圆锥曲线常考题型总结(教师版)

圆锥曲线的轨迹方程问题1.抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，P 在抛物线C 上，O 是坐标原点，当PF 与x 轴垂直时，△OFP 的面积为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)若A ，B 都在抛物线C 上，且OA ⋅OB =-4，过坐标原点O 作直线AB 的垂线，垂足是G ，求动点G 的轨迹方程.【答案】(1)y 2=4x ;(2)x 2+y 2-2x =0x ≠0【解析】(1)当PF 与x 轴垂直时，P p 2,p ，故S △OFP =12×p 2×p =1，故p =2，故抛物线的方程为：y 2=4x .(2)设A y 214,y 1 ,B y 224,y 2，直线AB :x =ty +m ，因为OA ⋅OB =-4，故y 21y 2216+y 1y 2=-4，整理得到：y 21y 22+16y 1y 2+64=0，故y 1y 2=-8.由x =ty +my 2=4x可得y 2-4ty -4m =0，故-4m =-8即m =2，故直线AB :x =ty +2，此直线过定点M 2,0 .因为OG ⊥GM ，故G 的轨迹为以OM 为直径的圆，其方程为：x -0 x -2 +y -0 y -0 =0即x 2+y 2-2x =0.因为直线AB :x =ty +2与x 轴不重合，故G 不为原点，故G 的轨迹方程为：x 2+y 2-2x =0x ≠0 .2.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率e =233，且经过点P 3,1 .(1)求双曲线C 的方程；(2)设A ，B 在C 上，PA ⊥PB ，过P 点向AB 引垂线，垂足为M ，求M 点的轨迹方程.【答案】(1)x 26-y 22=1;(2)x -92 2+y +122=92(去掉点P )【解析】(1)∵双曲线的离心率e =c a =233，∴c 2=43a 2=a 2+b 2，即a 2=3b 2，将P 3,1 代入C :x 23b 2-y 2b 2=1，即93b 2-1b2=1，解得b 2=2，a 2=6，故双曲线C 的方程为x 26-y 22=1；(2)当直线AB 斜率不存在时，不满足PA ⊥PB ，故不满足题意；当直线AB 斜率存在时，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，AB :y =kx +m ，代入双曲线方程整理得：3k 2-1 x 2+6kmx +3m 2+6 =0.Δ>0，则x 1+x 2=-6km 3k 2-1，x 1x 2=3m 2+63k 2-1，∵PA ⊥PB ，∴x 1-3 x 2-3 +y 1-1 y 2-1 =0，即x 1-3 x 2-3 +kx 1+m -1 kx 2+m -1 =0，整理得18k 2+9km +m 2+m -2=0，即3k +m -1 6k +m +2 =0，当3k +m -1=0时，AB 过P 点，不符合题意，故6k +m +2=0，直线AB 化为y +2=k x -6 ，AB 恒过定点Q 6,-2 ，∴M 在以PQ 为直径的圆上且不含P 点，即M 的轨迹方程为x -92 2+y +12 2=92(去掉点P ).3.已知抛物线C :y =x 2，过点M 1,2 的直线交抛物线C 于A ,B 两点，以A ,B 为切点分别作抛物线C 的两条切线交于点P .(1)若线段AB 的中点N 的纵坐标为32，求直线AB 的方程；(2)求动点P 的轨迹.【答案】(1)x -y +1=0；(2)2x -y -2=0【解析】(1)依题意有：直线AB 的斜率必存在，故可设直线AB 的方程为y -2=k (x -1).由y -2=k (x -1)，y =x 2， 可得：x 2-kx +k -2=0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2.于是：y 1+y 2=x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=k 2-2k +4=3，解得k =1，故直线AB 的方程为x -y +1=0.(2)设P (x 0，y 0)，对于抛物线y =x 2，y =2x ，于是：A 点处切线方程为y -y 1=2x 1(x -x 1)，点P 在该切线上，故y 0-x 21=2x 1(x 0-x 1)，即x 21-2x 0x 1+y 0=0.同理：P 点坐标也满足x 22-2x 0x 2+y 0=0，于是：x 1，x 2是方程x 2-2x 0x +y 0=0的两根，所以x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=y 0.又由(1)可知：x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2，于是x 0=k2，y 0=k -2，消k 得y 0=2x 0-2，于是P 的轨迹方程为2x -y -2=0，点P 的轨迹是一条直线.4.已知圆C 与y 轴相切，圆心C 在直线x -2y =0上且在第一象限内，圆C在直线y =x 上截得的弦长为214.(1)求圆C 的方程；(2)已知线段MN 的端点M 的横坐标为-4，端点N 在(1)中的圆C 上运动，线段MN 与y 轴垂直，求线段MN 的中点H 的轨迹方程.【答案】(1)x -4 2+y -2 2=16;(2)4x 2+y -2 2=16【解析】(1)依题意，设所求圆C 的方程为x -a 2+y -b 2=r 2a >0 .所以圆心a ,b 到直线x -y =0d =a -b2，则有d 2+14 2=r 2，即a -b 2+28=2r 2.①由于圆C 与y 轴相切，所以r 2=a 2.②又因为圆C 的圆心在直线x -2y =0上，所以a -2b =0.③联立①②③，解得a =4,b =2,r =4，故所求圆C 的方程为x -4 2+y -2 2=16.(2)设点H 的坐标为x ,y ，点N 的坐标为x 0,y 0 ，点M 的坐标为-4,y ，因为H 是线段MN 的中点，所以x =x 0-42，y =y 0，于是有x 0=2x +4，y 0=y .①因为点N 在第(1)问中圆C 上运动，所以点N 满足x 0-4 2+y 0-2 2=16.②把①代入②，得2x +4-4 2+y -2 2=16，整理，得4x 2+y -2 2=16.此即为所求点H 的轨迹方程.5.已知圆O ：x 2+y 2=4与x 轴交于点A (-2,0)，过圆上一动点M 作x 轴的垂线，垂足为H ，N 是MH 的中点，记N 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过-65,0 作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，设直线AP ，AS 的斜率分别为k 1，k 2.证明：k 1=4k 2．【答案】(1)x 22+y 2=1；(2)证明见解析.【解析】(1)设N (x 0，y 0)，则H (x 0，0)，∵N 是MH 的中点，∴M (x 0，2y 0)，又∵M 在圆O 上，∴ x 20+(2y 0)2=4，即x 204+y 20=1；∴曲线C 的方程为：x 24+y 2=1；(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：x =-65，若点P 在轴上方，则点Q 在x 轴下方，则P -65,45 ,Q -65,-45，直线OQ 与曲线C 的另一交点为S ，则S 与Q 关于原点对称，∴S 65,45，k 1=k AP =45-0-65+2=1,k 2=k AS =45-065+2=14,∴k 1=4k 2；若点P 在x 轴下方，则点Q 在x 轴上方，同理得：P -65,-45 ,Q -65,45 ,S 65,-45，∴k1=k AP=-45-0-65+2=-1,k2=k AS=-45-065+2=-14，∴k1=4k2；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：x=my-6 5,，由x=my-65,与x24+y2=1联立可得(m2+4)y2-12m5y-6425=0，其中Δ=144m225+4×(m2+4)×6425>0，设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则S(-x2,-y2)，则y1+y2=12m5m2+4,y1y2=-6425m2+4，∴k1=k AP=y1-0x1+2=y1x1+2,k2=k AS=-y2-0-x2+2=y2x2-2,则k1k2=y1x1+2⋅x2-2y2=y1my2-165my1+45y2=my1y2-165y1my1y2+45(y1+y2)-45y1=-6425m2+4-165y1-6425mm2+4+45⋅125mm2+4-45y1=-6425m2+4-165y1-1625m2+4-45y1=4，∴k1=4k2.6.已知点E(2,0)，F22,0，点A满足|AE|=2|AF|，点A的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l:y=kx+m与双曲线：x24-y29=1交于M，N两点，且∠MON=π2(O为坐标原点)，求点A到直线l距离的取值范围.【答案】(1)x2+y2=1；(2)655-1,655+1.【解析】(1)设A(x,y)，因为|AE|=2|AF|，所以(x-2)2+(y-0)2=2×x-2 22+(y-0)2，平方化简，得x2+y2=1；(2)直线l:y=kx+m与双曲线：x24-y29=1的方程联立，得y=kx+mx2 4-y29=1⇒(4k2-9)x2+8kmx+4m2+36=0，设M(x1,y1),N(x2,y2)，所以有4k2-9≠0(8km)2-4⋅(4k2-9)(4m2+36)>0⇒m2+9>4k2且k≠±32，所以x 1+x 2=-8km 4k 2-9，x 1x 2=4m 2+364k 2-9，因为∠MON =π2，所以OM ⊥ON⇒x 1x 2+y 1y 2=0⇒x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0，化简，得(k 2+1)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0，把x 1+x 2=-8km 4k 2-9，x 1x 2=4m 2+364k 2-9代入，得(k 2+1)⋅4m 2+364k 2-9+km ⋅-8km 4k 2-9 +m 2=0，化简，得m 2=36(k 2+1)5，因为m 2+9>4k 2且k ≠±32，所以有36(k 2+1)5+9>4k 2且k ≠±32，解得k ≠±32，圆x 2+y 2=1的圆心为(0,0)，半径为1，圆心(0,0)到直线l :y =kx +m 的距离为d =mk 2+1=65k 2+1k 2+1=655>1，所以点A 到直线距离的最大值为655+1，最小值为655-1，所以点A 到直线距离的取值范围为655-1,655+1 ，7.在平面直角坐标系xOy 中，点D ，E 的坐标分别为-2,0 ，2,0 ，P 是动点，且直线DP 与EP 的斜率之积等于-14.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知直线y =kx +m 与椭圆：x 24+y 2=1相交于A ，B 两点，与y 轴交于点M ，若存在m 使得OA +3OB =4OM，求m 的取值范围.【答案】(1)x 24+y 2=1x ≠±2 ;(2)-1,-12 ∪12,1 【解析】(1)设P x ,y ，则k EP ⋅k DP =y x -2⋅y x +2=-14x ≠±2 ，所以可得动点P 的轨迹C 的方程为x 24+y 2=1x ≠±2 .(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,又M 0,m ，由OA +3OB =4OM得x 1+3x 2,y 1+3y 2 =0,4m ，x 1=-3x 2联立y =kx +m x 24+y 2=1可得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0∵Δ=(8km )2-4×(4k 2+1)×(4m 2-4)>0，即64k 2-16m 2+16>0∴4k 2-m 2+1>0，且x 1+x 2=-8km4k 2+1x 1x 2=4m 2-44k 2+1，又x 1=-3x 2∴x 2=4km 4k 2+1，则x 1⋅x 2=-3x 22=4km 4k 2+1 2=4m 2-44k 2+1，∴16k 2m 2-4k 2+m 2-1=0，∴k 2=m 2-14-16m 2代入4k 2-m 2+1>0得m 2-11-4m2+1-m 2>0，14<m 2<1，解得m ∈-1,-12 ∪12,1 .∴m 的取值范围是-1,-12 ∪12,1 8.如图，设点A ，B 的坐标分别为(-3,0)，(3,0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为-23.(1)求P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为C ，点M 、N 是轨迹为C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求△MON 的面积.【答案】(1)x 23+y 22=1x ≠±3 ;(2)62【解析】(1)由已知设点P 的坐标为x ,y ，由题意知k AP ⋅k BP =y x +3⋅y x -3=-23x ≠±3 ，化简得P 的轨迹方程为x 23+y 22=1x ≠±3(2)证明：由题意M 、N 是椭圆C 上非顶点的两点，且AP ⎳OM ,BP ⎳ON ，则直线AP ,BP 斜率必存在且不为0，又由已知k AP ⋅k BP =-23.因为AP ⎳OM ,BP ⎳ON ，所以k OM k ON =-23设直线MN 的方程为x =my +t ，代入椭圆方程x 23+y 22=1，得3+2m 2 y 2+4mty +2t 2-6=0....①，设M ,N 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-4mt 3+2m 2,y 1y 2=2t 2-63+2m 2又k OM ⋅k ON =y 1y 2x 1x 2=y 1y 2m 2y 1y 2+mt y 1+y 2 +t 2=2t 2-63t 2-6m 2，所以2t 2-63t 2-6m2=-23，得2t 2=2m 2+3又S △MON =12t y 1-y 2 =12t -24t 2+48m 2+723+2m 2，所以S △MON =26t t 24t 2=62，即△MON 的面积为定值62.9.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :x =1，点F 4,0 ，动点P 到点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍，记P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点F 且斜率大于3的直线交C 于两点，点Q -2,0 ，连接QA 、QB 交直线l 于M 、N 两点，证明：点F 在以MN 为直径的圆上．【答案】(1)x 24-y 212=1;(2)证明见解析【解析】(1)设P x ,y ，由题意得x -4 2+y 2=2x -1 化简得x 24-y 212=1，所以曲线C 的方程为x 24-y 212=1．(2)证明：设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 、M 1,m 、N 1,n ，设直线AB 的方程为y =k x -4 且k >3，联立y =k x -4 x 24-y 212=1得3-k 2 x 2+8k 2x -16k 2-12=0，3-k 2≠0，Δ=64k 4+43-k 2 16k 2+12 =144k 2+1 >0，由韦达定理可得x 1+x 2=8k 2k 2-3，x 1x 2=16k 2+12k 2-3，因为点M 在直线QA 上，则k QM =k QA ，即m3=y 1x 1+2，可得m =3y 1x 1+2=3k x 1-4x 1+2，同理可得n =3k x 2-4 x 2+2，FM=-3,m ，FN =-3,n ，所以，FM ⋅FN =9+mn =9+9k 2x 1x 2-4x 1+x 2 +16x 1x 2+2x 1+x 2 +4=9+9k 216k 2+12-32k 2+16k 2-4816k 2+12+16k 2+4k 2-12=0，故点F 在以MN 为直径的圆上．10.已知圆C ：x 2+y 2-2x -2y +1=0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(2，3)处，求此时切线l 的方程；(2)求满足条件PM =PO 的点P 的轨迹方程.【答案】(1)x =2或3x -4y +6=0；(2)2x +2y -1=0.【解析】(1)把圆C 的方程化为标准方程为(x -1)2+(y -1)2=1，∴圆心为C (1，1)，半径r =1.当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x =2，C 到l 的距离d =1=r ，满足条件.当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y -3=k (x -2)，即kx -y +3-2k =0，则k -1+3-2k1+k 2=1，解得k =34.∴l 的方程为y -3=34(x -2)，即3x -4y +6=0.综上，满足条件的切线l 的方程为x =2或3x -4y +6=0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2=|PC |2-|MC |2=(x -1)2+(y -1)2-1，|PO |2=x 2+y 2，∵|PM |=|PO |.∴(x -1)2+(y -1)2-1=x 2+y 2，整理，得2x +2y -1=0，∴点P 的轨迹方程为2x +2y -1=0.11.已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1、l 2分别交C 于A 、B 两点，交C 的准线于P 、Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ .(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】(1)证明见解析；(2)y 2=x -1.【解析】(1)由题意可知F 12,0 ，设l 1：y =a ，l 2：y =b 且ab ≠0，A a 22,a ，B b 22,b ，P -12,a ，Q -12,b ，R -12,a +b 2 ，直线AB 方程为2x -(a +b )y +ab =0，∵点F 在线段AB 上，∴ab +1=0，记直线AR 的斜率为k 1，直线FQ 的斜率为k 2，∴k 1=a -b 1+a 2，k 2=b-12-12=-b ，又∵ab +1=0，∴k 1=a -b 1+a 2=a -b a 2-ab =1a =-aba =-b =k 2，∴AR ∥FQ ；(2)设l 1：y =a ，l 2：y =b ，A a 22,a ，B b 22,b ，设直线AB 与x 轴的交点为D x 1,0 ，∴S △ABF =12a -b FD =12a -b x 1-12，又S△PQF=a-b2，∴由题意可得S△PQF=2S△ABF，即a-b2=2×12·a-b⋅x1-12，解得x1=0(舍)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x，y)，则x=a2+b24y=a+b2，当AB与x轴不垂直时，由k AB=k DE可得a-ba22-b22=yx-1，即2a+b=yx-1(x≠1)，∴y2=x-1x≠1.当AB与x轴垂直时，E与D重合，也满足y2=x-1.∴AB中点的轨迹方程为y2=x-1.12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长为4，左顶点A到上顶点B的距离为5，F为右焦点．(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设直线l与椭圆C交于不同的两点M，N(不同于A，B两点)，且直线BM ⊥BN时，求F在l上的射影H的轨迹方程．【答案】(1)x24+y2=1，离心率为32;(2)x-322+y+3102=2125【解析】(1)由题意可得：2a=4，a2+b2=5，a2=b2+c2，可得a=2，c=3，b=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1，离心率为e=ca=32．(2)当直线斜率存在时，可设l:y=kx+m代入椭圆方程x24+y2=1，得：4k2+1x2+8kmx+4m2-1=0．设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-8km4k 2+1x 1x 2=4m 2-1 4k 2+1．因为直线BM ，BN 垂直，斜率之积为-1，所以k BM ⋅k BN =-1，所以k BM ⋅k BN =k 2x 1x 2+k m -1 x 1+x 2 +m -1 2x 1x 2=-1．将x 1+x 2=-8km 4k 2+1x 1x 2=4m 2-1 4k 2+1代入，整理化简得：m -1 5m +3 =0，所以m =1或m =-35．由直线l :y =kx +m ，当m =1时，直线l 经过0,1 ，与B 点重合，舍去，当m =-35时，直线l 经过定点E 0,-35，当直线斜率不存在时，可设l :x =t ，则M t ,1-t 24 ，N t ,-1-t 24，因为k BM ⋅k BN =-1，所以1-t 24-1t ×-1-t 24+1t=-1，解得t =0，舍去．综上所述，直线l 经过定点E 0,-35，而F 在l 上的射影H 的轨迹为以EF 为直径的圆，其E 0,-35 ，F 3,0 ，所以圆心32,-310 ，半径r =215，所以圆的方程为x -32 2+y +310 2=2125，即为点H 的轨迹方程．13.在平面直角坐标系xOy 中，A (-3,0)，B (3,0)，C 是满足∠ACB =π3的一个动点．(1)求△ABC 垂心H 的轨迹方程；(2)记△ABC 垂心H 的轨迹为Γ，若直线l ：y =kx +m (km ≠0)与Γ交于D ，E 两点，与椭圆T ：2x 2+y 2=1交于P ，Q 两点，且|DE |=2|PQ |，求证：|k |>2．【答案】(1)x 2+(y +1)2=4(y ≠-2)；(2)证明见解析．【解析】设△ABC 的外心为O 1，半径为R ，则有R =AB 2sin ∠ACB=2，又∠OO 1B =∠OO 1C =π3，所以OO 1=R cos π3=1，即O 1(0,1)，或O 1(0,-1)，当O 1坐标为(0,1)时．设C (x ,y )，H x 0,y 0 ，有O 1C =R ，即有x 2+(y -1)2=4(y >0)，由CH ⊥AB ，则有x 0=x ，由AH ⊥BC ，则有AH ⋅BC=x 0+3 (x -3)+y 0y =0，所以有y 0=-x 0+3 (x -3)y =3-x 2y =(y -1)2-1y=y -2，y >0，则y 0=y -2>-2，则有x 20+y 0+1 2=4(y 0>-2)，所以△ABC 垂心H 的轨迹方程为x 2+(y +1)2=4(y >-2).同理当O 1坐标为(0,-1)时．H 的轨迹方程为x 2+(y -1)2=4(y <2).综上H 的轨迹方程为x 2+(y +1)2=4(y >-2)或x 2+(y -1)2=4(y <2)．(2)若取x 2+(y +1)2=4(y >-2)，记点(0,-1)到直线l 的距离为d ，则有d =|m +1|1+k 2，所以|DE |=24-d 2=24-(m +1)21+k 2，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，联立y =kx +m 2x 2+y 2=1，有2+k 2 x 2+2kmx +m 2-1=0，所以Δ=4k 2+2-2m 2 >0，|PQ |=1+k 2⋅Δ2+k 2=21+k 2 k 2+2-2m 2 2+k 2，由|DE |=2|PQ |，可得4-(m +1)21+k 2=4k 2+1 k 2+2-8m 2k 2+1 2+k 2 2≤4k 2+1 k 2+2-8m 2k 2+22，所以4k 2+2+8m 22+k 22≤(m +1)2k 2+1，即有4k 2+1 k 2+2+8k 2+1 m 22+k 22≤(m +1)2，所以2+2m 2-4k 2+1 k 2+2-8k 2+1 m 2k 2+22≥(m -1)2，即2k 2k 2+2k 2m 2k 2+2-1 =(m -1)2⇒k 2m 2k 2+2-1≥0⇒m 2≥1+2k2又Δ>0，可得m 2<1+k 22，所以1+2k2<1+k 22，解得k 2>2，故|k |>2．同理，若取x 2+(y -1)2=4(y <2)，由对称性，同理可得|k |> 2.综上，可得|k |> 2.14.在平面直角坐标系中，△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为-1,0 ，1,0 ，平面内两点G ，M 同时满足以下3个条件：①G 是△ABC 三条边中线的交点；②M 是△ABC 的外心；③GM ⎳AB ．(1)求△ABC 的顶点C 的轨迹方程；(2)若点P 2,0 与(Ⅰ)中轨迹上的点E ，F 三点共线，求PE ⋅PF 的取值范围．【答案】(1)x 2+y 23=1(y ≠0)；(2)3,92.【解析】(1)设C x ,y ，G x 0,y 0 ，M x M ,y M ，圆锥曲线的轨迹方程问题第11页因为M 是△ABC 的外心，所以MA =MB ，所以M 在线段AB 的中垂线上，所以x M =-1+12=0．因为GM ⎳AB ，所以y M =y 0．又G 是△ABC 三条边中线的交点，所以G 是△ABC 的重心，所以x 0=-1+1+x 3=x 3，y 0=0+0+y 3=y 3，所以y M =y 0=y 3．又MA =MC ，所以0+1 2+y 3-0 2=0-x 2+y 3-y 2，化简得x 2+y 23=1(y ≠0)，所以顶点C 的轨迹方程为x 2+y 23=1(y ≠0)．(2)因为P ，E ，F 三点共线，所以P ，E ，F 三点所在直线斜率存在且不为0，设所在直线的方程为y =k x -2 ，联立y =k x -2 ,x 2+y 23=1,得k 2+3 x 2-4k 2x +4k 2-3=0．由Δ=4k 2 2-4k 2+3 4k 2-3 >0，得k 2<1．设E x 1,y 1 ，F x 2,y 2 ，则x 1+x 2=4k 2k 2+3,x 1⋅x 2=4k 2-3k 2+3.所以PE ⋅PF =1+k 22-x 1 ⋅1+k 22-x 2 =1+k 2 ⋅4-2x 1+x 2 +x 1⋅x 2=1+k 2 ⋅4k 2+3 -8k 2+4k 2-3 k 2+3=91+k 2 k 2+3=9-18k 2+3．又0<k 2<1，所以3<k 2+3<4，所以3<PE ⋅PF <92．故PE ⋅PF 的取值范围为3,92 ．15.已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 是抛物线C :y 2=4x 上两个不同的点，C 的焦点为F ．(1)若直线AB 过焦点F ，且y 21+y 22=32，求AB 的值；(2)已知点P -2,2 ，记直线PA ，PB 的斜率分别为k PA ，k PB ，且k PA +k PB =-1，当直线AB 过定点，且定点在x 轴上时，点D 在直线AB 上，满足PD ⋅AB =0，求点D 的轨迹方程．【答案】(1)AB =10；(2)x 2+y -1 2=5(除掉点-2,0 ).【解析】(1)由抛物线方程知：F 1,0 ，准线方程为：x =-1．圆锥曲线的轨迹方程问题第12页∵AF =x 1+1=y 214+1，BF =x 2+1=y 224+1，∴AB =AF +BF =y 21+y 224+2=10.(2)依题意可设直线AB :x =ty +m ，由y 2=4x x =ty +m得：y 2-4ty -4m =0，则Δ=16t 2+16m >0，∴y 1+y 2=4t y 1y 2=-4m ⋯①∵k PA +k PB =y 1-2x 1+2+y 2-2x 2+2=y 1-2ty 1+m +2+y 2-2ty 2+m +2=-1，∴2ty 1y 2+m +2 y 1+y 2 -2t y 1+y 2 -4m +2 t 2y 1y 2+t m +2 y 1+y 2 +m +2 2=-1⋯②由①②化简整理可得：8t -4m +m 2-4=0，则有m +2-4t m -2 =0，解得：m =2或m =4t -2．当m =4t -2时，Δ=16t 2+64t -32=16t +2 2-96>0，解得：t >-2+6或t <-2-6，此时AB :x =ty +4t -2=t y +4 -2过定点-2,-4 ，不符合题意；当m =2时，Δ=16t 2+32>0对于∀t ∈R 恒成立，直线AB :x =ty +2过定点E 2,0 ，∴m =2.∵PD ⋅AB =0，∴PD ⊥AB ，且A ,B ,D ,E 四点共线，∴PD ⊥DE ，则点D 的轨迹是以PE 为直径的圆．设D x ,y ，PE 的中点坐标为0,1 ，PE =25，则D 点的轨迹方程为x 2+y -1 2=5．当D 的坐标为-2,0 时，AB 的方程为y =0，不符合题意，∴D 的轨迹方程为x 2+y -1 2=5(除掉点-2,0 )．圆锥曲线的轨迹方程问题第13页。

目录圆锥曲线十大题型全归纳题型一弦的垂直平分线问题 (2)题型二动弦过定点的问题 (3)题型三过已知曲线上定点的弦的问题 (4)题型四共线向量问题 (5)题型五面积问题 (7)题型六弦或弦长为定值、最值问题 (10)题型七直线问题 (14)题型八轨迹问题 (16)题型九对称问题 (19)题型十存在性问题 (21)圆锥曲线题型全归纳题型一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

题型二：动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

（I ）求椭圆的方程；（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。

(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称，求直线PQ 的斜率。

题型四：共线向量问题1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E.I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围.2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，离心率为5.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-.题型五：面积问题例题1、已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。

圆锥曲线大综合第一部分圆锥曲线常考题型和热点问题一．常考题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值的问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围为题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点，存在直线y kx m ，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）二．热点问题1.定义与轨迹方程问题2.交点与中点弦问题3.弦长及面积问题4.对称问题5.范围问题6.存在性问题7.最值问题8.定值，定点，定直线问题第二部分知识储备一．与一元二次方程 ax2bx c 0(a 0) 相关的知识（三个“二次”问题）1. 判别式：b24ac2. 韦达定理：若一元二次方程ax2bx c 0(a 0) 有两个不等的实数根x1, x2，则x1x2b， x1 x2 ca a3. 求根公式：若一元二次方程ax2bx c 0(a 0) 有两个不等的实数根x1, x2，则x1,2b b2 4 ac2a二．与直线相关的知识1.直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式WORD 完美 .格式2.与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：y tan ，[0, ) ；②点到直线的距离公式： d Ax0By0C（一般式）或 d kx0 y0 b （斜截式）A2 B 212k 23.弦长公式：直线y kxb 上两点 A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) 间的距离：AB 1 k 2 x x2 (1k2 )[( x x )24x x ]( 或 AB 1 1y y2)1 12 1 2k 21 4.两直线 l1 : y1k1x1b1 ,l2 : y2k2 x2b2 的位置关系：① l1 l2k1 k2 1 ② l1 / /l2k1 k2且b1b25.中点坐标公式：已知两点A( x1 , y1 ), B( x2 ,y2)，若点 M x, y 线段AB 的中点，则x x1x1 , y y1y22 2三．圆锥曲线的重要知识考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。

查补易混易错点07 圆锥曲线中的二级结论及应用圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，记住圆锥曲线中一些二级结论，能快速摆平一切圆锥曲线压轴小题。

1设P点是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则（1）|PF1||PF2|＝2b21＋cos θ；（2）S△PF1F2＝b2tan θ2；（3）e＝sin∠F1PF2sin∠PF1F2＋sin∠PF2F1.2设P点是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则（1）|PF1||PF2|＝2b21－cos θ；（2）S△PF1F2＝b2tanθ2；（3）e＝sin ∠F1PF2|sin ∠PF1F2－sin ∠PF2F1|.3.设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P是曲线上与A，B不重合的任意一点，则k AP·k BP ＝e2－1.4.设圆锥曲线以M(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.（1）圆锥曲线为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则k AB＝－b2x0a2y0，k AB·k OM＝e2－1.（2）圆锥曲线为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则k AB＝b2x0a2y0，k AB·k OM＝e2－1.（3）圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p＞0)，则k AB＝py0.5.过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A，B两点，且|AF → |＝λ|FB → |，则椭圆的离心率等于1(1)cos λλα-+.6.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A ，B 两点，且|AF → |＝λ|FB → |，则双曲线的离心率等于|λ－1（λ＋1）cos α|.7.过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 倾斜角为θ的直线交抛物线于A ，B 两点，则两焦半径长为p 1－cos θ，p 1＋cos θ，1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AB |＝2p sin 2θ，S △AOB ＝p 22sin θ.1.已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为M (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1【答案】B【解析】由题意可知k AB ＝－15－0－12－3＝1，k MO ＝－15－0－12－0＝54，由双曲线中点弦中的斜率规律得k MO ·k AB ＝b 2a 2，即54＝b 2a 2，又9＝a 2＋b 2，联立解得a 2＝4，b 2＝5，故双曲线的方程为x 24－y 25＝1.3.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝32，经过右焦点且斜率为k (k ＞0)的直线交椭圆于A ，B 两点，已知AF → ＝3FB →，则k ＝( )A ．1 B.2 C.3 D ．2【答案】B【解析】∵λ＝3，由结论可得，e ＝32，由规律得32cos α＝3－13＋1，cos α＝33，k ＝tan α＝2.4.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6 C.163 D.203【答案】C 【解析】因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.6.已知双曲线C ：()22105x y k k -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且123F PF π∠=，则12F PF △的面积为（）．【答案】C【解析】由()22105x y k k -=>，b =123F PF π∠=，由结论可知122tan 2F PF b S θ==△7.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上异于A ，B 两点，若AP 与BP 的斜率之积为－12，则椭圆的离心率为（ ）【答案】22【解析】k AP ·k BP ＝－12，e 2－1＝－12，∴e 2＝12，e ＝22.8.在椭圆x 225＋y 29＝1上，△PF 1F 2为焦点三角形，如图所示．(1)若θ＝60°，则△PF 1F 2的面积是________；(2)若α＝45°，β＝75°，则椭圆离心率e ＝________．【答案】(1)33　(2)6－22【解析】(1)由结论得S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，即S △PF 1F 2＝33.（2）由公式e ＝sin （α＋β）sin α＋sin β＝sin 60°sin 45°＋sin 75°＝6－22.9.(2022·荆州模拟)已知P是椭圆x24＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，当∠F1PF2＝π3时，则△PF1F2的面积为________．【答案】3 3【解析】由结论可得：S＝b2tan θ2，可得S＝1·tanπ6＝33.标原点，则|AB |为【答案】12【解析】易知2p ＝3，由结论可得知|AB |＝2psin 2α，所以|AB |＝3sin 230°＝12.15.设F 为抛物线C ：y 2＝16x 的焦点，过F 且倾斜角为6π的直线交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为。

圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。

此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）； （5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。

此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。

高考圆锥曲线的常见题型题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义：（1）椭圆 （2）椭圆 （3）椭圆 2、定义的应用（1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题例1、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2=4外切,求圆心M 的轨迹方程。

例2、方程表示的曲线是题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

2、双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

典型例题例1、已知方程12122=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是例2、k 为何值时,方程15922=---ky k x 的曲线：(1)是椭圆; (2)是双曲线.题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题1、椭圆焦点三角形面积2tan2αb S = ；双曲线焦点三角形面积2cot2αb S =2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解3、22,,,n m mn n m n m +-+四者的关系在圆锥曲线中的应用； 典型例题例1、椭圆x a yba b 222210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角∠F P F 12=α，求证：△F 1PF 2的面积为b 22tan α。

例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且，．求该双曲线的标准方程题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题例1、已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 324+B. 13-C.213+ D. 13+例2、双曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1,3) B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞例3、椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为12(,0),(,0)F c F c -，椭圆上存在点M 使120FM F M ⋅=. 求椭圆离心率e 的取值范围；例4、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断1、点与椭圆的位置关系点在椭圆内⇔12222<+b y a x点在椭圆上⇔12222=+b y a x点在椭圆外⇔12222>+by a x2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：∆>0⇔相交∆=0⇔相切 （需要注意二次项系数为0的情况） ∆<0⇔相离 3、弦长公式：=AB )(11212212x x k x x k -+=-+ak ∆+=21 =AB )(1111212212y y k y y k -+=-+ak ∆+=211 4、圆锥曲线的中点弦问题： 1、伟达定理： 2、点差法：（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简（2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系典型例题例1、双曲线x 2-4y 2=4的弦AB 被点M (3,-1)平分,求直线AB 的方程.例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:x+y=1交于A,B 两点，C 是AB 的中点，若|AB|=22，O 为坐标原点，OC 的斜率为2/2，求椭圆的方程。

圆锥曲线整理1．圆锥曲线的定义：(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d .圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。

%（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222b x a y -＝1（0,0a b >>）。

（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。

2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：椭圆：由x2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

第一篇圆锥曲线专题07定值问题定值问题肯定含有参数，若要证明一个式子是定值，则意味着参数是不影响结果的，也就是说参数在解式子的过程中都可以消掉，因此解决定值问题的关键是设参数：（1）在解析几何中参数可能是点（注意如果设点是两个参数时，注意横坐标要满足圆锥曲线方程）（2）可能是角（这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式），（3）也可能是斜率（这个是最常用的，但是既然设斜率了，就要考虑斜率是否存在的情况）常用的参数就是以上三种，但是注意我们设参数时要遵循一个原则：参数越少越好。

因此定值问题的解题思路是：（1）设参数；（2）用参数来表示要求定值的式子；（3）消参数。

一个常用的结论：椭圆和双曲线中斜率乘积为定值，即：过原点的直线交椭圆或双曲线于两点,A B ，则在椭圆或双曲线上任取一点P （异于,A B ）则直线,PA PB 的斜率乘积为定值。

22221x y a b +=22221x y a b -=22PA PBb k k a ⋅=-22PA PB b k k a⋅=解决定值问题的方法：方法一：把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，然后再证明结论与特定状态无关（其实就是找特殊量，常用在小题里面）。

例1：过点(,0)M p 任作直线交抛物线22(0)y px p =>于,P Q 两点，则2211||||MP MQ +的值为_____________.【解析】题目过(,0)M p 的直线不固定，不妨令这条直线与x 轴垂直，此时PM MQ ==222111||||MP MQ p +=例2：在椭圆22221x y a b +=上两点,A B 与中心O 的连线互相垂直，则2211||||OA OB +的值为__________.方法二：把相关几何量用圆锥曲线中的参变量表示出来，再证明结论与参数无关。

（常用在大题证明里面，其实就是设参数，常见的参数在一开始就提到），依据所设参数的不同，题型又分为以下几类：题型1：和线段的长度有关，例如线段的加减乘除。