1
T ( ) ( j ) arctan K 1
page

控制系统的频率特性

控制系统的频率特性
幅值的单位采用分贝（dB）来表示。
相位的单位采用度或弧度来表示。 ➢对数幅相特性曲线：Nichols图，对数幅相图，复合坐标图
横坐标为相频特性，采用度或弧度来表示。
纵坐标为幅频特性，采用分贝（dB）来表示。
例：一般系统的传递函数和频率特性
G(s)
b0s m a0 s n
b1s m1 a1s n1
j0
系统的输出为
Y (s)
(s
p1 )( s
M (s) p2 )(s
pn )
X s2 2
(s
M (s) p1)(s p2 )(s
pn )
(s
X j)(s
j)
稳定系统
n
Y(s)
Ai
A
A
i1 s pi s j s j
A, A 和Ai (i 1,2,n)
待定系数
n
y(t) Ae jt A e jt Aie pit i 1
G( j) G( j) e j()
G( j) G( j) e j() G( j) e j()
式中:
(
)
G(
j
)
arctg
Im Re
[G( [G(
j j
)] )]
将待定系数 A, A 代入式 ys (t) Ae jt A e jt 中,有:
ys (t)
X 2j
G( j) e j () e jt
采用MATLAB绘制比例环节的极坐标图：
K=1; G=tf([K],[1]); nyquist(G,'*'); axis([-2,2,-2,2]);
X G( j) e j () e jt
2j
X G( j ) e j (t ( )) e j (t ( ))

控制工程基础---第4章--频域分析法1

控制工程基础---第4章--频域分析法1

☎ 4.1.3 频率特性的图示方法
V( )
系统的频率特性可分解为实部 和虚部，即
直角坐标形式： G( j) U () jV ()
极坐标形式： G( j ) A( )e j ()
O
式中：极直U坐角(标坐形标) _式形_：式__：实频GG特(( jj性))； UA(())ej
对数频率特性又称为博德图。
☆半对数坐标图（纸）
对数幅频特性：
L( ) 其中： L( ) 20 lg A( ) (dB )
对数相频特性：
( )
（3）对数幅相频率特性（尼科尔斯图 Nichols）。
在所需要的频率范围内，以频率作为参数 来表示的对数幅值和相角关系的图。
据“根符据号“符法号”法 ” ‘( ‘(电电路路’’中中有有介介绍绍

)：)X：iXm im
Xim Xe ji0m0 e
j00
X

Xom

om
A(A).(X
im).eXj
(
im
)e
j
此时 定此义时定“ 义系x“i统(系t)稳统态稳X态输im 输si nt 出出与与输输入入信信号号的复的数复比数比 ”为：为：
(t)

U 1
im T T 2
2
t
eT

U im sin( t arctan T ) ( 4 .3) 1 T 2 2
uo(t) 的稳态uo解 (t)
Uim sin(tarctTan) 1T22

Ui
Uimej0

， U o

Uim 1T2
其 中 ： 这(xj就Ao这(((t是))j就) 系－是)A 统幅系XX(频 统的XXoi特)的mm“X oimm性“频i；m 频s率率AAi特特((n tXX[)) ..根i XmiXm据 此ei(m“e 时i jme0符性 定j0)e0号 性j义”0(法 ]“(jj”” 系)( )统 稳) 态‘XXA(输oi电m(m路A’)(.Ae中 (有 出jX))介 与.(.iXm绍 e输e)i其m 入jje00信)j中：(X号(Xo的)m)im复

机械工程控制基础-频率特性分析

机械工程控制基础-频率特性分析
G(j) G1(j) G2 (j) ...Gmn1(j) G(j) G1(j) G2 (j) ... Gmn1(j)
工程控制基础
第四章系统的频率特性分析
工程控制基础
第四章系统的频率特性分析
工程控制基础
第四章系统的频率特性分析
工程控制基础
第四章系统的频率特性分析
工程控制基础
第四章系统的频率特性分析
两者描述的是同一信号，只是变换域不同，研 究
的方面不同。
工程控制基础 举例：
第四章系统的频率特性分析
a)时域、频域描述
b)1,3,5次谐波迭加图形
工程控制基础
第四章系统的频率特性分析
第二节频率特性的图示方法
工程控制基础 1、
第四章系统的频率特性分析
工程控制基础
第四章系统的频率特性分析
工程控制基础
Tj 1 2j T 2 2 1
2j
同理可得 B* k Xi
k
e jarctanT Xi
-Tj 1 - 2j T 2 2 1
- 2j
工程控制基础
第四章系统的频率特性分析
T
2
k
2
1
Xi
e
j(wt -arctanT)
e 2j
j(wt arctanT)
T
k
2
2
1
Xi
2
j
sin(wt
- arctan 2j
工程控制基础
第四章系统的频率特性分析
（20lg G(jw) w）
（∠G(jw) w）
工程控制基础
第四章系统的频率特性分析
工程控制基础
第四章系统的频率特性分析
工程控制基础
第四章系统的频率特性分析

第四章 频率特性分析1

第四章 频率特性分析1

− arctan T ω
结论：系统的频率响应只是时间响应的一个特例，提 供了系统本身特性的重要信息，且随着输入谐波幅值、 频率的不同，系统稳态响应的幅值和相位也不相同。
11
⑵ 频率特性 频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入时， 其稳态输出随频率而变化(ω由0变到∞)的特性。 设系统的传递函数中比例系数K为1，则 G ( s) = 输入信号为 xi (t ) = X i sin ωt 系统的稳态响应为： xo (t ) =
R e 2 (ω ) + Im (ω ) = K 1 + T 2ω
2
A (ω ) = G ( jω ) =
2
ϕ (ω ) = ∠ G ( jω ) = tan − 1 Im (ω ) = − tan − 1 (T ω ) R e(ω )
可见，两种方法求解结果一致。
24
¾ 几点说明
频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面 虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分 方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频 率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全 部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性 也全寓于其中。
线性定常系统对谐波输入的响应为：
xo (t ) = A(ω ) sin[ωt + ϕ (ω )]
系统方框图及其稳态响应的输入输出波形如图4.1.1所示：
图4.1.1系统及其稳态响应的输入输出波形
9
例1
设系统的传递函数为G ( s) =
K Ts + 1
输入信号为 xi (t ) = X i sin ωt 得
xo (t ) = XiK 1 + T 2ω 2 sin(ωt − arctan Tω )

控制工程基础控制系统的频率特性

控制工程基础控制系统的频率特性
第49页/共61页
第50页/共61页
例:一单位反馈系统的开环传递函数为
Gs
ss
1
10.5s
1
G（jω）轨迹与M轨线和N轨线，如下图所
示。闭环频率特性曲线如图（b）所示。由
于G（jω）轨迹是与M=5dB的轨迹相切，
所以闭环频率特性的谐振M峰r 值为 =5dB
，而谐r 振 0频.8率rad / s
线。
如果M≠1，式（4.26）可化成
(4.27X)
M M2
2
2
1
Y
2
M2 M 2 1 2
该M式2 就是一个圆的方程M，其圆心为
[
M
2
, 1
j0]
，半径为M 2 1
。如下图。
第40页/共61页
第41页/共61页
在复平面上，等M轨迹是一族圆，对于给 定的M值，可计算出它的圆心坐标和半径。 下图表示的一族等M圆。由图上可以看出， 当M>1时，随着M的增大M圆的半径减小， 最 后 收 敛 于 点 （ - 1 , j0）。 当 M＜1 时 ， 随着M的减小M圆的半径亦减小，最后收 敛 于 点 （ 0 , j0）。M=1 时 ， 其 轨 迹 是 过 点（-1/2,j0）且平行于虚轴的直线。
第37页/共61页
由开环频率特性 估计闭环频率特性
设闭环频率特性的幅值为M（ω），相位角为 φ（ω）, 闭环频率响应可表示为
Xi Xo
j j
M
e
j
类似于地图上等高线的思路，我们可求出闭
环频率特性的等幅值轨迹和等相角轨迹，在
由乃奎斯特图确定闭环频率特性及系统校正
时，这将带来方便。
第38页/共61页
。此外G（jω

控制工程基础第四章频率特性分析

控制工程基础第四章频率特性分析
20 0 -20 -40 10 -1 0 10 0 10 1
ξ
=0.1
ξ
=0.1
-90
-180 10 -1 10 0 10 1
4.1.3
频率特性的物理意义
1．频率特性实质上是系统的单位脉冲响应函数的Fourier变换。 即 G ( jω ) = F [ w(t )] 。 2．频率特性分析通过分析不同的谐波输入时的稳态响应，揭示 系统的动态特性。 3．频率特性分析主要针对系统的稳态响应而言，应用频率特性 的概念可以非常容易求系统在谐波输入 作用下系统的稳态响应。另外，系统频 率特性在研究系统的结构与参数对系统 性能的影响时，比较容易。 4．频率特性分析在实验建模和复杂系统分 析方面的应用要比时域分析法更方便。
A(ω )e jϕ (ω )
4.1.2 频率特性的求法
1.用拉氏逆变换求取 用拉氏逆变换求取
xi (t ) = X i sin ω t
X i ( s ) = L[ xi (t )] = L[ X i sin ω t ] =
X o (s) = G (s) X iω s2 + ω 2 X iω −1 xo (t ) = L [G ( s ) 2 ] 2 s +ω
2.Bode图 2.Bode图：以ω的常用对数值为横坐标，分别以 20 lg A(ω ) 和 Bode 对数幅频特性图和对数相频特性 对数幅频特性图 ϕ (ω ) 为纵坐标画出的曲线，称为对数幅频特性图 对数相频特性 对数坐标图，又称为Bode图。 图，统称为频率特性的对数坐标图 对数坐标图
dB
A( ω ) =20 lg G( jω )
xo (t ) = X o (ω ) sin (ω t + ϕ (ω ))

控制工程,第四章

控制工程,第四章

实轴开始，以反时针旋转（或顺时针旋转）
来定义的；
② 在极坐标图上，G(jw) 在实轴和虚轴上
的投影是它的实部和虚部；
③ 它不仅表示了实频特性和虚频特性，而
且也表示了幅频性和相频特性。
控制工程基础
二、典型环节的极坐标图
第四章 频域分析法
一般系统都是由典型环节组成，熟悉典型环 节的频率特性，对了解系统的频率特性和分析系 统的动态特性带来很大的方便。
解：G(j)G(s)sj1K jT
控制工程基础
A()G(j) K 1T22
()G(j)arctgT
第四章 频域分析法
G(j) K ejarctgT 1T22
系统的稳态输出：
xo(t)Ai G(j)sin[tG(j)] KAi sin[tarctgT] 1T22
控制工程基础
第四章 频域分析法
（2）前一项为稳态响应，当 t ts 时，系统的输 出即可视为稳态响应。
xo(t)
AiK sint(arct)gT 1T22
控制工程基础
第四章 频域分析法
故频率特性： A() Ao K
Ai 1T22 () arctgT
或
K
ejarctgT
1T22
2、将传递函数中，s换为 j 来求取：
例2：用方法2求解例1。
控制工程基础
第四章 频域分析法
第二节 频率特性极坐标图(Nyquist)
一、频率特性极坐标图表示
频率特性的极坐标图又称Nyquist图，也称 幅相频率特性图。
极坐标图是当 j 由零变化到无穷大时，矢 量 G( j) 极坐标系统上端点的轨迹。
控制工程基础
第四章 频域分析法
注意：
① 在极坐标图上，正（或负）相角是从正
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1
A( ) K
1 T12 2 1

1
jT1 1 jT2 1

1
(T1 T2 ) ( ) arctgT1 arctgT2 arctg 1 T1T2 2
T22 2 1
当＝0时， A( ) K , ( ) 0 1 当＝ 时，A( ) K T1T2 ， ( ) 900 T1T 2 T1 T2
0
当＝时， A( ) 0,
( ) 1800
1 T1T2
频率特性与负虚轴的交点频率为
交点坐标是
(0, jK
T1T2 T1 T2
)
Im

0
K
0
Re
1 T1T2
(0, jk
T1T2 T1 T2
)
例2 系统极坐标图
例3 已知系统的开环传递函数如下式试绘制该系统的奈奎斯 特图。 K
Im
K T
T
T
0
T
K
K T
Re
例4 极坐标图
二、乃氏图的一般形状
设线性定常系统的开环传递函数为：
G (s) K ( 1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) v s (T1s 1)(T2 s 1) (T s 1) K ( i s 1) s v (Tk s 1)
§5.3 反馈控制系统的开环频率特性 (一)系统开环乃氏图的绘制
主要知识点
• 回顾：典型环节乃氏图 • 系统乃氏图的绘制（PPT,P15）
一、典型环节的伯德图 1.比例环节
Im
K
0
0
放大环节的极坐标图
Re
2.积分环节
Im

0
90
0
Re
0
积分环节的极坐标图
3.惯性环节
例1已知系统的开环传递函数如下，试绘制系统开环频率特性的 K 极坐标图。
G( s) H ( s)
s (Ts 1)
解：频率特性
A( ) K
1


1 1 G ( j ) H ( j ) K j jT 1 1
T 1
2 2
() 90 arctgT
0
当＝0时， ( ) , ( ) 900 A
KT 1 A , ( ) 1350 当＝ 时， ( ) T 2
当＝时， ) 0, A(
( ) 1800
求渐近线 当
Re G( j ) H ( j ) KT
Im
0
KT jK G( j )H( j ) 2 2 T 1 ( T 2 2 1 )
振荡环节的幅频特性
为截止频率b ；频率大于
b后，输出幅值衰减很快。
当阻尼比 1 时，此时振荡环节可等效成两个不同时间 常数的惯性环节的串联，即
1 G( s) T1s 1T2 s 1

1
7.二阶微分环节
1 Im


2
1
2
0.4
0
0
1
Re
二阶微分环节极坐标图
2 T ( ) 90 arctg 1 T 2 2
0
0， A( ) , ( ) 90
1 , T
0
KT 0 A( ) , ( ) 180 2
,
A( ) 0, ( ) 2700
2 KT (1 T 2 2 ) K A( ) 2 2 2 j 2 2 3 2 2 4 T (1 T ) 4 T (1 T 2 2 )2
Im
0.5
450

0
0 1 Re
1/ T
惯性环节的极坐标图
注 意
惯性环节是一个低通滤波环节 和相位滞后环节
推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时，即
G ( j )
的实轴下方半个圆周。
K K K 时，其频率特性是圆心为 ( , 0) ，半径为 jT 1 2 2
K 2 K u ( ) 2 v( ) 2
Im G( j ) H ( j)
KT

0
Re


0
例1 极坐标图
例2 已知系统的开环传递函数为
1 1 G( s) H (s) K T1s 1 T2 s 1
解：频率特性
(T1 T2 0，图.
G ( j ) H ( j ) K
A( ) K
当T 时
A( ) K K , ( ) arctg arctgT 0 T

T K , ( ) arctg arctgT 0
当T 时
A( ) K K , ( ) arctg arctgT 0 T
0.6KT
例3 极坐标图
练习： 例4-1、某单位反馈系统的开环传函为：
K G(s) s(T1s 1)(T2 s 1) K、T1、T2 0
试概略绘制系统开环幅相图。 例4-2、已知单位反馈系统开环传递函数
G( s) K s 2 (T1s 1)(T2 s 1)
，试绘制该系统的乃氏图。 例4-3、某单位反馈系统的开环传函为：
k 1 i 1 n m
其开环频率特性为：
G ( j ) K ( j i 1) ( j )
i 1 n v m
( jT
k 1
k
1)
Im
v3
K
Im
nm 3
Re
v2
0
nm 2
0
Re
n m 1 v 1
(b) 时的极坐标图
系统的极坐标图
Im
0
A( ) 0, ( ) 1800.

n n n n
r 大
1
Mr
Re 0
小
r
振荡环节的极坐标图
振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比 有关，当阻尼比 较小时，会产生谐振，谐振峰值 M (M 1)和谐振频率 r r r 由幅频特性的极值方程解出。
当
求渐近线
0
Re G( j ) H ( j ) 2 KT
Im 0
交点坐标是

Im G( j) H ( j)
1 T
KT ( , 0) 2
0.85
0.5
0.15 I m
3.3KT
1.7KT
KT

0.3KT
0
Re
(a) 0 时的极坐标图
A( )
A(w)的数值由 A(0)下降3dB 时的频率
在 0 r 的范围内，随着
的增加， ( ) 缓慢增大；当 A
0.707 0
1
Mr
r b

r 时，( )达到最大值 M r A ；当 r时， )迅速减小， A(
A( ) 0.707时的频率称


d d 1 A( ) 0 d d (1 T 2 2 )2 4 2T 2 2
1 1 2 2 (0 ) r 1 2 n 1 2 2 T 1 1 (0 ) M r A( ) max 2 2 2 1
G( s) H ( s)
s(T s 2Ts 1)
2 2
(0 1)
1
解：频率特性是 G ( j ) H ( j ) K
j (1 T 2 2 j 2 T )
1 1 A( ) K (1 T 2 2 )2 4 2T 2 2
=0,A( )=K
2 2 1
T 2 2 1
=K ,
( ) arctg arctgT 0
=,A( )=K =K , ( ) arctg arctgT 0 2 2 T T 1
2 2 1
当T 时
8.延滞环节
延滞环节的传递函数
频率特性 幅频特性
G( s) e
j
s
G( j ) e
A( ) G( j ) 1
Im
相频特性 () G( j) (弧度） 57.3(度）
GH
0
1
0
1
Re
滞后环节极坐标图
二、系统极坐标图的绘制
2
2
4.理想微分环节

Im
900
0
GH

0
Re
理想微分环节的极坐标图
5.一阶微分环节
Im
GH



A

0
0 1 Re
一阶微分环节的极坐标图
6.振荡环节 当 0时,
当 时,
A( ) 1, ( ) 00 ; 1 1 , ( ) 900 ; 当 时, A( ) T 2
K G( s) (T1s 1)(T2 s 1)(T3 s 1) K、T1、T2、T3 0
试概略绘制系统开环幅相图。
例5 已知系统的开环传递函数为
试绘制该系统开环频率特性的极坐标图。
K (s 1) G( s) H ( s) Ts 1
解：频率特性表达式为 G ( j ) H ( j ) K j 1 jT 1 2 2 1 A( ) K ( ) arctg arctgT 2 2 T 1